Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của phương trình vi phân vào dữ kiện đầu và tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Đặng Thị Thanh Huyền SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀO DỮ KIỆN ĐẦU VÀ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Đặng Thị Thanh Huyền SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀO DỮ KIỆN ĐẦU VÀ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Trần Văn Tuấn HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy, giáo khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dẫn em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè ln bên em, động viên giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Đặng Thị Thanh Huyền i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy khoa Tốn, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thạc sĩ Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo cuối khóa luận Em xin khẳng định kết đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Đặng Thị Thanh Huyền Mục lục Lời mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều 1.2 Tích vơ hướng hai véc tơ 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy nguyên lý điểm bất động 1.4 Khái quát hệ phương trình vi phân 11 1.4.1 Hệ phương trình vi phân 11 1.4.2 Định lý tồn nghiệm phương trình 13 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt phương trình 14 1.4.4 Định lý Azela-Ascoli, định lý Peano bất đẳng thức Gronwall 20 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số 2.1 25 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu ii 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào tham số 30 Kết luận 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 iii Lý chọn đề tài Phương trình vi phân nhánh quan trọng toán học đề xuất nghiên cứu sớm nhiều nhà toán học, xem [4] Những nghiên cứu thúc đẩy áp dụng quan trọng từ nhiều tốn thực tiễn: Vật lý, Hoá học, Sinh học, Kinh tế, Các nghiên cứu phương trình vi phân tập trung trả lời câu hỏi tồn tại, tính phụ thuộc liên tục nghiệm Trên thực tế, mơ hình hố tượng kiện ban đầu hệ số phương trình thường lấy từ đo đạc, quan sát thực tiễn Hơn trình đo đạc kiện ban đầu (dữ kiện Cauchy) tránh khỏi sai số cần dùng thêm yếu tố phụ (tham số) Vì câu hỏi thu hút quan tâm nghiên cứu từ sớm ảnh hưởng kiện đầu tham số nghiệm phương trình vi phân Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân tơi chọn đề tài: “Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số” để thực khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đặc biệt liên tục nghiệm phương trình vi phân Đối tượng nghiên cứu Tìm hiểu phụ thuộc liên liên tục nghiệm vào kiện đầu tham số Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình vi phân, nghiệm hệ phương trình vi phân, tính liên tục nghiệm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu, thao khảo tài liệu, sưu tầm lí luận, phân tích lý thuyết giải minh họa, tổng hợp kiến thức nghiên cứu bảo thầy hướng dẫn Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương • Chương 