Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác Báo cáo khoa học: Một số phép biến đổi bảo toàn cạnh và góc của tam giác nhằm tìm ra giải đáp cho vấn đề đã nêu và điều quan trọng là đề cập đến những áp dụng của nó trong chương trình toán Trung học phổ thông.
f (x) [0; π] f (A) f (B) f (C) ABC f (x) = x f (x) = π 3 f (x) [0; π] f (x) > 0, f (x) + f (y) + f (π − x − y) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y < π. y → 0 + f (x) + f (0) + f (π − x) = π, ∀x ∈ (0; π) f (π −x) = π −f (0) −f (x) , ∀x ∈ (0; π) . f (x) + f (y) + (π − f (0) − f (x + y)) = π, ∀x, y ∈ (0; π) , x + y ≤ π f (x) + f (y) = f (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π. f (x) = f (0) + g (x) g (x) [0; π] f (0) + g (x) + f (0) + g (y) = f (0) + g (x + y) + f (0) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π ⇔ g (x) + g (y) = g (x + y) , ∀x, y ∈ [0; π] , x + y < π. g (x) [0; π] g (x) = αx f (x) = f (0) + αx f (0) = β f (x) = αx + β α β f (x) > 0 ∀x ∈ (0; π) x+y < π f (A)+f (B)+f (C) = π αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; αA + β + αB + β + αC + β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; α (A + B + C) + 3β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; απ + 3β = π. ⇔ αx + β > 0, ∀x ∈ (0; π) ; β = (1 − α) π 3 . f (x) = αx + (1 − α) π 3 , ∀x ∈ (0; π) . x → 0 + (1 − α) π 3 ≥ 0 ⇔ α ≤ 1. x → π − απ + (1 − α) π 3 ≥ 0 α ≥ − 1 2 − 1 2 ≤ α ≤ 1 − 1 2 < α < 1 f (x) α = − 1 2 f (x) = − 1 2 x + π 2 0 < x < π f (x) > f (π) = 0 f (x) > 0 ∀x ∈ (0; π) α = 1 f (x) = x f (x) = αx + (1 − α) π 3 , − 1 2 ≤ α ≤ 1. f (x) − 1 2 ≤ α ≤ 1 A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = αA + (1 − α) π 3 , B 1 = αB + (1 − α) π 3 , C 1 = αC + (1 − α) π 3 , α < − 1 2 A B C max {A, B, C} < (α − 1) π 3α A 1 B 1 C 1 A 1 = αA + (1 − α) π 3 , B 1 = αB + (1 − α) π 3 , C 1 = αC + (1 − α) π 3 , α < − 1 2 max {A, B, C} < (α − 1) π 3α ⇒ A < (α − 1) π 3α ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + (1 − α) π 3 > 0 ⇒ A 1 > 0. B 1 > 0 C 1 > 0 A 1 + B 1 + C 1 = π α > 1 A B C min {A, B, C} > (α − 1) π 3α A 1 B 1 C 1 A 1 = αA + (1 − α) π 3 , B 1 = αB + (1 − α) π 3 , C 1 = αC + (1 − α) π 3 , α > 1 min {A, B, C} > (α − 1) π 3α ⇒ A > (α − 1) π 3α ⇒ 3αA + (1 − α) π > 0 ⇒ αA + (1 − α) π 3 > 0 ⇒ A 1 > 0. B 1 > 0 C 1 > 0 A 1 + B 1 + C 1 = π α = − 1 2 A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = π −A 2 , B 1 = π −B 2 , C 1 = π −C 2 A 1 = B + C 2 , B 1 = C + A 2 , C 1 = A + B 2 α = 1 2 A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = π + 3A 6 , B 1 = π + 3B 6 , C 1 = π + 3C 6 A 1 = 4A + B + C 6 , B 1 = 4B + C + A 6 , C 1 = 4C + A + B 6 α = − 2 3 A B C max {A, B, C} < 5π 6 A 1 B 1 C 1 A 1 = 5π −6A 9 , B 1 = 5π −6B 9 , C 1 = 5π −6C 9 A 1 = 5B + 5C − A 9 , B 1 = 5C + 5A − B 9 , C 1 = 5A + 5B − C 9 α = − 4 5 A B C max {A, B, C} < 3π 4 A 1 B 1 C 1 A 1 = 3π −4A 5 , B 1 = 3π −4B 5 , C 1 = 3π −4C 5 A 1 = 3B + 3C − A 5 , B 1 = 3C + 3A − B 5 , C 1 = 3A + 3B − C 5 α = −1 A B C max {A, B, C} < 2π 3 A 1 B 1 C 1 A 1 = 2π 3 − A, B 1 = 2π 3 − B, C 1 = 2π 3 − C A 1 = 2B + 2C − A 3 , B 1 = 2C + 2A − B 3 , C 1 = 2A + 2B − C 3 α = −2 A B C max {A, B, C} < π 2 ABC A 1 B 1 C 1 A 1 = π −2A, B 1 = π −2B, C 1 = π −2C A 1 = B + C −A, B 1 = C + A −B, C 1 = A + B − C α = 2 A B C min {A, B, C} > π 6 A 1 B 1 C 1 A 1 = 2A − π 3 , B 1 = 2B − π 3 , C 1 = 2C − π 3 A 1 = 5A − B − C 3 , B 1 = 5B − C − A 3 , C 1 = 5C − A − B 3 α = 4 A B C min {A, B, C} > π 4 A 1 B 1 C 1 A 1 = 4A − π, B 1 = 4B − π, C 1 = 4C −π A 1 = 3A − B − C, B 1 = 3B − C −A, C 1 = 3C −A −B − 1 2 ≤ α ≤ 1 A 1 = αA + (1 − α) π 3 = αA + (1 − α) (A + B + C) 3 = (1 + 2α) 3 A + (1 − α) 3 B + (1 − α) 3 C. B 1 C 1 α 1 = 1 + 2α 3 β 1 = γ 1 = 1 − α 3 α 1 β 1 γ 1 ≥ 0 α 1 + β 1 + γ 1 = 1 A 1 = α 1 A + β 1 B + γ 1 C, B 1 = α 1 B + β 1 C + γ 1 A, C 1 = α 1 C + β 1 A + γ 1 B A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = αA + βB + γC; B 1 = αB + βC + γA; C 1 = αC + βA + γB, α β γ ≥ 0 α + β + γ = 1 A 1 B 1 C 1 > 0 A 1 + B 1 + C 1 = (α + β + γ) (A + B + C) = 1.π = π. A 1 B 1 C 1 A B C A = (α 2 − βγ) A 1 + (γ 2 − αβ) B 1 + (β 2 − γα) C 1 α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ ; B = (α 2 − βγ) B 1 + (γ 2 − αβ) C 1 + (β 2 − γα) A 1 α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ ; C = (α 2 − βγ) C 1 + (γ 2 − αβ) A 1 + (β 2 − γα) B 1 α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ , α β γ 1 3 α β γ ≥ 0 1 3 α + β + γ = 1 A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = α 1 A + β 1 B + γ 1 C; B 1 = α 1 B + β 1 C + γ 1 A; C 1 = α 1 C + β 1 A + γ 1 B, α 1 = α 2 − βγ α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ ; β 1 = γ 2 − αβ α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ ; γ 1 = β 2 − γα α 3 + β 3 + γ 3 − 3αβγ , α β γ α = sin 2 ϕ, β = cos 2 ϕ, γ = 0. A B C A 1 B 1 C 1 A 1 = α 1 A + β 1 B + γ 1 C; B 1 = α 1 B + β 1 C + γ 1 A; C 1 = α 1 C + β 1 A + γ 1 B, α 1 = sin 4 ϕ sin 6 ϕ + cos 6 ϕ ; β 1 = −sin 2 ϕ.cos 2 ϕ sin 6 ϕ + cos 6 ϕ ; γ 1 = cos 4 ϕ sin 6 ϕ + cos 6 ϕ , A 1 B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 