Phương pháp phiếm hàm lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LƯU THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP PHIẾM HÀM LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Hà Nội - Năm 2014 Mục lục Mở đầu Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Banach 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 1.1.2 1.2 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Các khái niệm ổn định Phương pháp phiếm hàm Lyapunov phương trình vi phân không gian Banach 10 1.3 Phương pháp xấp xỉ thứ 15 1.3.1 Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 15 1.3.2 Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu 19 1.4 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov Rn 20 1.4.1 Các hàm xác định dấu 20 1.4.2 Đạo hàm phiếm hàm Lyapunov dọc theo nghiệm hệ phương trình vi phân 22 1.4.3 Định lý thứ Lyapunov ổn định 22 1.4.4 Định lý thứ hai Lyapunov ổn định tiệm cận 23 1.4.5 Định lý thứ ba Lyapunov không ổn định 24 1.5 Sự ổn định mũ 25 1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số 28 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 2.3 2.4 Khái niệm phương trình vi phân hàm 35 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu 35 2.1.2 Định lý tồn nghiệm 36 Phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân hàm 37 2.2.1 Phương pháp bước 37 2.2.2 Phương pháp toán tử Laplace 38 Lý thuyết ổn định theo Lyapunov 41 2.3.1 Các khái niệm ổn định 41 2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov 42 Định lý Razumikhin 50 Một số mô hình ứng dụng 3.1 3.2 35 55 Mô hình ứng dụng quần thể sinh học 55 3.1.1 Mô hình thú - mồi Lotka - Volterra dạng đơn giản 56 3.1.2 Mô hình cạnh tranh Lotka - Volterra 61 3.1.3 Mô hình cộng sinh Lotka-Volterra 66 3.1.4 Mô hình Lotka-Volterra cho ba loài 69 3.1.5 Một số nhận xét chung mô hình quần thể đa loài 71 Mô hình Lotka-Volterra có chậm 73 3.2.1 Tính ổn định tiệm cận địa phương 74 3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục 79 3.3 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn 83 3.4 Sự ổn định phi chuyển động 84 Mở đầu Lý thuyết ổn định phương trình vi phân hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân Lý thuyết xuất phát từ đòi hỏi thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực thực tế khác nhau, như: Vật lý, Sinh thái học, Cơ học, Trong năm gần có nhiều công trình nhà khoa học nước sâu nghiên cứu lĩnh vực Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân, thường sử dụng phương pháp nhà toán học người Nga A.E.Lyapunov Ngày nay, yêu cầu ứng dụng thực tế phát triển vượt bậc toán học, việc nghiên cứu toán ổn định mở rộng theo nhiều hướng, số nghiên cứu phương trình vi phân có chậm Trong luận văn đề cập đến số vấn đề sau đây: - Trình bày lại kết tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Banach, không gian Rn phương pháp hàm Lyapunov phương trình vi phân hàm - Phần cuối luận văn dành cho việc trình bày chi tiết số ứng dụng phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ cho mô hình ứng dụng Bố cục luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân không gian Banach không gian Rn Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm Chương 3: Trình bày số ứng dụng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Bản luận văn thực hướng dẫn tận tình PGS TS Đặng