Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung

Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung.

và thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơnđến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đãđộng viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, cô

và bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, tháng 12 năm 2010

Học viên

Ngô Quý Đăng.

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU 4

Bảng ký hiệu 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân 7

1.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất 7

1.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiên hằng số Lagrăng 8

1.1.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến 9

1.1.4 Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân 10

1.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân 10

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm 13

1.2.1 Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm 15

1.2.2 Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov 16

Chương 2 Phương trình vi phân có xung và ứng dụng 23

2.1 Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung 23

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung 23

2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung 26

2.2 Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung 29

2.2.1 Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường 29

2.2.2 Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung 30

2.2.3 Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung 34 2.3 Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung 36

2.4 Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm có xung 37

2.4.1 Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung 38

2.4.2 Các định lý kiểu Razumikhin 40

2.5 Áp dụng cho mô hình quần thể 49 KẾT LUẬN 55 Tài liệu tham khảo 56

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình vi phân có xung được phát hiện từ các ứng dụng: xác định quỹ đạocủa vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu dữ liệu, quản lý hệ sinh thái,

Trong thực tế, những quá trình vật lý khác nhau tạo ra những thay đổi đột ngộtcủa trạng thái tại thời điểm nhất định của thời gian giữa khoảng tiến hóa liên tục.Thời gian của những thay đổi này thường không đáng kể so với của toàn quá trìnhtiến hóa và do đó những thay đổi đột ngột có thể được xấp xỉ tốt về tức thời thay đổicủa trạng thái tức là xung

Ví dụ: Mô hình tăng trưởng dân số có thể được mô tả bằng một phương trình viphân có xung Các xung mô tả một số yếu tố bất ngờ như nhập cư, di cư, bệnh dịch.Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mô tảlỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định

Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình viphân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệđược thiết lập lại Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thườngliên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từngmảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t Khi đó tính tồn tại, ổnđịnh và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung

Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm

1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]) Kể từ đó một số kết quả cổ điển

phương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung.Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phươngtrình vi phân trễ có xung mới xuất hiện Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm

1986 bởi A.Anokhin (xem [4]).

Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng củaphương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tếcủa chúng Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov,

kỹ thuật Razumikhin Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phươngtrình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh,các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc

Bố cục của luận vặn gồm:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổn

định nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính

ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]).

Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại,

duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung và

phương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]).

Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu

Razu-mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]).

Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu kháiniệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân Tiêuchuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường Khái niệm tính ổn địnhnghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, các định lý dạng Razumikhin cho phươngtrình vi phân hàm Sau đó mở rộng các khái niệm cho đó cho phương trình vi phân

có xung và phương trình vi phân hàm có xung Nghiên cứu vấn đề này người viết đã

cố gắng khai thác triệt để, xong thời gian và trình độ còn hạn chế chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và cácbạn

Bảng ký hiệu

N Tập hợp các số nguyên không âm

N(a) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ N)

N(a, b) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng b(a, b ∈ N)

¯

N Là một trong ba tập N, N(a), N(a, b)

R Tập các số thực

R+ Tập hợp các số thực dương

Rn Không gian n chiều

Rn+ Không gian mã mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực dương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình

sai phân

1.1.1 Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]):

u(n + 1) = A(n).u(n), n> n0, (1.1)trong đó u(n) = (u1(n), u2(n), , um(n))T ∈ Rm, A(n) = (ai j(n))mmlà ma trận khôngsuy biến

Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:

(u(n + 1) = A(n).u(n), n> n0,

Bằng phương pháp truy hồi, bài toán Cô-si luôn có nghiệm và nghiệm được xácđịnh:

u(n) = A(n − 1)A(n − 2) A(n0+ 1)A(n0)u0, n > n0

* Toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến

Định nghĩa 1.1.1 Với mỗi s > n0, ký hiệu:

W(n, s) =

(A(n − 1)A(n − 2) A(s + 1)A(s), n > s,

Khi đó, họ {W (n, s)}n >s>n0 được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận khôngsuy biến A(n)

* Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si)

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử {W (n, s)}n >s>n0 là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trậnhàm không suy biến A(n) Khi đó W (n, n0) được gọi là ma trận nghiệm cơ bảnchuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2)

Nhận xét 1.1.3 Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, với

1.1.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và

công thức biến thiên hằng số Lagrăng

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):

