Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (2.1) nếu nó là một điểm kỳ dị của phương trình đó, đồng thời các hàm
(x−x0)Q(x)
P(x) và (x−x0)2R(x) P(x)
đều có khai triển chuỗi Taylor hội tụ tại x0, nghĩa là các hàm này giải tích tại điểm x = x0.
Các hàm này có thể không xác định tại x0. Trong trường hợp này, các giá trị tại x0 được gán là các giá trị giới hạn của chúng khi x → x0. Đặc biệt, nếu P(x), Q(x) và R(x) là các đa thức, thì x0 được gọi là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (2.1) nếu nó là một điểm kỳ dị và các giới hạn
lim
x→x0(x−x0)Q(x)
P(x) vàxlim→x0(x−x0)2R(x) P(x) đều nhận giá trị hữu hạn.
Điểm x0 được gọi là điểm kỳ dị không chính quy của phương trình (2.1) nếu nó không phải là một điểm kỳ dị chính quy.
Ví dụ 3. Trong ví dụ 2, chúng ta đã biết các điểm kỳ dị của phương trình Legendre
(1−x2)y00 −2xy0+ α(α + 1)y = 0
là x = ±1. Bây giờ, ta xác định xem các điểm kỳ dị này là chính quy hay không chính quy. Chia phương trình cho 1−x2 ta nhận được các hệ số của y0 và y lần lượt là − 2x 1−x2 và α(α+ 1) 1−x2 . Bởi vì các giới hạn lim x→1(x−1) −2x 1−x2 = lim x→1 (x−1)(−2x) (1−x)(1 +x) = lim x→1 2x 1 +x = 1
và lim x→1(x−1)2α(α + 1) 1−x2 = lim x→1 (x−1)2α(α + 1) (1−x)(1 +x) = lim x→1 (x−1)(−α)(α+ 1) 1 +x = 0
đều hữu hạn, nên điểm x = 1 là một điểm kỳ dị chính quy. Tương tự, chúng ta có thể chỉ ra điểm x = −1 cũng là một điểm kỳ dị chính quy. Ví dụ 4. Xác định tính chất kỳ dị của các điểm kỳ dị trong phương trình vi phân sau
2x(x−2)2y00 + 3xy0 + (x−2)y = 0.
Ta có P(x) = 2x(x−2)2 = 0 tại x = 0 và x = 2. Do đó x = 0 và x = 2 là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho. Cũng như trong ví dụ 3, ta dễ dàng xác định được điểm x = 0 là điểm kỳ dị chính quy. Tại điểm x = 2, ta có lim x→2(x−2)Q(x) P(x) = limx→2(x−2) 3 2(x−2)2 = limx→2 3 2(x−2) = ∞.
Do đó, x = 2 là điểm kỳ dị không chính quy.
Ví dụ 5. Xác định các điểm kỳ dị của phương trình
x− π
2
2
y00 + (cosx)y0 + (sinx)y = 0
và phân loại chúng là chính quy hay không chính quy. Trong trường hợp này, hàm P(x) =
x− π
2
2
triệt tiêu tại x = π
2. Do đó, x = π
2 là điểm kỳ dị duy nhất của phương trình. Để phân loại tính chất kỳ dị của nó, ta xét các hàm x− π 2 Q(x) P(x) = x− π 2 x− π 2 −2 cosx = x− π 2 −1 cosx và x− π 2 2R(x) P(x) = x− π 2 2 x− π 2 −2 sinx = sinx. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Khai triển Taylor với hàm cosx tại x = π 2, chúng ta nhận được x− π 2 −1 cosx= −1 + 1 3! x− π 2 2 − 1 5! x− π 2 4 +· · ·
hội tụ với mọi x, hay giải tích tại x = π
2. Tương tự, hàm sinx cũng giải tích tại x= π
2. Như vậy, x = π
2 là điểm kỳ dị chính quy. 2.2. Phương trình Euler
Mục đích chính của khóa luận là xây dựng phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Trước hết trong phần này, chúng tôi giới thiệu về phương trình Euler với một phương pháp giải cụ thể. Để giải phương trình này có thể tiến hành theo nhiều cách khác nhau, nhưng phương pháp mà chúng tôi trình bày ở đây liên quan trực tiếp đến phương pháp tìm nghiệm chuỗi được trình bày ở chương sau.