Đình Châu Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy người dành nhiều thời gian công sức để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn phòng Sau đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cuối muốn bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Lưu Thị Thu Huyền Chương Sự ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Banach 1.1 1.1.1 Một số khái niệm Sự tồn nghiệm phương trình vi phân tuyến tính Giả sử B không gian Banach Trong không gian B ta xét phương trình vi phân dx(t) = f (t, x(t)), dt (1.1) t ∈ R+ , x(.) ∈ B hàm f : R+ × D → D với D miền đơn liên không gian Banach B Ta hiểu nghiệm (1.1) nghiệm cổ điển theo nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ ) xác định I , khả vi liên tục theo t ∈ I gọi nghiệm (1.1) thay vào (1.1) ta thu đồng thức I Tức dx(t) = f (t, x(t)); ∀t ∈ I dt Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 với (t0 , x0 ) ∈ I × B cho trước Tương ứng với phương trình (1.1) ta thường xét phương trình tích phân sau: t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ (1.2) t0 Nhận xét: Nếu hàm f liên tục theo chuẩn B ta nghiệm (1.2) nghiệm toán Cauchy ngược lại Ký hiệu S(ε,µ) = (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ µ , với ε > 0, µ > lân cận đóng điểm (t0 , x0 ) Khi ta có định lý tồn nghiệm toán Cauchy sau: Định lý 1.1.1 (Tính nghiệm địa phương) Giả sử tồn lân cận đóng (t0 , x0 ) cho lân cận hàm f (t, x) liên tục theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 || (1.3) M số hữu hạn Khi tồn lân cận điểm x0 mà lân cận (1.1) có nghiệm x = x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 Chứng minh Từ giả thiết suy tồn ε, η > cho miền |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ η , ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞ Lấy δ = ε, Mη1 ký hiệu Cδ (B) không gian Banach hàm liên tục x(t) xác định |t − t0 | ≤ δ với chuẩn |||x||| = sup ||x(t)|| |t−t0 |≤δ Gọi Bη (x0 ) = {x ∈ Cδ (B) : |||x − x0 ||| ≤ η} Xét toán tử t (Sx)(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Ta có: t ||(Sx)(t) − x0 || = || f (τ, x(τ ))dτ || ≤ ||t − t0 || sup ||f (τ, x(τ ))|| τ ∈[t0 ,t] t0 ≤ δM1 ≤ η (∀x(t) ∈ Bη ) Ta thấy toán tử S ánh xạ từ Bη vào Bη Hơn nữa, với x1 , x2 ∈ Bη , từ điều kiện Lipschitz ta có đánh giá t ||f (τ, x2 (τ )) − f (τ, x1 (τ ))||dτ ||(Sx2 )(t) − (Sx1 )(t)|| ≤ t0 t ||x2 (τ ) − x1 (τ )||dτ ≤ M (t − t0 )|||x2 − x1 ||| ≤M t0 Mặt khác ta lại có: t ||(S x2 )(t) − (S x1 )(t)|| ≤ M ||(Sx2 )(τ ) − (Sx1 )(τ )||dτ t0 t ≤ M |||x2 − x1 ||| (τ − t0 )dτ t0 = [M (t − t0 )]2 |||x2 − x1 ||| 2! Sử dụng phép đánh giá liên tiếp ta được: [M (t − t0 )]n |||x2 − x1 ||| n! [δM ]n ||S n x2 − S n x1 || ≤ |||x2 − x1 ||| n! ||(S n x2 )(t) − (S n x1 )(t)|| ≤ Do [δM ]n n! → n → +∞ nên với n đủ lớn S n toán tử co Bη Do tồn nghiệm x(t) ∈ Bη phương trình tích phân: t x(t) = x0 + f (τ, x(τ ))dτ t0 Định lý 1.1.2 (Tính nghiệm toàn cục) Giả sử tồn miền [a, b] × B mà hàm f (t, x) liên tục theo biến t thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.3) Khi với (t0 , x0 ) ∈ [a, b]× B, toán Cauchy có nghiệm x = x(t) xác định [a, b] Chứng minh tương tự định lý (1.1.1) với ý: (i) Từ giả thiết định lý ta suy hàm f (t, x) giới nội [a, b] × D với D tập compact không gian Banach B (ii) Bη định lý trước thay C(B) gồm tất hàm x(t) xác định