Vì v(n0) = W (n0, n0)C(n0) = C(n0) nên C(n0) = v0

Từ

v(n) = W (n, n0)C(n),

suy ra

v(n + 1) = W (n + 1, n0)C(n + 1) (1.7)Mà

v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n) = A(n)W (n, n0)C(n) + b(n),

ta có:

v(n + 1) = W (n + 1, n0)C(n) + b(n) (1.8)Kết hợp (1.7) và (1.8) ta được

W(n + 1, n0)C(n + 1) = W (n + 1, n0)C(n) + b(n),suy ra

W(n + 1, n0)∆C(n) = b(n),hay

Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận được kết quả (1.5)

Hệ quả 1.1.7 Nếu A(n) = A là ma trận hằng thì

1.1.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến

Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:

1.1.4 Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân

Với phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng từ năm

1892, trong khi phương trình sai phân mới sử dụng gần đây (xem [5]).

Xét hệ phương trình sai phân:

u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈ ¯N, (1.14)trong đó u và f là các vectơ (1 × n) với các thành phần ui và fi, 1 6 i 6 n Giả sử

f(k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường

Định nghĩa 1.1.9 Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là:

(i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ (a, ε) > 0 sao cho, với mọi nghiệmu(k) = u(k, a, u0) của (1.14) thỏa mãn ||u0|| < δ , thì ||u(k, a, u0)|| < ε, ∀k ∈ N(a).(ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a

(iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệmu(k) = u(k, a, u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ thì ||u(k, a, u0)|| → 0 khi k → ∞.(iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộcvào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ , thì

||u(k, a, u0)|| → 0 khi k → ∞

(v) Ổn định tiệm cận mũ, nếu tồn tại số λ > 0 và với ε > 0, tồn tại δ = δ (ε)sao cho: với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (1.14) thỏa mãn ||u(k1)|| < δ với

k1 ∈ N(a), thì ||u(k, a, u0)|| < ε exp(−λ (k − k1)), với mọi k ∈ N(k1)

1.1.5 Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân

Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên

cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân.(xem [5])

Xét hệ phương trình sai phân (1.14):

u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈ ¯N,Giả sử Sρ = {u ∈ Rn: kuk6 ρ}, và u(k) = u(k, a, u0) là một nghiệm bất kỳ của(1.14) sao cho ku(k)k < ρ, ∀k ∈ N(a)

Cho Ω là tập mở trong Rn và chứa gốc tọa độ Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vôhướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω, R] và V (k, 0) = 0

Định nghĩa 1.1.10 Hàm φ (r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈

Định nghĩa 1.1.12 Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a) × Sρ được gọi làgiảm dần về không (decrescent) nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vàtồn tại một hàm ϕ(r) ∈ K sao cho V (k, u) 6 ϕ(r), kuk = r, (k, u) ∈ N(a) × Sρ.Với u(k) = u(k, a, uo) là nghiệm của (1.14) sao cho ku(k)k < ρ với mọi k ∈ N(a).Khi đó ta có biến phân của hàm V (k, u(k)) là:

∆V (k, u(k)) = V (k + 1, u(k + 1)) − V (k, u(k))

= V (k + 1, f (k, u(k))) −V (k, u(k))

Định lý 1.1.13 Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a) ×

Sρ, R+] sao cho ∆V (k, u(k, a, u0)) 6 0, với nghiệm bất kỳ u(k) = u(k, a, u0) của

(1.14) thoả mãn ku(k)k < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của (1.14) là ổn định.

Chứng minh. Do V(k,u) là xác định dương, tồn tại một hàm φ ∈ K sao cho φ (kuk) 6

V(k, u) với mọi (k, u) ∈ N(a) × Sρ Với 0 < ε < ρ cho trước Vì V(k,u) liên tục và

V(k, 0) = 0 nên có thể chọn được một số δ = δ (ε) > 0 sao cho ku0k < δ thoả mãn

V(k0, u0) < φ (ε) Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) không ổn định thì tồn tạimột nghiệm u(k) = u(k, 0, u0) của (1.14), sao cho ||u0|| < δ mà ε 6 ku(k1)k < ρvới k1 ∈ N(a) Tuy nhiên do ∆V (u(k)) 6 0 khi ku(k)k < ρ, ta có V (u(k1)) 6 V (u0)

và do đó

φ (ε )6 φ (ku(k1)k) 6 V (u(k1)) 6 V (u0) < φ (ε),dẫn tới mâu thuẫn Vậy nếu ku0k < δ thì ku(k)k < ε, ∀k ∈ N Nên nghiệm tầmthường của (1.14) là ổn định

Định lý 1.1.14 Giả sử tồn tại hàm vô hướng xác định dương V (k, u) ∈ C[N(a) ×

Sρ, R+] sao cho ∆V (k, u(k, a, u0)) 6 −α(ku(k, a, u0k) với α ∈ K, và nghiệm bất kỳ

u(k) = u(k, a, u0) của (1.14) thoả mãn ku(k)k < ρ thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) =

0 của (1.14) là ổn định tiệm cận.

