Một số phương pháp đồng luân giải gần đúng phương trình vi phân thường

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ HẢI YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ HẢI YẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG LUÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Chuyên ngành: Tốn giải tích KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS KHUẤT VĂN NINH Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô trường quý thầy khoa Tốn, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt q trình làm khóa luận để em hồn khóa luận tốt nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận đóng góp quý báu thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điệu kiện thuận lợi cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Trần Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong thực đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Một số phương pháp đồng luân giải gần phương trình vi phân thường” kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh Viên Trần Thị Hải Yến Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa 1.1.1 Định nghĩa chuỗi hàm 1.1.2 Khái quát chuỗi lũy thừa 1.1.3 Định nghĩa chuỗi Taylor 1.2 Đồng luân 1.3 Khái quát phương trình vi phân 1.3.1 Một số khái niệm 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN 2.1 2.2 11 Khái niệm phương pháp giải tích đồng luân phương pháp giải 11 Ví dụ 16 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN ĐỒNG LUÂN TỐI ƯU i 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.1 Phương pháp nhiễu đồng luân (HPM) 3.1.1 23 Khái niệm phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng 23 Ví dụ 25 Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu (OHAM) 30 3.1.2 3.2 Trần Thị Hải Yến 3.2.1 3.2.2 Khái niệm phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu phương pháp giải 30 Ví dụ 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong tốn học, phương trình vi phân khơng ngừng phát triển đóng vai trò quan trọng việc mơ hình hóa nhiều quy trình vật lý, kỹ thuật, công nghệ sinh học Chúng ta biết rằng, có số phương trình vi phân tìm nghiệm xác, phần lớn phương trình vi phân nảy sinh từ tốn thực tiễn khơng tìm nghiệm xác Do đó, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần phương trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà tốn học tìm phương pháp để giải gần phương trình vi phân, số phương pháp phát triển để đáp ứng nhu cầu nhằm đạt giải pháp tốt tốt Phương pháp giải tích đồng luân, Phương pháp nhiễu đồng luân, Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu phương pháp ứng dụng nhiều việc giải phương trình vi phân phi tuyến Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp đồng luân giải gần phương trình vi phân thường” Mục đích nghiên cứu Trình bày giải thích phương pháp đồng luân để giải gần phương trình vi phân thường Các phương pháp phương pháp giải tích đồng luân, phương pháp nhiễu đồng luân phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lí luận + Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu Cấu trúc khóa luận Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương "Kiến thức chuẩn bị" trình bày số kiến thức chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, đồng luân khái quát phương trình vi phân Chương "Phương pháp giải tích đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến" Mục đích chương giới thiệu phương pháp giải tích đồng luân giải phương trình vi phân phi tuyến mơt số ví dụ áp dụng