Khóa luận tốt nghiệp toán học : Phép tính toán tử và ứng dụng để giải một số phương trình vi phân

LÍI C.M èN Trữợc khi trẳnh b y nởi dung chẵnh cừa khõa luên, em xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh án cổ PhÔm Thà ThĂi giÊng viản bở mổn GiÊi tẵch khoa ToĂnLẵTin, ngữới  tên tẳnh hữợng dăn, ch¿ bÊo v  giúp ù º em ho n th nh khõa luên n y. Em cụng xin gỷi lới cÊm ỡn chƠn th nh tợi ban chừ nhiằm khoa, cĂc thƯy, cổ giĂo trong khoa ToĂnLẵTin, cổ giĂo chừ nhiằm, têp thº cĂc bÔn sinh viản lợp K51 HSP ToĂnLẵ, gia ẳnh v  bÔn b±  tÔo mồi iãu kiằn thuên lủi giúp em ho n th nh khõa luên. º khõa luên ữủc ho n th nh, ngo i sỹ nộ lỹc cừa bÊn thƠn, em cỏn nhên ữủc sỹ giúp ù chu Ăo, nhiằt tẳnh cừa Ban GiĂm hiằu, phỏng quÊn lẵ khoa hồc v  quan hằ quốc tá, phỏng  o tÔo Ôi hồc, phỏng khÊo thẵ v  Êm bÊo chĐt lữủng, ban chừ nhiằm khoa ToĂnLẵTin v  cĂc phỏng, ban chực nông cừa trữớng Ôi hồc TƠy Bưc. Tứ lỏng biát ỡn sƠu sưc cừa bÊn thƠn, em xin gỷi án cĂc thƯy, cổ giĂo, gia ẳnh, bÔn b±  giúp em ho n th nh khõa luên lới cÊm ỡn chƠn th nh v  sƠu sưc nhĐt. Em xin chƠn th nh cÊm ỡn

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Phạm Thị Thái giảng viên bộ môn Giải tích khoa Toán-Lí-Tin, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận này. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban chủ nhiệm khoa, các thầy, cô giáo trong khoa Toán-Lí-Tin, cô giáo chủ nhiệm, tập thể các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán-Lí, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành khóa luận. Để khóa luận được hoàn thành, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được sự giúp đỡ chu đáo, nhiệt tình của Ban Giám hiệu, phòng quản lí khoa học và quan hệ quốc tế, phòng đào tạo đại học, phòng khảo thí và đảm bảo chất lượng, ban chủ nhiệm khoa Toán-Lí-Tin và các phòng, ban chức năng của trường Đại học Tây Bắc. Từ lòng biết ơn sâu sắc của bản thân, em xin gửi đến các thầy, cô giáo, gia đình, bạn bè đã giúp em hoàn thành khóa luận lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, ngày 15 tháng 05 năm 2014 Người thực hiện khóa luận Hoàng Thị Mơ 1 Mục lục Mở đầu 5 1 Một số kiến thức về phương trình vi phân 8 1.1 Phương trình vi phân cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp n . . . . . . 8 1.1.2 Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân cấp n 9 1.1.3 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n . 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n 11 1.2.2 Hệ nghiệm cơ bản. Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n . . . . . . . . . 12 1.2.3 Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng . . 14 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 Định nghĩa hệ phương trình vi phân . . . . . . . 19 1.4.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . 20 1.4.3 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân . . 21 1.4.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng 22 2 Phép tính toán tử 27 2.1 Hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Định lí cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Định nghĩa phép tính toán tử . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Các tính chất của ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.1 Ảnh của đạo hàm và tích phân . . . . . . . . . . 29 2.4.2 Ảnh của hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.3 Ảnh của hàm f(x) = e ax trong đó a là số phức tùy ý thỏa mãn điều kiện Re(a) < Re(p) . . . . . . . 32 2.5 Tính chất tuyến tính của phép tính toán tử . . . . . . . 33 2.5.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6 Định lí đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.7 Ảnh của gốc tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 2.7.1 Định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.8 Định lí khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.9 Bảng kê một số gốc và ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Ứng dụng phép tính toán tử để giải một số phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân dạng đặc biệt 41 3.1 Ứng dụng phép tính toán tử để giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số . . . . . . 