Chứng minh. Do các giả thiết của định lý (1.14) được thoả mãn, nên nghiệm tầmthường của (1.14) là ổn định Bằng phản chứng với 0 < ε < ρ cho trước, giả sử tồntại δ > 0, λ > 0 và một nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (1.14) thoả mãn

k→∞V(k, u(k)) = 0 Do đó lim

k→∞ku(k)k = 0 Vậy nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0của (1.14) là ổn định tiệm cận

Định lý 1.1.15 Với giả thiết của định lý (1.1.13) (định lý (1.1.14)) và hàm V(k,u)

là hàm giảm dần về không thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của hệ (1.14) là ổn

định đều (tiệm cận đều).

Chứng minh. Vì V (k, u) là hàm xác định dương và giảm dần về không, nên tồntại hàm ϕ, φ ∈ K sao cho φ (kuk) 6 V (k, u) 6 ϕ(kuk), với mọi (k, u) ∈ N(a) × Sρ.Với mỗi ε, 0 < ε < ρ ta chọn δ = δ (ε) > 0 sao cho ϕ(δ ) < φ (ε) Ta chứng minhnghiệm tầm thường của hệ (1.14) ổn định đều, tức là với k1 ≥ a và ku(k1)| < ρ,thì ku(k)| < ε với mọi k ≥ k1 Bằng phản chứng giả sử tồn tại k2 > k1, thỏa mãn

k2 > a và ku(k2)| < ρ kéo theo ε 6 ku(k2)k < ρ Nhưng ∆V (k, u(k)) 6 0 suy ra

V(k, u(k)) 6 V (k1, u(k1))) với mọi k ∈ N(k1), từ đó:

φ (ε )6 φ (ku(k2)k) 6 V (k2, u(k2)) 6 V (k1, u(k1))

6 ϕ(ku(k1)k) 6 ϕ(δ ) < φ (ε),mâu thuẫn Vậy ta có điều cần chứng minh

Định lý 1.1.16 Giả sử tồn tại hàm vô hướng V (u) ∈ C[N(a) × Sρ, R], sao cho:

(i) |V (k.u)| ≤ ϕ(||u||) với mọi (k, u) ∈ N(a) × Sρ, ở đó ϕ ∈ K.

(ii) Với mọi δ > 0 tồn tại u0 với ||u0|| 6 δ sao cho V (a, u0) < 0

(iii) ∆V (k, u(k, a, u0)) ≤ −φ (ku(k, a, u0)k) với φ ∈ K và nghiệm bất kỳ u(k) =

u(k, a, u0) của (1.14) thoả mãn ku(kk < ρ.

Thì nghiệm tầm thường u(k, a, 0) = 0 của (1.14) là không ổn định.

Chứng minh. Giả sử nghiệm tầm thường của (1.14) là ổn định Thì với mọi ε >0(ε < ρ) tồn tại δ = δ (a, ε) > 0 sao cho ||u0|| < δ ta có ||u(k)|| = ||u(k, a, u0)|| < εvới mọi k ∈ N(a) Lấy u0 thỏa mãn ||u0|| < δ và V (a, u0) < 0 từ ||u0|| < δ ta có

||u(k)|| < ε , từ điều kiện (i) ta có:

|V (k, u(k))| ≤ ϕ(||u(k)||) < ϕ(ε), k ∈ N(a) (1.16)

Từ điều kiện (iii) ta thấy rằng V(k,u(k)) là hàm giảm với mọi k ∈ N(a), nên từ

V(k, u(k)) ≤ V (a, u0) < 0 ta có |V (k, u(k))| ≥ |V (a, u0)| do đó từ điều kiện (i) chúng

Như vậy ta có:

V(k, u(k)) ≤ V (a, u0) − (k − a)φ (ϕ−1(|V (a, u0)|))

Hay limk→∞V(k, u(k)) = −∞, trái với điều kiện (1.16)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.1.17 Xét hệ phương trình sai phân:

