Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HUYỀN MY NGHIỆM CHUỖI CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG LÂN CẬN CỦA ĐIỂM KỲ DỊ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Hà Nội-2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HUYỀN MY NGHIỆM CHUỖI CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG LÂN CẬN CỦA ĐIỂM KỲ DỊ Chuyên ngành: Toán Giải tích Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội-2011 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt suốt trình thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hoàn thành tốt khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi hạn chế có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Huyền My Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp đại học "Nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị" hoàn thành theo nhận thức vấn đề riêng tác giả, không trùng với khóa luận khác Trong trình nghiên cứu thực khóa luận, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Thị Huyền My Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại cương phương trình vi phân 1.1.1 Một số khái niệm 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Vấn đề tồn nghiệm phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 1.2.1 Một số khái niệm 1.2.2 Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hàm 1.2.3 Cấu trúc nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 10 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 1.3.1 Nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 11 11 1.3.2 Cấu trúc hệ nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 12 1.3.3 Phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 13 1.4 Nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính không hệ số số 13 1.4.1 Dạng thứ 14 1.4.2 Dạng thứ hai 15 1.4.3 Dạng thứ ba 16 1.5 Chuỗi lũy thừa 17 1.5.1 Sự hội tụ bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa 17 1.5.2 Một số tính chất tổng chuỗi lũy thừa 20 Chương Điểm kỳ dị phương trình Euler 22 2.1 Điểm thường điểm kỳ dị phương trình vi phân 23 2.1.1 Một số khái niệm 23 2.1.2 Phân loại điểm kỳ dị 24 2.2 Phương trình Euler 2.2.1 Phương trình số có hai nghiệm thực phân biệt 26 27 2.2.2 Phương trình số có hai nghiệm thực 28 2.2.3 Phương trình số có cặp nghiệm phức liên hợp 29 2.2.4 Định lý 31 Chương Nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị 33 3.1 Ý tưởng phương pháp tìm nghiệm chuỗi 33 3.2 Phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân lân cận điểm kỳ dị quy 40 3.2.1 Các nghiệm 45 3.2.2 Các nghiệm sai khác số nguyên 46 3.2.3 Định lý 47 3.3 Phương trình Bessel 49 3.3.1 Phương trình Bessel cấp 49 3.3.2 Phương trình Bessel cấp 1/2 53 3.3.3 Phương trình Bessel cấp 56 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 Mở đầu Lý chọn đề tài Như ta biết việc tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính dựa sở xác định hệ nghiệm phương trình vi phân với việc tìm nghiệm riêng phương trình Nghiệm tổng quát phương trình tổng nghiệm riêng phương trình với nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính tương ứng Nhưng nay, người ta đưa quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng quát phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số Đối với phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số số, việc tìm nghiệm dạng tổ hợp hàm số sơ cấp số phương trình vi phân khó khăn (nếu không muốn nói không thể) Điều xảy phương trình vi phân có dạng đơn giản Chẳng hạn, phương trình y − 2x.y + y = Đó phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm số biến độc lập, ta tìm nghiệm riêng dạng hàm số sơ cấp Tuy nhiên, việc giải dạng phương trình phương trình quan trọng nảy sinh từ vấn đề thực tiễn, đặc biệt xuất nhiều với toán vật lý Chẳng hạn, liên quan đến phương trình Schr¨odinger học lượng tử Vì vậy, cần phải xây dựng phương pháp nhằm tìm nghiệm cho phương trình dạng Một phương pháp thông dụng ứng dụng lý thuyết chuỗi để tìm nghiệm phương trình dạng chuỗi lũy thừa ∞ an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn + y(x) = n=0 Cơ sở Toán học phương pháp thay biểu thức đạo hàm vào phương trình vi phân cần giải Từ đó, xác định giá trị số a0 , a1 , a2 , cho nghiệm phương trình vi phân cho Sau đồng hệ số hệ thức nhận được, ta thu nghiệm phương trình cho Tuy nhiên, sở phương pháp nói có giá trị chuỗi lũy thừa ứng với hệ số tìm phải chuỗi hội tụ Như ta biết, chuỗi lũy thừa có nhiều tính chất đẹp đẽ, điều cho phép người ta thực nhiều trình tính toán thuận lợi Dĩ nhiên, miền hội tụ chuỗi lũy thừa thu tập hợp khác rỗng chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R khoảng hội tụ chuỗi (−R, R), ta lấy đạo hàm tích phân số hạng chuỗi Chuỗi nhận (sau lấy đạo hàm tích phân) có bán kính hội tụ chuỗi ban đầu Điều dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm phương trình vi phân dạng chuỗi lũy thừa Vì định hướng người hướng dẫn, em chọn đề tài "Nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị" để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc đào tạo cử nhân Toán học Để giải vấn đề đặt ra, bố cục khóa luận thành ba chương Chương Trong chương này, đưa số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho mục đích khóa luận Đó số vấn đề phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyến tính; Phương trình vi phân tuyến tính hệ số số; Phương trình vi phân tuyến tính không hệ số số; Vấn đề cần thiết chuỗi lũy thừa Chương Ở trình bày loại điểm phương trình vi phân liên quan đến việc tìm nghiệm chuỗi Đồng thời, đưa cách tìm nghiệm phương trình Euler - ví dụ điển hình phương trình vi phân có điểm kỳ dị quy Chương Đây phần khóa luận, trình bày phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị quy, đưa ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp phương trình Bessel - toán vật lý Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị quy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính Tuy nhiên, khuôn khổ yêu cầu khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Toán học, nên trình bày vấn đề phạm vi tìm nghiệm chuỗi lân cận điểm kỳ dị quy Việc nghiên cứu nghiệm chuỗi phương trình vi phân điểm kỳ dị không quy phức tạp nên xin dành lại cho nghiên cứu sau Phương pháp nghiên cứu Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng người hướng