1: Những kiến thức • Chương 2: Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn thầy Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Thị Thanh Huyền v Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên R Tập số thực C Tập số phức R+ Tập số thực không âm C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b] C([a, b], Rn ) Không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi | chuẩn Euclide x = , i=1 x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử Rn |x| Chuẩn phần tử x, Kết thúc chứng minh x21 + · · · + x2n Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm, kết liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach ánh xạ co sử dụng khóa luận, chi tiết tham khảo [1, 4] 1.1 Khơng gian chuẩn hữu hạn chiều Kí hiệu Rn khơng gian véc tơ thực n chiều Các phần tử véc tơ n chiều có dạng x = (x1 , x2 , , xn ) Đôi ta viết véc tơ x dạng ma trận cột Các số thực x1 , x2 , , xn gọi tọa độ véc tơ x Phép cộng véc tơ xác định phép cộng tọa độ, phép nhân véc tơ với số thực xác định tương tự Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), thu ánh xạ tuyến tính B : R m → Rn , Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Chứng minh Cơng thức (1.25) hồn tồn xác định ∞ k=0 (tA)k ≤ k! ∞ k=0 (t A )k k! chuỗi bên phải hội tụ Đồng thời d (tA)k (tA)k−1 = , dt k! (k − 1)! ∀k ≥ Nên lấy đạo hàm hai vế (1.25) d e(t+h)A − etA etA ehA − etA S(t) = lim = lim h→0 h→0 dt h h hA e −I = etA lim h→0 h ehA − I = S(t) lim h→0 h (hA)0 (hA)1 (hA)n I = S(t) lim + + + + − h→0 0!h 1!h n!h h n−1 n h A = S(t) lim A + + + h→0 n! = S(t)A d S(t) = S(t)A Từ với ý xem định dt lý Liouville( xem [4, Theorem 3.4]) Tương tự ta có det(S(t)) = et.trace(A) = S(t) t=0 = I ta nhận S(t) ma trận nghiệm hệ (1.24) Định lí chứng minh Chú ý 1.8 Từ Định lí 1.7 cơng thức biến thiên số cho phương 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN trình vi phân với hệ số khơng có dạng t S(t − s)b(s)ds, ∀t ∈ R, x(t) = S(t)x0 + (1.26) với nghiệm x(t) hệ (1.24) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Để kết thúc mục chúng tơi dẫn số tích chất quan trọng ma trận S(t) Mệnh đề 1.1 Ma trận S(t) thoả mãn tính chất 1) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R 2) S(0) = I 3) S(t)−1 = S(−t), ∀t ∈ R 4) lim S(t)x = S(t0 )x, ∀x ∈ Rn , ∀t0 ∈ R t→t0 1.4.4 Định lý Azela-Ascoli, định lý Peano bất đẳng thức Gronwall Định nghĩa 1.8 Họ hàm {fλ } : I → Rn , ∀λ gọi đồng liên tục ∀ε > có tồn số δ > (không phụ thuộc vào ε λ) cho ∀t, t , |t − t | < δ ⇒ fλ (t) − fλ (t ) < ε Định lý 1.9 (Định lý Azela-Ascoli) Cho họ hàm fλ : [a, b] → Rn , ∀λ đồng liên tục bị chặn [a, b] Khi họ hàm {fλ } có chứa dãy {gn (t)} hội tụ đến hàm g(t) liên tục [a, b] 20 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Định lý sau không giả thiết tính liên tục Lipschitz f biến x khẳng định tính nghiệm Định lý 1.10 (Định lý Peano) Cho ánh xạ f : ∆ → Rn hàm liên tục bị chặn xác định ∆ = {(t, x) ∈ Rn+1 ; |t| ≤ a, x − x0 ≤ b} Thì tốn Cauchy xi = fi (t, x1 , , xn ), i = 1, , n, xi (0) = xi , i = 1, , n, nhận