Ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình vi phân, tích phân

Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành khoá luận em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo – TS Khuất Văn Ninh, tận tình bảo giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, cô quản lý thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành đề tài Xin chân thành cảm ơn bạn sinh viên nhóm đề tài, bạn sinh viên lớp K29B – Toán giúp đỡ Vì thời gian có hạn nên chắn đề tài em nhiều thiếu sót kính mong đóng góp thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2007 Sinh viên Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp Lời Cam đoan Khoá luận tốt nghiệp hoàn thành hướng dẫn Tiến Sĩ Khuất Văn Ninh có sử dụng sách tham khảo số tác giả Tôi xin cam đoan: Khoá luận kết riêng Kết không trùng với tác giả công bố Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Nguyễn Thị Hiền Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Chương 1: Một số kiến thức liên quan ` 1.1 Các định lý quan trọng lý thuyết tích phân 1.2 Không gian Lp ,1  p   1.3 Tích chập 1.4 Một số định lý không gian Banach không gian Hilbert Chương 2: Phép biến đổi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier 2.2 Tích phân Fourier 10 2.3 Biến đổi Fourier 10 Chương 3: ứng dụng phép biến đổi Fourier 3.1 Giải phương trình truyền nhiệt 21 3.2 Giải phương trình truyền nhiệt không 22 3.3 Giải phương trình trình truyền sóng 23 Chương 4: Phép biến đổi Laplace 4.1 Biến đổi Laplace 25 4.2 Biến đổi Laplace ngược 34 4.3 Tính không chỉnh biến đổi Laplace 37 4.4 Tích phân Duhamel 39 4.5 Bảng đối chiếu gốc ảnh 41 Chương 5: ứng dụng phép biến đổi Laplace 5.1 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 43 5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân 49 Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp mở đầu Lý chọn đề tài: Bộ môn phương trình vi phân phương trình tích phân môn toán vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường phương trình vi phân phương trình tích phân bắt nguồn từ thực tiễn Vật lý, Kỹ thuật, Sinh học…Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân phương trình tích phân phương pháp giải cho hiệu đặc biệt cao sử dụng phép biến đổi tích phân đặc biệt hai phép biến đổi: biến đổi Fourier Laplace Vì nghiên cứu phép biến đổi tích phân cần thiết sinh viên chuyên ngành Toán, Vật lý… Trong năm học qua, học chuỗi Fourier, đẳng thức Paseval, bất đẳng thức Holder giáo trình giải tích hàm, tiền đề để nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Laplace Ngoài để có điều kiện nghiên cứu đầy đủ, phải nắm tích phân Lesbesgue, lý thuyết hàm … Để tìm hiểu sâu phép biến đổi tích phân, em chọn đề tài: "ứng dụng phép biến đổi tích phân để giải phương trình vi, tích phân" để thực khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa tính chất hai phép biến đổi Fourier Laplace, nghiên cứu ứng dụng hai phép biến đổi vào việc giải phườg trình vi phân phương trình tích phân.