dẫn Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại cương phương trình vi phân 1.1.1 Một số khái niệm Phương trình vi phân phương trình chứa hàm cần tìm đạo hàm Nếu hàm cần tìm phụ thuộc biến độc lập, phương trình gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai nhiều biến độc lập phương trình gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Trong khóa luận này, xét phương trình vi phân thường Như phương trình vi phân thường có dạng tổng quát F x, y, y , y , y (n) = 0, (1.1) F hàm xác định miền không gian Rn+2 gồm biến độc lập x y hàm biến độc lập đạo hàm cấp đến cấp n Cấp phương trình vi phân thường xác định cấp cao đạo hàm xuất phương trình Nghiệm phương trình (1.1) hàm y = y(x) khả vi n lần khoảng (a, b) thỏa mãn phương trình cho, tức F x, y(x), y (x), , y (n−1) (x) = với x thuộc (a, b) Đồ thị hàm y = y(x), x ∈ (a, b) gọi đường cong tích phân phương trình Khi giải phương trình vi phân ta dùng thuật ngữ "Tích phân phương trình vi phân" lí Nếu từ phương trình (1.1) ta tìm biểu diễn đạo hàm cấp cao y (n) qua biến lại ta nói phương trình giải y (n) ta gọi phương trình dạng tắc, tức phương trình phương trình (3.34) định lý phần Các hệ số cn (r2 ) phương trình (3.34) cho cn (r2 ) = d [(r − r2 )an (r)] dr r=r2 ; n = 1, 2, , (3.29) an (r2 ) xác định từ hệ thức truy toán (3.18) với ao = Hơn nữa, hệ số a phương trình (3.34) a = lim (r − r2 )aN (r) (3.30) r→r2 Nếu aN (r2 ) hữu hạn a = số hạng logarit y2 Trong tính toán thực hành, cách tốt để xác định hệ số a nghiệm thứ hai có hay không, đơn giản ta tính an tương ứng với nghiệm r2 xem xác định aN (r2 ) hay không Trường hợp không xác định được, ta phải sử dụng công thức (3.34) với a = Khi r1 − r2 = N , có ba cách để tìm nghiệm thứ hai Đầu tiên, ta tính a cn (r2 ) trực tiếp cách thay biểu thức (3.34) cho y phương trình (3.11) Cách thứ hai, ta tính a cn (r2 ) phương trình (3.34) cách sử dụng công thức (3.29) (3.30) Nếu phương án thực hiện, việc tính toán nghiệm tương ứng với r = r1 chắn thu công thức tổng quát an (r) Cách thứ ba sử dụng phương pháp hạ cấp 3.2.3 Định lý Xét phương trình vi phân (3.11) x2 y + x [xp(x)] y + x2 q(x) y = 0, x = điểm kỳ dị quy Khi xp(x) x2 q(x) giải tích x = có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ ∞ ∞ n xp(x) = qn xn pn x x q(x) = n=0 n=0 47 với |x| < ρ, ρ > cực tiểu bán kính hội tụ hai chuỗi lũy thừa xp(x) x2 q(x) Giả sử r1 r2 nghiệm phương trình số F (r) = r(r − 1) + p0 r + q0 = 0, với r1 r2 nghiệm thực r1 ≥ r2 Thế thì, khoảng ρ < x < < x < ρ tồn nghiệm có dạng ∞ r1 y1 (x) = |x| an (r1 )xn , 1+ (3.31) n=1 an (r1 ) cho hệ thức truy toán (3.18) với a0 = r = r1 Nếu giá trị r1 − r2 không số nguyên dương, khoảng ρ < x < < x < ρ tồn nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai có dạng ∞ r2 y2 (x) = |x| an (r2 )xn 1+ (3.32) n=1 an (r2 ) xác định hệ thức truy toán (3.18) với ao = r = r2 Chuỗi lũy thừa phương trình (3.31) (3.32) hội tụ với |x| < ρ Nếu r1 = r2 nghiệm thứ hai ∞ r1 bn (r1 )xn y2 (x) = y1 (x) ln |x| + |x| (3.33) n=1 Nếu r1 − r2 = N , số nguyên dương, nghiệm thứ hai ∞ r2 y2 (x) = ay1 (x) ln |x| + |x| cn (r2 )xn 1+ (3.34) n=1 Các hệ số an (r1 ), bn (r1 ), cn (r2 ) số a xác định cách