Chương "Phương pháp nhiễu đồng luân Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu" Mục đích chương giới thiệu phương pháp nhiễu đồng luân, phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải phương trình vi phân thường số ví dụ áp dụng Khóa luận trình bày sở tài liệu tham khảo liệt kê phần tài liệu tham khảo Em biết ơn tác giả tất tài liệu trích dẫn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kiến thức chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, đồng luân khái quát phương trình vi phân Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 1.1.1 Chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa Định nghĩa chuỗi hàm Định nghĩa 1.1 Cho dãy hàm {un } xác định tập U ⊂ R Chuỗi hàm tổng hình thức: ∞ u1 (x) + u2 (x) + + un (x) + = un (x) (1.1) n=1 ∞ Khi x = x0 (x0 ∈ U) chuỗi hàm (1.1) trở thành chuỗi số ∞ Nếu chuỗi số hội tụ ta nói x0 điểm hội tụ, un (x0 ) n=1 un (x0 ) phân kì n=1 ta nói x0 điểm phân kì chuỗi hàm (1.1) Tập hợp tất điểm x mà chuỗi hàm hội tụ gọi miền hội tụ chuỗi hàm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến n Kí hiệu Sn (x) = uk (x) tổng riêng thứ n chuỗi hàm k=1 Nếu tồn lim Sn (x) = S(x) S(x) gọi tổng chuỗi hàm n→∞ 1.1.2 Khái quát chuỗi lũy thừa Định nghĩa 1.2 Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng ∞ an xn = a0 + a1 x + n=0 ∞ Nếu chuỗi lũy thừa có dạng an (x − x0 )n cách đặt X = x − x0 n=0 ta đưa chuỗi dạng Định nghĩa 1.3 (Bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa) ∞ Số r > gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa an xn n=0 chuỗi hội tụ (tuyệt đối) với |x| < r phân kì với |x| > r Nếu ∞ r = an xn hội tụ x = n=0 ∞ Khoảng (−r, r) gọi khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa an xn n=0 1.1.3 Định nghĩa chuỗi Taylor Định nghĩa 1.4 (Chuỗi Taylor) Giả sử hàm f khả vi đến cấp n lân cận x0 ∈ U f (n) (x) liên tục x0 Khi với x lân cận nói x0 ta có f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0 ∞ T (x) = hay T (x) = f (x0 ) + f (x0 ) f (n) (x0 ) (x − x0 ) + + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) 1! n! Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Xây dựng phương trình đồng luân sau: (1 − p) (L(u) − L(u0 )) + p (L(u) + N (u) − g(x)) = (3.9) p ∈ [0, 1] tham số nhúng Phương trình (3.9) tương đương 2 (1 − p)(u + u ) + p(u + u + u − x5 − 30x3 ) = x x u + u + pu − (x5 + 30x3 )p = x ⇔ (3.10) Giả sử nghiệm có dạng u(x, p) = u0 + u1 p + u2 p2 + thay vào phương trình (3.10) ta được: u0 + u1 p + u2 p2 + u3 p3 + + (u0 + u1 p + u2 p2 + u3 p + ) x +p(u0 + u1 p + u2 p2 + u3 p3 + ) − (x5 + 30x3 )p = Cân hệ số lũy thừa bậc p đặt điều kiện ban đầu ta có p1 : u1 + u1 = x5 + 30x3 ; u1 (0) = 0, u1 (0) = x p2 : u2 + u2 + u1 = 0; u2 (0) = 0, u2 (0) = x p3 : u3 + u3 + u2 = 0; u3 (0) = 0, u3 (0) = x 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Với u0 = giải toán Cauchy ta thu x + x5 ; 56 u2 (x) = − x − x7 ; 5040 56 1 u3 (x) = x11 + x; 665280 5040 u1 (x) = Do u(x) = 1 x + x5 − x − x7 + x11 + x − 56 5040 56 665280 5040 Vậy nghiệm toán ban đầu u(x) = x5 3.2 Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu (OHAM) 3.2.1 Khái niệm phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu phương pháp giải Đường cong h phương pháp giải tích đồng ln sử dụng để tìm tốc độ hội tụ tham số điều khiển nhằm nhận biết chuỗi nghiệm hội tụ Tuy nhiên khó khăn đường cong đưa khoảng giá trị tham số mà không cho biết giá trị tốt để chuỗi nghiệm hội tụ nhanh Trong phương pháp nhiễu đồng