(

u1(k + 1) = u2(k) − cu1(k)(u21(k) + u22(k)),

u2(k + 1) = u1(k) + cu2(k)(u21(k) + u22(k)), (1.17)

trong đó c là hằng số

Chọn hàm xác định dương V (u1, u2) = u21+u22trên Ω = R2 Khi đó ∆V (u1(k), u2(k)) =

c2(u21(k) + u22(k))3 Do đó nếu c = 0 thì ∆V (u1(k), u2(k)) = 0 nên nghiệm tầmthường của hệ là ổn định Tuy nhiên nếu c 6= 0 thì nghiệm tầm thường của hệ làkhông ổn định

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình

˙x(t) = f (t, x(t), x(t − τ1(t)), , x(t − τp(t)),

với 0 6 τj(t) 6 τ, j = 1, 2, , p và ta có thể xây dựng như là phương trình tíchphân sau:

˙x(t) =

Z 0

−rg(t; θ ; x(t + θ ))dθ Chúng ta gọi phương trình (1.18) là tuyến tính nếu f (t, xt) = L(t, xt) + h(t) trong

đó L(t, xt) là tuyến tính đối với xt, tuyến tính thuần nhất nếu h(t) ≡ 0, tuyến tínhkhông thuần nhất nếu h(t) 6≡ 0 Chúng ta gọi (1.18) là autonomous nếu f (t, xt) =g(xt) ở đây g(t) không phụ thuộc vào t, trường hợp còn lại ta gọi là không au-tonomous

Giống như phương trình vi phân thường (ODEs) ta cũng có các kết quả tương

tự như sau:

Bổ đề 1.2.1 Nếu t0∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f (t, ϕ) là hàm liên tục trên Ω, thì việc

tìm nghiệm phương trình (1.18) tương đương với việc giải phương trình tích phân

(x(t) = ϕ(0) +R t

t0 f(s, xs)ds,t ≥ t0,

xt0 = ϕ

Định lý 1.2.2 (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R ×C, f là hàm liên tục

trên Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t0, ϕ).

Chúng ta gọi f (t, φ ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R ×C, nếu tồntại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φi) ∈ K, i = 1, 2,

|| f (t, φ1) − f (t, φ2)|| 6 k||φ1− φ2||

Định lý 1.2.3 (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R ×C, f : Ω → Rn liên tục , và f (t, φ ) là Lipschitz theo φ trên mỗi tập compact trong Ω Nếu (t0, ϕ) ∈ Ω,

thì có duy nhất nghiệm của phương trình (1.18) đi qua (t0, ϕ).

Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi hàm (1.18) bằng phương pháp từngbước

Ví dụ 1.2.4 Xét phương trình vi phân hàm:

(

˙x(t) = 6x(t − 1),

ϕ (t) = t, 0 ≤ t ≤ 1

Ta sẽ tìm nghiệm x(t0, ϕ), (t0= 1), của phương trình vi phân trên đoạn [0,3] Theo

bổ đề (1.2.1), nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

(x(t) = ϕ(1) +R t

16x(s − 1)ds, t ≥ 1,

Trên đoạn [1, 2] ta có:

(x(t) = ϕ(1) +R t

16sds, 2 ≥ t ≥ 1,x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1,

hay

(x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 2 ≥ t ≥ 1,x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1

Trên đoạn [2, 3] ta có:

(x(t) = ϕ(2) +R t

26x(s − 1)ds, 3 ≥ t ≥ 2,x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 2 ≥ t ≥ 1

Suy ra

(x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)2+ 1] + 4, 3 ≥ t ≥ 2,x(t) = 1 + 3(t − 1)2, 2 ≥ t ≥ 1

Như vây, nghiệm của phương trình trên [0,3] là

Tiếp tục như vậy ta mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý

1.2.1 Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm

Xét phương trình vi phân (1.18):

˙x(t) = f (t, xt),với điều kiện ban đầu x(t) = ϕ(t), t ∈ [t0− τ,t0] Giả sử phương trình (1.18) thoảmãn tất cả các điều kiện về sự tồn tại, duy nhất nghiệm và f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R.Khi đó, phương trình (1.18) có nghiệm tầm thường

Định nghĩa 1.2.5 Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi

là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

∀ε > 0,t0 ∈ R+, ∃δ = δ (t0, ε) > 0, sao chokϕk < δ ⇒ ||xt(t, ϕ)|| < ε,t > t0

Định nghĩa 1.2.6 Nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) được gọi là ổn định