Đặc biệt sâu vào nghiên cứu ứng dụng cuả phép biến đổi Laplace Nhiệm vụ nghiên cứu Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu số kiến thức liên quan Nghiên cứu phép biến đổi Fourier Nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier Nghiên cứu phép biến đổi Laplace Nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Laplace ý nghĩa lý luận thực tiễn Hai phép biến đổi Fourier Laplace có hiệu cao giải phương trình vi, tích phân việc nghiên cứu đề tài có ý nghĩa thực tiễn cao.Nó giúp giải số hệ phương trình tích phân phức tạp cách đơn giản, có lời giải ngắn gọn mà sử dụng phương pháp khác cho lời giải dài dòng, phức tạp Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp Chương 1: Một số kiến thức liên quan 1.1 Các định lý quan trọng lý thuyết tích phân: Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu): Cho dãy ( f n ) dãy tăng hàm khả tích (Lesbesgue) tập   IR N Khi đó: f n hội tụ h.h  hàm khả tích  cho supn  f n   fn  f 1=  f n x  f ( x) dx  n    Định lý 1.2 (Định lý hội tụ bị chặn): Cho dãy ( f n ) dãy hàm (thực phức) khả tích  Giả sử: (a) f n (x)  f (x) h.h  (b) Tồn hàm f khả tích cho với n , f ( x)  g ( x) h.h  Khi f khả tích fn  f 1=  f n x  f ( x) dx  n   Định lý 1.3 (Fubini): Cho f khả tích 1 x Khi với hầu hết x  1 : F ( x,.)  y  F ( x, y ) khả tích  x  F ( x, y)dy khả tích 1 2 Kết luận tương tự đổi vai trò x cho y , 1 cho  Hơn ta có:  1 dx  F ( x, y)dy = 2  2 dy  F ( x, y)dx =   1 f ( x, y)dxdy Định lý 1.4 (Tonelli): Giả sử:  2 F ( x, y) dy < Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán  h.h x  1 Khoá luận tốt nghiệp  1 dx  F ( x, y) dy <  F khả tích 1 x 1.2 Không gian L p :  p   1.2.1 Định nghĩa: Cho p  R Với  p   ta định nghĩa: Lp () =  f :   IR (hoặc C ); f đo f khả tích p Lp () =  f :   R (hoặc C ); f đo f , f ( x)  C h.h   p f p =  f ( x) dx    f   ký hiệu p = inf c; f ( x)  c h.h  1.2.2 Định lý Định lý 1.5: (Bất đẳng thức Holder): Cho f  L p g  L p ' với  p   Khi đó: f g  L1  f g  f p g p' Định lý 1.6 (Frischer - Riesz): (a) L p không gian Banach với  p   (b) Giả sử  f n  dãy hội tụ f không gian L p (  p   ), nghĩa là: fn  f p  Thế có dãy  f n k k 1,2 cho f nk ( x)  f ( x) h.h k , f nk ( x)  h( x) h.h với h hàm L p 1.3 Tích chập: 1.3.1.Định nghĩa: Cho hàm số f g xác định R N hàm số f  g xác định bởi: ( f * g )( x)  R f ( x  y).g ( y)dy với giả thiết tích phân tồn N gọi tích chập f g Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán Khoá luận tốt nghiệp 1.3.2.Định lý: Định lý 1.7: Giả sử f  Lp ( R N ) với  p   với x  R N hàm số y  f ( x  y).g ( y ) khả tích R N f  g  Lp ( R N ) Hơn nữa: f* g p  f g p Chứng minh: Với p   kết rõ ràng Trước hết ta xet trường hợp p=1 đặt F ( x, y )  f ( x  y ).g ( y ) Với y ta có:  F ( x, y) dx  f ( y )  f ( x  y ) dx  g ( y ) f  dy  F ( x, y) dx   f g   áp dung dịnh lý Tonelli ta thấy F  L1 ( R N  R N ) ) Theo định lý Fubini được: h.h x  R N  dx  F ( x, y) dy  f g  F ( x, y) dy    ta chứng minh trường hợp p  Giả sử  p   Theo kết ta biết với x cố định hàm y  f ( x  y) g ( y) p hàm khả tích nghĩa là: y  f ( x  y) p ' g ( y) hàm thuộc Lp ( R N ) Mặt khác : y  f ( x  y) 1/ p'  L p ' ( R) ( p ' số liên hợp p ) dựa vào bất đẳng thức Holder ta suy hàm: y  f ( x  y) g ( y)  f ( x  y) khả tích và:  1/ p g ( y) f ( x  y)  1/ p' f ( x  y) g ( y) dy  f ( x  y) g ( y) dy   Nghĩa  f * g ( x)  f * g ( x) f p p p p / p'  1/ p ( f )1 / p ' áp dụng kết trường hợp p  ta có: f * g  L p f * g p p  f g p f p Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán p / p' p Khoá luận tốt nghiệp Nghĩa là: f* g p  f g p 1.4 Một số định lý không gian Banach không gian Hilbert Định lý 1.8(ánh xạ mở): Cho A "toàn ánh" từ X lên Y giả sử A tuyến tính, bị chặn Khi A(U ) mở Y với U tập mở X Định lý 1.9(Lax-Milgram): Cho H không gian Hilbert a: H  H     R (hoặc   C ) dạng song tuyến tính liên tục H Nghĩa giữ cố định biến a tuyến tính theo biến lại và: a(u, v)  M u v , u, v  H Giả sử a cưỡng H , nghĩa có số   cho : a(u, v)   u , u  H Khi với phiếm hàm tuyến tính liên tục l : H   tồn u l  H phụ thuộc liên tục vào l , thoả mãn: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán a(u l , v)  l , v , v  H Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Phép biến đổi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier 2.1.1 Định nghĩa: Với hàm f  L1   ,   nghĩa f khả tích Lesbesgue   ,   ,ta định nghĩa chuỗi Fourier f chuỗi hàm lượng giác sau: a0    (a n cos nx  bn sin nx) , đó: n 1  an  f ( x ) cos nx dx , n  0,1,2,   bn  ' ' '   f ( x ) sin nx dx , n  1,2,   ' ' '  (2.1) (2.2) Mối liên hệ (2.1) – (2.2) ký hiệu là: f ( x) ~ a0    (a n cos nx  bn sin nx) n 1 2.1.2 Sự hội tụ: Định lý 2.1: Cho f  L1   ,   Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet   ,   chuỗi Fourier f hội tụ f (x ) điểm x    ,   mà hàm f liên tục, hội tụ f ( x  )  f ( x  ) x điểm gián đoạn thông thường, hội tụ     f (  )  f (  ) x   f (  ) f (  ) tồn Trong điều kiện Dirichlet là: (i) Tồn f (a  ), f (b  ) f có biến phân bị chặn a, b (ii) Có hữu hạn điểm thuộc a, b cho bỏ lân cận tuỳ ý điểm f có biến phân bị chặn phần lại a, b 2.1.3 Sự hội tụ đều: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp Chương 5: ứng dụng phép biến đổi Laplace 5.1:ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân: 5.1.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số: Cho phương trình: a0 y ( n)  a1 y ( n1)      an1 y '  an y  f ( x) (5.1) Trong a0  thoả mãn điều kiện ban đầu: y(0)  y0 , y ' (0)  y0' , , y ( n1) (0)  y0( n1) (5.2) Giả sử Ly(t )  Y ( p); L f (t )  F ( p) (5.3) áp dụng định lý đạo hàm hàm gốc ta có:   Ly (t )  p Y ( p)  p y(0)  y L y t (t )  pY ( p)  y0 '' ' (5.4) … …………………   L y ( n) (t )  p nY ( p)  p n1 y0  p n2 y0'      y0( n1) Thay (5.4) vào (5.1) ta phương trình toán tử A( p).Y ( p) B( p)  F ( p) Hay Y ( p)  F ( p)  B( p ) (5.5) A( p) Trong A( p)  a0 p n  a1 p n1      an (5.6) B( p )  y (a p n 1  a1 p n       a n 1 )  y 0' (a p n   a1 p n 3      a n  )      y 0( n  ) (a p  a1 )  y 0( n 1) a Giả sử pha an thức  B( p)  B( p) tồn q(t )  L1   A( p)  A( p )    g (t )  L1    A( p )   F ( p)    f (t )  g (t ) (5.8)  A( p)  Khi theo tính chất ta có: L1  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 44 (5.7) Khoá luận tốt nghiệp Do nghiệm phương trình vi phân viết dạng: y(t )  f  g  q (5.9) t Tức y (t )  0 f ( ) g (t   )d  q(t ) (5.10) TRường hợp đặc biệt y0  y0'      y0( n1)  B( p)  Do phương trình viết dạng Y ( p)  F ( p) (5.11) A( p) t Nghiệm phương trình viết y (t )  0 f ( ) g (t   )d (5.12) Ví dụ 5.1:Giải phương trình: y ''  y  với điều kiện ban đầu y0  y0'  Giải:Lấy ảnh Laplace vế phương trình ban đầu ta được: p 2Y ( p)  4Y ( p)   Y ( p)   y(t )  p p( p  4)  1 p (  ) p p  22 1   cos 2t nghiệm phương trình ban đầu 2 Ví dụ 5.2: Giải phương trình vi phân sau: y "  y '  13 y  e 2t với điều kiện ban