luân, tham số điều khiển hội tụ tiến đến −1 Một số nhà nghiên cứu quan sát thấy thay giá trị tham số không mang lại tốc độ hội tụ nhanh cho chuỗi nghiệm 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Do đó, việc xác định tham số điều khiển hội tụ cho tốc độ hội tụ chuỗi nghiệm nhanh toán cần quan tâm Năm 2007, 2008 số nhà toán học đề xuất phương pháp tối ưu sử dụng để tìm tham số điều khiển hội tụ tối ưu, cách sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu Các nhà toán học áp dụng phương pháp tối ưu phát triển thành phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu Xét phương trình vi phân phi tuyến sau: L(u(x)) + N (u(x)) + g(x) = (3.11) với điều kiện biên có dạng B(u(x)) = 0, L tốn tử tuyến tính, N toán tử phi tuyến, B toán tử biên, x biến độc lập, u(x) hàm chưa biết g(x) hàm biết Sử dụng ý tưởng OHAM, phương trình đồng luân xây dựng sau: H(φ(x), p) =(1 − p) {L(φ(x, p)) + g(x)} (3.12) − H(p) {L(φ(x, p)) + g(x) + N (φ(x, p))} = với điều kiện biên B(φ(x, p)) = 0, p ∈ [0, 1] tham số nhúng, H(p) hàm phụ khác không với p = H(0) = 0, φ(x, p) hàm chưa biết Rõ ràng với p = L(φ(x, 0)) + g(x) = nghiệm phương trình u0 (x) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Với p = H(1) {L(φ(x, 1)) + g(x) + N (φ(x, 1))} = nghiệm phương trình nghiệm xác u(x) phương trình (3.11) Do p tăng từ đến 1, nghiệm φ(x, p) nhận giá trị từ u0 (x) đến u(x) Hàm phụ H(p) chọn sau: H(p) = pC1 + p2 C2 + p3 C3 + (3.13) C1 , C2 số xác định sau Để có nghiệm xấp xỉ, ta khai triển hàm φ(x, p, ci ) thành chuỗi Taylor theo p cách sau đây: ∞ uk (x, Ci )pk , i = 1, 2, φ(x, p, Ci ) = u0 (x) + (3.14) k=1 Thay (3.13) (3.14) vào (3.12) so sánh hệ số lũy thừa bậc p ta thu hệ phương trình vi phân với điều kiện biên L(u0 (x)) + g(x) = 0; B(u0 (x)) = L(u1 (x)) = C1 N0 (u0 (x)); B(u1 (x)) = L(u2 (x)) − L(u1 (x)) = C2 N0 (u0 (x)) + C1 [L(u1 (x)) + N (u0 (x), u1 (x))] ; B(u2 (x)) = L(uk (x)) − L(uk−1 (x)) = Ck N0 (u0 (x)) k−1 + Ci [L(uk−i (x)) + Nk−i (u0 (x), u1 (x), , uk−i (x))] ; i=1 B(uk (x)) = 0, k = 2, 3, 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Nk−i (u0 (x), u1 (x), , uk−i (x)) hệ số pk−i việc mở rộng N (φ(x, p)) tham số nhúng p Nk (u0 , u1 , u2 , , uk )pk N (φ(x, p, Ci )) = N0 (u0 (x)) + k≥1 Giải phương trình vi phân ta thu u0 (x); u1 (x, C1 ); nghiệm xấp xỉ phương trình (3.11) viết sau: ∞ u(x, Ci ) = u0 (x) + uk (x, Ci ), i = 1, 2, k=1 Thay nghiệm xấp xỉ vào phương trình (3.12) biểu thức dư thu R(x, Ci ) = L(u(x, Ci )) + N (u(x, Ci )) + g(x) Nếu R(x, Ci ) = u(x, Ci ) nghiệm xác Tuy nhiên tốn phi tuyến khơng xảy trường hợp Do đó, để tính giá trị tối ưu số phụ có nhiều phương pháp phương pháp Galerkin, Ritz, bình phương tối thiểu, Áp dụng phương pháp bình phương tối thiểu b R2 (x,C1 , C2 , Cm )dx J(C1 , C2 , Cm ) = a a, b hai giá trị phụ thuộc vào điều kiện biên, R số dư xác định sau: R(x, Ci ) = L(u(x, Ci )) + N (u(x, Ci )) + g(x) Ci , i = 1, 2, m số chưa biết Coi J(C1 , C2 , Cm ) hàm số m biến số Để J đạt cực tiểu điều kiện cần ∂J ∂J ∂J = = = =0 ∂C1 ∂C2 ∂Cm 33 (3.15) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Với số này, nghiệm xấp xỉ phương trình (3.11) tối ưu 3.2.2 Ví dụ Ví dụ 3.4 Sử dụng phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải toán sau y + y − = 0; y(0) = 0; (0 ≤ x ≤ 1) Lời giải Chọn L(y) = y ; N (y) = y ; g(x) = −1 Xây dựng phương trình đồng luân sau: H(y, p) = (1 − p)(y − 1) − H(p)(y + y − 1) = (3.16) p ∈ [0, 1] tham số nhúng Chọn H(p) = pC1 + p2 C2 Giả sử