Phương trình Euler là phương trình có dạng
L[y] = x2y00 +αxy0+ βy = 0, (2.2) trong đó α và β là các hằng số thực ( và cũng được gọi là hệ số Euler). Dễ dàng thấy rằng, x = 0 là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (2.2).
Nghiệm của phương trình Euler là trường hợp điển hình của các phương trình vi phân có một điểm kì dị chính quy. Trong một khoảng bất kỳ không chứa điểm gốc, phương trình (2.2) có một nghiệm tổng quát dạng
y = c1y1(x) +c2y2(x),
trong đó y1 và y2 là độc lập tuyến tính.
Để thuận tiện cho việc trình bày lời giải, trước hết chúng ta xét trên khoảng x > 0, sau đó mở rộng kết quả với khoảng x < 0. Giả sử rằng
phương trình (2.2) có một nghiệm dạng y = xr, ta gọi nghiệm dạng này là nghiệm Euler. Khi đó ta có
y0 = (xr)0 = rxr−1 và
y00 = (xr)00 = r(r−1)xr−2. Thay vào vế trái của phương trình (2.2) ta nhận được
L[xr] = xr[r(r −1) +αr+ β] = xrF(r). (2.3) Ta gọi phương trình
F(r) = r(r −1) +αr+ β = 0 (2.4) là phương trình chỉ số của phương trình (2.2). Từ đó suy ra rằng, nếu r là một nghiệm của phương trình chỉ số (2.4), thì y = xr là một nghiệm của phương trình (2.2). Các nghiệm của phương trình chỉ số là
r1, r2 = −(α−1)±
q
(α−1)2 −4β 2
và khi đó ta nhận được sự phân tích F(r) = (r − r1)(r −r2). Như đối với việc giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, chúng ta cần xét các trường hợp riêng dưới đây
2.2.1. Phương trình chỉ số có hai nghiệm thực phân biệt
Nếu phương trình chỉ số có hai nghiệm thực phân biệt là r1 và r2, thì y1(x) = xr1 và y2(x) = xr2 là các nghiệm độc lập của phương trình (2.2). Bởi vì định thức Wronski W(xr1, xr2) = (r2−r1)xr1+r2−1 không triệt tiêu với r1 6= r2 và x > 0, nên suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) là
Chú ý rằng, nếu một nghiệm r nào đó của phương trình chỉ số là số phức, thì nghiệm xr của phương trình (2.2) được xác định bởi xr = erlnx. Ví dụ 6. Giải phương trình
2x2y00+ 3xy0 −y = 0, x > 0. Thay y = xr vào phương trình ta được
xr[2r(r −1) + 3r −1] = xr(2r2 +r −1) = xr(2r −1)(r + 1) = 0.
Như vậy, phương trình chỉ số của phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt là r1 = 1/2 và r2 = −1. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c1x1/2 +c2x−1, x > 0.
2.2.2. Phương trình chỉ số có hai nghiệm thực bằng nhau
Nếu phương trình chỉ số có hai nghiệm thực r1 và r2 bằng nhau thì ta chỉ thu được một nghiệm y1(x) = xr1 của phương trình (2.2). Để thu được nghiệm thứ hai của phương trình (2.2), ta làm theo phương pháp sau. Bởi vì r1 = r2 nên ta suy ra rằng F(r) = (r−r1)2. Do đó trong trường hợp này không chỉ F(r1) = 0 mà cả F0(r1) = 0. Điều này gợi ý việc lấy vi phân phương trình (2.3) theo r và sau đó thay r = r1 để xác định nghiệm thứ hai. Lấy vi phân phương trình (2.3) theo r ta được (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
∂ ∂rL[x
r] = ∂ ∂r [x
rF(r)].