liên tục [a, b], lấy giá trị không gian Banach B có chuẩn xác định |||x||| = sup ||x(t)|| [a,b] Định lý 1.1.3 (Sự kéo dài nghiệm toán Cauchy) Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t0 , hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện ||f (t, x(t))|| ≤ L(||x||), L(r) hàm liên tục có tính chất r r0 dr → ∞ r → +∞ L(r) Khi nghiệm phương trình (1.2) kéo dài khoảng thời gian vô hạn t0 ≤ t < +∞ Chứng minh Vì || x(t2 ) − x(t1 ) ||x(t2 )|| − ||x(t1 )|| dx d||x|| || ≥ ⇒ || || ≥ t2 − t1 t2 − t1 dt dt Mặt khác ta có dx(t) dt = f (t, x(t)) ||f (t, x)|| ≤ L(||x||) ta suy L(||x||) ≥ d||x|| dt Lấy tích phân dọc theo đường cong x = x(t) từ điểm x0 = x(t0 ) đến điểm x theo chiều tăng t ta được: t t dr ≥ t0 t0 d||x|| dr ⇒ t − t0 ≥ dt L(||x||) Đổi biến r = x(t) Do r r0 dr → ∞ r → +∞ L(r) ||x|| ||x0 || dr Lr với N T , P T ma trận chuyển vị N, P B C ma trận vuông cấp k x k : B = (bij ), C = (cij ) Với N ∗ , P ∗ từ (3.21) ta đặt: N = N ∗ + u, P = P ∗ + v |u|, |v| xấp xỉ với |N ∗ |, |P ∗ | Ta có dv du ≈ −N ∗T Bv, ≈ P ∗T Cu dt dt Từ du  dt  ≈ A dv dt   u v , A= −N ∗T B P ∗T C 0 (3.22) A ma trận tổng quát cấp 2k × 2k với giá trị nằm đường chéo Khi đó, giá trị riêng λi , i = 1, 2, , 2k nghiệm |A − λ.E| = 2k cho λi = T rA = T rA vết ma trận A i=1 Nếu tất Reλi = trạng thái dừng (N ∗ , P ∗ ) ổn định trường hợp hai loài Nếu Reλi có λi = chúng có phức liên hợp , có nghĩa tồn Reλi > (N ∗ , P ∗ ) không ổn định Đây mô hình tổng quát, mở rộng cho k loài thú k loài mồi Mô hình dạng gọi mô hình Kolmogorov Tuy không mang tính thực tế cao chúng cho ta thấy kết chung quan trọng phức tạp thường có kết không ổn định ổn định 3.2 Mô hình Lotka-Volterra có chậm Trong phần xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm Xét mô hình cạnh tranh Lotka-Volterra có chậm cho hệ sau: x(t) ˙ = x(t) [b1 − a11 x(t − τ11 ) − a12 y(t − τ12 )] y(t) ˙ = y(t) [b2 − a21 x(t − τ21 ) − a22 y(t − τ22 )] 73 (3.23) với điều kiện ban đầu     x(t) = Φ1 (t) ≥ t ∈ [τ, 0], Φ1 (0) > 0, y(t) = Φ (t) ≥ t ∈ [τ, 0], Φ2 (0) > 0,    τ = max {τ } ij (3.24) x(t), y(t) mật độ hai loài thời điểm t, bi aij số dương, τij không âm Nếu tất thời gian chậm τij không hệ (3.23) trở trường hợp đơn giản x(t) ˙ = x(t) [b1 − a11 x(t) − a12 y(t)] y(t) ˙ = y(t) [b2 − a21 x(t) − a22 y(t)] (3.25) Nếu a11 b1 a12 > > , a21 b2 a22 (3.26) tất nghiệm Z(t) = (x(t), y(t)) (3.25) có điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗ ) t → +∞, x∗ = 3.2.1 b1 a22 − b2 a12 , a11 a22 − a21 a12 y∗ = b2 a11 − b1 a21 a11 a22 − a21 a12 (3.27) Tính ổn định tiệm cận địa phương Ta thấy từ điều kiện (3.26), hệ (3.23) có điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗ ), với x∗ , y ∗ xác định (3.27) Đặt u(t) = x(t) − x∗ , v(t) = y(t) − y ∗ Khi (u(t), v(t)) thỏa mãn hệ phương trình u(t) ˙ = (u(t) + x∗ ) [−a11 u(t − τ11 ) − a12 v(t − τ12 )] v(t) ˙ = (v(t) + y ∗ ) [−a21 u(t − τ21 ) − a22 v(t − τ22 )] (3.28) Ta thấy (3.29) biến thiên (3.23) với điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗ ) hệ phương trình tuyến tính u(t) ˙ = −a11 x∗ u(t − τ11 ) − a12 x∗ v(t − τ12 ) v(t) ˙ = −a21 y ∗ u(t − τ21 ) − a22 y ∗ v(t − τ22 ) 74 (3.29) Đặt p11 = a11 (2a11 τ11 + a12 τ12 + a12 τ11 ), p12 = a12 (2a12 τ12 + a11 τ11 + a11 τ12 ) p21 = a21 (2a21 τ21 + a22 τ22 + a22 τ21 ), p22 = a22 (2a22 τ22 + a21 τ21 + a21 τ22 ) 1 