đầu y (0)  2, y ' (0)  Giải:Đặt Ly(t )  Y ( p) Lấy ảnh Laplace vế phương trình cho ta được: p 2Y ( p)  p   4( p.Y ( p)  2)  13Y ( p)   Y ( p)  p  15 p  23 ( p  p  13)( p  2) Suy Y ( p)  Y ( p)  p2 17  21i 17  21i 1      18 p   3i 18 p   3i p   p   3i p   3i  1  (17  21i ) (17  21i )  18  ( p  2)  ( p  2)   p  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 45 Khoá luận tốt nghiệp Lấy nghịch ảnh ta nghiệm phương trình: 1 y(t )  e 2t  e 2t (1  cos 3t  21sin 3t ) 9 5.1.2 Giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số số cách sử dụng công thức Duhamel: Giả sử ta cần tìm nghiệm phương trình: a0 y ( n)  a1 y ( n1)      an1 y1  an y  f (t ) (5.13) Trong a0  với điều kiện ban đầu không Giải: Giả sử biết nghiệm y1 (t ) phương trình a0 y ( n)  a1 y ( n1)      an1 y1  an y  (5.14) Có cúng vế trái (5.13),vế phải với điều kiện ban đầu không: y1 (0)  Phương trình toán tử phương trình (5.13) (5.14) có dạng: A( p).Y ( p)  F ( p) (5.15) A( p).Y ( p)  p (5.16) Từ ta suy Y ( p)  pY1 ( p).F ( p) (5.17) Do theo định lý Duhamel ta có: t y (t )  f (t ) y1 (0)   f ( ) y1' (t   )d Hơn y1 (0)  ta nhận nghiệm phương trình (5.13) t y (t )   f ( ) y1' (t   )d (5.18) Ví dụ 5.3:Giải phương trình: y ''  y  với nđiều kiện ban đầu y (0)  y ' (0)  t 1 e Giải: Trước hết ta giải toán Cauchy: y1''  y1  1; y1 (0)  y1' (0)  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 46 Khoá luận tốt nghiệp Phương trình toán tử phương trình thứ là: p 2Y1 ( p)  Y1 ( p)   Y1 ( p)  p p   p( p  1) p  p  y1 (t )  cht  Theo công thức (3.18) ta có: t  t e  e  t  y (t )   sh(t   )d   d  e 2(1  e ) t e t t e  e t t d (e  1) y (t )    d    e 0  e  et et  et  ln  2 Đặt e   u ta e  d (e  ) 0  e  t e  t udu e t u   e  d (e  )   0  e  1  u 1 u  du t e t  (u  ln u  )  e t   ln( e t  1)  ln Thay vào biểu thức ta nghiệm phương trình y(t )   e  t e t  e t t et  e t  e t t ln  (e   ln  t )  sht ln  (e   t ) 2 2 2  sht ln et  1  (1  te t  e t ) 2 5.1.3.Giải phương trình vi phân với hệ số biến thiên: Ví dụ 5.4: Giải phương trình Bessel sau: ty ''  y '  ty  Giải: Lấy biến đổi Laplace vế nphương trình ta được: ( p  1)Y '  pY  Đây phương trình vi phân tuyến tính cấp Giải phương trình ta được: Y ( p)  C 1 p2 Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 47 Khoá luận tốt nghiệp Do lim pY ( p)  lim p  p  Cp 1 p2  C Mặt khác lim pY ( p)  y0  y(0) p  Do áp dụng định lý: Nếu f (t ), f ' (t ) hàm gốc lim pF ( p)  f (0) p  Từ C  y  y (0) Đặt y (0)  ta nghiệm phương trình Bessel là:  t y (t )   (1)   (n!)   n 1 n 2n  L0 (t ) Ví dụ 5.5: Giải phương trình: ty ''  (1  t ) y '  y  Giải: Lấy biến đổi Laplace vế phương trình ta được:    p 2Y  py(0)  y ' (0)  pY  y(0)   pY  y(0)  Y  ' ' Khai triển rút gọn ta phương trình: p( p  1)Y '  (3 p  2)Y  y(0) Giải phương trình ta được: Y ( p)  c y ( 0)  c số p ( p  1) p  tuỳ ý Do 1 1    nên y (t )  c  ct  ce t  y (0)e t p ( p  1) p  p p Hay y(t )  c1e t  c2 (t  1) Trong c  y(0)  \  c1 ,  c  c2 5.1.4 Giải hệ phương trình vi phân dạng chuẩn: Để đơn giản cho ký hiệu ta xét hệ phương trình ẩn sau:  x1'  a11 x1  a12 x  a13 x3  f1  '  x  a 21 x1  a 22 x  a 23 x3  f  x'  a x  a x  a x  f 31 32 33 3  (5.19) Với điều kiện xi (0)  bi i  1,2,3, ,bi số Ký hiệu Lxi   X i , L f i   Fi , i  1,2,3, Lấy biến đổi Laplace hệ phương trình (5.19) ta hệ: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 48 Khoá luận tốt nghiệp  pX ( p)  a11 X ( p)  a12 X ( p)  a13 X ( p)  F1 ( p)  b1   pX ( p)  a 21 X ( p)  a 22 X ( p)  a 23 X ( p)  F3 ( p)  b2  pX ( p)  a X ( p)  a X ( p)  a X ( p)  F ( p)  b 31 32 33 3   ( p  a11 ) X ( p)  a12 X ( p)  a13 X ( p)  F1 ( p)  b1 Hay  a21 X ( p)  ( p  a 22 ) X ( p)  a 23 X ( p)  F2 ( p)  b2   a X ( p)  a X ( p)  ( p  a ) X ( p)  F ( p)  b 32 33 3  31 (5.20) Giải hệ (5.20) ta được: X ( p)  F1 ( p)  b1   11   F2 ( p)  b2  21  F3 ( p)  b3  31    p  a11 Trong    a21  a31  a12 p  a 22  a32  a13  a 23 p  a33 (5.21)  i1 phần phụ đại số phần tử tương ứng cột định thức thu từ  sau thay cột cột phần tử tự   ji   (5.22)    Kí hiệu g ij  L1  Khi x1 (t )  g11  f1  g12  f  g13  f  b1 g11  b2 g12  b3 g13 (5.23) x '  y  Ví dụ 5.6: Giải hệ sau:  ' với điều kiện ban đầu: x(0)  1, y(0)  1 y  x  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 49 Khoá luận tốt nghiệp Giải: Giả sử Lx(t )  X ( p); Ly(t )  Y ( p) Khi hệ phương trình tương đương  pX ( p)  x(0)  Y ( p)   X ( p)  pY ( P)  y (0)  với :   pX ( p )  Y ( p)   X ( p )  pY ( p )  1 Hay  Giải hệ X ( p)  1 ; Y ( P)  p 1 p 1  x(t )  e t  t  y (t )  e 5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân 5.2.1 Giải phương trình vi tích phân: t Xét phương trình a2 y ' (t )  a1 y (t )  a0 0 y ( )d  f (t ) (5.24) Với điều kiện ban đầu y (0)  b0 b0 , a0 , a1 , a số Ta đưa phương trình phương trình vi phân cấp hàm y (t ) cho liên tục có đạo hàm riêng liên tục khúc, ta trình bày phương pháp giải nhờ toán tử Laplace Khi sử dung định lý ảnh tích phân:   Ly(t )  Y ( p), L y ' (t )  pY ( p)  y(0)  pY ( p)  b0 t Y ( p) ta nhận phương trình : L  y ( )d     p a  pY ( p)  b0   a1Y ( p)  a0 Suy Y ( p)  Y ( p)  F ( p) (5.23) p pF ( p)  a b0 (5.24) a p  a1 p  a0 Từ lấy nghịch ảnh ta thu nghiệm y (t ) phương trình Ví dụ 5.5: Tìm nghiệm phương trình tích phân sau: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 50 Khoá luận tốt nghiệp t a y ' (t )  a1 y (t )  a0  y ( )d  f (t ) với diều kiện ban đầu y (0)  f (t ) 1 ,  t  c 0 , t  c, c  cho dạng: f (t )   Giải: Ta thấy F ( p)  L f (t )   e  cp p Ta nhận phương trình ảnh phương trình tích phân là: a   a p  a1  p    e  cp Y ( p)  p  Từ Y ( p)   e cp  e cp  1    a2 p  a1 p  a0 a2 ( p1  p2 )  p  p1 p  p2  Trong p1 , p2 nghiệm mẫu số Theo định lý ta viết hàm gốc dạng: y (t )   (e p1t  e p2t )h(t )  (e p1t  p1c  e p2t  p2c )h(t  c) a ( p1  p )  Trong khoảng  t  c nghiệm phải tìm có dạng: y (t )  e p1t  e p2t a ( p1  p ) Còn t  nghiệm phải tìm có dạng: y (t )  (1  e  p1c )e p1t  (1  e  p2c )e p2t a ( p1  p ) 3.2.2 Phương trình Volterra loại 2: Xét phương trình Voltterra loại 2: x  ( x)  f ( x)   K ( x, t ) (t )dt (5.25) Giả sử L ( x)  ( p); L f ( x)  F ( p); LK ( x, t )  L( p) Ta có phương trình toán tử sau: ( p)  F ( p)  L( p).