Nghiệm nhớt liên tục của phương trình hamilton jacobi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHAN VĂN LỘC NGHIỆM NHỚT LIÊN TỤC CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành khoá luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy cô khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khoá luận Trong khuôn khổ có hạn khoá luận, điều kiện thời gian, trình độ có hạn lần nghiên cứu khoa học không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót định Vì vậy, em kính mong nhận góp ý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phan Văn Lộc LỜI CAM ĐOAN Khoá luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô giáo khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Văn Bằng Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton-Jacobi” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Phan Văn Lộc Mục lục Mở đầu Chương Nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Một số phép toán tính chất nâng cao nghiệm nhớt 12 1.3 Hàm marginal 21 Chương Tính tính quy nghiệm nhớt 27 2.1 Tính so sánh nghiệm 27 2.2 Tính quy nghiệm nhớt 40 2.2.1 Tính liên tục Lipschitz nghiệm nhớt 40 2.2.2 Tính nửa lõm 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi xét toán phương trình đạo hàm riêng ta thường gặp khả khác nghiệm Ta nói toán phương trình đạo hàm riêng đặt chỉnh nghiệm thỏa mãn ba điều kiện: tồn nghiệm toán, nghiệm nhất, nghiệm phụ thuộc liên tục vào kiện toán Một cách tự nhiên, ta đòi hỏi nghiệm phương trình đaọ hàm riêng cấp k F(x, u, Du, , Dk u) = 0, ∀x ∈ Ω ⊂ RN hàm k lần khả vi liên tục Nghiệm với độ trơn gọi nghiệm cổ điển Nhưng thực tế, phương trình đạo hàm riêng có nghiệm cổ điển Vì đòi hỏi phải đưa khái niệm “nghiệm suy rộng” thích hợp (nghiệm không cần khả vi đến cấp k, chí không liên tục) Một loại nghiệm suy rộng có ý nghĩa quan trọng “nghiệm nhớt” Khái niệm “nghiệm nhớt” M G Gandall P L Lions đưa vào năm đầu thập kỷ 80, mở hướng nghiên cứu hiệu việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, cấp 2, có phương trình Hamilton-Jacobi Thay buộc nghiệm u phải thỏa mãn phương trình khả vi đến cấp k , tác giả đòi hỏi nghiệm liên tục, thỏa mãn bất đẳng thức vi phân thông qua “hàm thử” đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, đồng thời hướng dẫn nhiệt tình thầy Trần Văn Bằng chọn đề tài “Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton - Jacobi” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamiltol-Jacobi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm nhớt liên tục lớp phương trình HamiltonJacobi bao gồm khái niệm, tính chất Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại khái niệm, tính chất Cấu trúc khóa luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton-Jacobi Chương Tính tính quy nghiệm nhớt Chương Nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi 1.1 Định nghĩa tính chất Trong mục ta trình bày hai định nghĩa tương đương nghiệm nhớt phương trình Hamiltol-Jacobi nghiên cứu mối quan hệ chúng dựa vào nguyên lý so sánh nghiệm mối quan hệ với khái niệm nghiệm cổ điển phương trình Hamilton-Jacobi (viết tắt (HJ)) Cho phương trình Hamilton-Jacobi dạng: F(x, u(x), Du(x)) = x ∈ Ω (HJ) Trong Ω tập mở Rn hàm Hamilton F(x, r, p) hàm liên tục lấy giá trị thực Ω × R × Rn Định nghĩa 1.1 Một hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi với ϕ ∈ C1 (Ω) : F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ (1.1) điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω hàm u − ϕ Tương tự hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi với ϕ ∈ C1 (Ω) : F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ (1.2) điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω hàm u − ϕ Cuối u nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt Hàm ϕ(x) gọi hàm thử Chúng ta biết cách xác định nghĩa áp dụng cho phương trình Hamilton-Jacobi tiến hóa có dạng: ut (t, y) + F(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0, (t, y) ∈ [0, T ] × D Thật vậy, phương trình đưa phương trình (HJ) cách đặt : ˜ r, p) = qn+1 + F(x, r, p1 , , qN ) x = (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1 , F(x, với q = (q1 , , qN , qN+1 ) ∈ Rn+1 Nhận xét 1.1 Trong định nghĩa nghiệm nhớt ta giả sử x0 điểm cực đại địa phương ngặt hàm u − ϕ (nếu không ta thay ϕ(x) ϕ(x) + |x − x0 |2 ) Hơn (1.1) phụ thuộc vào giá trị Dϕ x0 , nên không tính tổng quát ta giả sử u(x0 ) = ϕ(x0 ) Đối với định nghĩa nghiệm nhớt ta có nhận xét tương tự Về mặt hình học điều có nghĩa hàm thử điều kiện nghiệm nhớt (1.1) u tiếp xúc với đồ thị u Ta ý không gian C1 (Ω) hàm thử Định nghĩa 1.1 thay C∞ (Ω) Mệnh đề sau thể đặc trưng nghiệm nhớt mối quan hệ với định nghĩa nghiệm cổ điển Mệnh đề 1.1 (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt (HJ) Ω, u nghiệm nhớt (HJ) Ω , với Ω ⊂ Ω; (b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) nghiệm cổ điển (HJ), tức u khả vi điểm x ∈ Ω và: F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) = ∀x ∈ Ω (1.3) Khi u nghiệm nhớt (HJ); (c) Nếu hàm u ∈ C1 (Ω) nghiệm nhớt (HJ), u nghiệm cổ điển Chứng minh (a) Nếu x0 cực đại địa phương (trên Ω ) u − ϕ, ˜ với ϕ ∈ C1 (Ω ) , x0 cực đại địa phương (trên Ω) u − ϕ, ¯ , r), với r ≥ Từ (1.1) ta ϕ˜ ∈ C1 (Ω ) thỏa mãn ϕ˜ ≡ ϕ B(x có ˜ )) = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≥ F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x Chứng tỏ u nghiệm nhớt (HJ) Ω Lập luận tương tự ta có u nghiệm nhớt (HJ) Ω Vậy (a) chứng minh xong (b) Lấy ϕ ∈ C1 (Ω) Từ tính khả vi u nên điểm cực tiểu cực đại địa phương u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x) Từ (1.3) ta = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 ) ≤ x0 điểm cực đại địa phương u − ϕ, = F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 ) ≥ x1 điểm cực tiểu địa phương u − ϕ Theo Định nghĩa 1.1 ta chứng minh (b) (c) Nếu u ∈ C1 (Ω), ϕ ≡ u trường hợp tầm thường định nghĩa nghiệm nhớt, với x ∈ Ω vừa cực đại vừa cực tiểu địa phương hàm u − ϕ Do theo (1.1) (1.2) thì: F(x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω Vậy mệnh đề chứng minh xong Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương Vì ta lấy hàm thử (1.1) (1.2) thuộc C1 (RN ) thuộc hình cầu đủ nhỏ B(x, r) tâm x ∈ Ω Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất nêu lý thuyết phương trình eliptic - parabolic nguyên lý cực đại nguyên lý so sánh Với phương trình (HJ) hai tính chất xây dựng tương ứng sau Định nghĩa 1.2 Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với nghiệm nhớt trơn ngặt với ϕ ∈ C1 (Ω) tập mở O ∈ Ω, ∀x ∈ O, u ≤ ϕ ∂ O F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0, n → ∞ Mặt khác từ ( 2.16), sup Ψ(t, x,t, x) ≥ sup (u1 − u2 ) − σ T > A + σ0 − σ T Q (t,x)∈Q σ0 < δ + σ T + o(1) n → +∞ Mâu thuẫn với cách chọn δ σ với n đủ lớn Nhận xét 2.4 Định lý so sánh nghiệm 2.3 mở rộng cho phương trình ut + H(t, x, Du) = hàm Hamilton H ∈ UC([0, T ] × RN × B(0, R)) với R > H thỏa mãn (H1 ) với modul ω độc lập t ∈ [0, T ] Nhận xét 2.5 Nguyên lý so sánh sử dụng để khoảng bị chặn nghiệm nhớt phương trình (HJ) Để điều ta xét un ∈ BC(RN ), n ∈ N nghiệm nhớt phương trình un (x) + Hn (x, Dun (x)) = 0, x ∈ RN , (2.19) Hn thỏa mãn (H1 ), (H3 ) với n ∈ N Cũng giả sử sup |Hn (x, 0)| ≤ C < +∞ x∈RN với số C rõ ràng C −C tương ứng nghiệm nghiệm ( 2.19) với n ∈ N Khi theo Định lý 2.2 −C ≤ un (x) ≤ C, với n ∈ N x ∈ RN 39 2.2 Tính quy nghiệm nhớt Trong phần đầu mục ta giới thiệu hai kết (Mệnh đề 2.1 Mệnh đề 2.2) chúng với giả thiết thích hợp H nghiệm nhớt phương trình (HJ) λ u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN liên tục Lipschitz Trong phần bao gồm số tính chất khả vi hàm liên tục Lipschitz Phần thứ hai trình bày định lý hàm nửa lõm mối liên hệ với phép chập-inf nhắc đến chương trước Kết quan trọng phần Định lý 2.4, khẳng định : với điều kiện thích hợp H nghiệm nhớt liên tục Lipschitz phương trình (HJ) nửa lõm Mệnh đề 2.8 nghiệm nhớt phương trình (HJ) xấp xỉ từ nghiệm nửa lõm uε phương trình xấp xỉ 2.2.1 Tính liên tục Lipschitz nghiệm nhớt Định nghĩa 2.1 Giả sử u hàm số xác định tập mở Ω ∈ RN u gọi hàm Lipschitz (hay hàm liên tục Lipschitz) lân cận V ⊂ Ω (với số Lipschitz K ≥ 0) |u(x) − u(y)| ≤ K |x − y| ∀x, y ∈ V Hàm u gọi hàm Lipschitz địa phương (hay liên tục Lipschitz địa phương) Ω với x ∈ Ω tồn lân cận mở Ux x Ω cho u |Ux Lipschitz Ux 40 Ta giả sử H thỏa mãn điều kiện sau H(x, p) → +∞ |p| → +∞, (H4 ) Khi H có dạng H(x, p) = sup {− f (x, a).p − l(x, a)}, (2.20) a∈A điều kiện đủ để (H4 ) tính bị chặn l với giả thiết ∃r > : B(0, r) ⊆ co f (x, A), ∀x ∈ RN (2.21) Mệnh đề 2.1 Cho điều kiện (H4 ) Khi nghiệm nhớt u ∈ BC(RN ) phương trình (HJ) liên tục Lipschitz Chứng minh Với x ∈ RN xét hàm số ϕ(y) = u(y) −C |y − x| C > số chọn sau Do tính bị chặn u dẫn đến tồn y¯ ∈ RN thỏa mãn ϕ(y) ¯ = max ϕ(y) y∈RN Ta cần phải có y¯ = x với C đủ lớn Nếu không ta có λ u(y) ¯ + H(y,C ¯ y¯ − x ) ≤ 0, |y¯ − x| (2.22) u nghiệm nhớt (HJ) y → C |y − x| khả vi y = y¯ = x Với C đủ lớn, (2.22) mâu thuẫn với (H4 ) Do với C trên, u(y) −C |y − x| ≤ u(y) ¯ −C |y¯ − x| = u(x), Đổi vai trò x, y , mệnh đề chứng minh xong 41 ∀y ∈ RN Một điều kiện khác H đảm bảo tính liên tục Lipschitz nghiệm nhớt ∃C > : H(x,C x−y x−y ) − H(y,C ) ≥ −C |x − y| , |x − y| |x − y| ∀x, y ∈ RN (H5 ) Với H có dạng (2.20), điều kiện H5 với C ≥ M/(1 − L), f , l thỏa mãn ( f (x, a) − f (y, a)).