nghiệm khoảng I := [−δ, δ], δ := min(a, b ), M := sup f (t, x) M (t,x)∈∆ Nếu a = dist(E, ∂D) > 0, ∂D biên D, α = min(a, Mb ).Với f không bị chặn D, ta chọn tập mở D0 có bao đóng compact D chứa E Định lý 1.11 Cho Ω ⊂ Rn+1 tập mở giả sử hàm f = f (t, x) : Ω → Rn+1 liên tục Lipchitz địa phương, ∀(0, x0 ) ∈ Ω tồn x(t) = x(t, x0 ) cuả x(t) ˙ = f (t, x) xác định tiệm cận t = thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t, x0 ) t=0 21 = x0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Nghiệm x(t, x0 ) gọi nghiệm tách, xác định khoảng thường phụ thuộc (0, x0 ) Trong trường hợp giả sử thời điểm t = ban đầu cố định Nếu có v biến đổi khoảng lân cận x0 nghiệm tương ứng x(t, v) bị sai lệch so với x(t, x0 ) xác định hình câu tâm x0 , bán kính η Kí hiệu B(x0 , η) := {v ∈ Rn ; v − x0 ≤ η } Định lý 1.12 Cho tập M không gian metric X gọi compact với dãy {xn } ∈ M có chứa dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc M Định lý 1.13 Cho không gian metric X Y (metric X kí hiệu ρX , metric Y kí hiệu ρY ) Một ánh xạ f từ X vào Y gọi liên tục điểm x0 ∈ X (∀ε > 0)(∃δ > 0) (∀x ∈ X), ρX (x, x0 ) < δ; ρY (f (x), f (x0 ) < ε Tương đương với f (xn ) → f (x0 ) với dãy xn → x0 Ánh xạ f liên tục liên tục điểm x ∈ X Phần nhắc lại bất đẳng thức Gronwall Đây cơng cụ hữu ích đánh giá, ước lượng nghiệm nhiều toán Bổ đề 1.1 Bất đẳng thức Gronwall Giả sử x(t), ϕ(t) ψ(t) hàm số liên tục [a, b] thoả mãn bất đẳng thức t x(t) ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a, b], ϕ(t) + a 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN 0, ∀t ∈ [a, b] Khi ψ(t) t x(t) ϕ(t) + t (ϕ(s)ψ(s) exp( a (ϕ(τ ))dτ )ds s Trường hợp đặc biệt, ϕ ≡ C t x(t) (ψ(s))ds)ds, ∀t ∈ [a, b] C exp( a t Chứng minh Đặt y(t) = (ψ(s)x(s)ds y(t) ˙ = ψ(t)x(t) a t x(t) (ψ(s)x(s))ds, t ∈ [a, b], ϕ(t) + a viết lại thành x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) Từ ψ(t) ≥ 0, ta có ψ(t)x(t) ≤ ψ(t)ϕ(t) + ψ(t)y(t), y(t) ˙ = ψ(t)x(t) ≤ ψ(t)ϕ(t) + ψ(t)y(t) t Nhân hai vế bất phương trình với exp(− (ψ(s))ds để có a d (y(t)exp(− dt t t (ψ(s))ds) ≤ ψ(t)ϕ(t)exp(− a (ψ(s))ds) a Kết hợp lại ta có t y(t) ≤ t (ϕ(s)ψ(s)exp( a (ϕ(τ ))dτ )ds s 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Do x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) nên ta có t x(t) ≤ ϕ(t) + y(t) ≤ x(t) ϕ(t) + (ϕ(s)ψ(s)exp( a Nên ta có điều phải chứng minh 24 t (ϕ(τ ))dτ )ds s Chương Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số Chương dành để nghiên cứu phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện đầu tham số Xét phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x), (t, x) ∈ [0, T ) × Rn , (2.1) thỏa mãn x(0) = x0 , xác định tập mở Ω ⊂ Rn+1 Giả thiết hàm f : Ω −→ Rn+1 liên tục với (t, x) Lipchitz địa phương với biến x 2.1 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu Định lý 2.1 Cho [0, T ) khoảng xác định khoảng cực đại phải nghiệm x(t; x0 ) (2.1) Khi đó, với T ∈ [0, T ), tồn η = 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN η(T ) > cho ∀v ∈ S(x0 , η) nghiệm x(t; v) xác