đều khi t → +∞ nếu số δ trong định nghĩa (1.2.5) không phụ thuộc vào t0

Định nghĩa 1.2.7 Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi

là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu:

1 Nghiệm tầm thường là ổn định,

2 ∃∆ = ∆(t0) > 0, ∀ϕ ∈ C, kϕk < ∆ ⇒ lim

t→+∞kx(t0, ϕ)k = 0

Định nghĩa 1.2.8 Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi

là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu

1 Nghiệm tầm thường là ổn định đều

2 ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t0),

∀ϕ ∈ C, kϕk < ∆ ⇒ lim

t→+∞kx(t0, ϕ)k = 0

1.2.2 Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov

Trong phần này, tôi giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổnđịnh của nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) Đây là kết quả mở rộng củaphương pháp thứ hai của Lyapunov cho phương trình vi hàm

Định nghĩa 1.2.9 (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : R ×C →

R, thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov Nếu

V : R × C → R liên tục, x(t0, ϕ) là nghiệm của phương trình (1.18) đi qua điểm(t0, ϕ), và

˙

V(t, ϕ) = lim

h→0 +sup1

h[V (t + h, xt+h(t, ϕ)) −V (t, ϕ)],hàm ˙V(t, ϕ) được gọi là đạo hàm trên bên phải của hàm V (t, ϕ) dọc theo quỹ đạocủa nghiệm phương trình (1.18)

Xét phiếm hàm Lyapunov V (t) = V (t, ϕ) xác định trên miền Ω = R+× C

Để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phânhàm (1.18), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω và f (t, 0) = 0

Ký hiệu:

K = {a | a : R+ → R+, a liên tục không giảm và a(0) = 0, a(s) > 0 với s > 0}

Định lý 1.2.10 (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov)

thoả mãn điều kiện:

1 V (t,0) = 0,

2 a(kϕk) ≤ V (t, ϕ), a∈ K,

3 ˙V(t, ϕ) ≤ 0,

thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) ổn định.

Chứng minh. Giả sử phiếm hàm Lyapunov V (t, x) thoả mãn các điều kiện trên, tachứng minh nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) là ổn định Giả sử

kxt1(t0, ϕ)k = ε,

Từ điều kiện (3) và tính liên tục V (t) = V (t, xt1(t0, ϕ)), nên V (t) giảm theo t và

t0 < t ≤ t1 ta có:

V(t1, xt1(t0, ϕ)) 6 V (t, xt(t0, ϕ)),suy ra

a(ε) 6 V (t1, xt1(t0, ϕ) 6 V (t0, ϕ) < a(ε)

Vậy

kϕk < δ ⇒ kxt(t0, ϕ)k < ε, ∀t > t0,tức là nghiệm tầm thường là ổn định

Định lý 1.2.11 (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục V : R+×

C→ R+ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 a(kϕ(0)k)6 V (t, ϕ) 6 b(kϕk), a(r), b(r) ∈ K,

2 ˙V(t, ϕ) 6 0,

thì nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định đều.

Chứng minh. Lấy ε > 0 tùy ý ε < H, tồn tại δ = δ (ε) > 0, (0 < δ < ε) sao chob(δ ) < a(ε) Khi đó với t0 cố định bất kì, lấy một nghiệm xt(t0, ϕ) tùy ý của (1.18)sao cho kϕk < δ Từ giả thiết ˙V 6 0 ta có:

a(kxt(t0, ϕ)k) 6 V (t, xt(t0, ϕ)) 6 V (t0, ϕ) 6 b(kϕk) 6 b(δ ) < a(ε)

Tức là

kxt(t0, ϕ)k < ε, ∀t > t0, kϕk < δ Vậy nghiệm là ổn định đều

Định lý 1.2.12 ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục

V : R+×C → R+ thỏa mãn các điều kiện sau:

1 a(kϕ(0)k)6 V (t, ϕ) 6 b(kϕk), a(r), b(r) ∈ K,

2 ˙V(t, ϕ) 6 −c(kϕk), c(r) liên tục và c(r) > 0 khi r > 0.

khi đó nghiệm tầm thường của hệ (1.18) là ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm tầm thường của phương trình(1.18) là ổn định đều Bây giờ ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường của nó là ổnđịnh tiệm cận đều Do nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) là ổn định đềunên với H > 0 tồn tại δ0 = δ0(H) > 0, sao cho với t0> 0 bất kỳ và kϕk 6 δ0, ta có:

kxt(t0, ϕ)k < H, ∀t > t0.Mặt khác ∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 ta có:

kϕk < δ (ε) ⇒ kxt(t0, ϕ)k < ε, ∀t > t0.Tiếp theo ta chứng minh: Điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8)

