Nghiệm thông lượng hạn chế và ràng buộc trạng thái của phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trong miền đa chiều_2

Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– NGUYỄN ĐĂNG KHOA NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI TRONG MIỀN ĐA CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– NGUYỄN ĐĂNG KHOA NGHIỆM THÔNG LƯỢNG HẠN CHẾ VÀ RÀNG BUỘC TRẠNG THÁI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI TỰA LỒI TRONG MIỀN ĐA CHIỀU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN VĂN BẰNG Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tiến sĩ Trần Văn Bằng, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho kiến thức tảng để tơi hồn thành khóa luận Thầy người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cơ, bạn sinh viên để khóa luận tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Đăng Khoa Footer Page of 128 Header Page of 128 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung mà tơi trình bày khóa luận kết trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Trần Văn Bằng Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Đăng Khoa Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm nhớt liên tục phương trình đạo hàm riêng cấp 1.2 Phương trình Hamilton-Jacobi toán ràng buộc trạng thái Nghiệm thông lượng hạn chế ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi miền đa chiều 2.1 Một số khái niệm 2.2 Định lý 13 2.3 Định nghĩa nghiệm thông lượng hạn chế 14 2.4 Lớp hàm thử thu gọn trường hợp miền C 16 2.5 Chứng minh Định lý 2.2.1 26 2.6 Một số trường hợp đặc biệt 27 2.6.1 Đối với nghiệm 27 2.6.2 Trường hợp dừng: Tính hữu hạn độ dốc tới hạn Bổ đề 2.4.1 29 Tài liệu tham khảo 33 Footer Page of 128 Header Page of 128 Mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi lớp phương trình xuất Cơ học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Lý thuyết trò chơi vi phân, Lớp phương trình lồi với điều kiện biên nghiên cứu đầy đủ (xem [1], [2] tài liệu đó) Tuy nhiên lớp phương trình khơng lồi điều kiện biên có ràng buộc trạng thái nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những năm gần đây, C Imbert,R Monneau [3]-[4], Y Achdou, F Camilli [10]-[11] and J Guerand [12]-[13] đạt số kết quan trọng cho lớp phương trình này, kết việc giới thiệu nghiệm thơng lượng hạn chế cho phương trình Hamilton-Jacobi với điều kiện biên ràng buộc trạng thái số kết liên quan tới loại nghiệm Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, hướng dẫn TS.Trần Văn Bằng, chọn đề tài: “Nghiệm thông lượng hạn chế ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton – Jacobi tựa lồi miền đa chiều” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiệm thơng lượng hạn chế tính chất phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi với ràng buộc trạng thái Footer Page of 128 Header Page of 128 trường hợp nhiều chiều Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: • Nghiệm nhớt liên tục phương trình Hamilton - Jacobi • Nghiệm thông lượng hạn chế nghiệm ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là: nghiệm thông lượng hạn chế phương trình Hamilton – Jacobi; • Phạm vi nghiên cứu là: lớp phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi miền đa chiều Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp Giải tích hàm lý thuyết nghiệm nhớt Dự kiến đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan đề tài nghiên cứu Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nghiệm nhớt liên tục phương trình đạo hàm riêng cấp Cho Ω ⊂ RN tập mở, F : Ω × R × RN → R hàm liên tục ba biến (x, r, p) Ta sử dụng kí hiệu thông thường sau đây: C(Ω) không gian tất hàm thực liên tục Ω; C k (Ω), k = 1, 2, không gian tất hàm thuộc C(Ω) có đạo hàm riêng đến cấp k liên tục Ω Với hàm u ∈ C (Ω), Du(x) gradient u x ∈ Ω Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ) Ban đầu khái niệm nghiệm nhớt (HJ) xét lớp hàm liên tục sau: Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) với ϕ ∈ C (Ω) ta có: F (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω u − ϕ Footer Page of 128 (1.1) Header Page of 128 Hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt phương trình (HJ) với ϕ ∈ C (Ω) ta có: F (x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ (1.2) điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω u − ϕ Hàm u nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt phương trình Hàm ϕ(x) định nghĩa thường gọi hàm thử Ví dụ 1.1.1 Hàm số u(x) = |x| nghiệm nhớt phương trình: − |u (x)| + = 0, x ∈ (−1, 1) Thật vậy, ta xét hai trường hợp: x = cực trị địa phương u − ϕ ϕ (x) = u (x) = ±1 Vì điểm điều kiện nghiệm nhớt, nghiệm nhớt thỏa mãn Nếu cực tiểu địa phương u − ϕ, ta tính |ϕ (0)| ≤ nên điều kiện nghiệm nhớt Bây ta chứng minh cực đại địa phương u − ϕ với ϕ ∈ C (−1, 1) Thật vậy, cực đại địa phương u − ϕ ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) lân cận 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) lân cận 0, từ ta có: ϕ (0) = lim+ x→0 u(x) ϕ(x) − ϕ(0) ≥ lim+ =1 x→0 x−0 x ϕ(x) − ϕ(0) u(x) ≤ lim+ − = −1 x→0 x→0 x−0 x Vô lý, cực đại địa phương u − ϕ ϕ (0) = lim− Để ý rằng, hàm số u(x) = |x| nghiệm nhớt phương trình: |u (x)| − = 0, Footer Page of 128 x ∈ (−1, 1) Header Page 10 of 128 điều kiện nghiệm không thỏa mãn x0 = điểm cực tiểu địa phương |x| − (−x2 ) Đối với phương trình tiến hóa có dạng: (t, y) ∈ (0, T ) × D ut (t, y) + H(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0, ta việc đặt x = (t, y) ∈ Ω = (0, T ) × D, q = (q1 , , qN , qN +1 ) F (x, r, p) = qN +1 + H(x, r, q1 , , qN ) Mệnh đề sau thể đặc trưng nghiệm nhớt mối quan hệ với nghiệm cổ điển: Mệnh đề 1.1.1 ([2]) (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) nghiệm nhớt (HJ) Ω, u nghiệm nhớt (HJ) Ω , với tập mở Ω ⊂ Ω; (b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) nghiệm cổ điển (HJ), tức u khả vi điểm x ∈ Ω và: F (x, u(x), Du(x)) = 0, ∀x ∈ Ω (1.3) Khi u nghiệm nhớt (HJ); (c) Nếu hàm u ∈ C (Ω) nghiệm nhớt (HJ), u nghiệm cổ điển phương trình Nhiều tính chất thú vị nghiệm nhớt liên tục phương trình đạo hàm riêng cấp toán Dirichlet, toán Cauchy đề cập chi tiết đầy đủ [2] Trong phần Luận văn thảo luận toán phương trình đạo hàm riêng cấp phi tuyến thỏa mãn đến biên theo nghĩa riêng đó, nói cách khác ràng buộc biên xác định ràng buộc phương trình Bài tốn thường gọi toán với ràng buộc trạng thái Với toán khái niệm nghiệm nhớt mở rộng xét lớp hàm không thiết liên tục (Mục 2.3) Footer Page 10 of 128 Header Page 24 of 128 19 Bổ đề 2.4.1 (Độ dốc tới hạn nghiệm dưới) Cho u nghiệm nửa liên tục ut + H (∇u) = (0, T ) × Ω thỏa mãn (2.1), φ hàm thử tiếp xúc với u từ phía điểm (t0 , X0 ) , t0 ∈ (0, T ) X0 = X , xN ∈ ∂Ω Giả sử r0 cho Định nghĩa 2.4.2 Đặt Bt0 ,X0 := p ∈ R : ∃r ∈ (0, r0 ] , ϕ (t, X) + p xN − ω N (X ) ≥ u (t, X) , ∀ (t, X) ∈ (t0 − r, t0 × r) × Ω ∩ B r (X0 ) Khi độ dốc tới hạn cho p = inf Bt0 ,X0 hữu hạn, thỏa mãn p ≤ ϕt (t0 , X0 ) + H (∇ ϕ (t0 , X0 ) , ∂N ϕ (t0 , X0 ) + p) ≤ Chứng minh Theo lược đồ chứng minh [3], ta chứng minh p hữu hạn trường hợp Lấy p thuộc Bt0 ;X0 Khi tồn r > cho với (t, X) ∈ D = (t0 − r, t0 + r) × Ω ∩ B r (X0 ), u(t, X) ≤ ϕ(t, X) + p xN − ψ N (X ) Chú ý rằng, cách thay φ φ + (t − t0 )2 + X − X0 cần thiết, ta giả sử (t, X) = (t0 , X0 ), u(t, X) < ϕ(t, X) + p xN + ψ N (X ) Đặc biệt, tồn δ > cho (t0 − r, t0 + r) × ∂Br (X0 ) ∩ Ω, ta có u(t, X) + δ ≤ φ(t, X) + p xN − ψ N (X ) (2.10) Do u thỏa mãn (2.1) nên tồn (t , X ) → (t0 , X0 ) cho X ∈ / ∂Ω u(t0 , X0 ) = lim →0 u (t , X ) Chúng giới thiệu hàm thử bị nhiễu xN − ψ N (X ) Ψ (t, X) = ϕ (t, X) + p x − ψ (X ) + xN − ψ (X ) N Footer Page 24 of 128 N Header Page 25 of 128 20 Giả sử (s ; Y ) giá trị nhỏ Ψ − u D Sử dụng định nghĩa Ψ, ta thấy Y ∈ / ∂Ω Đặc biệt, ϕ (s , Y ) + p y N − ψ N (Y ) − u (s , Y ) ≤Ψ (s , Y ) − u (s , Y ) ≤Ψ (t , X ) − u (t , X ) Số hạng cuối bất đẳng thức (??) tiến tới (2.11) tiến tới Sử dụng (2.10), điều suy (s , Y ) → (t0 , X0 ) Vì Ψ hàm thử (s , Y ) nên ϕt (s , Y ) + +H ∇ϕ (s , Y ) + −p∇ ψ N (Y ) p − xN − ψ (X ) (y N − ψ (Y ))2 −∇ψ N (Y ) · ≤0 Bây giờ, chuyển qua giới hạn → bất đẳng thức ta có ϕt (t0 , X0 ) + H ∇ϕ (t0 , X0 ) + p − αp ≤ 0, xN − ψ N (X ) ∈ [0, +∞] (y N − ψ N (Y ))2 Từ bất đẳng thức tính cưỡng H ta suy p − αp αp = lim sup →0 hữu hạn, p bị chặn ϕt (t0 , X0 ) ∇ϕ(t0 , X0 ) cố định Vậy p hữu hạn Bây giờ, ta chứng minh phần hai bổ đề Theo định nghĩa p, > đủ nhỏ, tồn δ = δ( ) ∈ (0, ) cho ∂Bδ (X0 ) có xác hai giao điểm với δΩ thỏa mãn với (t, X) ∈ (t0 −δ, t0 +δ)×B δ (X0 )∩Ω, u(t, X) ≤ ϕ(t, X) + (p + ) xN − ψ N (X ) δ δ tồn (t , X ) ∈ t0 − , t0 + 2 × B δ (X0 ) cho X ∈ / ∂Ω u (t , X ) > ϕ (t , X ) + (p − ) xN − ψ N (X ) Footer Page 25 of 128 (2.12) Header Page 26 of 128 21 Gọi Ψ : Rd+1 → [0, 1] hàm thuộc lớp C ∞ cho Ψ= B 21 (0) bên B1 (0) Ta định nghĩa Φ (t, X) = ϕ (t, X) + δΨ X − X0 δ + (p − ) xN − ψ N (X ) Như vậy, (t0 − δ, t0 + δ) × ∂ Bδ (X0 ) ∩ Ω ,   ϕ (t, X) + δ + (p − ) xN − ψ N (X ) X − X0 Φ (t, X) =  ϕ (t, X) + δΨ δ ∈ ∂Bδ (X0 ) ∈ ∂Ω Với X ∈ ∂Bδ (X0 ), ta có xN − ψ N (X ) ≤ 2δ, sử dụng (2.12) ta suy Φ(t, X) ≥ u(t, X) Chứng tỏ (t0 − δ, t0 + δ) × ∂(Bδ (X) ∩ Ω), ta có Φ(t, X) ≥ u(t, X) thỏa mãn Φ(t0 , X0 ) = ϕ(t0 , X0 ) = u(t0 , X0 ), Φ(t , X ) = ϕ(t , X ) + (p − )(xN − ψ N (X )) < u(t , X ) Do đó, u − Φ đạt giá trị lớn phần (t0 − δ, t0 + δ) × Bδ (X0 ) ∩ Ω điểm (t , X ) Mà Φ hàm thử, nên Φt t , X hay ϕt t , X Footer Page 26 of 128 + H ∇Φ t , X ≤ 0, Header Page 27 of 128 22 +H ∇ϕ t , X Cho X −X + ∇Ψ δ + − (p − ) ∇ ψ N (X ) p− ≤ tiến tới 0, ∇ ψ N (X0 ) = nên ϕt (t0 , X0 ) + H (∇ ϕ (t0 , X0 ) , ∂N ϕ (t0 , X0 ) + p) ≤ ✷ Đối với nghiệm trên, ta có bổ đề tương tự, với chứng minh tương tự, độ dốc tới hạn hữu hạn giả thiết kết luận Bổ đề 2.4.2 (Độ dốc tới hạn cho nghiệm trên) Cho u nghiệm nửa liên tục ut + H(∇u) = (0, T ) × Ω, ϕ hàm thử tiếp xúc với u từ phía điểm (t0 , X0 ), t0 ∈ (0, T ) X0 = (X0 , xN ) ∈ ∂Ω Giả sử r0 số Định nghĩa 2.4.2 Nếu độ dốc tới hạn cho p = sup p ∈ R : ∃r ∈ (0, r0 ] , ϕ (t, X) + p xN − ψ N (X ) ≤ u (t, X) , ∀ (t, X) ∈ (t0 − r, t0 + r) × Ω ∩ B r (X0 ) hữu hạn, thỏa mãn p ≥ ϕt (t0 , X0 ) + H (∇ ϕ (t0 , X0 ) , ∂N ϕ (t0 , X0 ) + p) ≥ Bây ta chứng minh Mệnh đề 2.4.1 Chứng minh Mệnh đề 2.4.1 Trong hai trường hợp cần chứng minh phần thuận, phần đảo hiển nhiên Đầu tiên ta chứng minh kết nghiệm sau nghiệm Nghiệm Giả sử u nghiệm nhớt thu gọn, xác định Định nghĩa 2.4.1 Gọi φ hàm thử tiếp xúc với u∗ từ phía (t0 , X0 ) ∈ (0, T ) × ∂Ω, đặt λ = −φt (t0 , X0 ) , p = ∇ φ (t0 , X0 ) pN = ∂N φ (t0 , X0 ) Ta chứng minh FA (p , pN ) ≤ λ Footer Page 27 of 128 (2.13) Header Page 28 of 128 23 Chú ý theo Bổ đề 2.4.1, tồn p ≤ cho H(p , pN + p) ≤ λ, A0 (p ) ≤ λ Vì H − khơng tăng nên FA (p , pN ) = max A(p ), H − (p , pN ) ≤ max A(p ), H − (p , pN + p) ≤ max (A(p ), H(p , pN + p)) ≤ (A(p ), λ) Nếu A = A0 , FA (p , pN ) ≤ λ hay (b) Giả sử FA (p , pN ) > λ giả thiết phản chứng A0 (p ) ≤ λ ≤ A(p ) Do H(p , pN + p) ≤ λ < A(p ) nên pN + p < π + (p , A(p )) Xét hàm thử điều chỉnh ϕ(t, X , xN ) = φ(t, X , ψ N (X )) − φ0 (ψ N (X )) + φ0 (xN ), φ0 thỏa mãn φ0 ∈ C (R) = π + (p , A (p )) φ xN Khi ta có ϕ(t0 , x0 ) = φ(t0 , x0 ) = u∗ t0 , x0 Ta ϕ(t, X , xN ) ≥ u∗ (t, X , xN ), lân cận (t0 , X0 ) Ta có ∂N φ(t0 , X0 )) + p < φ0 (xN ), Footer Page 28 of 128 (2.14) Header Page 29 of 128 24 tồn p1 p2 cho p < p1 < p2 , thỏa mãn ∂N φ(t0 , X0 ) + pi < φ0 (xN ), ∀i ∈ {1, 2} Do xN φ(t, X , xN ) = φ(t, X , ψ N (X )) + ∂N φ (t, X , s)ds ψ N (X ) xN N N N =ϕ(t, X , x ) + φ0 (ψ (X )) − φ0 (x ) + ∂N φ (t, X , s)ds ψ N (X ) xN N =ϕ(t, X , x ) + ≤ϕ(t, X , xN ) − ψ N (X ) p2 (xN − ∂N φ (t, X , s) φ0 (s) ds ψ N (X )), theo định nghĩa p, tồn lân cận (t0 − r, t0 + r)×Ω∩B r (X0 ) (t0 , X0 ), với r > cho u∗ (t, X , xN ) ≤ φ(t, X , xN ) + p1 (xN − ψ N (X )) ≤ ϕ(t, X , xN ) + (p1 − p2 )(xN − ψ N (X )), hay ta có (2.14) Theo định nghĩa nghiệm thu gọn, sử dụng H − (p , π + (p , A(p ))) = A0 (p ) ≤ A(p ), ta suy A(p ) = FA (p , π + (p , A(p ))) ≤ λ Điều mâu thuẫn Do (2.13) Bây giờ, ta chứng minh trường hợp nghiệm Nghiệm Giả sử u nghiệm nhớt thu gọn xác định Định nghĩa 2.4.1 Gọi φ hàm thử tiếp xúc với u∗ từ phía (t0 , X0 ) ∈ (0, T ) × ∂Ω, λ = −φt (t0 , X0 ) Đặt p = ∇ φ (t0 , X0 ) pN = ∂N φ (t0 , X0 ) Chúng ta FA (p , pN ) ≥ λ Footer Page 29 of 128 (2.15) Header Page 30 of 128 25 Theo Bổ đề 2.4.2 H cưỡng bức, tồn p hữu hạn cho p ≥ H(p , pN + p) ≥ λ (2.16) Chú ý (2.15) λ ≤ A(p ) H − (p , pN + p) = H(p , pN + p) Giả sử phản chứng bất đẳng thức (2.15) không thỏa mãn Khi ta có A0 (p ) ≤ A(p ) < λ ≤ H + (p , pN + p) (2.17) Vì H − (p , pN + p) < H(p , pN + p) nên đặc biệt ta có pN + p > π + (p , A(p )) = φ0 (xN ), pN + p ≤ π + (p , A(p )), λ ≤ H + (p , pN + p) ≤ H + (p , π + (p , A(p ))) = A(p ), mâu thuẫn với (2.17) Tương tự chứng minh trường hợp nghiệm dưới, ta hàm số ϕ(t, X , xN ) = φ(t, X , ψ N (X )) − φ0 (ψ N (X )) + φ0 (xN ), hàm thử tiếp xúc với u từ phía (t0 , X0 ), φ0 thỏa mãn φ0 ∈ C (R) φ0 xN = π + (p , A(p )) Theo định nghĩa hàm thu gọn A(p ) = FA (p , π + (p , A(p ))) ≥ λ, mâu thuẫn với (2.17) Do đó, (2.15) Bây ta chứng minh Định lý 2.2.1 Footer Page 30 of 128 ✷ Header Page 31 of 128 26 2.5 Chứng minh Định lý 2.2.1 Mệnh đề 2.4.1 cho phép thu gọn tập hàm thử Chứng minh sau thực theo ý tưởng [3] Chứng minh Định lý 2.2.1 Ta chứng minh ba bước Bước Ta chứng minh ut + H(∇u) ≤ (0, T ) × Ω, ut + H − (∇u) ≤ (0, T ) × ∂Ω kéo theo Sử dụng (b) Mệnh đề 2.4.1, u nghiệm thơng lượng hạn chế, ut + FA0 (∇u) ≤ (0, T ) × ∂Ω Vì FA0 (∇u) = H − (∇)u nên ta có ut + H − (∇u) ≤ (0, T ) × ∂Ω Bước Ta chứng minh ut + H(∇u) ≥ (0, T ) × Ω, ut + H − (∇u) ≥ (0, T ) × ∂Ω Suy Giả sử ϕ tiếp xúc với u∗ từ phía (t0 , X0 ) ∈ (0, T ) × ∂Ω Sử dụng Mệnh đề 2.4.1 ta giả sử ϕ(t, X) = φ(t, X ) + φ0 (xN ), φ ∈ C ((0, T ) × Rd ), Footer Page 31 of 128 ∇ φ(t0 , X0 ) = p0 , Header Page 32 of 128 27 φ0 ∈ C (R), + φ0 (xN ) = π (p0 , A0 (p0 )) Do H(∇ϕ) = H + (∇ϕ) = A0 (p0 ) = H − (∇ϕ), theo giả thuyết ϕt + H(∇ϕ) ≥ nên ϕt + H − (∇ϕ) ≥ Bước Ta cần chứng minh ut + H(∇u) ≤ (0, T ) × Ω ut + H − (∇u) ≤ (0, T ) × Ω (2.18) Giả thiết ta có Mà H − ≤ H nên ta có (2.18) 2.6 ✷ Một số trường hợp đặc biệt Ta trình bày số phép chứng minh trực tiếp số trường hợp đơn giản 2.6.1 Đối với nghiệm Định lý 2.6.1 Nếu u thỏa mãn ut + H(∇u) ≥ (0, T ) × ∂Ω ut + H − (∇u) ≥ (0, T ) × ∂Ω Footer Page 32 of 128 Header Page 33 of 128 28 Chứng minh Giả sử ϕ hàm thử tiếp xúc với u∗ từ phía (t0 , X0 ) ∈ (0, T ) × ∂Ω Khi ϕt + H(∇ ϕ, ∂N ϕ) ≥ (t0 , X0 ), gọi λ = −ϕt (t0 , X0 ), ta có ∂N ϕ ≤ π − (∇ ϕ, λ) ∂N ϕ ≥ π + (∇ ϕ, λ) Nếu ∂N ϕ(t0 , X0 ) ≤ π − (∇ ϕ, λ) H − (∇ϕ) = H(∇ϕ), nên ϕt + H − (∇ ϕ, ∂N ϕ) ≥ Nếu ∂N ϕ(t0 , X0 ) ≥ π + (∇ ϕ, λ) hàm φ(t, X) = ϕ(t, X) + (π − (∇ ϕ, A0 (∇ ϕ)) − ∂N ϕ(t0 , X0 ))(xN − ψ N (X )), ψ N hàm số xác định từ trước xác định lân cận (0, T ) × B r0 (X0 ) ∩ Ω (t0 , X0 ) Sử dụng π − (∇ ϕ, A0 (∇ ϕ)) ≤ π + (∇ ϕ, λ) ∀X ∈ B r0 (X0 ) ∩ Ω, xN ≥ ψ N (X ), ta có ∀(t, X) ∈ (0, T ) × B r0 (X0 ) ∩ Ω, φ(t, X) ≤ ϕ(t, X), φ hàm thử cho ∂N φ(t0 , X0 ) = π − (∇ ϕ, A0 (∇ ϕ)), ∇ φ(t0 , X0 ) = ∇ ϕ(t0 , X0 ), Footer Page 33 of 128 Header Page 34 of 128 29 ∇ ψ N (X0 ) = φ(t0 , X0 ) = ϕ(t0 , X0 ) Do H(∇ φ, ∂N φ(t0 , X0 )) = A0 (∇ φ), φ hàm thử nên φt (t0 , X0 ) + A0 (∇ φ) ≥ 0, hay ✷ ϕt (t0 , X0 ) + H − (∇ ϕ, ∂N ϕ) ≥ ϕt (t0 , X0 ) + A0 (∇ ϕ) ≥ 2.6.2 Trường hợp dừng: Tính hữu hạn độ dốc tới hạn Bổ đề 2.4.1 Ta đưa chứng minh đơn giản cho tính chất độ dốc tới hạn p hữu hạn trường hợp dừng Bổ đề 2.4.1 Bổ đề 2.6.1 Giả sử u nghiệm nửa liên tục u+H(∇u) = Ω thỏa mãn (2.1), ϕ hàm thử tiếp xúc với u từ phía điểm X0 X0 = (X0 , xN ) ∈ ∂Ω Gọi r0 số cho Định nghĩa 2.4.2 Khi độ dốc tới hạn xác định p = inf {p ∈ R : ∃r ∈ (0, r0 ]} , ϕ (X) + p xN − ψ N (X ) ≥ u (X) , ∀X ∈ Ω ∩ Br (X) hữu hạn Chứng minh Do u nghiệm nên bị chặn tập compact Ω Giả sử |u| ≤ M, M > Khi với hàm thử φ tiếp xúc phía với u X ∈ Ω, ta có H(∇φ) ≤ −u(X) ≤ M Do H cưỡng nên |∇φ| ≤ C với số C > u C Lipschitz Ω theo [13] Sử dụng giả thiết (2.1) với (x, y) ∈ Ω , tồn Footer Page 34 of 128 Header Page 35 of 128 30 dãy (xn )n∈N Ω hội tụ tới x, cho limn→+∞ u (xn ) = u (x) , dãy (yn )n∈N Ω tiến tới y, cho limn→+∞ u(yn ) = u(y) Khi |u(xn ) − u(yn )| ≤ C|xn − yn |, cho n tiến tới +∞, ta có |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|, hay u C - Lipschitz Ω Gọi ϕ hàm thử tiếp xúc với u từ phía X0 ∈ ∂Ω, (xem Định nghĩa 2.3.2) Do ϕ thuộc lớp C nên C - Lipschitz Ω, với p thỏa mãn ϕ(X) − ϕ(X0 ) + p(xN − ψ N (X )) ≥ u(X) − u(X0 ) Br (X0 ), ta suy C |X − X0 | + p(xN − ψ N (X )) ≥ −C|X − X0 | Lấy X = X0 xN ≥ xN , ta có N N N N C (xN − xN ) + p(x − x0 ) ≥ −C(x − x0 ) Khi p ≥ −(C + C ), p hữu hạn Footer Page 35 of 128 Header Page 36 of 128 31 Kết luận Luận văn tìm hiểu cách tiếp cận theo nghĩa nghiệm nhớt toán ràng buộc trạng thái gắn với phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi Đặc biệt kết đạt toán Jessica Guerand [12] Cụ thể hơn, chúng tơi tìm hiểu nghiệm thơng lượng hạn chế phương trình Hamilton-Jacobi tính tương đương loại nghiệm với