định khoảng nghiệm [0, T ] ánh xạ B(x0 , η) v → x(t; v) ∈ C([0, T ]; Rn ) ánh xạ liên tục từ hình cầu S(x0 ; η) đến không gian C([0, T ]; Rn ) ánh xạ liên tục từ [0, T ] → Rn Chứng minh Gọi T cố định thuộc [0, T ) Giới hạn x(t; x0 ) [0, T ) liên tục, đồ thị giới hạn compact Chúng tìm tập mở ¯ compact Ω ¯ ⊂ Ω cho Ω , bao đóng Ω ¯ , dist(Ω ¯ , ∂Ω) =: δ > {(t, x(t; x0 )); ≤ t ≤ T } ⊂ Ω (2.2) Ta biểu diễn K - Tập nhỏ Ω, xác định ¯)≤ K := (t; x) ⊂ Ω; dist([t; x), Ω δ (2.3) Với (0, v) ∈ Ω ; ∃ T tối đại thuộc (0, T ] cho nghiệm x(t; v) tồn với t thuộc [0, T ] {(t, x(t; v)), ≤ t ≤ T } ⊂ K Vì x(t; x0 ) x(t; v) nghiệm toán Cauchy với điều kiện đầu x0 v nên ta có x(t; ˙ x0 ) = f (t, x(t; x0 )), với x(0; x0 ) = x0 , (2.4) x(t; ˙ v) = f (t, x(t; v)), (2.5) với x(0; v) = v Trừ (2.4) cho (2.5) lấy tích phân hai vế đẳng thức [0, T ], ta có đẳng thức sau t x(t, x0 ) − x(t, v) = (f (s, x(s; x0 )) − f (s, (s; v)))ds 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Do đồ thị x(s; x0 ) x(s; v) đoạn [0, T ] chứa tập compact K, giả sử Lipchizt địa phương tồn số Lk > cho t x(t; x) − x(t; v) ≤ x0 − v + Lk x(s; x0 ) − x(s; v)) ds Bất đẳng thức Gronwall cho ta biết x(t; x) − x(t; v) ≤ eLk (t) x0 − v , ∀ t ∈ [0, T ] (2.6) Ta chứng minh T ∈ [0, T ), ∃ η = η(T ) > cho ∀v ∈ B(x0 ; η), (a) : Nghiệm x(t; v) xác định [0, T ], (b) : Đồ thị nghiệm bao hàm R Ta giả sử điều ngược lại, tìm thấy dãy (vj )j≥1 Rn cho (j ≥ 1), j +,Cực đại khoảng [0, Tj ] với tính chất đồ thị x(t; 0, vj ) +, x0 − vj ≤ bao hàm K, điều hòa nửa khoảng [0, T ) Áp dụng (2.6) nêu trên, ta kết luận x(t; x0 ) − x(t; vj ) ≤ eLk (t) , ∀ ≤ t ≤ Tj j (2.7) δeLk (t) , khoảng cách đồ thị x(t; vj ) đồ Do đó, j ≥ δ thị x(t; x0 ) [0, Tj ] nhỏ 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Điều kiện (2.2) (2.3) có nghĩa dist((t, x(t; vj )), ∂K) ≥ δ , ∀t ∈ [0, Tj ] Chúng ta kết luận hàm x(t; vj ) mở rộng yếu phía bên phải Tj nghiệm phương trình (2.1), đồ thị liên tục K (điều vi phạm tính cực đại Tj ) Chứng minh tồn η(T ) với tính chất tiên đề (a),(b) Bây xét nghiệm x(t; u) x(t; v), u, v ∈ B(x0 , η(T )) Với t ∈ [0, T ] ta có t x(t; u) − x(t; v) = u − v + (f (s, x(s; u)) − f (s, x(s; v)))ds Sử dụng điều kiện Lipschitz địa phương ta suy t x(s; u) − x(s; v)) ds x(t; u) − x(t; v) ≤ u − v + Lk (2.8) Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có x(t; x0 ) − x(t; v) ≤ eLk (t) u − v , ∀ t ∈ [0, T ] (2.9) Bất đẳng thức cuối chứng minh liên tục ánh xạ v → x(t; 0, v) hình cầu B(x0 , η(T )) Đến hoàn thành việc chứng minh định lý Xét trường hợp đặc biệt f (t, x) = f (x) Khi với giả sử hàm f : Rn → Rn hàm Lipchizt địa phương, ánh xạ f không phụ thuộc vào t Ta phải chứng minh f trường vectơ Rn 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Với x0 ∈ Rn , xét ánh xạ S(t) : Rn → Rn với S(t)x0 := x(t; x0 ), x(t; x0 ) nghiệm phương trình x(t) ˙ = f (x(t)), x(0) = x0 thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Từ Định lý 2.1 ta thấy ∀x0 ∈ Rn , ∃ T > 0, lân cận U0 = B(x0 , η) x0 cho S(t)u xác định với u ∈ U0 , |t| ≤ T Hơn