Cuối cùng, ta giả sử phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp là r1 = λ+ iµ và r2 = λ −iµ, với µ 6= 0. Từ cặp nghiệm phức liên hợp này, đương nhiên ta xây dựng được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c1xλ+iµ +c2xλ−iµ. (2.7) Tuy nhiên, sự bất lợi của biểu thức này là các hàm xλ+iµ và xλ−iµ là giá trị phức. Nhớ lại rằng, trường hợp này tương tự như phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng số khi các nghiệm của phương trình đặc trưng nhận các giá trị phức. Để xây dựng hệ nghiệm cơ bản của phương trình đã cho dưới dạng thực, ta viết như sau
xλ+iµ = e(λ+iµ) lnx = eλlnxeiµlnx = xλeiµlnx = xλ[cos(µlnx)+isin(µlnx)], x > 0.
Khi đó, phần thực và phần ảo của biểu thức trên gồm hai hàm xλcos(µlnx) và xλsin(µlnx)
cũng là các nghiệm của phương trình (2.2). Bởi vì định thức Wronski W xλcos(µlnx), xλsin(µlnx) = µx2λ−1 6= 0, x > 0,
nên các nghiệm này cũng độc lập tuyên tính. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) là
y = c1xλcos(µlnx) +c2xλsin(µlnx), x > 0. (2.8) Ví dụ 8. Giải phương trình
x2y00+ xy0+y = 0, x > 0. Thay y = xr vào phương trình trên ta được
xr[r(r −1) +r+ 1] = xr(r2 + 1) = 0.
Như vậy, phương trình chỉ số có cặp nghiệm phức liên hợp là r = ±i. Áp dụng công thức (2.8) ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
y = c1cos(lnx) +c2sin(lnx), x >0.
Bây giờ chúng ta xét dáng điệu của các nghiệm của phương trình (2.2) gần điểm kỳ dị x = 0. Điều này phụ thuộc hoàn toàn vào đặc tính của các số mũ r1 và r2. Trước hết, nếu r là số thực dương thì xr → 0 khi x dần tới 0. Trái lại, nếu r là số thực âm thìxr không bị chặn, và nếu r = 0 thì xr = 1. Nếur là số phức thì một nghiệm của nó là xλcos(µlnx). Hàm này không bị chặn hoặc xấp xỉ 0 nếu λ âm hoặc dương tương ứng, và cũng dao động rất nhanh khi x → 0. Nếu λ = 0 thì biên độ dao động của nó là hằng số. Cuối cùng, nếu phương trình (2.4) có các nghiệm bội, thì một nghiệm của phương trình (2.2) có dạng xrlnx dần tới 0 nếu r > 0 và không bị chặn nếu r ≤0.
khoảng x < 0 bằng cách đổi biến như sau. Đặt x = −ξ, trong đó ξ > 0, và đặt y = u(ξ). Khi đó dy dx = du dξ · dξ dx = −du dξ, d2y dx2 = d dξ −du dξ dξ dx = d2u dξ2. Khi đó, phương trình (2.2) với x < 0 trở thành
ξ2d
2u
dξ2 +αξdu
dξ +βu = 0, ξ > 0.
Đây là phương trình mà chúng ta đã giải ở trên. Từ các phương trình (2.5), (2.6) và (2.8) ta nhận được nghiệm của phương trình trên là
u(ξ) = c1ξr1 + c2ξr2, (c1 +c2lnξ)ξr1, c1ξλcos(µlnξ) +c2ξλsin(µlnξ). (2.9)
Ba công thức nghiệm tương ứng trên đây phụ thuộc vào nghiệm của phương trình chỉ số là các nghiệm thực phân biệt, nghiệm bội hay cặp nghiệm phức liên hợp. Để thu được nghiệm u theo biến x, ta thay trở lại ξ bởi −x trong các phương trình (2.9).
Chúng ta có thể kết hợp các kết quả với x > 0 và x < 0 bằng cách nhớ lại rằng |x| = x khi x > 0 và |x| = −x khi x < 0. Do đó, chúng ta chỉ cần thay x bởi |x| trong các phương trình (2.5), (2.6) và (2.8) để thu được các nghiệm giá trị thực trong một khoảng bất kỳ không chứa điểm gốc. Các kết quả này được tóm tắt trong định lý sau