y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 thay vào (3.16) ta (1 − p)(y0 + y1 p + y2 p2 − 1) − (pC1 + p2 C2 ) y0 + y1 p + y2 p2 + y0 + y1 p + y2 p2 ⇔ −1 =0 y0 + y1 p + y2 p2 − − y0 p − y1 p2 − y2 p3 + p − (pC1 + p2 C2 ) y0 + y02 + py1 + 2py0 y1 + p2 y2 + p2 y12 + 2p2 y0 y2 + − = ⇔ y0 + y1 p + y2 p2 − − y0 p − y1 p2 − y2 p3 + p − pC1 (y0 + y02 ) − p2 C1 (y1 + 2y0 y1 ) + pC1 − p2 C2 (y0 + y02 ) + p2 C2 + = 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Cân hệ số lũy thừa bậc p đặt điều kiện ban đầu ta có p0 : y0 − = 0; y0 (0) = p1 : y1 − y0 + − C1 (y0 + y02 ) + C1 = 0; y1 (0) = p2 : y2 − y1 − C1 (y1 + 2y0 y1 ) − C2 (y0 + y02 ) + C2 = 0; y2 (0) = Giải toán Cauchy ta y0 (x) = x; y1 (x) = C1 x3 ; y2 (x) = C1 + C2 + C12 x3 + C12 x5 15 y(x) = x + 2C1 + C2 + C12 x3 + C12 x5 15 Phần dư thu R = 2C1 + C2 + C12 x2 + C12 x4 + x+ 2C1 + C2 + C12 x3 + C12 x5 15 Với a = 0; b = sử dụng phương trình (3.15) tìm số ta C1 = −0.730985; C2 = 0.000907363 Vậy nghiệm toán ban đầu y(x) = x − 0.308908x3 + 0.0712452x5 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Xét phương án khác cho toán trên: Chọn H(p) = pC1 Giả sử nghiệm có dạng y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + y4 p4 + y5 p5 thay vào (3.16) ta (1 − p)(y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + y4 p4 + y5 p5 − 1) − pC1 y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + y4 p4 + y5 p5 + pC1 y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 + y4 p4 + y5 p5 − pC1 = Cân hệ số lũy thừa bậc p đặt điều kiện ban đầu ta có p0 : y0 = 1; y0 (0) = p1 : y1 = −1 − C1 + C1 y02 + (1 + C1 )y0 ; y1 (0) = p2 : y2 = 2C1 y0 y1 + (1 + C1 )y1 ; y2 (0) = p3 : y3 = C1 y12 + 2C1 y0 y1 + (1 + C1 )y2 ; y3 (0) = p4 : y4 = 2C1 y1 y2 + 2C1 y0 y3 + (1 + C1 )y3 ; y4 (0) = p5 : y5 = C1 y22 + 2C1 y1 y3 + 2C1 y0 y4 + 2y1 + (1 + C1 )y4 ; y5 (0) = Giải toán Cauchy ta nghiệm xấp xỉ toán ban đầu y(x, C1 ) = y0 (x) + y1 (x, C1 ) + y2 (x, C1 ) + y3 (x, C1 ) + y4 (x, C1 ) + y5 (x, C1 ) 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm C1 = −0.773662564 Vậy nghiệm xấp xỉ toán ban đầu y = x − 0.333135x3 + 0.131901x5 − 0.0496428x7 + 0.0149286x9 −0.00245669x11 Ví dụ 3.5 Sử dụng phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải toán sau: x2 y + xy − 4y = Lời giải Chọn L(y) = x2 y ; N (y) = xy − 4y; H(p) = pC1 + p2 C2 + Xây dựng phương trình đồng luân sau: H(y, p) = (1 − p)x2 y + (pC1 + p2 C2 + )(xy − 4y) = p ∈ [0, 1] tham số nhúng Giả sử y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + thay vào cân hệ số lũy thừa bậc p kết hợp đặt điều kiện biên ta p0 : x2 y0 = 0; y0 (1) = 0, y0 (1) = 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Giải toán ta y0 (x) = 2(−1 + x) Cân hệ số lũy thừa bậc p, đặt điều kiện biên ta có tốn x2 y1 = −(8C1 − 6C1 x); y1 (1) = 0, y1 (1) = Giải toán ta y1 (x) = (7C1 − 7C1 x + 4C1 ln(x) + 3C1 x ln(x)) Tương tự ta thu y2 (x) = 2C1 (2 − 7x) + 80C12 (−1 + x) − 7C2 (−1 + x) + C2 (4 + 3x) + C1 (8 + 6x) + 8C12 (11 + 9x) ln(x) + C12 (−16 + 9x)(ln(x))2 Do nghiệm xấp xỉ toán ban đầu y = y0 + y1 + y2 Phần dư thu R =8 − 56C2 + C12 (608 − 606x) − 6x + 54C2 x + 36C1 (−2 + 3x) + −2C1 (16 + 9x) − C2 (16 + 9x) + 2C12 (88 + 63x) ln(x) + C12 (64 − 27x)(ln(x))2 Lấy a = 1; b = 1.5 sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu ta thu C1 = 0.001746; 38 C2 = 0.95266 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Khi nghiệm y =11.3682 − 11.3856x + (7.64895 + 5.7367x) ln(x) − (0.0000487942 + 0.0000274467x)(ln(x))2 Nghiệm