phân có xung
Định lý 2.2.11. Giả sửV ∈C[R+×S(ρ),R+],V(t,x)là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn:
(1)V(t,x)≥a(||x||),V(t,0) =0, a∈K,(t,x)∈R+×S(ρ),
V(tk,x(tk))≤V(tk−,x(tk−)),
(2)V˙(t,x)≤0,t 6=tk.
Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) ổn định.
Chứng minh. Vớiε >0theo tính chất của hàmV tồn tạiδ =δ(t0,ε)>0sao cho x∈Ω,||x||<δ thì sup
||x||<δ
V(t0,x)<a(ε).Vớix(t) =x(t,t0,x0)là nghiệm của (2.19) theo hệ quả (2.2.8) ta có:
a(||x||)≤V(t,x(t))≤V(t0,x)<a(ε).
Vậy ||x(t)||<ε.
Định lý 2.2.12. Giả sửV ∈C[R+×S(ρ),R+],V(t,x)là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn:
(1)a(||x||)≤V(t,x)≤b(||x||),V(t,0) =0, a,b∈K,(t,x)∈R+×S(ρ),
V(tk,x(tk))≤V(tk−,x(tk−)),
(2)V˙(t,x)≤0,t 6=tk.
Khi đó nghiệm tầm thường của hệ (2.19) là ổn định đều.
Chứng minh. Vớiε>0cho trước, chọnδ=δ(ε)>0sao chob(δ)<a(ε),||x(t0)||<
δ,x(t) =x(t,t0,x0)nghiệm của (2.19). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.2.11), ta có:
a(||x||)≤V(t,x(t))≤V(t0,x)<b(δ)<a(ε).
Vậy ||x(t)||<ε vớit ≥t0.
Định lý 2.2.13. Giả sửV ∈C[R+×S(ρ),R+],V(t,x)là Lipschitz địa phương theo x thỏa mãn:
a(||x||)≤V(t,x)≤b(||x||),V(t,0,) =0a,b∈K,(t,x)∈R+×S(ρ), (2.24) V(tk,x(tk))≤V(tk−,x(tk−)), (2.25) ˙
V(t,x)≤ −c(||x(t||)),t 6=tk,c∈K. (2.26)
Chứng minh. Theo định lý (2.2.12) thì nghiệm tầm thường của (2.19) là ổn định đều, khi đó tồn tại α >0sao cho||x(t,t0,x0)|| ≤α,∀t ≥t0. Ta chứng minh nghiệm tầm thường của nó hút đều toàn cục. Thật vậy vớiε>0cho trước, chọnη=η(ε)>
0sao chob(η)<a(ε),vàT > bc((α)
η).Giả sử với mỗit ∈[t0,t0+T]thì||x(t,t0,x0)|| ≥
η. Từ (2.26) ta có:
V(t,x(t,t0,x0))≤V(t0,x0)−
Z t t0
c(||x(t,t0,x0)||)ds≤b(α)−c(η)T <0, (2.27) trái với (2.24) vậy tồn tạit∗∈[t0,t0+T]sao cho||x(t∗,t0,x0)|| ≤η.
Từ (2.24), (2.25), (2.26) vớit ≥t∗ ta có:
a(||x(t,t0,x0)||)≤V(t,x(t,t0,x0))≤V(t∗,x(t∗,t0,x0)) ≤b(||x(t∗,t0,x0)||)<b(η)<a(ε).
Vậy vớit ≥t0+T ≥t∗ thì||x(t,t0,x0)||<ε.
Ví dụ 2.2.14. Xét hệ phương trình vi phân có xung:
˙ x(t) =n(t)y+m(t)x, t 6=tk,t ≥0, ˙ y(t) =−n(t)x+m(t)y, t 6=tk,t ≥0, ∆x(tk) =ckx(tk−),∆y(tk) =dky(tk−),k=1,2, ..., x(0) =x0,y(0) =0, (2.28)
trong đóx,y∈R,các hàm n(t), m(t) liên tục trênR,−1<ck ≤0,−1<dk≤0,k= 1,2, ...,0<t1<t2< ....,lim
k→∞tk =∞.
ChọnV(t,x,y) =x2+y2. Vớit ≥0,t 6=tk, ta có:
˙
V(t,x(t),y(t)) =2m(t)(x(t)2+y(t)2) =2m(t)V(t,x(t),y(t)) Vớit ≥0,t =tk, ta có:
V(tk,x(tk),y(tk)) =V(tk,x(tk−) +ckx(tk−),y(tk−) +dky(tk−))
= (1+ck)2x2(tk−) + (1+dk)2y2(tk−)≤V(tk−,x(tk−),y(tk−)),k=1,2, .... khi đó ta có hệ so sánh: ˙ u(t) =2m(t)u,t 6=tk,t ≥0, u(0) =u0=x2(0) +y2(0), u(tk) =u(tk−), (2.29) trong đóu∈R+.