(x − y) ≤ L |x − y|2 , L ≥ 1, |l(x, a) − l(y, a)| ≤ M |x − y| , ∀x, y, a Mệnh đề 2.2 Cho điều kiện (H1 ), (H3 ), (H5 ), λ > u ∈ UC(RN ) nghiệm nhớt phương trình (HJ) Khi |u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| Chứng minh Dễ thấy v(x, y) = u(x) − u(y) nghiệm nhớt phương trình λ v(x, y) + H(x, y, Dx v(x, y), Dy v(x, y)) = R2N , ˆ y, p, q) := H(x, p)−H(y, −q) Mặt khác, ω(x, y) := C |x − y| H(x, thỏa mãn λ ω(x, y) + H(x, y, Dx ω(x, y), Dy ω(x, y)) − g(x, y) = R2N , với g(x, y) = C |x − y| + H(x,C x−y x−y ) − H(y,C |x − y|) |x − y| Từ g ≥ (H5 ) v, ω ∈ UC(R2N ) H thỏa mãn (H1 ), (H3 ), áp dụng kết so sánh nghiệm Nhận xét 2.3 ta có v < ω R2N , mệnh đề chứng minh 42 Bây ta nêu cách ngắn gọn số tính chất khả vi hàm liên tục Lipschitz địa phương Theo định lý Rademacher, hàm liên tục Lipschitz địa phương khả vi hầu khắp nơi với gradient bị chặn địa phương Do đó, u ∈ Liploc (Ω) (tập hàm liên tục Lipschitz địa phương Ω), tập hợp D∗ u(x) = p ∈ RN : p = lim Du(xn ), xn → x n→+∞ tập không rỗng đóng với x ∈ Ω Ký hiệu coD∗ u bao lồi Một kết tiếng giải tích không trơn là coD∗ u(x) = ∂ u(x), ∀x ∈ Ω, (2.23) ∂ u(x) gradient tổng quát hay gradient Clarke u x xác định ∂ u(x) := p ∈ RN : u0 (x; p) ≥ p.q, ∀q ∈ RN = p ∈ RN : u0 (x; p) ≤ p.q, ∀q ∈ RN Với u0 (x; p) u0 (x; p) đạo hàm theo hướng tổng quát xác định u(y + tq) − u(y) t y→x,t→0+ u0 (x; q) : = lim sup u(y + tq) − u(y) t y→x,t→0+ u0 (x; q) : = lim inf Một khái niệm liên quan đạo hàm Dini theo hướng, cụ thể ∂ + u(x; q) : = lim sup t→0+ ∂ − u(x; q) : = lim inf t→0+ 43 u(x + tq) − u(x) t u(x + tq) − u(x) t Từ định nghĩa ta thấy u0 (x; q) ≤ ∂ − u(x, q) ≤ ∂ + u(x, q) ≤ u0 (x; q), ∀x ∈ Ω, q ∈ RN , (2.24) điều có nghĩa với u ∈ Liploc (Ω), D− u(x) ∪ D+ u(x) ⊆ ∂ u(x), ∀x ∈ Ω (2.25) Cũng thấy D+ u(x), D− u(x) tập bi chặn Kết vể tồn đạo hàm theo hướng cổ điển (một phía) hàm liên tục Lipschitz địa phương, u(x + tq) − u(x) ∂u (x) := ∂ u(x, q) := lim , t→0+ ∂q t |q| = Mệnh đề 2.3 Cho u ∈ Liploc (Ω) Khi đó, với q mà |q| = 1, tồn ∂u (x) = p · q = u0 (x; q) ∂q p∈D+ u(x) (2.26) x ∈ Ω mà D+ u(x) = ∂ u(x, q) Chứng minh Cho p ∈ D+ u(x) |q| = Khi u(x + tq) − u(x) − t p.q ≤ o(|t|), với t đủ nhỏ Ta có p.q ≥ u(x + tq) − u(x) o(t) − , với t > nhỏ t t Từ suy inf p∈D+ u(x) p · q ≥ ∂ + u(x, q) Kết hợp với ( 2.24) ta u0 (x; q) ≤ ∂ − u(x; q) ≤ ∂ + u(x; q) ≤ 44 inf p∈D+ u(x) p · q Mặt khác ta có u0 (x; q) = p · q; p∈∂ u(x) (2.26) x thỏa mãn D+ u(x) = ∂ u(x, q) Mệnh đề cho phép ta chứng minh biến thề hữu ích Mệnh đề 1.10 bán vi phân đạo hàm theo hướng hàm biên u xác định u(x) := inf g(x, b) b∈B Mệnh đề 2.4 Giả sử B tập compact , g liên tục Ω × B, khả vi x với Dx g liên tục Ω × B Khi u ∈ Liploc (Ω), D+ u(x) = ∂ u(x, q) với x kết luận Mệnh đề 1.10 Chứng minh Từ giả thiết x → g(x, b) Lipschitz địa phương b ∈ B, suy u ∈ Liploc (Ω) Tiếp theo ta chứng minh D+ u(x) = coY (x) Y (x) = {Dx g(x, b) : b ∈ M(x)} M(x) = {b ∈ B : u(x) = g(x, b)} Theo Bổ đề 1.5 D+ u(x) ⊆ coY (x) Mặt khác, (2.23) (2.25) nên D∗ u(x) ⊆ Y (x) Cho p ∈ D∗ u(x) lấy xn → x thỏa mãn Du(xn ) → p Khi lấy bn ∈ M(xn ), không tính tổng quát ta giả sử bn → b¯ ∈ B Từ g(xn , bn ) ≤ g(xn , b) với n ∈ N b ∈ B, từ tính liên tục g ta kết luận b¯ ∈ M(x) Theo tính khả vi u xn Bổ đề 1.5, ¯ tức ta có Du(xn ) = Dx g(xn , bn ) Cho n → +∞, ta p = Dx g(x, b); 45 p ∈ Y (x) Sự tồn đạo hàm theo hướng công thức ∂u (x) = y · q, ∂q y∈Y (x) ∀q mà |q| = (2.27) suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.3 Ta cần chứng minh D− u(x) = {y} Y (x) tập điểm {y} Thấy trường hợp ( 2.27) trở thành ∂ u(x; q) = y · q với q, điều cho thấy y ∈ D− u(x) hay {y} ⊆ D− u(x) Chiều ngược lại suy trực tiếp từ Bổ đề 1.5 2.2.2 Tính nửa lõm Định nghĩa 2.2 