xác tốn y = (x2 − x−2 ) Hình 3.1: Đồ thị biểu diễn nghiệm tìm phương pháp OHAM (đường nét đứt) nghiệm xác (đường nét liền) Ví dụ 3.6 Sử dụng phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu giải toán sau y − 2y + y − = 0; Lời giải 39 y(0) = Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Chọn L(y) = y − 2y; N (y) = y ; g(x) = −1 Xây dựng phương trình đồng luân sau: H(y, p) = (1 − p)(y − 2y − 1) − H(p)(y − 2y + y − 1) = (3.17) p ∈ [0, 1] tham số đồng luân Chọn H(p) = pC1 + p2 C2 + p3 C3 Giả sử y(x, p) = y0 + y1 p + y2 p2 + y3 p3 thay vào (3.17) cân hệ số lũy thừa bậc p kết hợp đặt điều kiện ban đầu ta p0 : y0 = + 2y0 ; y0 (0) = p1 : y1 = −1 − C1 − 2y0 − 2C1 y0 + C1 y02 + 2y1 + (1 + C1 )y0 ; y1 (0) = p2 : y2 = −C2 − 2C2 y0 + C2 y02 − 2y1 − 2C1 y1 + 2C1 y0 y1 + 2y2 + C2 y0 + (1 + C1 )y1 ; y2 (0) = p3 : y3 = −C3 − 2C3 y0 + C3 y02 − 2C2 y1 + 2C2 y0 y1 + C1 y12 − 2y2 − 2C1 y2 + 2C1 y0 y2 + 2y3 + C3 y0 + C2 y1 + (1 + C1 )y2 ; y3 (0) = Giải toán Cauchy ta nghiệm xấp xỉ toán ban đầu y(x, C1 , C2 , C3 ) = y0 (x) + y1 (x, C1 ) + y2 (x, C1 , C2 ) + y3 (x, C1 , C2 , C3 ) 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Hải Yến Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm C1 = −0.586894206; C2 = 0.013204624; C3 = −0.000341942 Vậy nghiệm xấp xỉ toán ban đầu y =x + x2 + 0.360356x3 − 0.279289x4 − 0.458747x5 − 0.254717x6 + 0.0198107x7 + 0.158434x9 + 0.0856419x10 + 0.0146111x11 − 0.0254594x12 − 0.036575x13 − 0.0316362x14 − 0.0218031x15 41 KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày số phương pháp giải gần phương trình vi phân Đó Phương pháp giải tích đồng ln, Phương pháp nhiễu đồng luân Phương pháp tiệm cận đồng luân tối ưu Em trình bày nội dung phương pháp, số ví dụ minh họa cho phương pháp Vấn đề nghiên cứu nhiều điều lý thú bổ ích Tuy nhiên lần tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên khóa luận tốt nghiệp em nhiều điều cần bổ sung Em mong nhận góp ý thầy cơ, bạn đọc Để hồn thành khóa luận em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy, giáo khoa Tốn, thầy giáo tổ mơn Giải Tích Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận cách tốt Em xin chân thành cảm ơn 42 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2010),Cơ sở phương trình vi phân lí thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2006), Giáo trình giải tích tập 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [3] S.J Liao (2003), Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method Boca Raton, FL: Chapman Hall/CRC Press [4] F Mabood, A.I.M Ismail and I Hashim (2013), Application of optimal homotopy asymptotic method for the approximate solution of Riccati equation Sains Malaysiana, 42(6), 863-867 [5] T.S.L Radhika, T.K.V.Iyengar and T.Raja Rani (2015), Approximate analytical methods for solving ordinary differential equations CRC Press Taylor and Francis Group 43 ... cứu Trình bày giải thích phương pháp đồng luân để giải gần phương trình vi phân thường Các phương pháp phương pháp giải tích đồng luân, phương pháp nhiễu đồng luân phương pháp tiệm cận đồng luân. .. để giải gần phương trình vi phân, số phương pháp phát triển để đáp ứng nhu cầu nhằm đạt giải pháp tốt tốt Phương pháp giải tích đồng luân, Phương pháp nhiễu đồng luân, Phương pháp tiệm cận đồng. .. đồng luân tối ưu phương pháp ứng dụng nhiều vi c giải phương trình vi phân phi tuyến Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: Một số phương pháp đồng luân giải gần phương trình vi phân thường