41 3.1.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Phép tính toán tử để giải hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết luận 58 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn khóa luận Toán học là một môn khoa học có lịch sử phát triển lâu đời và có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều môn khoa học khác như vật lí học, hóa học, sinh học Trong toán học, phương trình vi phân là một chuyên ngành phát triển, có tầm quan trọng và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các ngành khoa học kỹ thuật, vật lí học, kinh tế, quân sự Việc tìm cách giải các phương trình vi phân, với một số lớp phương trình đã được nghiên cứu về phương pháp giải như các "thuật toán", tuy nhiên lớp các phương trình này có số lượng rất ít và đòi hỏi phải có điều kiện khá tốt. Đối với những phương trình không xây dựng được thuật giải để tìm nghiệm đúng, người ta cũng đã xây dựng các phương pháp tìm nghiệm gần đúng theo yêu cầu nào đó. Một số phương pháp giải cho đến nay đã được nghiên cứu: Xây dựng thuật toán đối với một số phương trình đặc biệt; phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ; sử dụng lí thuyết chuỗi lũy thừa để giải phương trình vi phân; sử dụng các hàm đặc biệt và phép biến đổi tích phân. Một trong các phép biến đổi tích phân quan trọng là phép tính toán tử có ứng dụng trong việc giải một số phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân dạng đặc biệt. Ngoài ra nó còn có ứng dụng rất lớn trong việc tính toán mạch điện. Do đó em đã chọn tên khóa luận là: "Phép tính toán tử và ứng dụng để giải một số phương trình vi phân". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khoá luận là trình bày lý thuyết về phương pháp toán tử để tìm nghiệm của phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số hằng số thỏa mãn điều kiện cho trước, hay đó chính 5 là tìm nghiệm của bài toán Cauchy. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tóm tắt lại một số kiến thức về phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân có liên quan đến phần chính của khóa luận. Chứng minh chi tiết các tính chất quan trọng của phép tính toán tử. Sử dụng phép tính toán tử vào việc giải một số phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân với hệ số hằng. 4. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm, tính chất và một số định lí quan trọng của phép tính toán tử. Nghiên cứu ứng dụng của phép tính toán tử để giải một số phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân. 5. Phương pháp nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu đối tượng của khóa luận, trong quá trình thực hiện khóa luận đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu như sau: + Nghiên cứu tài liệu trên cơ sở lí thuyết đã học. + Hệ thống kiến thức một cách hoàn chỉnh theo mục đích đã đề ra. +Tìm tòi các tài liệu có liên quan đến khóa luận. + Trao đổi với giáo viên hướng dẫn. 6. Đóng góp của khóa luận Khóa luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu nghiên cứu cho sinh viên ĐH sư phạm chuyên ngành toán và chuyên ngành vật lí. 7. Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm ba chương, phần kết luận. Phần nội dung gồm ba chương sau: 6 • Chương 1: Một số kiến thức về phương trình vi phân Trong chương này trình bày tóm tắt một số kiến thức về phương trình vi phân cấp n và hệ n phương trình vi phân tuyến tính cấp một và đặc biệt xét kĩ với phương trình vi phân tương ứng với nó là hệ số hằng. • Chương 2: Phép tính toán tử Chương này trình bày về khái niệm, một số tính chất và định lí quan trọng của phép tính toán tử và được sử dụng vào chương 3. • Chương 3: Ứng dụng của phép tính toán tử để giải một số phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân dạng đặc biệt Đây là nội dung chính của khóa luận. Trong chương này trình