q1 = a11 a21 (τ11 + τ21 ) + a11 a22 (τ11 + τ22 ) + a12 a21 (τ12 + τ21 ) 2 1 q2 = a12 a22 (τ12 + τ22 ) + a11 a22 (τ11 + τ22 ) + a12 a21 (τ12 + τ21 ) 2 a222 + a221 a211 + a212 2(a12 y ∗ α + a21 x∗ β) α= , β= , γ= , a11 a22 + a12 a21 a11 a22 + a12 a21 a11 x∗ + a22 y ∗ 2(y ∗ + x∗ β)∆ 2(x∗ + y ∗ α)∆ , r = ∆ = a11 a22 − a21 a12 , r1 = ∗ x (a11 x∗ + a22 y ∗ ) y ∗ (a11 x∗ + a22 y ∗ ) Định lý 3.2.1 Với giả thiết (3.26) Nếu biến chậm τij thỏa mãn αp11 + βp21 + γq1 < r1 (3.30) αp12 + βp22 + γq2 < r2 điểm cân Z ∗ = (x∗ , y ∗ ) hệ (3.23) ổn định tiệm cận địa phương Chứng minh Hệ phương trình (3.29) viết dạng sau  t t  u(t)  = −a11 u(t) − a12 v(t) x∗ − a11 t−τ11 u(s)ds − a12 t−τ12 v(s)ds   v(t) y∗ t − a21 t−τ21 t u(s)ds − a22 t−τ22 v(s)ds (3.31) = −a21 u(t) − a22 v(t) Đặt u(t) A(t) = ∗ − a11 x B(t) = v(t) − a21 y∗ t t u(s)ds − a12 t−τ11 t v(s)ds t−τ12 t u(s)ds − a22 t−τ21 v(s)ds t−τ22 Chúng ta chứng minh định lý việc sử dụng phiếm hàm Lyapunov: W (t) = αW1 (Z)(t) + βW2 (Z)(t) + γW3 (Z)(t) W1 (t) = W11 (Z)(t) + W12 (Z)(t) W2 (t) = W21 (Z)(t) + W22 (Z)(t) W3 (t) = W31 (Z)(t) + W32 (Z)(t) 75 (3.32) với Wij (Z)(t) xác định phần đây: Đầu tiên ta xét hàm vô hướng W11 (Z)(t), Z(t) = (u(t), v(t)) W11 (Z)(t) = A2 (t) (3.33) Đạo hàm dọc theo nghiệm (3.31): dW11 (Z)(t)/dt cho 2a11 dW11 (Z)(t) 2a12 = −2(a11 u + a12 v)A(t) = − ∗ u2 − ∗ uv + 2(a11 u + a12 v) dt x x t t × v(s)ds u(s)ds + a12 a11 t−τ12 t−τ11 Sử dụng bất đẳng thức ab ≤ 12 (a2 + b2 ), ta có t 2a211 u(t) t t u(t)u(s)ds ≤ a211 u2 (t)τ11 + u(s)ds = 2a211 t−τ11 u2 (t)ds t−τ11 t−τ11 Làm tương tự vậy, ta thu dW11 (Z)(t) 2a11 2a12 ≤ − ∗ u2 − ∗ uv + a11 τ11 (a11 u2 + a12 v ) + a12 τ12 (a11 u2 + a12 v ) dt x x t t u2 (s)ds + a12 (a11 + a12 ) +a11 (a11 + a12 ) t−τ11 v (s)ds (3.34) t−τ12 Tiếp theo ta đặt t t t t W12 (Z)(t) = (a11 + a12 ) a11 v (l)dlds u (l)dlds + a12 t−τ11 s t−τ12 s dW12 (Z)(t) = a11 (a11 + a22 ) τ11 u2 (t) − dt t u2 (s)ds t−τ11 t +a12 (a11 + a22 ) τ12 v (t) − v (s)ds (3.35) t−τ12 Như định nghĩa W1 (t) = W11 (Z)(t) + W12 (Z)(t) Do đó, từ (3.34) (3.35) ta có 2a11 2a12 dW1 (t) − p uv + p12 v ≤− u − 11 dt x∗ x∗ (3.36) W21 (Z)(t) = B (t), (3.37) Tiếp theo, đặt 76 Làm tương tự ta có: dW21 (Z)(t) 2a22 2a21 ≤ − ∗ v − ∗ uv + a21 τ21 (a21 u2 + a22 v ) + a22 τ22 (a21 u2 + a22 v ) dt y y t t +a21 (a21 + a22 ) v (s)ds u (s)ds + a22 (a21 + a22 ) t−τ21 (3.38) t−τ22 t t t t v (l)dlds + a21 W22 (Z)(t) = (a22 + a21 ) a22 t−τ22 u2 (l)dlds s t−τ21 (3.39) s Và dW2 (t) ≤− dt 2a22 − p22 y∗ v2 − 2a21 uv + p21 u2 ∗ y (3.40) Và cuối ta lấy W31 (Z)(t) = −A(t)B(t), (3.41) Khi a21 a12 dW31 (Z)(t) = ∗ u2 + ∗ v + dt x y a22 a11 + ∗ x∗ y uv t t − (a11 u + a12 v) a21 u(s)ds + a22 t−τ21 t − (a21 u + a22 v) a11 v(s)ds t−τ22 t v(s)ds u(s)ds + a12 t−τ12 t−τ11 a21 a12 a22 a11 u + ∗v + + ∗ uv ∗ x y x∗ y + (a11 u2 + a12 v )(a21 τ21 + a22 τ22 ) ≤ t + (a11 + a12 ) a21 u2 (s)ds + a22 t−τ21 + (a21 u2 + a22 v )(a11 τ11 + a12 τ12 ) t (a21 + a22 ) a11 + u2 (s)ds + a12 t−τ11 t v (s)ds t−τ22 t v (s)ds t−τ12 với W32 (Z)(t) = (a11 + a12 ) a21 + (a21 + a22 ) a11 t t t t v (l)dlds u (l)dlds + a22 t−τ21 t s t−τ22 t t s t v (l)dlds u (l)dlds + a12 t−τ11 s 77 t−τ12 s Từ W3 (t) = W31 (Z)(t) + W32 (Z)(t), tương tự phần trước ta suy dW3 (t) ≤ dt a21 + q1 u + x∗ a12 + q2 y∗ v2 + a22 a11 + ∗ x∗ y uv (3.42) Từ biểu thức W1 (t), W2 (t), W3 (t) W (t), ta