Thay F(r) = (r −r1)2 vào ta được
L[xrlnx] = (r −r1)2xrlnx+ 2 (r −r1)xr.
Vế phải của phương trình trên bằng 0 vì r = r1, nên ta tìm được nghiệm thứ hai của phương trình là
Dễ dàng chỉ ra rằng định thức Wronski W(xr1, xr1lnx) = x2r1−1 khác 0. Do đó, xr1 và xr1lnx là độc lập tuyến tính với x > 0 và ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) là
y = (c1 + c2lnx)xr1, x > 0. (2.6) Ví dụ 7. Giải phương trình
x2y00 + 5xy0+ 4y = 0, x > 0. Thay y = xr vào phương trình ta được
xr[r(r −1) + 5r+ 4] = xr(r2 + 4r + 4) = 0.
Do đó, nghiệm của phương trình chỉ số là r1 = r2 = −2, và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = x−2(c1 + c2lnx), x > 0.
2.2.3. Phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp
Cuối cùng, ta giả sử phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp là r1 = λ+ iµ và r2 = λ −iµ, với µ 6= 0. Từ cặp nghiệm phức liên hợp này, đương nhiên ta xây dựng được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c1xλ+iµ +c2xλ−iµ. (2.7) Tuy nhiên, sự bất lợi của biểu thức này là các hàm xλ+iµ và xλ−iµ là giá trị phức. Nhớ lại rằng, trường hợp này tương tự như phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số khi các nghiệm của phương trình đặc trưng nhận các giá trị phức. Để xây dựng hệ nghiệm cơ bản của phương trình đã cho dưới dạng thực, ta viết như sau
xλ+iµ = e(λ+iµ) lnx = eλlnxeiµlnx = xλeiµlnx = xλ[cos(µlnx)+isin(µlnx)], x > 0.
Khi đó, phần thực và phần ảo của biểu thức trên gồm hai hàm xλcos(µlnx) và xλsin(µlnx)
cũng là các nghiệm của phương trình (2.2). Bởi vì định thức Wronski W xλcos(µlnx), xλsin(µlnx) = µx2λ−1 6= 0, x > 0,
nên các nghiệm này cũng độc lập tuyên tính. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) là
y = c1xλcos(µlnx) +c2xλsin(µlnx), x > 0. (2.8) Ví dụ 8. Giải phương trình
x2y00+ xy0+y = 0, x > 0. Thay y = xr vào phương trình trên ta được
xr[r(r −1) +r+ 1] = xr(r2 + 1) = 0.
Như vậy, phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp là r = ±i. Áp dụng công thức (2.8) ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c1cos(lnx) +c2sin(lnx), x >0.
Bây giờ chúng ta xét dáng điệu của các nghiệm của phương trình (2.2) gần điểm kỳ dị x = 0. Điều này phụ thuộc hoàn toàn vào đặc tính của các số mũ r1 và r2. Trước hết, nếu r là số thực dương thì xr → 0 khi x dần tới 0. Trái lại, nếu r là số thực âm thìxr không bị chặn, và nếu r = 0 thì xr = 1. Nếur là số phức thì một nghiệm của nó là xλcos(µlnx). Hàm này không bị chặn hoặc xấp xỉ 0 nếu λ âm hoặc dương tương ứng, và cũng dao động rất nhanh khi x → 0. Nếu λ = 0 thì biên độ dao động của nó là hằng số. Cuối cùng, nếu phương trình (2.4) có các nghiệm bội, thì một nghiệm của phương trình (2.2) có dạng xrlnx dần tới 0 nếu r > 0 và không bị chặn nếu r ≤0.
