một số phép biến đổi trong toán ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN-TIN  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG TOÁN ỨNG DỤNG GVHD: TS NGUYỄN VĂN ĐÔNG SVTD: HUỲNH LÊ THANH TÙNG MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012 TP.HCM, THÁNG NĂM 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN-TIN  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG TOÁN ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH GVHD: TS.NGUYỄN VĂN ĐÔNG SVTH: HUỲNH LÊ THANH TÙNG MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012 TP.HCM, THÁNG NĂM 2012 PHẦN MỞ ĐẦU Nhiều toán thực tiễn cuối dựa phản hồi hệ thống tín hiệu nhập hàm hình sin Điều thuận tiện nằm chỗ hệ tuyến tính điều khiển hàm Aeiωt phản hồi có dạng Điều cho phép biểu diễn hàm biến thực F(t) cho chồng chất hàm hình sin Giải tích Fourrier, thể qua chuỗi Fourrier phép biến đổi Fourrier, nghiên cứu phân tích hàm thành hàm hình sin Khi hàm F hàm tuần hoàn, có chu kì L, thoả điều kiện liên tục định, ta có phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier ∞ F (t ) = ∑ce n = −∞ với hệ số xác định ìnπ t / L n , L /2 cn = F (t )e-ìn2π t / L dt L − L∫/2 Phép biến đổi Fourier nhanh thuật toán có hiệu dùng để xấp xỉ hệ số Nếu F không tuần hoàn |F| khả tích (và điều kiện liên tục thỏa) phân tích có dạng ∞ F (t ) = ∫ G(ω )e iωt dω , −∞ G phép biến đổi Fourier F, xác định ∞ − iωt G (ω ) = ∫ F (t )e dt 2π −∞ Phép lấy đạo hàm “trực tiếp” (nghĩa là, đạo hàm theo số hạng dấu tích phân) hai biểu diễn xem xét nhiều tình huống, phép lấy đạo hàm phép nhân với iω, nên việc giải số phương trình vi phân thường đơn giản hóa bàng việc sử dụng giải tích Fourier Các phép biến đổi khác, đặc biệt phép biến đổi Laplace, phép z- biến đổi- phát triển với đối tượng: phân tích hàm tùy ý thành chồng chất dạng nhằm có thuận tiện cho công việc phân tích đặc biệt Khi xử lý điều kiện ban đầu tình thời thật tiện lợi ta dùng phép biến đổi Laplace F ∞ L { F } ( s ) = ∫ F (t )e − st dt Phép biến đổi Laplace đồng với phép biến đổi Fourier hàm số mà “bật lên” t = [ nghĩa là, F(t)=0 t 0} trừ số hữu hạn điểm bất thường a1 , , an Gọi γ = {=z Reit , t ∈ [0, π ]} Giả sử R lim µ R = ,với µ R = max f ( z ) Khi với số thực dương α ta có z∈γ R R →∞ lim ∫ eiα z f ( z )dz = R →∞ Ví dụ 0.19 Hàm γR +∞ eix dx x −∞ Tính I = p.v ∫ eix liên tục toàn trục thực ngoại trừ x = Do x ρ ix  − r eix  e I lim  ∫ dx + ∫ dx  =  ρ →∞  x x r  r → 0+  − ρ eiz có cực điểm đơn gốc chỉnh hình điểm khác z Xét đường cong đóng bao gồm ρ eiθ ,θ ∈ [ 0, π ] , S r− : z = c − reiθ , θ ∈ [ 0, π ] (hình vẽ 0.5) [− ρ , −r ],[r , ρ ] , Cρ+ : z = Xét hàm f ( z ) := Cρ+ Sr −ρ -r ρ r Hình 0.5 Vì điểm bất thường nằm đường cong đóng ta có ρ  −r  eiz  ∫ + ∫ + ∫ + ∫  dz =0  − ρ S − r C+  z r ρ   