thay dạng nghiệm chuỗi cho y phương trình (3.11) Hằng số a tìm 0, trường hợp số hạng logarit nghiệm (3.34) Mỗi chuỗi phương trình (3.33) (3.34) hội tụ với |x| < ρ xác định hàm giải tích vài lân cận x = 48 3.3 Phương trình Bessel Để minh họa cho phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính trình bày phần trên, xét phương trình Bessel, x2 y + xy + (x2 − v )y = 0, (3.35) v số Dễ dàng x = điểm kỳ dị quy phương trình Để đơn giản nói phần trước, xét trường hợp nửa lân cận x > 3.3.1 Phương trình Bessel cấp Ví dụ minh họa cho trường hợp nghiệm phương trình số Trong phương trình (3.35) v = phương trình trở thành L[y]=x2 y + xy + x2 y = Thay (3.36) ∞ r an xr+n y = φ(r, x) = a0 x + n=1 đạo hàm vào phương trình ta nhận ∞ ∞ r+n an [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)] x L[φ](r, x) = n=0 an xr+n+2 + n=0 r+1 r = a0 [r(r − 1) + r] x + a1 [(r + 1)r + (r + 1)] x ∞ {an [(r + n)(r + n − 1) + (r + n)] + an−2 } xr+n + n=2 = (3.37) Các nghiệm phương trình số F (r) = r(r − 1) + r = r1 = r2 = Như vậy, hai nghiệm thực phương trình số 49 Đồng hệ số lũy thừa xr+n 0, ta nhận hệ thức truy toán an (r) = − an−2 (r) an−2 (r) =− , n ≥ (r + n)(r + n − 1) + (r + n) (r + n)2 (3.38) Ta xác định nghiệm thứ y1 (x) phương trình cho cách xác định hệ số an ; n = 0, 1, 2, Từ phương trình (3.37) để hệ số xr+1 ta phải chọn a1 = Do đó, từ hệ thức (3.38) ta nhận a3 = a5 = a7 = · · · = Hơn nữa, thay r = vào hệ thức (3.38) ta nhận an (0) = − an−2 (0) ; n = 2, 4, 6, n2 Do đó, đặt n = 2m, ta nhận a2m (0) = − a2m−2 (0) ; m = 1, 2, (2m)2 Từ hệ thức ta thu a2 (0) = − a0 a0 a0 , , a (0) = , a (0) = − 22 24 22 26 (3 · 2)2 tổng quát a2m (0) = (−1)m a0 ; m = 1, 2, 22m (m!)2 (3.39) Từ đó, ta nhận nghiệm thứ phương trình Bessel ∞ (−1)m y1 (x) = a0 + m=1 x2m , x > 22m (m!)2 (3.40) Hàm ngoặc vuông biết hàm Bessel loại cấp 0, ký hiệu J0 (x) giải tích x = Để xác định y2 (x) tính an (0) Cách khác thay công thức nghiệm (3.33) vào phương trình (3.36) sau xác định bn Trước 50 tiên, ta ý từ hệ số xr+1 phương trình (3.37) ta có (r + 1)2 a1 (r) = Từ đó, suy không a1 (0) = mà a1 (0) = Ta dễ dàng suy từ hệ thức truy toán (3.38) a (0) = a (0) = · · · = a 2n+1 (0) = · · · = Do đó, ta cần tính a 2m (0); m = 1, 2, Từ hệ thức (3.38) ta có a2m = (r) = −a2m−2 (r) ; m = 1, 2, (r + 2m)2 Giải hệ thức truy toán ta thu (−1)m a0 a2m (r) = ; m = 1, 2, (r + 2)2 (r + 4)2 · · · (r + 2m − 2)2 (r + 2m)2 (3.41) Việc tính a2m (r) đưa cách thuận tiện cách ý f (x) = (x − α1 )β1 (x − α2 )β2 (x − α3 )β3 · · · (x − αn )βn , x khác α1 , α2 , , αn , f (x) β1 β2 βn = + + ··· + f (x) x − α1 x − α2 x − αn Áp dụng kết cho a2m (r) từ phương trình (3.41) ta thấy a 2m (r) 1 = −2 + + ··· + , a2m (r) r+2 r+4 r + 2m cho r = ta nhận a 2m (0) = −2 1 + + ··· + a2m (0) 2m Thay a2m (0) từ phương trình (3.39) đặt Hm = + 1 + + ··· + , m 51 ta (−1)m a0 a 2m (0) = −Hm ; m = 1, 2, 22m (m!)2 Nghiệm thứ hai phương trình Bessel cấp tìm cách cho a0 = thay nghiệm y1(x) a 2m (0) = b2m (0) phương trình (3.33), ta thu ∞ (−1)m+1 Hm 2m y2 (x) = J0 (x) ln x + x , x > 2m (m!)2 m=1 Thay y2 , nghiệm thứ hai thường lấy tổ hợp tuyến tính biết J0 y2 Nó biết hàm Bessel loại hai