có: W (t) = αA2 (t)+βB (t)−γA(t)B(t)+αW12 (Z)(t)+βW22 (Z)(t)+γW32 (Z)(t) (3.43) Dễ thấy γ − 4αβ = 4∆ (a12 a21 + a11 a22 )[(a222 + a221 )y ∗ + (a211 + a212 )x∗ ] + 2(a222 + a221 )(a211 + a212 )x∗ y ∗ − (a11 x∗ + a22 y ∗ )2 (a11 a22 + a12 a21 )2 Kết hợp (3.43), ta có W (t) > Từ (3.32), kết hợp với (3.36), (3.40) (3.42) ta có: dW (t) ≤ −η1 u2 − η2 v , dt (3.44) η1 = r1 − αp11 − βp21 − γq1 η2 = r2 − αp12 − βp22 − γq2 Từ bất đẳng thức (3.30) ta thấy η1 > 0, η2 > Đặt η = {η1 , η2 }, từ (3.30) ta suy t [u2 (s) + v (s)]ds ≤ W (T ) với t ≥ T W (t) + η (3.45) T u2 (t) + v (t) ∈ L1 [T, ∞) Dễ thấy từ (3.29) tính bị chặn Z(t), ta suy lim u2 (t) + v (t) = t→∞ nghiệm tầm thường hệ (3.29) ổn định tiệm cận địa phương 78 3.2.2 Tính ổn định tiệm cận toàn cục Để chứng minh ổn định toàn cục cân hệ (3.23), ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov thích hợp Trước tiên, ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.2.1 Gọi (x(t), y(t)) nghiệm (3.23) với điều kiện ban đầu (3.24) Khi (x(t), y(t)) thỏa mãn đánh giá sau < x(t) ≤ M1 , < y(t) ≤ M2 (3.46) với t đủ lớn, M1 = b1 a11 eb1 τ11 , M2 = b2 a22 eb2 τ22 (3.47) Bổ đề 3.2.2 Với điều kiện (3.26) hệ (3.23) ổn định Sau ta đưa điều kiện ổn định toàn cục Z ∗ hệ (3.23): Định lý 3.2.2 Giả sử có (3.26) Nếu aii τii Mi < 1(i = 1, 2) A11 A22 − A12 A21 > 0, (3.48) A11 = a11 (1 − a11 τ11 M1 ), A12 = −a12 (1 + a11 τ11 M1 ), A21 = −a21 (1 + a22 τ22 M2 ), A22 = a22 (1 − a22 τ22 M2 ) (3.49) Mi cho (3.47) Khi điểm cân (x∗ , y ∗ ) (3.23) ổn định tiệm cận toàn cục Chứng minh Gọi Z(t) = (x(t), y(t)) nghiệm hệ (3.23) thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.24) Đặt u(t) = ln x(t) , x∗ v(t) = ln 79 y(t) y∗ (3.50) Khi từ (3.23) (3.50) ta có u (t) = −a11 x∗ eu(t−τ11 ) − − a12 y ∗ ev(t−τ12 ) − (3.51) v (t) = −a21 x∗ eu(t−τ21 ) − − a22 y ∗ ev(t−τ22 ) − (3.52) Phương trình (3.51) (3.52) viết sau: u (t) = −a11 x∗ eu(t) − − a12 y ∗ ev(t−τ12 ) − t eu(s) −a11 x∗ (eu(s−τ11 ) − 1) − a12 y ∗ (ev(s−τ12 ) − 1) ds, +a11 x∗ (3.53) t−τ11 v (t) = −a21 x∗ eu(t−τ21 ) − − a22 y ∗ ev(t) − t +a22 y ∗ ev(s) −a21 x∗ (eu(t−τ21 ) − 1) − a22 y ∗ (ev(s−τ22 ) − 1) ds (3.54) t−τ22 Bây ta tìm hàm Lyapunov Đặt V11 (t) = |u(t)| (3.55) Đạo hàm phải V11 theo nghiệm (3.51) Từ (3.53) (3.54), ta có D+ V11 |(3.51) ≤ −a11 x∗ |eu(t) − 1| + a12 y ∗ |ev(t−τ12 ) − 1| t + a11 x ∗ eu(s) (a11 x∗ |eu(s−τ11 ) − 1| + a12 y ∗ |ev(s−τ12 ) − 1)|)ds t−τ11 Từ bổ đề (3.2.1), ta thấy tồn số T0 ≥ cho x∗ eu(t) = x(t) ≤ M1 với t ≥ T0 với t ≥ T = T0 + τ ta có D+ V11 |(3.51) ≤ −a11 x∗ |eu(t) − 1| + a12 y ∗ |ev(t−τ12 ) − 1| + a11 M1 t × a11 x∗ t |eu(s−τ11 ) − 1|ds + a12 y ∗ t−τ11 |ev(s−τ12 ) − 1)|ds (3.56) t−τ11 Ta định nghĩa hàm Lyapunov sau V1 = V11 (t) + V12 (t), 80 (3.57) t t V12 (t) = a11 M1 a11 x∗ |eu(l−τ11 ) − 1|dlds + a12 y ∗ t−τ11 t s t |ev(l−τ12 ) − 1|dlds × t−τ11 s t t + a11 τ11 M1 a11 x∗ |eu(s) − 1|ds + a12 y ∗ t−τ11 |ev(s) − 1|ds t−τ12 t +a12 y ∗ |ev(s) − 1|ds (3.58) t−τ12 Khi đó, từ (3.56) - (3.58) với t ≥ T ta có: D+ V1 ≤ −a11 x∗ (1 − a11 τ11 M1 )|eu(t) − 1| + a12 y ∗ (1 + a11 τ11 M1 )|ev(t) − 1| = A11 x∗ |eu(t) − 1| − A12 y ∗ |ev(t) − 1| (3.59) Tiếp theo, đặt V2 (t) = V21 (t) + V22 (t), (3.60) V22 (t) = |v(t)| (3.61) t V21 (t) = a22 M2 a21 x t ∗ |eu(l−τ21 ) − 1|dlds + a22 y ∗ t−τ22 t s t |ev(l−τ22 ) − 1|dlds × t−τ22 s t + a22 τ22 M2 a21 