Ta nói hàm u : Ω → R hàm nửa lõm tập lồi đóng Ω có số C ≥ thỏa mãn µu(x) + (1 − µ)u(y) ≤ u(µx + (1 − µ)y) + Cµ(1 − µ) |x − y|2 (2.28) với x, y ∈ Ω µ ∈ [0, 1] Điều đẫn đến tính lõm hàm x → u(x) − 12 C |x|2 Nếu u liên tục ta có điều kiện tương đương với (2.28) u(x + h) − 2u(x) + u(x − h) ≤ C |h|2 , (2.29) với x ∈ Ω h ∈ RN , với |h| đủ nhỏ Tất nhiên hàm lõm hàm nửa lõm Một lớp hàm nửa lõm không tầm thường lớp hàm khả vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương Một lớp hàm nửa lõm không khả vi hàm u(x) = infb∈B g(x, b) với x → g(x, b) thỏa mãn (2.28) Ví dụ 2.1 Cho S ⊆ RN , S = ∅, d(x) = dist(x, S) = inf |x − s| s∈S 46 Khi d hàm nửa lõm RN x → |x − s|2 thuộc C∞ với đạo hàm cấp số Mặt khác , thân d hàm nửa lõm tập compact có khoảng cách dương S, x → |x − s| có đọa hàm cấp bị chăn tập Những tính chất hàm nửa lõm trình bày Mệnh đề 2.5 Mệnh đề 2.6 sau Mệnh đề 2.5 Cho hàm u hàm nửa lõm Ω Khi u liên tục Lipschitz địa phương Ω Chứng minh Với x ∈ Ω với h thỏa mãn x + h ∈ Ω, u(x + h) − u(x) = ψ(x + h) − ψ(x) +Cx · h + C |h| , ψ(x) = u(x) − C2 |x|2 hàm lõm liên tục Lipschitz địa phương mệnh đề chứng minh xong Trong 2.2.1 ta biết D+ u(x) ⊆ ∂ u(x) = coD∗ u(x) với u ∈ Liploc (Ω) Nếu thêm giả thiết u hàm bán lõm D+ u(x) = ∂ u(x) Điều số tính chất khả vi khác hàm bán lõm trình bày mệnh đề sau Mệnh đề 2.6 Cho u hàm bán lõm Ω Khi với x ∈ Ω (a) D+ u(x) = ∂ u(x) = coD∗ u(x); (b) D− u(x) = ∅ u khả vi x; (c) D+ u(x) tập điểm u khả vi x; (d) ∂u ∂ p (x) = p∈D+ u(x) p · q với vector đơn vị q Mệnh đề 2.7 Cho u hàm bán lõm thỏa mãn F(x, u(x, Du(x))) ≥ 47 h.k.n Ω, (2.30) F liên tục Khi u nghiệm nhớt phương trình F(x, u(x, Du(x))) = Ω (2.31) Chứng minh Từ Mệnh đề 2.6 (b), điểm x ∈ Ω D− u(x) = ∅ D+ u(x) = D− u(x) = {Du(x)} Trong trường hợp điều kiện nghiệm nhớt thỏa mãn Giả sử x điểm mà u khả vi Khi đó, tồn dãy xn → x thỏa mãn u khả vi xn F(xn , u(xn ), Du(xn )) ≥ ∀n (2.32) (có thể lấy xn ≡ x, cho ( 2.30) x) Từ u liên tục Lipschitz địa phương , theo định nghĩa D∗ u(x) ta có Du(xn ) → p ∈ D∗ u(x) n → +∞, dãy Trong trường hợp này, D∗ u(x) = D+ u(x) = D− u(x) = {Du(x)} đó, cho n → +∞ ta F(x, u(x), p) ≥ ∀p ∈ D− u(x) Vậy mệnh đề chứng minh xong Kết tính nửa lõm nghiệm nhớt phương trình (HJ) 48 Định lý 2.4 Cho u ∈ BC(RN )∩Lip(R)N nghiệm nhớt phương trình u(x) + H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN , (HJ) với số Lipschitz Lu Giả sử H thỏa mãn |H(x, p) − H(x, q)| ≤ ω |p − q| ∀x, p, q ∈ RN , (H3 ) với C > L > 2Lu , H6 xác định H(x + h, p +Ch) − 2H(x, q) + H(x − h, p −Ch) ≥ −C |h|2 (H6 ) với x, h ∈ RN , p ∈ B(0, L ) Khi u hàm nửa lõm RN Một cách thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm hàm cho trước dựa vào phép chập-inf, công cụ giải tích lồi giải tích không trơn Cho Ω tập củaRN u hàm bị chặn Với ε > 0, đặt uε := in f u(y) − |x − y|2 : y ∈ Ω 2ε (2.33) hàm uε gọi ε chập-inf u Tương tự, uε := sup u(y) − |x − y|2 : y ∈ Ω 2ε (2.34) ε chập-sup u Bổ đề 2.1 Cho u liên tục bị chặn Ω Khi (a) uε uε nửa lõm Ω; (b) uε (c) inf sup ( 2.33) ( 2.34) đạt ε < d (x, ∂ Ω)/(4 u u, uε u, ε → 0+ , hội tụ địa phương Ω; 49 ∞ ) Từ Bổ đề 2.1 (c) với ε > đủ nhỏ ta đặt Mε (x) := arg u(y) + |x − y|2 /2ε , y∈Ω M ε (x) := arg max u(y) − |x − y|2 /2ε y∈Ω Bổ đề 2.2 Cho u ∈ C(Ω) hàm bị chặn, x ∈ Ω ε < d (x, ∂ Ω)/(4 u ∞ ) Khi đó, D− uε (x) = ∅ D− uε (x) = {(x − y)/ε}, {yε } = Mε (x) (tương ứng, D+ uε (x) = ∅ D+ uε (x) = {−(x − y)/ε}, {yε } = M ε (x)) Hơn nữa, với yε ∈ Mε (x) (tương ứng, M ε (x)), √ (i) |x − yε | ≤ ε u 1/2 ∞ (ii) |x − yε |2 /ε → 0, ε → 0+ , tập compact Ω; (iii) (x − yε ) /ε ∈ D− (y) (tương ứng − (x − yε ) /ε ∈ D+ (y)) Các Bổ đề 2.1 2.2 cho thấy nghiệm nhớt liên tục phương trình (HJ) có xấp xỉ từ hai phía nghiệm nhớt liên tục Lipschitz địa phương phương trình xấp xỉ Chính xác hơn, ta có Mệnh đề 2.8 Giả sử H thỏa mãn |H(x, p) − H(y, p)| ≤ ω1 (|x − y| (1 + |p|)), (H1 ) với x, y ∈ Ω, p ∈ RN , ω1 modul Nếu u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt (HJ) Ω, uε ∈ Liploc (Ω) nghiệm nhớt phương trình λ uε (x) + H(x, Duε (x)) = ρ ε (x) Ωε , với √ Ωε = x ∈ Ω : d(x, ∂ Ω) > ε u 1/2 ∞ ρ ε (x) → 0+ ε → 0, tập compac Ω 50 (HJε ) KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em có nét hình dung toán học đại, chuyên ngành đạo hàm riêng, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khoá luận em nghiên cứu cách khái quát nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton-Jacobi, xem tài liệu tham khảo tốt cho người quan tâm nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton-Jacobi nói riêng phương trình đạo hàm riêng nói chung Đó thành công đề tài Như nói đề tài hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặt Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp em xin trân trọng cảm ơn thầy cô tổ Giải tích, thầy cô khoa Toán Mặc dù em có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến trao đổi để khoá luận hoàn thiện tốt Em xin chân thành cảm ơn! 51 52 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, NXB Giáo Dục, 1997 [2] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Martino Bardi, Italo Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Benllmam Equations, Birkhauser, 1997 [...]... (Tính ổn định của nghiệm nhớt) (a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Khi đó u ∨ v cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) (b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u ∧ v cũng là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) (c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ v với mọi nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ)... là nghiệm nhớt trên của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm 8 nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt dưới của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω Một ví dụ cụ thể như sau : Ví dụ 1.1 Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình: − |u (x)| + 1 = 0, x ∈ [−1, 1] Để kiểm tra điều này ta có: nếu x = 0 là một cực trị địa phương. .. tắc đổi biến trong phương trình Hamilton- Jacobi) Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ ∈ C1 (R) thỏa mãn Φ (t) > 0 Thì v = Φ(u) là một nghiệm nhớt của phương trình: F(x, Ψ(v(x)), Ψ (v(x))Dv(x)) = 0, x ∈ Ω, (1.11) trong đó Ψ = Φ−1 Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ) tiến hóa đó là : Mệnh đề 1.7 Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ : Ω... số liên tục thỏa mãn các bất đẳng thức theo nghĩa nhớt vì khi dó Dui có thể không tồn tại tại x0 Tuy nhiên các thông tin trong định nghĩa nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới là đủ mạnh để cho phép ta mở rộng các kết quả về tính duy nhất và so sánh đối với nghiệm nhớt liên của phương trình (HJ) Trong phần tiếp theo ta sẽ trình bày một số định lý về sự so sánh giữa nghiệm nhớt trên và nghiệm nhớt dưới... lý cực đại thì nó thỏa mãn nguyên lý so sánh Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau đây Mệnh đề 1.2 Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) Ngược lại, nếu u là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F(x, r, p) là một hàm không giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên... đúng với nghiệm nhớt trên Khi đó dấu trong các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại được đảo lại, cực đại không âm được thay thế bằng cực tiểu không dương Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu của phương trình Thật vậy, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ đều là cực tiểu địa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ)... con mở của Ω và Γ là một mặt trơn Ta ký hiệu n(x) và T (x)(x ∈ Γ) là các vector đơn vị chuẩn tắc từ Γ vào Ω1 và vào không gian tiếp xúc với Γ tại x, PT và PN là hình chiếu vuông góc của RN tương ứng xuống T (x) và không gian kéo dài bởi n(x) Theo hệ quả của định nghĩa nghiệm nhớt ta có: nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ωi (i = 1, 2) thì u là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)... từ định lý Rademacher về tính khả vi hầu khắp nơi của hàm liên tục Lipschitz Nhận xét 1.2 Phần (b) của Mệnh đề 1.3 thể hiện rằng mọi nghiệm nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là nghiệm tổng quát nếu : F(x, u(x), Du(x)) = 0 h.k.n trong Ω Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không phải là nghiệm nhớt Thật vậy ta xét ví dụ sau để thấy được điều... u(x) = |x| ta thấy u thỏa mãn : u (x) − 1 = 0 trong [−1, 1] \ {0} do đó u là nghiệm tổng quát của u (x) − 1 = 0, trong [−1, 1] nhưng nó không phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1) 1.2 Một số phép toán và tính chất nâng cao của nghiệm nhớt Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng của nghiệm nhớt và các phép toán cơ bản (đổi biến, đạo hàm hàm hợp) đối với trên vi phân... trong RN \ S¯ |Du| = 1 (1.24) lân cận xung quanh ∂ S Nếu phương trình này xét theo nghĩa nhớt thì nó gọi là giữ nguyên toàn cục với mọi S Hệ quả 1.1 Hàm khoảng cách d từ S là nghiệm nhớt của phương trình (1.24) trong S Nó cũng là nghiệm nhớt dưới, nhưng không là nghiệm nhớt trên trong cả RN Một kết quả khác liên quan mật thiết đến tính chất của hàm khoảng cách đó là chuẩn ngoài n(x) tới tập S tại ... Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton - Jacobi Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamiltol -Jacobi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu nghiệm nhớt. .. chương: Chương Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton- Jacobi Chương Tính tính quy nghiệm nhớt Chương Nghiệm nhớt phương trình Hamilton- Jacobi 1.1 Định nghĩa tính chất Trong mục ta trình bày hai... nghiệm nhớt) (a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) Khi u ∨ v nghiệm nhớt phương trình (HJ) (b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) u ∧ v nghiệm nhớt phương trình