cấp ký hiệu Y0 Chúng ta xác đinh Y0 (x) = [y2 (x) + (γ − ln 2)J0 (x)] π (3.42) Ở γ số, biết đến số Euler - Máscheroni; xác định phương trình γ = lim (Hn − ln n) ∼ = 0, 5772 n→∞ Thay y2 (x) vào phương trình (3.42) ta Y0 (x) = π ∞ x (−1)m+1 Hm 2m y + ln J0 (x) + x , x > 2m (m!)2 2 m=1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình Bessel cấp với x > y = c1 J0 (x) + c2 Y0 (x) Chú ý J0 (x) → x → Y0 (x) có điểm kỳ dị logarit x = 0; nghĩa là, Y0 (x) biểu diễn ln x x → với giá trị dương π Do đó, muốn nghiệm phương trình Bessel cấp điểm gốc ta phải loại bỏ Y0 Cũng ý rằng, với x lớn J0 (x) Y0 (x) dao động Như vậy, biểu diễn phải nói trước từ phương trình ban đầu; mặc 52 dù với nghiệm phương trình Bessel cấp v Nếu ta chia phương trình (3.35) cho x2 , thu v2 y + y + 1− x x y = v2 Với x lớn cho số hạng y y nhỏ x x bỏ qua Nếu điều phương trình Bessel cấp v xấp xỉ y + y = Các nghiệm phương trình sin x cos x; phải nói trước nghiệm phương trình Bessel với x lớn tương tự với tổ hợp tuyến tính sin x cos x Điều hàm Bessel dao động; nhiên, phần Với x lớn hàm J0 Y0 phân rã x tăng; phương trình y + y = không dẫn đến xấp xỉ thích hợp với phương trình Bessel với x lớn, tính giải tích cao yêu cầu Thật vậy, ta πx 1/2 J0 (x) ∼ = πx 1/2 Y0 (x) ∼ = cos x − π x → ∞ (3.43) sin x − π x → ∞ (3.44) Sự xấp xỉ tiệm cận x → ∞, thực tốt Do đó, để xấp xỉ J0 (x) miền nguyên từ đến vô cùng, ta sử dụng hai ba số hạng chuỗi (3.40) với x ≥ xấp xỉ tiệm cận (3.43) với s ≥ 3.3.2 Phương trình Bessel cấp 1/2 Ví dụ minh họa cho trường hợp nghiệm phương trình số sai khác số nguyên dương, số hạng logarit nghiệm thứ hai Đặt v = phương trình (3.35) ta L[y]=xy + xy + x2 − y = (3.45) 53 Nếu thay chuỗi y = φ(r, x) phần 3.3.1 đạo hàm vào phương trình trên, ta nhận ∞ L[φ](r, x) = n=0 ∞ an xr+n+2 (r + n)(r + n − 1)+(r + n)- an xr+n + n=0 r2 − = 1 a0 xr + (r + 1)2 − a1 xr+1 4 ∞ (r + n)2 − + n=2 an + an−2 xr+n = (3.46) 1 r2 = − ; 2 nghiệm sai khác số nguyên Hệ thức truy toán Các nghiệm phương trình số r1 = (r + n)2 − an = −an−2 , n ≥ (3.47) , ta thấy từ hệ số xr+1 phương trình (3.46) a1 = Do đó, từ hệ thức truy toán (3.47), a3 = a5 = · · · = a2n+1 = · · · = Hơn nữa, với r = , an−2 an = − ; n = 2, 4, 6, , n(n + 1) Với nghiệm r1 = hay đặt n = 2m, ta a2m = − a2m−2 ; m = 1, 2, 3, 2m(2m + 1) Giải hệ thức truy toán ta tìm a2 = − tổng quát a2m a0 a0 , a4 = , 3! 5! (−1)m a0 = ; m = 1, 2, 3, (2m + 1)! Do đó, lấy a0 = ta ∞ 1/2 y1 (x) = x ∞ (−1)m x2m (−1)m x2m −1/2 1+ =x , x > (2m + 1)! (2m + 1)! m=1 m=0 54 Chuỗi lũy thừa phương trình chuỗi Taylor sin x; nghiệm phương trình Bessel cấp x−1/2 sin x Hàm Bessel loại 1/2 cấp , ký hiệu J1/2 , xác định y1 Do π J1/2 (x) = 1/2 πx sin x, x > (3.48) Với nghiệm r2 = − , ta thấy khó khăn việc tính a1 N = r1 − r2 = Tuy nhiên, từ phương trình (3.46) với r = − hệ số xr xr+1 không phụ thuộc việc chọn a0 a1 Do đó, a0 a1 chọn tùy ý Từ hệ thức truy toán (3.47) ta thu tập hợp hệ số có số chẵn ứng với a0 tập hợp hệ số có số lẻ ứng với a1 Do đó, không cần số hạng logarit để thu nghiệm thứ hai trường hợp Coi tập cho bạn đọc để rằng, với r = − (−1)n a0 (−1)n a1 a2n = , a2n+1 = ; n = 1, 2, (2n)! (2n + 1)! Do ∞ y2 (x) = x −1/2 a0 n=0 = a0 ∞ (−1)n x2n (−1)n x2n+1 + a1 (2n)! (2n + 1)! n=0 cos x sin x + a ,x > x1/2 x1/2 Hằng số a1 đưa vào bội số y1 (x) Nghiệm độc lập tuyến tính thứ 1/2 hai phương trình Bessel cấp thường lấy với a0 = π a1 = Nó ký hiệu J−1/2 Khi J−1/2 (x) = πx 1/2 cos x, x > Nghiệm tổng quát phương trình (3.45) y = c1 J1/2 (x) + c2 J−1/2 (x) 55 (3.49) Kết hợp phương trình (3.48) (3.49) với phương trình (3.43) π (3.44), thấy trừ độ dịch chuyển pha , hàm J−1/2 J1/2 tương ứng giống J0 Y0 với x lớn 3.3.3 Phương trình Bessel cấp Ví dụ minh họa cho trường hợp nghiệm phương trình số sai khác số nguyên dương nghiệm thứ hai nâng lên số hạng logarit Đặt v = phương trình (3.35) ta L[y] = x2 y + xy + (x2 − 1)y = (3.50) Nếu ta thay chuỗi y = φ(r, x) phần 3.3.1 đạo hàm vào phương trình rút gọn số hạng trường hợp trước, thu L[φ](r, x) = a0 (r2 − 1)xr + a1 (r + 1)2 − xr+1 ∞ (r + n)2 − an + an−2 xr+n = + (3.51) n=2 Các nghiệm phương trình số r1 = r2 = −1 Hệ thức truy toán (r + n)2 − an (r) = −an−2 (r), n ≥ Với nghiệm r = 1, hệ thức truy toán trở thành an = − an−2 ; n = 2, 3, 4, (n + 2)n Chúng ta thấy từ hệ số xr+1 phương trình (3.51) a1 = Do đó, từ hệ thức truy toán ta có a3 = a5 = · · · = Với giá trị chẵn n = 2m, ta a2m = − a2m−2 a2m−2 =− ; m = 1, 2, 3, (2m + 2)2m (m + 1)m 56 Giải hệ thức truy toán ta nhận a2m (−1)m a0 = 2m ; m = 1, 2, 3, (m + 1)!m! Hàm Bessel loại cấp 1, ký hiệu J1 , thu cách chọn a0 = Do ∞ x (−1)m x2m J1 (x) = m=0 22m (m + 1)!m! (3.52) Chuỗi phương trình hội tụ tuyệt x, hàm J1 giải tích khắp nơi Để xác định nghiệm thứ hai phương trình Bessel cấp 1, sử dụng phương pháp thay trực tiếp Việc tính toán số hạng tổng quát phương trình phức tạp, vài số hạng đầu tìm thấy dễ dàng Theo định lý phần 3.2.3, giả sử ∞ y2 (x) = aJ1 (x) ln x + x −1 cn xn , x > 1+ n=1 Tính y2 (x), y2 (x), thay vào phương trình (3.50) sử sụng J1 nghiệm phương trình (3.50), ta nhận ∞ ∞ n−1 [(n − 1)(n − 2)cn + (n − 1)cn − cn ] x 2axJ1 (x)+ cn xn+1 = 0, + n=0 n=0 c0 = Thay J1 (x) từ phương trình (3.52), dịch chuyển số tổng chuỗi thứ hai vế trái phương trình biến đổi vài bước đại số, ta ∞ (n2 − 1)cn+1 + cn−1 xn −c1 + [0 · c2 +c0 ]x + n=2 ∞ (−1)m (2m + 1)x2m+1 = −a x + 2m (m + 1)!m! m=1 57 Từ phương trình trên, trước tiên ý c1 = a = −c0 = −1 Hơn nữa, có số mũ lẻ x vế phải, nên hệ số số mũ chẵn x vế trái phải Do đó, c1 = nên ta có c3 = c5 = · · · = Với số mũ lẻ x, ta thu hệ thức truy toán (đặt n = 2m + chuỗi vế trái phương trình trên) (2m + 1) − c2m+2 + c2m (−1)m (2m + 1) = 2m ; m = 1, 2, 3, (3.53) (m + 1)!m! Khi đặt m = phương trình (3.53) ta thu (32 − 1)c4 + c2 = (−1) · 22 · 2! Chú ý rằng, c2 chọn tùy ý, phương trình xác định c4 Cũng ý phương trình với hệ số x, c2 nhân với 0, phương trình dùng để xác định a Hiển nhiên c2 tùy ý, c2 hệ số x biểu thức x−1 + ∞ cn xn Từ đó, c2 tạo n=1 thành bội số J1 , y2 xác định bội số cộng tính J1 Thông thường thực hành chọn c2 = Khi nhận c4 = −1 −1 + = 24 · 2 24 · 2! 1+ +1 = (−1) (H2 + H1 ) 24 · 2! Chúng ta nghiệm hệ thức truy toán (3.29) c2m (−1)m+1 (Hm + Hm−1 ) = ; m = 1, 2, 3, 22m m!(m − 1)! với H0 = Do ∞ (−1)m (Hm + Hm−1 ) 2m 1− x , x > y2 (x) = −J1 (x) ln x + 2m m!