bày phương pháp chung để giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng thỏa mãn điều kiện cho trước ở dạng đặc biệt và các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết. Ngoài ra còn đưa ra hệ thống bài tập đề nghị. 7 Chương 1 Một số kiến thức về phương trình vi phân 1.1 Phương trình vi phân cấp n 1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp n Phương trình vi phân cấp n có dang tổng quát là F (x, y, y  , , y (n) ) = 0, (1.1.1) trong đó hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian R n+2 . Phương trình (1.1.1) có thể vắng mặt: biến số độc lập x, hàm cần tìm y và các đạo hàm của hàm cần tìm là y  , , y (n−1) , nhưng y (n) nhất thiết phải có mặt. Nếu từ (1.1.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất y (n) = f(x, y, y  , , y (n−1) ) (1.1.2) thì ta được phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm cấp cao nhất. Chú ý 1.1.1. Nếu n = 1 thì phương trình dạng (1.1.1) và (1.1.2) là phương trình vi phân cấp một. 8 1.1.2 Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân cấp n Nghiệm của phương trình (1.1.1) là hàm y = ϕ(x) khả vi n lần trên khoảng (a; b) ⊂ R sao cho: i) (x, ϕ(x), ϕ  (x), , ϕ (n) (x)) ∈ G, ∀x ∈ (a; b) ii) F (x, ϕ(x), ϕ  (x), , ϕ (n) (x)) ≡ 0 trên khoảng (a; b). Bài toán Cauchy. Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1.1) hoặc (1.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(x 0 ) = y 0 , y  (x 0 ) = y  0 , , y (n−1) (x 0 ) = y (n−1) 0 (1.1.3) trong đó x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 là các giá trị cho trước. Khi đó phương trình (1.1.1) hoặc (1.1.2) kết hợp với điều kiện ban đầu (1.1.3) được gọi là bài toán Cauchy. 1.1.3 Định lí tồn tại duy nhất nghiệm • Điều kiện Lipsit. Hàm f(x, u 1 , u 2 , , u n ) xác định trong miền G ⊂ R n+1 được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u 1 , u 2 , , u n nếu tồn tại hằng số L > 0 (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kì (x, u 1 , u 2 , , u n ) ∈ G, (x, u 1 , u 2 , , u n ) ∈ G ta có bất đẳng thức |f(x, u 1 , u 2 , , u n ) − f(x, u 1 , u 2 , , u n )|  L n  i=1 |u i − u i | • Nhận xét 1.1.1. Hàm f ∗ (x, u 1 , u 2 , , u n ) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u 1 , u 2 , , u n trên G nếu tồn tại M > 0 sao cho     ∂f ∂w (x, u 1 , , u n )      M, ∀(x, u 1 , , u n ) ∈ G • Định lí 1.1.1.(tồn tại duy nhất nghiệm). Giả sử trong miền G ⊂ R n+1 hàm f (x, u 1 , u 2 , , u n ) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo u 1 , u 2 , , u n . Khi đó với bất kì điểm trong (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) ∈ G tồn 9 tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1.2) thỏa mãn điều kiện ban đầu y(x 0 ) = y 0 , y  (x 0 ) = y  0 , , y (n−1) (x 0 ) = y (n−1) 0 . Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm x 0 . 1.1.4 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n Nghiệm tổng quát Ta giả thiết rằng G là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình (1.1.2), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với mỗi điểm (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) ∈ G. Hàm y = ϕ(x, C 1 , C 2 , , C n ) xác định trong miền biến thiên của các biến x, C 1 , C 2 , , C n có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.2) trong miền G nếu từ hệ phương trình                  y 0 = ϕ(x 0 , C 1 , C 2 , , C n ) y  0 = ϕ  x (x 0 , C 1 , C 2 , , C n ) y n−1 0 = ϕ (n−1) x (x 0 , C 1 , C 2 , , C n ) (1.1.4) ta có thể xác định được                  C 0 1 = ψ 1 (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) C 0 2 = ψ 2 (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) C 0 n = ψ n (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) (1.1.5) là các hằng số xác định và hàm y = ϕ(x, C 0 1 , C 0 2 , , C 0 n ) là nghiệm của phương trình (1.1.2) ứng với mỗi hệ số C 0 1 , C 0 2 , , C 0 n xác định được từ (1.1.5) khi (x 0 , y 0 , y  0 , , y (n−1) 0 ) biến thiên trong G. 10 [...]