Hệ (2.29) chính là phương trình vi phân u(t˙ ) =2m(t)u(t),t ≥0,với điều kiện ban đầu u(0) =u0. Ta thấy ngay rắng nếum(t)≤0 thì hệ (2.29) ổn định,m(t)<0 thì hệ (2.29) ổn định tiệm cận. Theo Vậy với m(t)≤0hệ (2.28) ổn định, vớim(t)<0 thì hệ (2.28) ổn định tiệm cận.
2.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung
Ổn định bộ phận nghiệm của phương trình vi phân thường được V.V. Rumi- anxev xây dựng. Sau đây chúng tôi xây dựng cho phương trình vi phân có xung. Giả sử f :R+×Ω×Rm →Rn, vàg:R+×Ω×Rm→Rm,Ik :Ω×Rm →Rn. Trong đó
Ωlà miền mở củaRn chứa gốc tọa độ, giả sử f(t,0,0) =0,g(t,0,0) =0,Ik(0,0) = 0,k=1,2, ...vớit ∈R+.
Xét hệ phương trình vi phân có xung:
˙ x= f(t,x,y), t 6=tk,k=1,2, ..., ˙ y=g(t,x,y), t =6 tk,k=1,2, ..., ∆(x(tk),y(tk)) =Ik(x(tk−),y(tk)), t =tk,k=1,2, ..., (2.30)
Định nghĩa 2.3.1. Kí hiệuz(t) = (x(t),y(t))là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệmz(t) =0là ổn định theo quan hệ đối vớix, nếu
(∀ε>0)(∀t0 ∈R+)(∀z0 ∈Bδ(t
0,ε)),(∀t ≥t0)||x(t,t0,z0)||<ε.
Định nghĩa 2.3.2. Kí hiệuz(t) = (x(t),y(t))là nghiệm của hệ (2.30). Ta nói rằng nghiệmz(t) =0là ổn định đều theo quan hệ đối vớix, nếu
(∀ε>0)(∀t0∈R+)(∀z0∈Bδ(ε)),(∀t ≥t0)||x(t,t0,z0)||<ε.
Định lý 2.3.3. Giả sửV ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V(t,x,y)là Lipschitz địa phương theo (x,y) thỏa mãn:
(1)V(t,x,y)≥a(||x||),V(t,0,0) =0,(t,x,y)∈R+×Ω×Rm,
V(tk,x(tk),y(tk))≤V(tk−,x(tk−),y(tk)),
(2)V˙(t,x,y)≤0,t 6=tk.
Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định theo quan hệ đối với x.
Chứng minh. Vớiε >0cho trước, do tính liên tục và điều kiện (1) của hàmV, nên tồn tại δ =δ(t0,ε)>0sao cho||z(t0)||<δ vớit0 ∈R+, thì
sup
||z(t0)||<δ
V(t0,x,y)<a(ε).
Vớiz(t) = (x(t),y(t))là nghiệm của (2.30), theo hệ quả (2.2.8) ta có: a(||x||)≤V(t,x(t),y(t))≤V(t0,x,y)<a(ε).
Định lý 2.3.4. Giả sửV ∈C[R+×Ω×Rm,R+],V(t,x,y)là Lipschitz địa phương theo (x,y), với hàma,b∈K và với bất kỳ(t,x,y)∈R+×Ω×Rm thỏa mãn:
(1)a(||x||)≤V(t,x,y)≤b(||x||+||y||),V(t,0,0) =0, V(tk,x(tk),y(tk))≤V(tk−,x(tk−),y(tk)),
(2)V˙(t,x,y)≤0,t 6=tk.
Khi đó nghiệm tầm thường của (2.30) là ổn định đều theo quan hệ đối với x.
Chứng minh. Với ε >0 cho trước, chọn δ = δ(ε)> 0 sao cho b(δ)<a(ε), với ||z(t0)||<δ/2, t0 ∈R+ và z(t) = (x(t),y(t)) là nghiệm của (2.30). Tương tự như chứng minh đinh lý (2.3.3), ta có:
a(||x||)≤V(t,x(t),y(t))≤V(t0,x,y)
≤b(||x(t0)||+||y(t0)||)≤b(2||z(t0)||)<b(δ)<a(ε).
vậy ||x(t)||<ε vớit ≥t0.