Giả sử điều kiện (2) của định nghĩa (1.2.8) không xẩy ra tức là tồn tại một nghiệm

xt(t0, ϕ), (t0 ∈ R+, kϕk < δ0) không không thỏa mãn:

lim

t→+∞kxt(t0, ϕ)k = 0,khi đó tồn tại dãy tk, tk > t0,tk → ∞(k → ∞), đồng thời

˙y(t) = −x(t) − y(t)x2(t − r2(t)),trong đó t ∈ R và rj(t) > 0( j = 1, 2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ ta xét hàm:

V(x, y) = x2+ y2.Khi đó ta có:

V(x, y) = kϕk2,đồng thời

Định lý 1.2.14 (Định lý ổn định đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại u, v ∈ K,

w∈ C(R+, R+), và phiếm hàm liên tục V : R × Rn → R thỏa mãn:

1.u(||x||) ≤ V (t, x) ≤ v(||x||), t ∈ R, x ∈ Rn (1.20)

2 ˙V(t, ϕ(0)) ≤ −w(||ϕ(0)||) với

V(t + θ , ϕ(θ )) ≤ V (t, ϕ(0)), θ ∈ [−τ, 0] (1.21)

Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều.

Chứng minh. Với ε > 0 tùy ý (ε < H), tồn tại δ = δ (ε) > 0, sao cho v(δ ) < u(ε).Khi đó với t0 cố định bất kì, lấy một nghiệm xt(t0, ϕ) tùy ý của (1.18) sao chokϕk < δ Nếu tồn tại t∗ > t0, ||x(t∗)|| ≥ ε thì:

V(t∗, x(t∗)) > u(||x(t∗)||) > u(ε) > v(δ ) ≥ V (t0, ϕ)

Do đó, tồn tại ¯t ∈ (t0,t∗] sao cho:

˙

V(¯t, x(¯t)) > 0 trong khi đó V (t + θ , x(¯t+ θ )) ≤ V (¯t, x(¯t)), θ ∈ [−τ, 0].Trái với điều kiện (1.21), vậy

kxt(t0, ϕ)k < ε, ∀t > t0, kϕk < δ Hay nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định đều

Định lý 1.2.15 (Định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin) Giả sử tồn tại

u, v, w ∈ K, và phiếm hàm liên tục V : R × Rn→ R thỏa mãn:

Thì nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) ổn định tiệm cận đều.

Chứng minh. Theo định lý (1.2.14) nghiệm tầm thường của trình (1.18) ổn địnhđều Giả sử δ > 0, h > 0 sao cho v(δ ) = u(h) theo định lý (1.2.14) nếu ||φ || ≤ δ thì

V(t, x(t)) ≤ V (t0, x(t0)) − γ(t − t0) ≤ v(δ ) − γ(t − t0).

Do đó

V(t0+ (v(δ )/γ)), x(t0+ (v(δ )/γ))) ≤ v(δ )) − v(δ )) ≤ 0,điều này trái với giả thiết (1.22), vậy tồn tại t∗ ∈ [t0− τ,t0+ (v(δ )/γ)], sao cho

V(t∗, x(t∗)) ≤ u(η) + (N − 1)a và từ (1.23) với mọi t ≥ t∗, ta có:

V(t, x(t)) ≤ V (t∗, x(t∗)) ≤ u(η) + (N − 1)a

Hay

V(t, x(t)) ≤ u(η) + (N − 1)a với t ≥ t0+ (v(δ )/γ)

Giả sử với j = k, k < N, t ≥ t0+ Tk, ta có V (t, x(t)) ≤ u(η) + (N − k)a, thì

V(t, x(t)) ≤ u(η) + (N − k − 1)a,t ≥ t0+ Tk+1.Thật vậy, giả sử ngược lại:

V(t, x(t)) ≤ V (t0+ Tk, x(t0+ Tk)) − γ(t − t0− Tk) ≤ v(δ ) − γ(t − t0− Tk) < 0,với t ≥ t0+ Tk+1, điều này trái với giả thiết (1.22)