nữa, ánh xạ u0 U −→ S(t)u ∈ Rn liên tục ∀ |t| ≤ T Từ định lý tồn lân cận địa phương kết luận họ ánh xạ : S(t) : U0 → Rn (−T ≤ t ≤ T ), có tính chất sau • S(0)u = u, ∀u ∈ U0 , • S(t+s)u = S(t)S(s)u, ∀s, t ∈ [−T, T ] cho |t+s| ≤ T ; S(s)u ∈ U0 • lim S(t)u = u, ∀u ∈ U0 t→0 Họ ánh xạ {S(t)}|t|≤T gọi dòng địa phương sinh trường vectơ f : Rn → Rn Từ xác định S(t), kết luận f (u) = lim t→0 (S(t)u − u), ∀u ∈ U0 t 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào tham số Bây xét phương trình vi phân sau x˙ = f (t, x, λ), λ ∈ ∧ ⊂ Rm (2.10) Với f : Ω × ∧ → Rn hàm liên tục, Ω tập mở Rn+1 , ∧ = {(λ1 , , λm ) ∈ Rm ; λi ∈ (ai , bi ), ∀i = 1, m, m ≥ 1} tập Rm Ta giả sử f Lipschitz địa phương theo (x, λ) Ω × ∧, nghĩa Ω ⊃ K1 × K2 ⊂ ∧ , tồn số dương L cho f (t, x, λ)−f (t, y, µ) ≤ L( x−y + λ−µ ), ∀(t, x); (t, y) ∈ K1 , λ, µ ∈ K2 Ta kí hiệu biểu thức định chuẩn tương tự − Rn ∨ Rm Với (0, x0 ) ∈ Ω, ∀ λ ⊂ ∧, theo định lý tồn nghiệm phương trình vi phân, hệ (2.10) có nghiệm x = x(t; x0 , λ) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Trong phần này, nghiên cứu tính chất ánh xạ ∧ λ → x(t) = x(t; x0 , λ) x nghiệm hệ Kết phần định lý sau Định lý 2.2 Cho trước (0; x0 , λ0 ) ∈ Ω × ∧ [0, T ) khoảng cực đại 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ĐẶNG THỊ THANH HUYỀN mà tồn nghiệm x(t; x0 , λ) phương trình (2.10) Khi ∀ T ∈ [0, T ), ∃η = η(T ) > cho ∀ λ ∈ B(λ0 , η) có nghiệm x(t; x0 , λ) xác định [0, T ] Ánh xạ B(λ0 ; η) λ −→ x(t; x, λ) ∈ C([0, T ]; Rn ) liên tục Chứng minh Bộ trường hợp đặc biệt định lý 2.1, phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu Thật vậy, ta kí hiệu Q (n + m) chiều vectơ (x, λ) ∈ Rn+m ta xác định f : Ω × ∧ → Rn+m , f (t, x, λ) = (f (t, x, λ), 0) ∈ Rn × Rn , hệ (2.10) viết dạng z(t) ˙ = f (t, z(t)) (2.11) Trong điều kiện ban đầu trở thành z(t0 ) = z0 := (x0 , λ) Ta quy toán nghiệm phụ thuộc z(t) (2.11) với điều kiện ban đầu Giả sử cho thấy f thỏa mãn giả sử Định lý 2.1 Tới ta hoàn thành việc chứng minh định lý 31 Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận đề tài “Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số” Trong khóa luận này, khái quát lại nội dung phương trình vi phân, từ nhấn mạnh liên tục nghiệm theo kiện đầu tham số Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đươc đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần 1, NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] V Barbu, Differential equations, Springer, Cham, 2016 33 ... Gronwall 20 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số 2.1 25 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu ii... số nghiệm phương trình vi phân Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân chọn đề tài: Sự phụ thuộc liên tục nghiệm phương trình vi phân vào kiện đầu tham số để thực khóa luận tốt... PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* Đặng Thị Thanh Huyền SỰ PHỤ THUỘC LIÊN TỤC CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀO DỮ KIỆN ĐẦU VÀ THAM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích