Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ TH± HUYEN MY NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN CÚA ĐIEM KỲ D± KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Toỏn Giỏi tớch H Nđi-2011 CắN Bđ GIO DUC V ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ TH± HUYEN MY NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN C¾N CÚA ĐIEM KỲ D± Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Hào Hà N®i-2011 Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn thay giáo, cô giáo ban sinh viên khoa Tốn Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i đ®ng viên, giúp đõ đe em có đieu ki¾n tot nhat suot q trình thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo, giúp đõ em hồn thành tot khóa lu¾n Do thòi gian kien thúc có han nên khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn tiep thu nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, cô giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Huyen My Lài cam đoan Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" đưoc hồn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Huyen My Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Đai cương ve phương trình vi phân 1.1.1 Mđt so khỏi niắm 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Van đe ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân tuyen tính cap n 1.2.1 Mđt so khỏi niắm 1.2.2 Sn phu thuđc tuyen tớnh v đc lắp tuyen tớnh cna hàm .8 1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 10 1.3 Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 1.3.1 Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 11 11 1.3.2 Cau trúc h¾ nghi¾m bán cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 12 1.3.3 Phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 13 1.4 Nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat h¾ so hang so 13 1.4.1 Dang thú nhat 14 1.4.2 Dang thú hai .15 1.4.3 Dang thú ba .16 1.5 Chuoi lũy thùa 17 1.5.1 Sn h®i tu bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa .17 1.5.2 M®t so tính chat cna tong cna chuoi lũy thùa 20 Chương Điem kỳ d% phương trình Euler 22 2.1 Điem thưòng điem kỳ d% cna phương trình vi phân 23 2.1.1 Mđt so khỏi niắm 23 2.1.2 Phân loai điem kỳ d% 24 2.2 Phương trình Euler 26 2.2.1 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc phân bi¾t 27 2.2.2 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc bang 28 2.2.3 Phương trình chí so có c¾p nghi¾m phúc liên hop 29 2.2.4 Đ%nh lý 31 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d% 33 3.1 Ý tưóng cna phương pháp tìm nghi¾m chuoi 33 3.2 Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân lân c¾n cna m®t điem kỳ d% quy 40 3.2.1 Các nghi¾m bang .45 3.2.2 Cỏc nghiắm sai khỏc mđt so nguyờn .46 3.2.3 Đ%nh lý 47 3.3 Phương trình Bessel 49 3.3.1 Phương trình Bessel cap 49 3.3.2 Phương trình Bessel cap 1/2 .53 3.3.3 Phương trình Bessel cap 56 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham kháo 61 Má đau Lý chon đe tài Như ta biet vi¾c tìm nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tớnh oc dna trờn c sú xỏc %nh mđt hắ nghi¾m bán cna phương trình vi phân thuan nhat cựng vúi viắc tỡm mđt nghiắm riờng cna phng trỡnh Nghi¾m tong qt cna phương trình tong nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi ta chí đưa đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna hàm so sơ cap cna m®t so phương trình vi phân khó khăn (neu khơng muon nói khơng the) Đieu xáy cá phương trình vi phân có dang rat đơn gián Chang han, phương trình dưói yrr − 2x.yr + y = Đó phương trình vi phân cap hai vói hắ so l hm so cna mđt bien đc lắp, ta khơng the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang mđt hm so s cap Tuy nhiờn, viắc giỏi cỏc dang phương trình phương trình rat quan náy sinh tù van đe thnc tien, đ¾c bi¾t xuat hi¾n nhieu vói tốn cna v¾t lý Chang han, liên quan en phng trỡnh Schrăodinger c hoc long tỳ Vì v¾y, can phái xây dnng phương pháp nham tìm nghi¾m cho phương trình dang M®t phương pháp thơng dung úng dung lý thuyet chuoi đe tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa ∞ y(x) = anxn = a0 + a1x + a2x2 + + anxn + n=0 Cơ só Tốn hoc cna phương pháp thay the bieu thúc đao hàm cna vào phương trình vi phân can giái Tù đó, xác đ%nh giá tr% cna hang so a0, a1, a2, cho nghi¾m phương trình vi phân cho Sau đong nhat h¾ so h¾ thúc nh¾n đưoc, ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình cho Tuy nhiên, só cna phương pháp nói ó chí có giá tr% chuoi lũy thùa úng vói h¾ so tìm đưoc phái chuoi h®i tu Như ta biet, chuoi lũy thùa có nhieu tính chat đep đe, đieu cho phép ngưòi ta có the thnc hi¾n nhieu q trình tính tốn thu¾n loi Dĩ nhiên, mien h®i tu cna chuoi lũy thùa thu đưoc mđt hop khỏc rong v neu chuoi ly thựa có bán kính h®i tu R khống h®i tu cna chuoi (−R, R), ta có the lay đao hàm tích phân tùng so hang cna chuoi Chuoi mói nh¾n đưoc (sau lay đao hàm ho¾c tích phân) có bán kính h®i tu chuoi ban đau Đieu dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang chuoi lũy thùa Vì v¾y đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c đào tao cú nhân Tốn hoc Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tơi bo cuc khóa lu¾n thành ba chương Chương Trong chương này, đưa m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho muc ớch cna khúa luắn ú l mđt so van đe bán ve phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân tuyen tính thuan loai điem cna phương trình vi phân liên quan đen vi¾c nhat tìm nghi¾m chuoi cna Đong thòi, h¾ so hang so; Phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat h¾ so hang so; Van đe can thiet bán ve chuoi lũy thùa C hươn g é chúng tơi trình bày ve chúng tơi đưa cách tìm nghi¾m cna phương trình Euler - m®t ví du đien hình cna phương trình vi phân có m®t điem kỳ d% quy Chương Đây phan cna khóa lu¾n, chúng tơi trình bày ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy, đưa m®t ví du minh hoa đien hình cho phương pháp phương trình Bessel - tốn cna v¾t lý 2.Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu m®t phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Tuy nhiên, khn kho u cau đoi vói m®t khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân Tốn hoc, nên chúng tơi chí trình bày van đe pham vi tìm nghi¾m chuoi lân c¾n cna điem kỳ d% quy Vi¾c nghiên cúu nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tai nhung điem kỳ d% khơng quy phúc tap nên xin dành lai cho nhung nghiên cúu ve sau Phương pháp nghiên cNu Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan dù vói nghi¾m cna phương trình Bessel cap v Neu ta chia phương trình (3.35) cho x2, thu đưoc yrr + yr + v2 y = − x v2 x2 r y nhó có the y Vói x lón có the cho so x x hang đưoc bó qua Neu đieu phương trình Bessel cap v có the xap xí bói yrr + y = Các nghi¾m cna phương trình sin x cos x; phái nói trưóc rang nghi¾m cna phương trình Bessel vói x lón tương tn vói to hop tuyen tính cna sin x cos x Đieu hàm Bessel dao đ®ng; nhiên, chí m®t phan Vói x lón hàm J0 Y0 phân rã x tăng; phương trình yrr + y = khơng dan đen m®t sn xap xí thích hop vói phương trình Bessel vói x lón, tính giái tích cao đưoc u cau Th¾t v¾y, ta có the chí rang J0 (x) ∼= 1/2 cos x π −4 x → ∞ (3.43) x → ∞ (3.44) πx Y0(x) ∼= 1/2 π sin x −4 πx Sn xap xí ti¾m c¾n x → ∞, thnc sn rat tot Do đó, đe xap xí J0(x) mien ngun tù đen vơ cùng, ta có the sú dung hai ho¾c ba so hang cna chuoi (3.40) vói x ≥ sn xap xí ti¾m c¾n (3.43) vói s ≥ 3.3.2 Phương trình Bessel cap 1/2 Ví du minh hoa cho trưòng hop nghiắm cna phng trỡnh so sai khỏc mđt so ngun dương, khơng có so hang logarit nghi¾m thú hai Đ¾t v = phương trình (3.35) ta đưoc L[y]=xyrr + xyr x2 + y = −4 (3.45) Neu thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.3.1 đao hàm cna vào phương trình trên, ta nh¾n đưoc ∞ L[φ](r, x) = an x n= 1 (r + n)(r + n − 1)+(r + a0 x r + − (r + ∞ (r + n) n=2 r+n + xr+n+2 an n=0 n)- = r2 ∞ − + 1) a n a1 xr+1 −4 + an−2 xr+n = (3.46) 1 r = ; Các nghi¾m cna phương trình chí so r1 2 = nghiắm ny sai khỏc mđt so nguyờn Hắ thỳc truy toán n− 2 , n ≥ (3.47) (r + n) a = − n −a r+1 , ta thay rang tù h¾ so cna phương trình Vói nghi¾m r1 x = (3.46) a1 = Do đó, tù h¾ thúc truy toán (3.47), a3 = a5 = · · · = a2n+1 = · · · = Hơn nua, vói r = , an−2 an = − n(n + 1) ; n = 2, 4, 6, , hay đ¾t n = 2m, ta đưoc a2m−2 a 2m = − ; m = 1, 2, 3, 2m(2m + 1) Giái h¾ thúc truy tốn này2 ta tìm đưoc m 3! (−1) a0 4a0 a =− , a = tong quát a0 5! , = a2m ; m = 1, 2, 3, (2m + 1)! Do đó, lay a0 = ta đưoc m ∞ (−1) x2 y1(x) = 1+ 1/2 m= m x (2m + 1)! ∞ m (−1) x2 = x−1/2 m (2m + 1)! m=0 , x > Chuoi lũy thùa phương trình chuoi Taylor cna sin x; ú mđt nghiắm cna phng trình Bessel cap x−1/2 sin x Hàm Bessel loai 1/2 m®t cna cap y1 Do , ký hi¾u J1/2, đưoc xác đ%nh π J1/2(x) sin x, x > (3.48) 1/2 = πx Vói nghi¾m r2 = − , ta có the thay khó khăn vi¾c tính a1 N = r1 − r2 = Tuy nhiên, tù phương trình (3.46) vói r = − h¾ so cna xr xr+1 đeu bang khụng phu thuđc viắc chon a0 v a1 Do đó, a0 a1 có the chon tùy ý Tự hắ thỳc truy toỏn (3.47) ta thu oc mđt t¾p hop h¾ so có chí so chan úng vúi a0 v mđt hop cỏc hắ so cú chí so lé úng vói a1 Do đó, khơng can so hang logarit đe thu đưoc nghi¾m thú hai trưòng hop Coi t¾p cho ban đoc đe chí rang, vói r = − n na a2n ( 1) ( 1) a − − , a2n+1 ; n = 1, 2, = = (2n + 1)! (2n)! Do y2(x) = x−1/2 ∞ n a cos x n= ∞ n (−1) x2 (2n)! + a1 n=0 sin x n (−1) x2n+1 (2n + 1)! = a0 + a1 1/2 ,x > x1/2 x Hang so a1 a vo mđt bđi so cna y1(x) Nghiắm đc lắp tuyen tính thú 1/2 hai cna phương trình Bessel cap thưòng đưoc lay vói a0 = π a1 = Nó đưoc ký hi¾u J−1/2 Khi (3.49) cos x, x > J−1/2(x) = 1/2 πx Nghi¾m tong quát cna phương trình (3.45) y = c1J1/2(x) + c2J−1/2(x) Ket hop phương trình (3.48) (3.49) vói phương trình (3.43) π (3.44), thay rang trù đ® d%ch chuyen pha cna , hàm J−1/2 J1/2 tương úng giong J0 Y0 vói x lón 3.3.3 Phương trình Bessel cap Ví du minh hoa cho trưòng hop nghi¾m cna phương trình chí so sai khác m®t so ngun dương v nghiắm thỳ hai nõng lờn mđt so hang logarit Đ¾t v = phương trình (3.35) ta đưoc L[y] = x2yrr + xyr + (x2 − 1)y = (3.50) Neu ta thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.3.1 đao hàm cna vào phương trình rút gon so hang ó trưòng hop trưóc, thu đưoc L[φ](r, x) = a0(r2 − 1)xr + a1 (r + 1) − xr+1 ∞ + , , (r + n) − an + an−2 xr+n = (3.51) n=2 Các nghi¾m cna phương trình chí so r1 = r2 = −1 H¾ thúc truy tốn (r + n) − an(r) = −2(r), n ≥ −an Vói nghi¾m r = 1, h¾ thúc truy tốn tró thành a n= − an−2 ; n = 2, 3, 4, (n + 2)n Chúng ta thay tù h¾ so cna xr+1 phương trình (3.51) a1 = Do đó, tù h¾ thúc truy tốn ta có a3 = a5 = · · · = Vói giá tr% chan cna n = 2m, ta đưoc a2m−2 a2m = − (2m + 2)2m a2m−2 =− 22(m + 1)m ; m = 1, 2, 3, Giái h¾ thúc truy tốn ta nh¾n đưoc m (−1) a0 a2m = ; m = 1, 2, 3, 22m(m + 1)!m! Hàm Bessel loai m®t cna cap 1, ký hi¾u J1, thu đưoc bang cách chon Do m a0 (−1) x2m = (3.52) x ∞ 22m(m + 1)!m! J1(x) = m= Chuoi phương trình h®i tu tuy¾t đoi vói moi x, v¾y hàm J1 giái tích khap nơi Đe xác đ%nh nghi¾m thú hai cna phương trình Bessel cap 1, se sú dung phương pháp thay the trnc tiep Vi¾c tính tốn so hang tong qt phương trình dưói phúc tap, m®t vài so hang đau có the tìm thay de dàng Theo đ%nh lý ó phan 3.2.3, giá sú rang y2(x) = aJ1(x) ln x + x−1 ∞ 1+ , x > c nxn n=1 Tính yr (x), yrr(x), thay vào phương trình (3.50) sú sung J1 nghi¾m 2 cna phương trình (3.50), ta nh¾n đưoc ∞ r ∞ n−1 2axJ1 (x)+ [(n − 1)(n − 2)cn + (n − 1)cn − cn] x + cnxn+1 = 0, n=0 n=0 c0 = Thay J1(x) tù phương trình (3.52), d%ch chuyen chí so cna tong chuoi thú hai ó ve trái cna phương trình bien đoi m®t vài bưóc đai so, ta đưoc ∞ −c1 + [0 · c2+c0]x + 1)cn+1 + cn ∞ m = −a x + m=1 n= (n − −1 2m+1 xn (−1) (2m + 1)x 22m(m + 1)!m! Tù phương trình trên, trưóc tiên ý rang c1 = a = −c0 = −1 Hơn nua, chí có so mũ lé cna x ó ve phái, nên h¾ so cna moi so mũ chan cna x ó ve trái phái bang Do đó, c1 = nên ta có c3 = c5 = · · · = Vói so mũ lé cna x, ta thu đưoc h¾ thúc truy tốn (đ¾t n = 2m + chuoi ó ve trái cna phương trình trên) m (−1) (2m + 1) 22m(m + 1)! ; m = 1, 2, 3, .(2m + 1) − c2m+2 + m! (3.53) c2m = Khi đ¾t m = phương trình (3.53) ta thu đưoc (−1) · (3 − 1)c4 + 2 · 2! c2 = Chú ý rang, c2 có the đưoc chon tùy ý, phương trình xác đ%nh c4 Cũng ý rang phương trình vói h¾ so cna x, c2 nhân vói 0, phương trình đưoc dùng đe xác đ%nh a Hien nhiên c2 tùy ∞ c x −1 Tù đó, c2 tao ý, c2 h¾ so cna x bieu thúc x n n= n + thành m®t b®i so cna J1, y2 chí xác đ%nh m®t b®i so c®ng tính cna J1 Thơng thưòng thnc hành chon c2 Khi = nh¾n đưoc (−1) − − +1 = c4 = 1+ + = (H2 + H1 ) 4 · 24 · ·2 2 2! 2! Chúng ta có the chí rang nghi¾m cna h¾ thúc truy tốn (3.29) = c2m − m+1 (−1) 2m (Hm + Hm 1) m!(m − 1)! ; m = 1, 2, 3, vói H0 = Do ∞ m (−1) (Hm + Hm− 1)x m y2(x) = −J1(x) ln x + − 22 m!(m − 1)! m= , x > m x Vi¾c tính y2(x) sú dung phương pháp thay the (xem phương trình (3.29) (3.30) ó phan 3.2.2), ta xác đ%nh đưoc cn(r2) de dàng Đ¾c bi¾t, bưóc cuoi cho ta cơng thúc tong quát cna c2m mà không can thiet giái h¾ thúc truy tốn (3.53) Nghi¾m thú hai cna phương trình (3.50), hàm Bessel loai hai cna cap1, ký hi¾u Y1, thưòng đưoc lay to hop tuyen tính biet cna J1 y2, đưoc xác đ%nh Y1(x) = π [−y2(x) + (γ − ln 2)J1(x)] , γ đưoc xác đ%nh tù phương trình γ = lim (Hn ln n) ∼= 0, 5772 − n→∞ V¾y nghi¾m tong qt cna phương trình (3.50) vói x > y = c1J1(x) + c2Y1(x) Chú ý rang, J1 giái tích tai x = nghi¾m thú hai Y1 khơng b% ch¾n giong x → x Ket lu¾n Trên l ton bđ khúa luắn "Nghiắm chuoi cỳa phng trỡnh vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" Khóa lu¾n trình bày H¾ thong hóa m®t so van đe bán ve phương trình vi phân tuyen tính; Cau trúc nghi¾m phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so; M®t so van đe bán ve lý thuyet chuoi Đó nhung van đe can thiet cho vi¾c trình by nđi dung chớnh cna khúa luắn Khỏi niắm loai điem cna phương trình vi phân liên quan đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân; Phân loai điem kỳ d%; Phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình Euler Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n điem kỳ d% quy; Phương trình Bessel - ví du minh hoa đien hình cho phương pháp Tài li¾u tham kháo [1] W E Boyce and R C Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and Sons, Inc, Seventh edition (2000) [2] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, (New York, 1989) [3] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen (2009) ... Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 10 1.3 Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 1.3.1 Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so... Trong chương này, chúng tơi đưa m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho muc đích cna khóa lu¾n Đó m®t so van đe bán ve phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân. .. nhieu bien đc lắp thỡ phng trình goi phương trình vi phân đao hàm riêng Trong khóa lu¾n này, chúng tơi chí xét phương trình vi phân thưòng Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong qt