Một số phép biến đổi độc đáo để giải phương trình
1 Phương trình và hệ phương trình A.Vấn đề lý thuyết I/Các phép biến đổi -Cộng trừ nhân chia lỹ thừa -Liên hợp ab ab ab - -= + 33 33 22 3 ab ab aabb - -= ++ -Hằng đẳng thức 333222 ()()3 abcabcabcabbccaabc++=++++ + 3333 ()3()()()abcabcabbcca++=++++++ 2 ()()() x axbxabxab++=+++ II/Dạng chuẩn -Phương trình bậc 2: 2 0axbxc++= PP: Tính 2 4bacD=- và sẽ có 2 b x a -±D = VD: 2222 2320(13)220xxyxyyxyxyy+ +=Û+-+-= . Thấy 222 (13)4(22)(1)yyyy =+ Từ đây ta có 2 h 1 x yxy==- -Phương trình đẳng cấp 22 0axbxycy++= PP: Chia cho 2 y sẽ quay về bậc 2 với /txy= VD: 2 22 x yxxy+=+. Hãy nhìn mà xem, VT và VP đều thuần bậc 1 => Bình phương có đẳng cấp bậc 2 -Hệ phương trình kiểu đối xứng II PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y) VD. 22 22 23527 46514 xyxy xyxy ì +=-+ ï í +=++ ï î . Lấy (2)=(1)*2 sẽ được nhân tử (x-y) -Hệ đối xứng loại I PP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP VD: 333 ()3030 35335 xyxySP xySSP +== ìì Û íí +=-= îî -Phương trình đối xứng PP: Chứng minh x=y bằng đánh giá hoặc phân tích đa thức ra nhân tử VD: 3322 ()(1)0aabbabaabbab+=+Û ++=Û= 3333 33 () () () abtm aabbabaabbL abaabbL = é ê +=+Û>Þ+>+ ê ê <Þ+<+ ë III/Phương pháp chung -Sử dụng các biến đổi -Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải. -Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVTaVP³³ hoặc xm = là nghiệm duy nhất IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán 1. Biến đổi trong giải toán a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích) 2 VD1. 2 (612)210xxxx-+++£ Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau 2322 1 (612)210(6128)(22)0(2)(2)0 22 xxxxxxxxxx x æö -+++£Û-+-++-£Û +£ ç÷ ++ èø VD2. 2 748773210xxx+++-= Bấm máy đi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ đây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy 0,142857142857142857 sẽ được con 1/7. Xong rồi còn gì ( ) 2 7 48777320(71)70 732 PTxxxxx x æö Û+-++-=Û-++= ç÷ ++ èø VD3. 22 1(2)22xxxxx+-=+-+ Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng đừng vội bỏ cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính đi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. è Nhân tử 2 27 xx ( ) 222 2 2 27(2)223(27)10 223 x PTxxxxxxx xx æö + Û =+-+-Û = ç÷ -++ èø VD4. 32 236390xxxx += Có x=2 ngon rồi ( ) 322 6 2366330(2)30 633 xxxxxx x æö + =Û = ç÷ -+ èø Bấm cái trong ngoặc kia giờ ra nghiệm nữa cũng x=2. Đến đâu có 3 hướng giải · 22 6 30(3)(633)6 633 xxx x =Û += -+ mà 2x ³ · Quay lại ( ) 322 6 1632480(1)20 163 xxxxxxx xx æö + + +=Û-++= ç÷ ++- èø · Liên hợp tiếp 2 6 410 633 x x += -+ *** Một số kĩ năng trong biến đổi liên hợp VD5. 2 3 2112144xxx-+=- Đặt 3 44tx=-(cho đỡ công vik thôi) 2 3 2 12 2112144(3)250 2 xxxxx tt æö -+=-Û = ç÷ ++ èø Hướng 1 biểu diển tiếp 2 1 253 2 xt-=+ thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm đi các bạn) Hướng 2 sáng tạo hơn đi 2 12 3251 2 xx tt >Þ->> ++ rồi tương tự …… VD6. 4323 341(1) x xx-=-+ Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì …. 64242 222 22 3333 (34)340 11 xxxxx xxxxx tttt ++++ -=-Û-+= ++++ . (Rất khó làm tiếp) Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống ( )( ) ( ) 222 432343222 2 21 341(1)341121 11 x xx xxxxxxxx x -+++ -=-+Û-=-++++= ++ 3 ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 1152 212 34030 3 11 611 xx xx xxx x x -+++ +++ æö Þ-+=Û-+= ç÷ èø ++ ++ b/Dùng hệ số bất định để “mò” nghiệm VD1. 432 36530xxxx-+-+= Có 43222432 3653()()()()() x xxxxaxbxcxdxacxacbdxadbcxbd-+-+=++++=++++++++ Đồng nhất hệ số có 3 6 5 3 ac acbd addc bd +=- æ ç ++= ç ç +=- ç = è Ta được 1 1 2 3 a b c d =- æ ç = ç ç =- ç = è Sẽ phân tích thành ( 2 1 xx -+)( 2 23 xx -+)=0 VD2. 22 1(2)22xxxxx+-=+-+ Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử 2 27 xx . Ta chọn m,n sao cho: è m=0 và n=3. c/Các phép biến đổi thông thường VD1. 222 324254xxxxxx+++++=++ Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng 1x ³- và 4x £- VD2. 22 41221 x xxxx-+=-++ ( ) ( ) (21)(21)(21)21212111210 xxxxxxxxxx-++=-++Û+ + =Þ VD3. a/ 33 3 23 2 20022003x62002x7x32001xx3 = + +- b/ Xem HĐT 333222 ()()3 abcabcabcabbccaabc++=++++ + và 3333 ()3()()()abcabcabbcca++=++++++ d/Đưa về luỹ thừa cùng bậc Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT đơn giản 222 ()2ababab+=++ và 33322 ()33abababab+=+++ VD1. a/ 323 1810820090(6)1793xxxx+++=Û+= b/ ( ) 3 323 3 51248640(4)4 x xxxx+++=Û+=- VD2. 42 283 x xx=++ 22 42422 283(2)83 44 mm xxxxmxmxx=++Û++=++++. Để có dạng chính phương cần 2 16(2)30 4 m m æö -++= ç÷ èø .Máy tính có m=2. Vậy thì 222 (1)(22)xx+=+ 4 Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt ( ) 2 22 4151004835(23)3358xxxxx =+Û+=++ . áp dụng các phương pháp trong giải toán 1. Biến đổi trong giải toán a/ Bài toán đã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích) 2 VD1. 2 (612)210xxxx-+++£ Dùng fx ta có x=2. Và để tạo ra. 1 Phương trình và hệ phương trình A.Vấn đề lý thuyết I/Các phép biến đổi -Cộng trừ nhân chia lỹ thừa -Liên hợp ab ab ab - -= + . 3333 33 () () () abtm aabbabaabbL abaabbL = é ê +=+Û>Þ+>+ ê ê <Þ+<+ ë III /Phương pháp chung -Sử dụng các biến đổi -Sử dụng ẩn phụ è Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải. -Sử dụng BĐT. èTa đi chứng minhVTaVP³³