Vậy tồn tại t∗ ∈ [t0+ Tk− τ,t0+ Tk+1), sao cho V (t∗, x(t∗)) ≤ u(η) + (N − k − 1)a

và từ (1.23) với mọi t ≥ t∗ ta có:

V(t, x(t)) ≤ V (t∗, x(t∗)) ≤ u(η) + (N − k − 1)a

Hay

V(t, x(t)) ≤ u(η) + (N − k − 1)a với t ≥ t0+ Tk+1

Vậy (1.24) được chứng minh, với j = N ta có V (t, x(t)) ≤ u(η), ∀t ≥ t0+ Nv(δ )/γ

ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.2.16 Xét phương trình vi phân hàm

˙x(t) = −a(t)x(t) − b(t)x(t − r(t)),

trong đó a(t), b(t), r(t) liên tục và bị chặn trên R, |b(t)| ≤ a(t), 0 ≤ r(t) ≤ r với mọi

t ∈ R

Chọn V (x(t)) = 12x2(t) Nếu V (x(t − r(t))) ≤ V (x(t)) thì |x(t − r(t))| ≤ |x(t)|, và tacó:

Chương 2

Phương trình vi phân có xung

và ứng dụng

2.1 Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung

2.1.1 Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung

Xét phương trình vi phân có xung (xem[6],[10],[11]):

(

˙

x= f (t, x), t 6= tk,

∆x(tk) = Ik(x(tk−)), k = 1, 2, , (2.1)trong đó,

2 Xét phương trình vi phân có xung:

với điều kiện ban đầu x(0) = 0 với t ∈ [t0,t1) = [0,π

4) nghiệm của phương trình(2.3) là x(t) = tant Với t ∈ [t1,t2) = [π

(x(t) = tan(t −π

4)x(t1+) = 0

2) vì limt→π

2

−tant = ∞

Qua các ví dụ xét ở trên chúng ta có thể xây dựng một mô hình của phương trình

vi phân có xung, và đưa ra một ví dụ thực tế:

Xét một quá trình tiến hóa được xác định bởi hệ:

(i) Phương trình vi phân

˙

trong đó, Ω ⊂ Rn, Ω là tập mở, x = col(x1, x2, , xn) ∈ Ω; f : R+× Ω → Rn,(ii) tập M(t), N(t) ⊂ R+× Ω, ∀t ∈ R+

(iii) toán tử A(t) : M(t) → N(t) với mỗi t ∈ R+

Giả sử Ω là không gian pha của quá trình tiến hóa Kí hiệu Pt là đồ thị của quátrình tiến hóa tại thời điểm t, đồ thị Pt là cặp (t, x) của không gian hữu hạn n + 1chiều Tập R+× Ω được gọi là là không gian pha mở rộng của quá trình tiến hóa.Giả sử x(t) = x(t,t0, x0) là nghiệm của (2.4) tại thời điểm ban đầu (t0, x0) quátrình tiến hóa như sau:

Đồ thị Pt của quá trình tiến hóa bắt đầu tại điểm Pt0 = (t0, x0), di chuyển dọctheo đường cong {(t, x(t)) : t ≥ t0} đến thời điểm t1 > t0, tại t1 đồ thị Pt gặp M(t),toán tử A(t1) lập tức biến điểm Pt−

1 = (t1, (x(t1−))) thành Pt+

1 = (t1, x+1 ) ∈ N(t), x+1 =A(t1)x(t1−) Sau đó Pt bắt đầu tại Pt1 = x(t1, x+1 ) di chuyển dọc theo đường cong{(t, x(t)) : t ≥ t0, x(t) = x(t,t1, x+1) nghiệm của (2.4)} đến thời điểm t2 > t1, tại t2

đồ thị Pt gặp M(t), một lần nữa Pt−

2 = (t2, x(t2−)) được dịch chuyển đến điểm Pt+

2 =(t2, x+2) ∈ N(t), x+2 = A(t2)x(t2−), quá trình tiến hóa cứ tiếp tục khi nghiệm của (2.4)tồn tại

Mối quan hệ giữa (i),(ii),(iii) đặc trưng bởi quá trình tiến hóa trên lập thành hệphương trình vi phân có xung Đường cong mô tả các điểm Pt là đường cong tíchphân và hàm định nghĩa đường cong tích phân là nghiệm của hệ phương trình viphân với xung Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm:

*Liên tục nếu đường cong không có điểm thuộc tập M(t), hoặc các điểm chungcủa chúng là các điểm bất động của toán tử A(t)

*Liên tục từng mảnh với hữu hạn các điểm tại đó gián đoạn loại 1 nếu đườngcong tích phân giao với M(t) tại các điểm không là bất động của toán tử A(t)

*Liên tục từng mảnh với đếm được các điểm gián đoạn loại 1 nếu đường congtích phân giao với M(t) tại một số điểm đếm được, tại đó không là bất động củaA(t)

Thời điểm tk mà tại đó Pt gặp M(t) được gọi là hiệu ứng xung, toán tử A(t) :

M(t) → N(t) gọi là toán tử nhẩy (jump operator).