nghiệm ràng buộc trạng thái lớp hàm Hamilton tựa lồi cụ thể Đóng góp Luận văn trình bày vấn đề nghiên cứu cách hệ thống, chi tiết hóa số chứng minh lấy số ví dụ minh họa cho số khái niệm có liên quan Footer Page 36 of 128 Header Page 37 of 128 32 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] M Bardi, I C Dolcetta (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkhauser, Berlin [3] C Imbert, R Monneau, Flux-limited solutions for quasi-convex Hamilton-Jacobi equations on networks, Ann Sci.de l’ENS 50 (2) (2017) 357-448 [4] C Imbert, R Monneau, Quasi-convex Hamilton-Jacobi equations posed on junctions: The multi-dimensional case, 28 pages Second version, 2016 [5] H Ishii and S Koike, A new formulation of state constraint problems for first-order PDEs, SIAM J Control Optim., 34(2), 554–571 [6] P L Lions, P Souganidis, Viscosity solutions for junctions: Well posedness and stability, Atti Accad Naz.Lincei Rend, Lincei Mat Appl 27 (4) (2016) 535-545 Footer Page 37 of 128 Header Page 38 of 128 33 [7] P L Lions, P Souganidis, Well posedness for multi-dimensional junction problems with Kirchoff-type conditions arXiv preprint arXiv: 1704.04001, 2017 [8] H M Soner, Optimal control with state-space constraint I, SIAM J Control Optim 24 (3) (1986) 552-561 [9] H M Soner, Optimal control with state-space constraint II, SIAM J Control Optim 24 (6) (1986) 1110-1122 [10] Y Achdou, N Tchou, Hamilton-Jacobi equations constrained on networks as limits of singularly perturbed problems in optimal control: Dimension reduction, Comm Partial Differential Equations 40 (4) (2015) 652-693 [11] Y Achdou, F Camilli, A Cutrì, N Tchou, Hamilton-Jacobi equations constrained on networks, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 20 (3) (2013) 413-445 [12] J Guerand, M Koumaiha, Flux-limited solutions and state constraints for quasi-convex Hamilton–Jacobi equations in multidimensional domains, Nonlinear Analysis 162 (2017) 162-177 [13] J Guerand, M Koumaiha, Error estimates for finite difference schemes associated with Hamilton-Jacobi equations on a junction, 2017, 39 pages, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01120210 Footer Page 38 of 128 ... tài: Nghiệm thông lượng hạn chế ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton – Jacobi tựa lồi miền đa chiều” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu nghiệm thơng lượng hạn chế tính chất phương. .. điều kiện biên thông lượng hạn chế Footer Page 13 of 128 Header Page 14 of 128 Chương Nghiệm thông lượng hạn chế ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi miền đa chiều Như giới... • Nghiệm thơng lượng hạn chế nghiệm ràng buộc trạng thái phương trình Hamilton - Jacobi tựa lồi Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu là: nghiệm thơng lượng hạn chế phương trình