khoảng x < 0 bằng cách đổi biến như sau. Đặt x = −ξ, trong đó ξ > 0, và đặt y = u(ξ). Khi đó dy dx = du dξ · dξ dx = −du dξ, d2y dx2 = d dξ −du dξ dξ dx = d2u dξ2. Khi đó, phương trình (2.2) với x < 0 trở thành
ξ2d
2u
dξ2 +αξdu
dξ +βu = 0, ξ > 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đây là phương trình mà chúng ta đã giải ở trên. Từ các phương trình (2.5), (2.6) và (2.8) ta nhận được nghiệm của phương trình trên là
u(ξ) = c1ξr1 + c2ξr2, (c1 +c2lnξ)ξr1, c1ξλcos(µlnξ) +c2ξλsin(µlnξ). (2.9)
Ba công thức nghiệm tương ứng trên đây phụ thuộc vào nghiệm của phương trình chỉ số là các nghiệm thực phân biệt, nghiệm bội hay cặp nghiệm phức liên hợp. Để thu được nghiệm u theo biến x, ta thay trở lại ξ bởi −x trong các phương trình (2.9).
Chúng ta có thể kết hợp các kết quả với x > 0 và x < 0 bằng cách nhớ lại rằng |x| = x khi x > 0 và |x| = −x khi x < 0. Do đó, chúng ta chỉ cần thay x bởi |x| trong các phương trình (2.5), (2.6) và (2.8) để thu được các nghiệm giá trị thực trong một khoảng bất kỳ không chứa điểm gốc. Các kết quả này được tóm tắt trong định lý sau
2.2.4. Định lý
Giả sử phương trình F(r) = r(r − 1) + αr + β = 0 có hai nghiệm r1 và r2. Khi đó, nghiệm tổng quát y(x) của phương trình (2.2) trong một khoảng bất kỳ không chứa điểm gốc được xác định theo các công thức tương ứng trong ba trường hợp dưới đây
(i) nếu r1 và r2 là hai số thực phân biệt, thì y(x) =c1|x|r1
+c2|x|r2
(ii) nếu r1 và r2 là hai số thực bằng nhau, thì
y(x) = (c1 +c2ln|x|)|x|r1; (2.11) (iii) nếu r1 và r2 là cặp nghiệm phức liên hợp, thì
y(x) =|x|λ[c1cos (µln|x|) +c2sin (µln|x|)], (2.12) trong đó r1 = λ+iµ, r2 = λ−iµ.
Các nghiệm của phương trình Euler có dạng
(x−x0)2y00 +α(x−x0)y0+ βy = 0 (2.13) tương tự với các nghiệm đã chỉ ra trong định lý trên. Nếu các nghiệm có dạng y = (x−x0)r, thì nghiệm tổng quát phương trình được cho bởi biểu thức (2.10), (2.11), hoặc (2.12) với x được thay bởi x−x0. Chúng ta cũng có thể đưa phương trình (2.13) về dạng của phương trình (2.2) bằng cách đổi biến t = x−x0.
Chương 3
Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của
điểm kỳ dị
Trong chương đầu của khóa luận, chúng tôi đã trình bày phương pháp tổng quát giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Tuy nhiên, như ta đã thấy việc giải phương trình vi phân khi hệ số là các hàm của biến độc lập không phải là dễ dàng, thậm chí ngay cả đối với nhiều phương trình có dạng khá đơn giản. Một trong những phương pháp khá hiệu quả đối với lớp lớn các bài toán này là phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính khi các hệ số là các hàm của biến độc lập.
Để đơn giản cho việc trình bày, chúng tôi chỉ xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số là các hàm của biến độc lập x. Phương pháp này cũng được tiến hành tương tự với phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Như vậy, chúng ta nghiên cứu việc tìm nghiệm chuỗi của phương trình có dạng
P(x)y00 +Q(x)y0 +R(x)y = 0.