( p) (5.26) Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 51 Khoá luận tốt nghiệp Từ ( p)  F ( p) (5.27)  L( p ) Ví dụ 5.6: Giải phương trình tích phân sau: x  ( x)  cos x   ( x  t ) (t )dt (5.28) Giải: Lấy biến đổi Laplace vế phương trình ta được: ( p)  p  ( p) p 1 p Suy ( p)  p3  p3 p3      ( p  1)( p  1)  p  p      p   p     p    p  2  p 1  p   1 p p     2  p  p   Từ   ( x)  (cos x  chx) Ví dụ5.7: Giải phương trình: x  ( x)  sin x   ( x  t )  (t )dt (5.28) Giải: Ta có: Lsin x     x ; L 0 ( x  t )  (t )dt   L x 2 ( x)  F ( p)  p 1  p  Phương trình cho chuyển thành: ( p)  1   ( p) p 1 p  ( p)  p3 A Bp  C Dp  E    2 ( p  1)( p  1)( p  p  1) p  p  p  p  Bằng phương pháp đồng thức ta tìm được: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 52 Khoá luận tốt nghiệp A   B   p 1 p 1    Vậy F ( p)  C  2 6( p  1) 2( p  1) 3( p  p  1)  D    E    1 1 p 1 Có L  e x    ; L  (cos x  sin x)  ;số hang cuối có dạng: 6  p 1 2  2( p  1) 1 i  ,  ta tính thặng dư tương ứng 2 ( p  p1 )( p  p2 ) với p1,    ( x)  x x (e  cos x  sin x  4e cos t Ví dụ 5.8: Giải phương trình: x  ( x)  x   (t  x) (t )dt (5.29) Giải: Phương trình tương đương với: x  ( x)  x   ( x  t ) (t )dt (5.30) Ta có: Lx  x 1 ; L  0 ( x  t ) (t )dt   Lx   ( x)  ( p) (với L ( x)  ( p) )   p p Lấy biến đổi Laplace vế phương trình (5.30) ta được: ( p)  1  ( p) p p  ( p)   Lsin x  p 1   ( x)  sin x Ví dụ 5.9: Giải phương trình sau:  ( x)   x     6( x  t )  4( x  t )  (t )dt (5.31) x Giải: Ta có L1  x    Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán p2 53 Khoá luận tốt nghiệp   L   6( x  t )  4( x  t )     4 p p p x   L     6( x  t )  4( x  t )  (t )dt         ( p )    p p p    Khi lấy biến đổi Laplace vế phương trình (5.31) ta được: ( p)       ( p)      p p   p p  ( p)  p( p  2) A B C    ( p  2)( p  1)( p  4) p  p  p   A   Bằng phương pháp đồng thức ta tìm được:  B   C   9 4   9( p  2) 9( p  1) 9( p  4) Vậy ( p)    ( x)  x  x 4 x e  e  e 9 x Ví dụ 5.10: Giải phương trình:  ( x)   0 (t  x) (t )dt (5.32) Giải: Phương trình cho tương đương với phương trình sau: x  ( x)    ( x  t ) (t )dt (5.33) x 1 ; L  0 ( x  t ) (t )dt   Lx   ( x)  ( p) lấy biến đổi   p p Ta có L1  Laplace vế phương trình (5.33) ta được: ( p)  1  ( p) p p  ( p)  p  Lcos x    ( x)  cos x p 1 Ví dụ 5.11: Giải phương trình sau:  ( x)  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán x x   ( x  t ) (t )dt (5.34) 24 54 Khoá luận tốt nghiệp  x4  Giải: Ta có: L      ; L  0 ( x  t ) (t )dt   Lx   ( x)  ( p)   p p  24  24 p 4! 1 x Lấy biến đổi Laplace vế (5.34) ta được: ( p)  1  ( p) p p  ( p)  Đặt 1 1  p  Ta có: p ( p  1) p ( p  1) p p 1  x3  1  G ( p )  L   ( p)  Lsin x   ; p4   p 1  t (x  t)3   x3  L  sin tdt   L  sin x   G ( p). ( p)   6   d x (x  t)3  L  sin tdt   p.G ( p ). ( p )  dx  d x (x  t)3 Dùng tích phân Duhamel ta suy ra:  ( x)  0 sin tdt tích phân dt phần lần tích phân ta được:  ( x)  x2  cos x  5.2.3.Phương trình Volterra loại 1: Xét phương trình Volterra loại :  x K ( x, t ) (t )dt  f ( x) Ta đặt L f ( x)  F ( p); LK ( x, t )  L( p); L ( x)  ( p) Ta có L( p).( p)  F ( p) (5.35) ( p)  F ( p) (5.36) L( p ) Ví dụ 5.12: Giải hệ phương trình sau:   ( x)  x  x e ( x t ) (t )dt  x ( x  t ) (t )dt  0 0 (5.37)  x x  ( x)    sh( x  t )1 (t )dt   e ( x t ) (t )dt  0  Giải: Đặt: L1 ( x)  1 ( p); L ( x)   ( p) ta có: Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 55 Khoá luận tốt nghiệp   1 ( p)    ( p)   1  1 ( p)   ( p) p 1 p p 1  1 ( p)   ( p) p p 1 p 1 Từ  ( p)  p2  p 1 p3  p2  ;  ( p )  p( p  1)( p  1) ( p  1)( p  1)( p  1) 2 Vậy: 1 ( x)   e x  sin x  cos x  ( x)  (cos x  chx)  sin x Ví dụ 5.13:Tìm nghiệm phương trình: y ' ( x)  y( x  1) (5.38) với hàm ban đầu y ( x)  y  const   x  0, y (0)  y  const Giải: Nhân vế phương trình với e  px tích phân theo x với cận từ  đến  ta có:  e  px y ' ( x)dx  pY ( p)  y    e  px y ( x  1)dx   e  p (t 1) y (t )dt 1     e  p (t 1) y dx   e  p (t 1) y (t )dt 1 y  (1  e  p )  e  p Y ( p ) p Phương trình toán tử phương trình là: Y ( p)  y  y0 (1  e  p )  e  p Y ( p) p Từ Y  y  pe  p 1 e  y0   p p p  p  pe  p( p  e ) p( p  e )  p p     1   y0   p e p  p (1  )  p    1  e  p e 2 p   Y  y0   1        p p  p p    e  kp  Hay Y  y    k    p k 0 p     ( x  k ) k 1 y ( x )  y  h( x  k )  Do  0  k 0 (k  1)!  n  ( x  k ) k 1  Với n  x  n  y ( x)  y 1     k 0 (k  1)!  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 56 Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 5.14: Giải phương trình: x  cos x   sh( x  t ) (t )dt (5.38) Giải: Ta có: L1  cos x  p   p p  p ( p  1) x L   sh( x  t ) (t )dt  Lshx. ( x)  ( p)   p  1  ( p) Phương trình ảnh ( p  1) p p  p2 1 2p  ( p)     L2 cos x  1 p ( p  1) p  p Do  ( x)  cos x  Ví dụ 5.15: Giải phương trình : x 0 sin( x  t ) (t )dt  x sin x (5.39) Giải: Đặt: L ( x)  ( p) ; Lx sin x  ( p)  2p ( p  1) 2 2p  Lcos x  p2 1 Vậy  ( x)  cos x Ví dụ 5.16: Tìm nghiệm phương trình: x x  x   e ( x t ) (t )dt (5.40) Giải: Đặt K ( x)  e x khả vi K ' (0)  Ta có:   L x  2x   3; p p   x L  e 2( x t ) (t )dt   L e x  ( x)  ( p)   p2 Lấy biến đổi Laplace vế phương trình (5.40) ta được:   ( p) p2 p p ( p  4)( p  2)  ( p)     3 p p p p Có L1  ; L x   ; L x  p p p   Vậy  ( x)   x  x Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 57 Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Đặng Đình áng, Biến đổi tích phân, NXB Giáo Dục 1997 W Rudin, Real and Complex Analysis, 3th edition, Mc Graw – Hill, Inc, 1987 Đặng Đình áng, Lý thuyết tích phân, NXB Giáo Dục 1997 Lê Văn Trực, Phương pháp toán cho vật lý, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội W Rudin, Pinciples of mathematical Analysis, 2nd, Mc Graw –Hill, Inc, 1964 Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 58 [...]... lấy đạo hàm dưới dấu tích phân, ta có : 1 2    ut ( x, t )e  ix dx   1 t  2     u ( x, t )e  ix dx   uˆt ( , t )  Tương tự sử dụng i) và tính chất 6 của biến đổi Fourier ta biến đổi Fourier vế phải của (1) như là hàm theo biến x ta có : uxx ( x, t )^  (i )2 uˆ ( , t )  2uˆ ( , t ) Từ đó biến đổi hai vế của (1) cho ta phương trình vi phân thường theo biến t (  là tham... ) của phương trình vi phân sau: u  2u  a 2 2 , t  0,  x   (1) t x Thoả mãn điều kiện ban đầu u ( x,0)  f ( x),  x   và thoả mãn các điều kiện: (i) u, u x , u xx liên tục, khả tích trên R theo biến x, t  0 cố định (ii) T  0,   L1 ( R) : ut ( x, t )  ( x), t  0, T , x Giải: Ta biến đổi vế trái của (1) như là hàm theo biến x ( xem t là tham số) dùng tính chất ii) để. .. vị Heaviside: 0 1  0 (t )   t0 t0 Thì biến đổi Laplace của  0 là:  F ( p )   e  pt dt   0 1  pt t   1 e  , với Re p  0 t0 p p Ví dụ 4.2: Tìm biến đổi Laplace của hàm: f (t )  et Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán 26 Khoá luận tốt nghiệp Giải: Ta có biến đổi Laplace của f (t ) là:  F ( p)   e  pt e t dt  0  1 1 e (  p ) t  với Re( p   )  0 t0  p p Ví dụ 4.3: Biến đổi. .. trong trường hợp tổng quát ta có ngay kết quả : Nghiệm của phương trình đã cho là : u( x, t )  1 2 t   e 2 / 4t  u0 ( x  t )d 3.2 Bài toán của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất : Bài toán : Tìm nghiệm u ( x, t ) của phương trình vi phân sau : u  2u ( x, t )  a 2 2 ( x, t )  f ( x, t ) t x Thoả mãn điều kiện ban đầu u( x,0)  0 Giải : Đặt V ( x, , t )  1 2a t   e   ( ...  