Ví dụ mô hình tương tác vật dữ-con mồi mà Volterra đã đưa ra chưa có xungnhư sau:

1 Con mồi sinh trưởng không giới hạn khi vật dữ không kiểm soát nó

2 Vật dữ sống sót nhờ sự có mặt của con mồi làm thức ăn

3 Tốc độ ăn thịt phụ thuộc vào xác suất con mồi gặp vật dữ

4 Tốc độ tăng trưởng của quần thể vật dữ tỉ lệ thuận với lượng thức ăn kiếmđược

Từ những giả thiết trên, Volterra đã thiết lập phương trình cho mô hình như sau:

dt = −Cy(t) + Dx(t)y(t),

(2.5)

trong đó x(t), y(t) là mật độ quần thể con mồi và vật dữ tại thời điểm t(t ≥ 0),A(A > 0) tốc độ tăng trưởng thực của quần thể con mồi khi không có mặt vật dữ.C(C > 0) là tỉ lệ chết thực của quần thể vật dữ khi không có mặt con mồi B, D làcác hằng số thỏa mãn DB là hiệu suất săn mồi, xy thể hiện xắc suất vật dữ gặp conmồi

Mô hình trên đã bỏ qua rất nhiều yếu tố, vì trong thực tế sự tương tác giữa vật

dữ và con mồi là rất phức tạp Ví dụ tại một thời điểm nào đó diễn ra sự nhập cư và

di cư của vật dữ hoặc con mồi, săn bắt hay nuôi thêm vật dữ hoặc con mồi của conngười, sự thay đổi thời tiết, thu hoạch mùa vụ, phun hóa chất Các yếu tố trên làmảnh hưởng đến mật độ quần thể của vật dữ và con mồi tại mỗi thời điểm ta gọi làxung Kết hợp với những yếu tố này với mô hình Volterra ta thu được phương trình

vi phân có xung

Ví dụ tại thời điểm t = tk mật độ của vật ăn thịt bị thay đổi, ta có thể giả sử

∆y(tk) = y(tk+) − y(tk−) = gky(tk−), (2.6)trong đó y(tk−), y(tk+) = y(tk) là mật độ động vật ăn thịt trước và sau khi bị xung,

gk ∈ R là đặc trưng cho hiệu ứng xung tại tk Nếu gk > 0 thì mật độ của vật ăn thịt

tăng, gk < 0 thì mật độ của vật ăn thịt giảm.

Kết hợp (2.5),và (2.6) ta được hệ phương trình vi phân có xung:

có xung có thể mô tả được sự thay đổi tại thời điểm nào đó có tác động bên ngoài

2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân

PC([0, T ], Rn) = {x : [0, T ] → Rn, x(t) liên tục, khả vi với t 6= tk liên tục

phải tại tk, giới hạn trái tại tk tồn tại hữu hạn với k = 1, 2, p},

như vậy, PC([0, T ], Rn) là không gian Banach với chuẩn

Với các điều kiện A.1-A.3 thỏa mãn ta có các định lý sau:

Định lý 2.1.3 Hàm x(t) ∈ PC([0, T ], Rn) là nghiệm của phương trình (2.8) khi và

chỉ khi

x(t) = x0+

Z t 0

˙x(s)ds +

Z t2

t1

˙x(s)ds + +

Z t

tj

˙x(s)ds

f(s, x(s))ds+ [x(t1+) − x(t1−)] + [x(t2+) − x(t2−)] + + [x(t+j ) − x(t−j )]

= x(0) +

Z t 0

Định lý 2.1.4 Giả sử tồn tại các hằng số M > 0, hi > 0, i = 1, 2, , p, sao cho:

hi< 1, nên F là ánh xạ co trên PC([0, T ], Rn) Theo nguyên lý ánh xạ

co thì F tồn tại duy nhất một điểm bất động vậy phương trình (2.8) có nghiệm duynhất trong PC([0, T ], Rn)