... nhất Xét phương trình (1.2.8) Đưa toán tử vi phân L[y] vào phương trình (1.2.8) ta có phương trình L[y] = f (x) Nếu y1 (x), y2 (x), , yn (x) là hệ nghiệm cơ bản của phương trình L[y] = 0 và y ∗ (x) là một nghiệm riêng của phương trình (1.2.8) thì n Ci yi (x) + y ∗ (x) y(x) = i=1 là nghiệm tổng quát của phương trình (1.2.8) 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng Xét phương trình y (n)... an là hằng số thực, f là hàm liên tục trên (a; b) ⊂ R Đưa toán tử vi phân tuyến tính vào phương trình trên ta được L[y] = f (x) (1.3.10) L[y] = 0 (1.3.11) Đặc biệt nếu f (x) ≡ 0 thì là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng với phương trình (1.3.10) 14 1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n thuần nhất với hệ số hằng Xét phương trình (1.3.11) Bổ đề 1.3.1 Nếu phương trình (1.3.11)... của phương trình (1.2.9) trong miền G = (a; b) × Rn • Một số tính chất của nghiệm phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp n Để đơn giản cách vi t về sau, ta kí hiệu L[y] = y (n) + p1 (x)y (n−1) + + pn (x)y L[y] được gọi là toán tử vi phân tuyến tính Với kí hiệu trên phương trình (1.2.9) được vi t dưới dạng L[y] = 0 Toán tử L[y] có các tính chất sau: 1) Đối với y1 (x), y2 (x) là các hàm khả vi. .. ] 2) Đối với hàm y(x) khả vi liên tục n lần và hằng số C bất kì ta có L[Cy] = CL[y], nói cách khác, hằng số C có thể đưa ra ngoài toán tử vi phân Dựa vào tính chất của toán tử L ta suy ra các tính chất sau đây của tập nghiệm phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n: + Nếu y(x) là nghiệm của phương trình (1.2.9) thì Cy(x) (với C là hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình (1.2.9) + Nếu y1 (x),... trong đó pi (x) = Phương trình (1.2.8) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n Nếu trong phương trình (1.2.8) hàm f (x) ≡ 0 trên khoảng (a; b) thì ta có phương trình y (n) + p1 (x)y (n−1) + + pn (x)y = 0 (1.2.9) là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng với phương trình (1.2.8) 1.2.2 Hệ nghiệm cơ bản Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất cấp... bản của phương trình (1.3.11) 1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp n với hệ số hằng Xét phương trình (1.3.10) L[y] = f (x) trong đó L[y] = y (n) + a1 y (n−1) + + an y a) Cách giải + Giải phương trình L[y] = 0 để tìm hệ nghiệm cơ bản Giả sử hệ nghiệm cơ bản đó l : y1 (x), , yn (x) + Tìm một nghiệm riêng y ∗ (x) của phương trình (1.3.10) + Nghiệm tổng quát của (1.3.10) l : n Ci... β2 Nhận xét 2.4.1 Nhìn vào các công thức đạo hàm gốc và tích phân gốc, ta thấy các phép tính đạo hàm và tích phân đối với hàm gốc được chuyển thành các phép tính đại số với ảnh tương ứng Nhờ đó mà phép tính toán tử có nhiều ứng dụng trong vi c giải phương trình vi phân 2.4.2 Ảnh của hàm lũy thừa Nếu f (x) = x thì từ (2.3.3) bằng cách tích phân từng phần ta có ∞ · ∞ e−px xdx = − x ←− −− · 0 1 p ∞ 1 xde−px... n − 1 1.2 1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là a0 (x)y (n) + a1 (x)y (n−1) + + an (x)y = g(x), 11 (1.2.7) trong đó các hàm số ai (x) (i = 0, n), hàm g(x) liên tục trên khoảng (a; b) ⊂ R và a0 (x) = 0 trên (a; b) Khi đó chia hai vế của (1.2.7) cho a0 (x) ta được phương trình y (n) + p1... nghiệm riêng của phương trình (1.1.2) Nghiệm riêng nhận được từ nghiệm tổng quát với các giá trị xác định của các hằng số C1 , C2 , , Cn Nghiệm kì dị Nghiệm của phương trình (1.1.2) mà tại mỗi điểm của nó tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị Nghiệm kì dị của phương trình vi phân cấp n có thể là cả một họ phụ thuộc một số hằng số tùy ý, nhưng số hằng số tùy ý này... (1.3.13) là phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (1.3.11) Xét các trường hợp xảy ra của (1.3.13 ): • Trường hợp 1 Phương trình (1.3.13) có n nghiệm thực phân biệt Giả sử n nghiệm thực của phương trình (1.3.13) đó l : λ1 , λ2 , , λn , khi đó eλ1 x , eλ2 x , , eλn x là nghiệm của phương trình (1.3.11) và các nghiệm 15 này độc lập tuyến tính nên nó là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.3.11)