(m − 1)! x m=1 Việc tính y2 (x) sử dụng phương pháp thay (xem phương trình (3.29) (3.30) phần 3.2.2), ta xác định cn (r2 ) dễ dàng Đặc biệt, bước cuối cho ta công thức tổng quát c2m mà không cần thiết 58 giải hệ thức truy toán (3.53) Nghiệm thứ hai phương trình (3.50), hàm Bessel loại hai cấp1, ký hiệu Y1 , thường lấy tổ hợp tuyến tính biết J1 y2 , xác định Y1 (x) = [−y2 (x) + (γ − ln 2)J1 (x)] , π γ xác định từ phương trình γ = lim (Hn − ln n) ∼ = 0, 5772 n→∞ Vậy nghiệm tổng quát phương trình (3.50) với x > y = c1 J1 (x) + c2 Y1 (x) Chú ý rằng, J1 giải tích x = nghiệm thứ hai Y1 không bị chặn giống x → x 59 Kết luận Trên toàn khóa luận "Nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị" Khóa luận trình bày Hệ thống hóa số vấn đề phương trình vi phân tuyến tính; Cấu trúc nghiệm phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số số; Một số vấn đề lý thuyết chuỗi Đó vấn đề cần thiết cho việc trình bày nội dung khóa luận Khái niệm loại điểm phương trình vi phân liên quan đến việc tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân; Phân loại điểm kỳ dị; Phương pháp tìm nghiệm phương trình Euler Phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị quy; Phương trình Bessel - ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp 60 Tài liệu tham khảo [1] W E Boyce and R C Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and Sons, Inc, Seventh edition (2000) [2] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, (New York, 1989) [3] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen (2009) 61 [...]... Chương 2 Điểm kỳ dị và phương trình Euler Phần đầu của chương này, chúng tôi sẽ trình bày vấn đề về điểm thường, điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính Đó là những điểm liên quan trực tiếp đến vi c tìm nghiệm chuỗi của phương trình này Khái niệm về các điểm này cũng có thể mở rộng cho phương trình vi phân tuyến tính cấp cao Tuy nhiên để đơn giản trong vi c trình bày, chúng tôi chỉ trình bày... một nghiệm của phương trình (1.8) Phương trình (1.9) được gọi là 11 phương trình đặc trưng của phương trình (1.8) Đa thức Pn (λ) gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.8) 1.3.2 Cấu trúc hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số Như vậy, hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.8) được xây dựng trên cơ sở các nghiệm của phương trình đặc trưng Để xây dựng được hệ nghiệm. .. n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Ln [y] = 0 gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó Như chúng ta đã nghiên cứu trong các giáo trình bậc đại học, các kết quả dưới đây cho phép ta xây dựng được nghiệm tổng quát của phương trình phân tuyến tính Định lý 2 Nếu y1 , y2 , , ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất Ln [y] = 0, thì nghiệm tổng quát của. .. duy nhất nghiệm, ta suy ra phương trình vi phân tuyến tính cấp n luôn tồn tại một nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện đầu (1.3) Vế phải của (1.4) thường được ký hiệu là Ln [y] và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp n Khi đó phương trình (1.4) được vi t dưới dạng Ln [y] = f (x) Phương trình Ln [y] = 0 gọi