3.1. Ý tưởng của phương pháp tìm nghiệm chuỗi
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai
P(x)y00 +Q(x)y0 +R(x)y = 0. (3.1) Giả sử phương trình có điểm kỳ dị chính quy x = x0. Bằng phép đổi biến t = x−x0 thì phương trình nhận được có điểm kỳ dị chính quy là t = 0. Do đó, ta chỉ cần trình bày ý tưởng của phương pháp tìm nghiệm chuỗi
của các phương trình có điểm kỳ dị chính quy tại x0 = 0 là đủ.
Như ta đã biết x0 = 0 là một điểm kỳ dị chính quy của phương trình (3.1), nghĩa là các hàm
xQ(x) P(x) và x
2R(x) P(x)
có giới hạn hữu hạn khi x → 0 và cả hai hàm đều giải tích tại điểm x0 = 0. Do đó, chúng có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ
xp(x) = ∞ X n=0 pnxn và x2q(x) = ∞ X n=0 qnxn
trong khoảng |x| < ρ xung quanh điểm gốc với một số ρ > 0 nào đó. Chia cả hai vế của phương trình (3.1) cho P(x) và nhân với x2, ta được x2y00 +x[xp(x)]y0+x2q(x)y = 0 (3.2) hay
x2y00 +x(p0 +p1x+ · · ·+ pnxn+· · ·)y0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+(q0 + q1x+· · ·+qnxn +· · ·)y = 0. (3.3) Nếu tất cả các hệ số pn và qn đều bằng 0, ngoại trừ hai giá trị
p0 = lim x→0 xQ(x) P(x) và q0 = limx→0 x2R(x) P(x) ,
thì phương trình (3.3) trở thành phương trình Euler mà ta đã xét đến ở chương trước
x2y00+ p0xy0 +q0y = 0. (3.4) Trong trường hợp tổng quát, tồn tại n ≥ 1 sao cho hệ số pn hoặc qn khác 0. Tuy nhiên, về mặt cơ bản các nghiệm của phương trình (3.3) có các đặc trưng cốt yếu giống các nghiệm của phương trình Euler (3.4). Sự có mặt của các số hạng p1x+· · ·+pnxn+· · · và q1x+· · ·+qnxn+· · · thực
chất chỉ làm phức tạp thêm quá trình tính toán.
Cũng như đối với phương trình Euler, ta chỉ cần xét x > 0. Trước hết, ta thấy rằng các hệ số trong phương trình (3.3) chính là các hệ số Euler nhân với chuỗi lũy thừa. Điều đó, một cách tự nhiên đưa ta đến việc tìm nghiệm của phương trình dưới dạng nghiệm Euler nhân với chuỗi lũy thừa. Do đó, ta giả sử rằng y = xr(a0 +a1x+· · ·+anxn+· · ·) = xr ∞ X n=0 anxn = ∞ X n=0 anxr+n (3.5) với a0 6= 0. Như một phần của quy trình tìm nghiệm của phương trình, chúng ta phải xác định
1. Giá trị của r khi phương trình (3.1) có một nghiệm dạng (3.5). 2. Hệ thức truy toán cho các hệ số an.
3. Bán kính hội tụ của chuỗi
∞
P
n=0
anxn.
Lý thuyết tổng quát của vấn đề này rất phức tạp. Để đơn giản cho việc trình bày vấn đề, chúng ta giả sử rằng tồn tại một nghiệm của phương trình dưới dạng đã nói trên đây. Thêm nữa, ta cũng giả sử một chuỗi lũy thừa biểu diễn một nghiệm có bán kính hội tụ khác 0. Mục đích của chúng ta là dành sự tập trung vào việc chỉ ra cách xác định các hệ số trong một chuỗi như vậy được làm như thế nào. Để minh họa phương pháp này, trước tiên chúng ta xét một ví dụ sau
Ví dụ 1. Giải phương trình vi phân
2x2y00−xy0+ (1 +x)y = 0. (3.6) Ta dễ dàng chỉ ra rằng x = 0 là một điểm kỳ dị chính quy của phương