x∗ t |eu(s) − 1|ds + a22 y ∗ t−τ21 |ev(s) − 1|ds t−τ22 t +a21 x ∗ |eu(s) − 1|ds (3.62) t−τ21 Từ (3.60) - (3.62) ta có D+ V2 ≤ −a22 y ∗ (1 − a22 τ22 M2 )|ev(t) − 1| + a21 x∗ (1 + a22 τ22 M2 )|eu(t) − 1| = −A22 |ev(t) − 1| − A21 |eu(t) − 1| 81 (3.63) Theo giả thiết (3.48), ta biết A∗ = (Aij )2×2 ma trận tồn số dương d1 d2 cho A11 d1 + A21 d2 = δ1 > 0, A12 d1 + A22 d2 = δ2 > (3.64) Bây ta định nghĩa hàm Lyapunov V (t) sau V (t) = d1 V1 (t) + d2 V2 (t), (3.65) Khi đó, với t ≥ T , từ (3.59), (3.63) (3.65) ta có D+ V (t) ≤ −(A11 d1 + A21 d2 )|eu(t) − 1| − (A12 d1 + A22 d2 )|ev(t) − 1| = −δ1 x∗ |eu(t) − 1| − δ2 y ∗ |ev(t) − 1| (3.66) Từ (3.23) ta thấy, tồn số m1 , m2 mà x(t) = x∗ eu(t) ≥ m1 , y(t) = y ∗ ev(t) ≥ m2 suy x∗ |eu(t) − 1| = x∗ eθ1 (t) |u(t)| ≥ m1 |u(t)|, y ∗ |ev(t) − 1| = y ∗ eθ2 (t) |v(t)| ≥ m2 |u(t)| x∗ eθ1 (t) x(t) x∗ , y ∗ eθ2 (t) y(t) y ∗ Đặt δ = {δ1 m1 , δ2 m2 }, từ (3.66) ta có D+ V (t) ≤ −δ(|u(t)| + |v(t)|) (3.67) Chú ý V (t) ≥ (|u(t)| + |v(t)|), kết hợp với (3.67) ta có điểm cân hệ (3.51), (3.52) ổn định tiệm cận toàn cục, suy điểm cân hệ (3.23) ổn định tiệm cận toàn cục Ví dụ 3.2.1 Xét hệ phương trình vi phân có chậm sau x (t) = x(t)(1 − x(t − τ11 ) − 0, 5y(t − τ12 )) y (t) = y(t)(1 − 0, 5x(t − τ21 ) − y(t − τ22 )) Theo định lý (3.2.1) điểm cân 2 3, hệ (3.68) ổn định tiệm cận địa phương thỏa mãn điều kiện sau: 28τ11 + 8τ22 + 5τ12 + 13τ21 < 18, 28τ22 + 8τ11 + 13τ12 + 5τ21 < 18 82 (3.68) Vậy điểm cân 2 3, hệ (3.68) ổn định tiệm cận địa phương τ11 < , τ22 < , Theo định lý (3.2.2) điểm cân 2 3, τ12 = τ21 = hệ (3.68) ổn định tiệm cận toàn cục > τ11 eτ11 , > τ22 eτ22 , 3(1 + τ11 τ22 eτ11 +τ22 ) > 5(τ11 eτ11 + τ22 eτ22 ) Từ điều kiện (3.69) ta thấy cân 2 3, (3.69) hệ (3.68) ổn định tiệm cận toàn cục τ11 = τ22 = 15 , τ21 τ12 số dương 3.3 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn Xét chuyển động vật thể hệ tọa độ Oxyz với điểm bất động gốc tọa độ O (không có ngoại lực tác động) Ký hiệu A, B, C momen quán tính vật thể gốc tọa độ O, w - vector vận tốc góc hệ tọa độ xét Giả sử p, q, r hình chiếu vector w lên trục chính, phương trình chuyển động Ơle có dạng    Ap˙ = (B − C)qr B q˙ = (C − A)rp   C r˙ = (A − B)pq (3.70) Phương trình xác lập quay xung quanh trục thứ tương ứng với điểm p = p0 , q = 0, r = Sử dụng phép đổi biến x = p − p0 ; y = q; z = r, ta có điểm tới hạn gốc tọa độ nhận hệ phương trình rút gọn  B−C   x˙ = A yz y˙ =   z˙ = C−A B (p0 A−B C (p0 83 + x)z + x)y (3.71) *) Nếu A < B ≤ C trình quay thực quanh trục lớn elipxoit quán tính Có thể chọn hàm Lyapunov: V : R3 → R+ xác định sau: V = B(B − A)y + C(C − A)z + By + Cz + A x2 + 2xp0 Ta thấy: Vì A < B ≤ C nên hàm Lyapunov xác định hàm xác định dương Tính toán ta V˙ = Vậy hàm V thỏa mãn điều kiện định lý thứ Lyapunov Do nghiệm tầm thường hệ cho ổn định *) Nếu A > B ≥ C tương tự cách chọn hàm Lyapunov V = B(A − B)y + C(A − C)z + By + Cz + A x2 + 2xp0 ta có nghiệm tầm thường hệ cho ổn định 3.4 Sự ổn định phi chuyển động Quan sát phi bay (có thể chim bay), giả sử mặt đối xứng trùng với mặt thẳng đứng hệ trục tọa độ thời điểm trình chuyển động Giả sử v tốc độ trọng tâm vật thể, θ góc vector chuyển động với trục hoành (trục nằm ngang) Giả sử trục chuyển động (trục hướng theo chiều dài phi cơ) tạo nên góc không đổi α với v Ký hiệu CD (α) CL (α) hệ số phản lực tùy