là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng của phương trình Ln [y] = f (x) Trong trường... nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta cần một số bổ đề sau trong vi c xử lý các nghiệm của phương trình đặc trưng Chứng minh chi tiết các bổ đề này ta có thể tham khảo trong [3] Bổ đề 3 Nếu λ1 , λ2 , , λm là các nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng (1.9), thì eλ1 x , eλ2 x , , eλm x là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất... k=1 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số 1.3.1 Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương trình có dạng Ln [y] = y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y + p0 y = 0, (1.8) trong đó p0 , p1 , , pn−1 là các hằng số thực Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (1.8) dưới dạng y = eλx , trong. .. 1 Xác định các điểm kỳ dị và các điểm thường của phương trình của phương trình Bessel x2 y + xy + (x2 − v 2 )y = 0 Điểm x = 0 là một điểm kỳ dị vì P (x) = x2 triệt tiêu tại đó Tất cả các điểm khác đều là điểm thường Ví dụ 2 Xác định các điểm kỳ dị và điểm thường của phương trình Legendre (1 − x2 )y − 2xy + α(α + 1)y = 0, trong đó α là một hằng số Các điểm kỳ dị là các không điểm của đa thức P (x) =... nên điểm x = 1 là một điểm kỳ dị chính quy Tương tự, chúng ta có thể chỉ ra điểm x = −1 cũng là một điểm kỳ dị chính quy Ví dụ 4 Xác định tính chất kỳ dị của các điểm kỳ dị trong phương trình vi phân sau 2x(x − 2)2 y + 3xy + (x − 2)y = 0 Ta có P (x) = 2x(x − 2)2 = 0 tại x = 0 và x = 2 Do đó x = 0 và x = 2 là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho Cũng như trong ví dụ 3, ta dễ dàng xác định được điểm. .. tiếp đến phương pháp tìm nghiệm chuỗi được trình bày ở chương sau Phương trình Euler là phương trình có dạng L[y] = x2 y + αxy + βy = 0, (2.2) trong đó α và β là các hằng số thực ( và cũng được gọi là hệ số Euler ) Dễ dàng thấy rằng, x = 0 là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (2.2) Nghiệm của phương trình Euler là trường hợp điển hình của các phương trình vi phân có một điểm kì dị chính quy Trong. .. Trong vi c tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tại các điểm thường, người ta cũng có thể mở rộng phương pháp cho các điểm x0 mà 22 Q(x) R(x) và q(x) = là P (x) P (x) giải tích tại đó Dưới đây, chúng ta sẽ xây dựng khái niệm tổng quát về điểm kỳ dị của những phương trình vi phân như thế tại đó P (x) triệt tiêu nhưng các hàm p (x) = 2.1 Điểm thường và điểm kỳ dị của phương trình vi phân 2.1.1 Một số ... phương trình Euler - ví dụ điển hình phương trình vi phân có điểm kỳ dị quy Chương Đây phần khóa luận, trình bày phương pháp tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính lân cận điểm kỳ dị quy,... điểm kỳ dị phương trình vi phân P (x) triệt tiêu hàm p (x) = 2.1 Điểm thường điểm kỳ dị phương trình vi phân 2.1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Điểm x0 gọi điểm thường phương trình vi phân tuyến tính. .. số Các điểm kỳ dị không điểm đa thức P (x) = − x2 , điểm x = ±1 Tất điểm khác điểm thường 23 2.1.2 Phân loại điểm kỳ dị Điểm x0 gọi điểm kỳ dị quy phương trình (2.1) điểm kỳ dị phương trình đó,