g ( x) hầu hết trên R Chứng minh: (a): Được chứng minh đơn giản bằng cách suy ra từ bổ đề 2.1 (b): Chứng minh khá phức tạp, cần nhiều kiến thức nên ta có thể tham khảo trong [2] Công thức trong định lý 2.5 dẫn đến khái niệm về biến đổi Fourier ngược: 2.3.2 Biến đổi Fuorier ngược: Định nghĩa: Hàm x  1  2   F ( )e ix dx được gọi là biến đổi Fourier ngược của F Tích phân (Theo nghĩa Lesbesgue)...   f (0  ) f ' (0  ) f ( N ) (0  )         p p2 p N 1  Theo nguyên lý quy nạp ta có đIều phảI chứng minh Ví dụ 4.11:Tìm nghiệm của phương trình vi phân sau:  y ''  2 y '  3 y  e  t (1)  ' y ( 0 )  y ( 0 )  0  Giải: Đặt: Y  Ly lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình (1) ta có:   y (0) y ' (0)  y (0)  1 p 2 Y ( p)   2   2 p Y ( p)   3Y ( p)   p p  p 1 p... dụ 3.1 : Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt sau : u  2u ( x, t )  2 ( x, t ) t x Thoả mãn điều kiện về nhiệt độ ban đầu t  0 : u ( x,0)  u0 ( x) Và thoả mãn các điều kiện : (i) u, u x , u xx liên tục, khả tích trên R theo biến x với t  0 cố định (ii) T  0,   L1 ( R), ut ( x, t )  ( x), t  0, T , x Giải : áp dụng kết quả của bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt...   1 (q là số đối ngẫu của p) thì: q p 1   fˆ ( ) q d  q          p  1 p f ( x) d ( x) Với hàm f  Lp ( R),1  p  2 ta định nghĩa fˆ như là giới hạn trong Lq (R ) của dãy hàm   (2 ) 1 1  2 q    f ( x )e  Nguyễn Thị Hiền K29B – Toán ix dx , khi n   21 Khoá luận tốt nghiệp Chương 3: ứng dụng của phép biến đổi Fourier 3.1 Bài toán giải phương trình truyền nhiệt Bài toán:... Fn giảI tích trên miền Re p   Thật vậy,xét p cố định sao cho Re p   , sử dụng định nghĩa hội tụ bị chặn của Lesbesgue, ta có: Fn ( p)  lim h 0 n Fn ( p  h)  Fn ( p) e  ht  1  lim  t f (t )e  pt dt h 0 0 h ht n e  ht1 dt    tf (t )e  pt dt 0 h 0 ht   tf (t )e  pt lim n 0 Theo định lý của Weierstrass, ch.1, hàm F cũng giải tích trên miền Re p   0 4.1.4 Tính chất của biến đổi. .. Cho các hàm gốc f k có các chỉ số tăng là  k , biến đổi Laplace là Fk , k  1,2, ,n Khi đó biến đổi Laplace của hàm tổ hợp tuyến tính f của các hàm f k n f (t )   c k f k (t ) , c k là hằng số, k 1 là hàm F xác định bởi: n F ( p )   c k Fk ( p ) với miền xác định Re p  max  k k 1 Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân Ví dụ 4.5: Ta đã biết Let   1 , Re( ... 41 Chương 5: ứng dụng phép biến đổi Laplace 5.1 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 43 5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình tích phân 49 Nguyễn Thị Hiền... học…Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân phương trình tích phân phương pháp giải cho hiệu đặc biệt cao sử dụng phép biến đổi tích phân đặc biệt hai phép biến đổi: biến đổi Fourier Laplace... nghiệp Chương 5: ứng dụng phép biến đổi Laplace 5.1 :ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân: 5.1.1 Giải phương trình vi phân tuyến tính có hệ số số: Cho phương trình: a0 y (