ý lực đẳng Khi ta có phương trình biến thiên v θ có dạng mv˙ = −mg sin θ − CD (α)v mv θ˙ = −mg cos θ + CL (α)v Bằng cách đặt v02 = mg , CL τ= gt , v0 y= 84 v , v0 α= CD CL ta đưa phương trình xét dạng dy dτ dθ dτ = − sin θ − ay = − cos θ+y y Ở ta xét trường hợp đơn giản a = Khi hệ trở thành: dy dτ dθ dτ = − sin θ = − cos θ+y y Hệ phương trình có điểm suy biến y0 = 1, θ0 = 2kπ(k ∈ N) (các trường hợp tương ứng với trường hợp phi bay theo chiều ngang với vận tốc số) Ta cần xét trường hợp y0 = 1, θ0 = Dễ kiểm tra V (y, θ) = y − y cos θ + tích phân đầu hệ phương trình xét a = Ngoài ta nhận thấy lân cận điểm (1, 0) ta có: V (y, θ) > V (1, 0) = Hơn ta chứng minh V˙ (t, x) ≤ 0, chuyển động phi thời điểm ổn định 85 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lại kết tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Banach phương trình vi phân hàm Trong trường hợp riêng xét tính ổn định nghiệm phương trình vi phân không gian Rn đặc biệt trường hợp n = 2, 3, dựa vào đặc điểm cấu trúc tôpô không gian Euclide n chiều, cách cụ thể việc sử dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov bước đầu đề cập tới phương pháp xây dựng phiếm hàm Lyapunov hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Trong phần cuối trình bày chi tiết số ứng dụng phương pháp phiếm hàm Lyapunov phương pháp xấp xỉ thứ cho số mô hình ứng dụng 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Thế Hoàn - Phạm Phu (2010), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh Earl A Coddington, Robert Carlson (1997), Linear ordinary differential equa- tions Ivanka Stamova, Stability Analysis of Impulsive Functional Differential Equa- tion Ju.L.Dalekii and M.G.Krein (1974), Stability of Differential Equations in Ba- nach Space, American Mathematical Society Providence, Rhode Island J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: I.An Introducation Third Edition, Springer J.D.Murray (2002), Mathematical Biology: II.An Introducation Third Edition, Springer M.G.Krein (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, Providence, Rhode Island Yang Kuang, Delay differential equations with application in population dy- namics 87 [...]... Vậy: nghiệm tầm thường của hệ đã cho là ổn định mũ 1.6 Phương pháp chọn hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng a) Xét hệ hai phương trình vi phân với hệ số hằng x˙ 1 = a11 x1 + a12 x2 x˙ 2 = a21 x1 + a22 x2 (1.31) Ta ký hiệu W (x) = αx21 + 2αx1 x2 + (m + α)x22 và V (x) = v11 x21 + 2v12 x1 x2 + v22 x22 Để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính, ... hệ tuyến tính có hệ số biến thiên, từ tính ổn định tiệm cận của nó, nói chung không suy ra tính ổn định mũ Ví dụ 1.5.1 Xét phương trình vô hướng x dx =− dt t (1 ≤ t < ∞) nghiệm tổng quát của nó có dạng x(t) = x(1) t Như vậy, nghiệm ξ = 0 của phương trình trên ổn định tiệm cận khi t → ∞ nhưng không ổn định mũ Định lý 1.5.1 Nếu tồn tại một hàm toàn phương xác định dương V (x) = (Ax, x) mà đạo hàm V˙ (x)... w11 = 2w12 = 2w13 (1.35) = w22 = 2w23 = w33 Sử dụng phần mềm Maple để giải hệ (1.35) ta sẽ tìm được các nghiệm vik Khi đó thay các vik vào biểu thức của hàm V ta sẽ tìm được hàm Lyapunov V cần tìm Từ đó dựa vào các định lý của Lyapunov về tính ổn định nghiệm ta có thể suy ra tính chất nghiệm của hệ đã cho Ví dụ 1.6.3 Xét hệ ba