α A 2 = αA, B 2 = αB, C 2 = αC + (1 −α) π, A 2 + B 2 + C 2 = π A 2 > 0 B 2 > 0 C 2 > 0 A 2 B 2 C 2 0 < α ≤ 1 A B C A 2 B 2 C 2 A 2 = αA, B 2 = αB, C 2 = αC + (1 −α) π, A 2 > 0 B 2 > 0 C 2 > 0 α = 1 2 A B C A 2 B 2 C 2 A 2 = A 2 , B 2 = B 2 , C 2 = π + C 2 C 2 0 < α ≤ 2 A B C C A 2 B 2 C 2 A 2 = αA, B 2 = αB, C 2 = αC + (1 −α) π, A 2 > 0 B 2 > 0 C > π 2 ⇒ C 2 = αC + (1 −α) π > α π 2 + (1 − α) π = (2 − α) π 2 ≥ 0 ⇒ C 2 > 0. α = 2 A B C C A 2 B 2 C 2 A 2 = 2A, B 2 = 2B, C 2 = 2π −C − 1 2 ≤ α < 0 A B C A 3 B 3 C 3 A 3 = αA + mπ, B 3 = αB + nπ, C 3 = αC + pπ, m ≥ −α, n ≥ −α, p ≥ −α, m + n + p = 1 −α, A 3 + B 3 + C 3 = α (A + B + C) + (m + n + p) π = απ + (1 −α) π = π. A < π ⇒ −αA < −απ ⇒ −α > −αA π . m ≥ −α m > −αA π ⇒ αA + mπ > 0 ⇒ A 3 > 0. B 3 > 0 C 3 > 0 m ≥ −α n ≥ −α p ≥ −α 1 − α = m + n + p ≥ −3α α ≥ − 1 2 1 − α ≥ −3α α = − 1 4 m = 1 4 n = 1 4 p = 3 4 A B C A 3 B 3 C 3 A 3 = − A 4 + π 4 , B 3 = − B 4 + π 4 , C 3 = − C 4 + 3π 4 , ABC C A 3 B 3 C 3 A 3 = π 2 − A, B 3 = π 2 − B, C 3 = π −C, C 3 ABC C A 3 B 3 C 3 A 3 = π 2 − A, B 3 = π 2 − B, C 3 = π −C, C 3 [...]... cừa mởt tam giĂc ựng vợi mồi tam giĂc ABC cho trữợc Bi toĂn 2.2 XĂc nh cĂc cp số , hm số f (x) = cõ tẵnh chĐt l f (a), f (b), f (c) luổn lêp thnh ở di cĂc cÔnh cừa mởt tam giĂc ựng vợi mồi tam giĂc ABC cho trữợc GiÊi Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, ta luổn giÊ thiát a b c 1 x + 1 Nhên xt rơng, hm số g (x) = x (php nghch Êo) khổng cõ tẵnh chĐt g (a), g (b), g (c) l ở di cĂc cÔnh cừa mởt tam giĂc... cÔnh cừa mởt tam giĂc, ựng vợi mồi tam giĂc ABC cho trữợc Trản Ơy l hai bi toĂn khĂ tờng quĂt xĂc nh mởt số hm số cõ tẵnh chĐt f (a), f (b), f (c) l ở di cĂc cÔnh cừa mởt tam giĂc, ựng vợi mồi tam giĂc ABC cho trữợc BƠy giớ, ta cụng tiáp tửc tẳm kiám nhỳng Ăp dửng cử th cừa bi toĂn trản v xt nhỳng trữớng hủp khĂc m bi toĂn chữa ã cêp Mằnh ã 2.1 Náu a, b, c l ở di ba cÔnh cừa mởt tam giĂc thẳ... b c lêp thnh ba cÔnh cừa mởt tam giĂc ỗng dÔng vợi tam giĂc  cho Chựng minh Ta cõ 2S = a 1 ha a 1 hb = = a 1 hc 1 1 1 Suy ra h , h , h lêp thnh ba cÔnh cừa mởt tam giĂc ỗng dÔng vợi tam giĂc cõ a b c 1 ba cÔnh l a, b, c, t số ỗng dÔng l k = 2S Mằnh ã 2.3 ở di cĂc trung tuyán m , m , m lêp thnh ba cÔnh cừa mởt tam giĂc a b c Chựng minh (BÔn ồc tỹ v hẳnh) GiÊ sỷ tam giĂc ABC cõ cĂc trung tuyán... th sĂng tĂc ữủc bi toĂn sau Ơy Bi toĂn 2.3 Chựng minh rơng khổng tỗn tÔi tam giĂc cõ ba cÔnh l 1 1 1 , , , a+1 b+1 c+1 trong õ a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc (khổng phÊi l tam giĂc ãu) no õ 18 Tiáp theo l mởt phữỡng phĂp sĂng tĂc mởt số bi toĂn khĂc 1 1 1 Theo Mằnh ã 2.2, ta cõ h , h , h lêp thnh ba cÔnh cừa mởt tam giĂc Do õ a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + > Vêy náu ta chồn ha , hb , hc sao... sin C 8 C 2 BƠy giớ, giÊ sỷ tam giĂc ABC cõ gõc C tũ (hoc vuổng) p dửng Mằnh ã 1.10 vo (7), ta cõ 3 3 0 < sin A + sin B + sin ( C) 2 2 2 Ta ữủc bĐt ng thực sau BĐt ng thực 1.9 3 3 0 < cos A + cos B + sin C 2 C 2 2 Php chuyn ời bÊo ton cÔnh cừa tam giĂc 2.1 Php chuyn ời Hai bi toĂn sau cụng  ữủc ti liằu [1] ã cêp Bi toĂn 2.1 XĂc nh cĂc cp số , hm số f (x) = x + cõ tẵnh chĐt... ( pcm) 1 1 2 C1 E = AG = ma = 2 2 3 CC1 = mc Tứ õ tam giĂc 1 ma 3 CC1 P cõ ba cÔnh l ma, mb, mc Mằnh ã 2.4 Náu a, b, c l ở di ba cÔnh cừa tam giĂc 17 A, B, C , thọa mÂn min (A, B, C) , 12 thẳ ab, bc, ca cụng l ở di ba cÔnh cừa mởt tam giĂc Chựng minh Ta chựng minh bơng phữỡng phĂp phÊn chựng Ga sỷ ab, bc, ca khổng th l ở di ba cÔnh cừa mởt tam giĂc Khi õ ta phÊi cõ, chng hÔn, bĐt ng thực... số f (x) = x + cõ tẵnh chĐt l f (a), f (b), f (c) luổn lêp thnh ở di cĂc cÔnh cừa mởt tam giĂc ựng vợi mồi tam giĂc ABC cho trữợc 13 GiÊi f (a), f (b), f (c) l ở di cĂc cÔnh cừa mởt tam giĂc, trữợc hát ta phÊi cõ f (a) > 0, f (b) > 0, f (c) > 0, ABC Suy ra (12) Do õ 0 Thêt vêy, náu < 0, tũy ỵ thẳ ta chồn tam giĂc ABC cõ a ừ lợn Khi õ, theo tẵnh chĐt cừa nh thực bêc nhĐt, ta cụng s nhên ữủc... ABC : a b c a + b + c + 15 (14) Xt cĂc tam giĂc cƠn ABC ỗng dÔng vợi tam giĂc cƠn cÔnh 3, 3, 1, tực l a = b = 3d, c = d vợi d > 0 tũy ỵ Khi õ (14) cõ dÔng 1 1 1 + > , d > 0 3d + 3d + d + BĐt ng thực trản tữỡng ữỡng vợi 1 2 > , d > 0 3d + d + hay 2d + 2 > 3d + , d > 0, tực l > d, d > 0 iãu ny khổng xÊy ra khi d ừ lợn Vêy vợi = 0, > 0, thẳ hm số f (x) = 1 , x + (tực l hm hơng, dữỡng)... cÔnh cừa mởt tam giĂc, do a, b, c l ở di ba cÔnh cừa tam giĂc ABC Thêt vêy, ta cõ a + > 0, b + > 0, c + > 0, ABC f (a) + f (b) > f (c) , f (b) + f (c) > f (a) , f (c) + f (a) > f (b) , tực l a + + b + > c + b + + c + > a + c + + a + > b + hay (a + b) + > c (b + c) + > a (c + a) + > b iãu ny hin nhiản vẳ 0, 0, + > 0 Vêy vợi 0, 0, + > 0 thẳ hm số f (x) = x...1.2 p dửng Tứ nhỳng kát quÊ phƯn 1.1 ta thĐy rơng, vợi ba gõc cừa mởt tam giĂc cho trữợc, cõ th tÔo ra ữủc ba gõc cừa mởt tam giĂc mợi v do õ cõ th suy ra ữủc nhiãu hằ thực lữủng giĂc liản quan án cĂc gõc cừa tam giĂc õ Hỡn nỳa, bơng cĂch phối hủp nhỳng phữỡng phĂp khĂc nhau, ta cỏn cõ th tÔo ra ữủc nhiãu ng thực v bĐt ng thực lữủng