phương trình vi phân tuyến tính    x˙ = 2x − y + 2z y˙   z˙ = 5x −... t0 Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.1.2) có thể chọn không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → +∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định (ii) Tồn tại ∆ = ∆(t0 ) > 0 sao cho với mọi x0 ∈ G và. .. R+ và các hàm a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn điều kiện: (i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||), 12 (ii) V˙ (t, x) ≤ −c(||x||) khi đó nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận đều theo nghĩa Lyapunov khi t → +∞ Chứng minh Từ định lý trên ta có nghiệm x(t) ≡ 0 của phương trình (1.1) là ổn định đều Ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường đó là ổn định tiệm cận đều Do nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định. .. Lyapunov) Ta nói phiếm hàm V : R+ × B → R+ là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.1), ký hiệu là V˙ (t, x) được xác định bởi 1 {V [t + h, x + hf (t, x)] − V (t, x)} V˙ (t, x) = lim h→+∞ h Ký hiệu CIP: Họ các hàm tăng, liên tục, xác định dương 1.2 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân trong không... t→+∞ 9 Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định tiệm cận đều khi t → +∞ nếu (i) Nghiệm tầm thường x(t) = 0 là ổn định đều (ii) Tồn tại ∆ > 0 (không phụ thuộc vào t0 ) sao cho với mọi x0 ∈ G thỏa mãn ||x0 | | < ∆ thì lim ||x(t, t0 , x0 )| | = 0 t→+∞ Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm tầm thường x(t) = 0 của phương trình vi phân (1.4) được gọi là ổn định mũ... đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t) Bổ đề 1.5.1 Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất dx = Ax dt (1.26) với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞ Chứng minh Ta đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.26) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λp (A) của ma... này chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai Do đó limk→+∞ tk = 0 Như vậy nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều 13 Ví dụ 1.2.1 Phương trình vi phân dx t = −13x − 12x sin [ln(1 + t)] + cos [ln(1 + t)] dt t+1 là ổn định tiệm cận nhưng không ổn định đều Thật vậy: *) Tính toán ta thu được công thức nghiệm tổng quát của phương trình: x(t) = exp {−13t − 12t sin [ln(t + 1)]} x(0) *) Chứng... xác định âm, tức là tồn tại hàm liên tục, xác định dương W2 (x) sao cho * V˙ (t, x) ≤ −W2 (x) < 0 với ||x|| = 0; * V˙ (t, 0) = W2 (0) = 0 Khi đó nghiệm tầm thường ξ(t) = 0, a < t < +∞ của hệ (1.22) là ổn định tiện cận theo Lyapunov khi t → +∞ Ví dụ 1.4.2 Nghiên cứu tính ổn định của hệ sau x˙ = 2y 3 − x5 y˙ = −x − y 3 + y 5 Xét hàm Lyapunov V (t, x, y) = x2 + y 4 Ta có đạo hàm của hàm V dọc theo nghiệm ... định Để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân hàm thường áp dụng phương pháp hàm Lyapunov Sau đây, xin trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm Xét phương trình: (2.3)... vi phân tuyến tính với hệ số 28 Phương pháp phiếm hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 2.3 2.4 Khái niệm phương trình vi phân hàm. .. Trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân không gian Banach không gian Rn Chương 2: Trình bày tính chất nghiệm phương trình vi phân có chậm Chương 3: Trình bày số ứng dụng tính ổn định