ρ ix − r ix iz e e e eiz dx dx dz + = − − nghĩa ∫ x ∫r x ∫ z ∫ z dz −ρ S− C+ r Vì lim max ρ →∞ z∈Cρ ρ eiz dz = = nên theo bổ đề 0.18 (Bổ đề Jordan) lim ∫ ρ →∞ + z z C ρ Theo bổ đề 0.17 có lim+ e  e −iπ res  ,  = −iπ dz = z − z   S +∞ ix r →0 ∫ iz iz r e I p= dx iπ  = v ∫ x −∞ Vậy 0.5 Phép biến đổi Mobius Định nghĩa 0.20 Ánh xạ xác định ω ( z ) = az + b a , ad-bc ≠ với ω (∞) = , cz + d c d c ω (− ) = ∞ gọi hàm phân tuyến tính (còn gọi ánh xạ Mobius) từ  ∞ đến ∞ Định lý 0.21 Ánh xạ Mobius a) song ánh  ∞  ∞ b) bảo toàn đường tròn  ∞ c) bảo toàn tính đối xứng điểm qua đường tròn  ∞ Ví dụ 0.22 Tìm ánh xạ Mobius biến hình tròn đơn vị z < thành hình tròn đơn vị ω < cho z = z0 biến thành tâm hình tròn ω < Giải: Giả sử ω = ω ( z ) phép biến đổi cần tìm, ω ( zo ) = với zo < Bởi zo 1 đối xứng qua đường tròn z = nên theo định lý 0.21 có ω ( ) = ∞ Hàm cần tìm zo zo z − zo z − zo z − zo có dạng ω ( z ) A= Azo= B = 1 z z z z − − o o z− zo Lấy z cho z = ω ( z ) = Viết z = eiϕ có eiϕ − zo eiϕ − zo B= = B = B zo eiϕ − eiϕ zo − e − iϕ nghĩa B = eiα , suy ω ( z ) = eiα z − zo α ∈  chọn tùy ý  z zo − Cả hai “tổng” chuỗi cấp số nhân Chuỗi hội tụ đến chuỗi thứ hai hội tụ đến z 1− z < , 1       2z = ∑ =    ∑ =  2z −1  2z   2z  n  2z  1− = n 1= 2z 1 z > Vì hình vành khăn hội tụ chung < z < , phép z-biến đổi chuỗi 2 −n hàm giải tích −3 z 1 (3.7) A( z ) = + = z 2z −1 1  1− 2( z − 2)  z −  2  Rõ ràng phép z-biến đổi chuỗi Laurent A(z) hình vành khăn ∞ n n ∞ Phép z-biến đổi dãy dao động (3.2) có dạng ∞ ∑ (−1) n z − n ; n ≥ tổng hội tụ với n = −∞ |z|>1, n < tổng hội tụ với |z|1 mà miền hội tụ chung miền xác định phép z-biến đổi Chuỗi (3.4) có số hữu hạn số hạng khác không , phép z-biến đổi đơn giản đa thức theo hội tụ với giá trị z ≠ z Từ ví dụ hiểu chất tổng quát phép z-biến đổi dãy; hàm chỉnh hình xác định chuỗi Laurent có hệ số số hạng dãy lấy theo thứ tự ngược lại (vì a (n) nhân với z − n ) Từ định lý hội tụ (định lý 0.6) suy phần chuỗi có số dương hội tụ z > lim sup n a (n) , phần chuỗi có số âm hội tụ z < lim sup n a (−n) Vì phép z-biến đổi xác định z thuộc hình vành khăn lim sup n a (n) < z < , lim sup n a (−n) (3.8) tập không rỗng Phép biến đổi chỉnh hình hình vành khăn này, chuỗi Laurent có tính chất phép lấy đạo hàm, tích phân, nhân theo số hạng Nếu a(n) = n < [ (3.3)], chuỗi gọi chuỗi gốc (causal) Từ (3.8) ta thấy phép z-biến đổi mà chuỗi gốc hội tụ bên đường tròn (nghĩa bán kính hình vành khăn vô hạn) Một hàm chỉnh hình cho trước phép z-biến đổi nhiều dãy, biểu diễn chuỗi Laurent không (nó phụ thuộc vào miền hội tụ) Hàm số phép biến đổi chuỗi sau: ( z − 1)( z − ) 1 − 2n −1 , n ≤ a ( n) =  , |z| < 1; n>0 0, −2n −1 , n ≤ a ( n) =  , < |z| < 2; n>0 −1, n 2 − 1, n ≥ Chuỗi thứ ba chuỗi chuỗi gốc; cách tổng quát chuỗi Laurent hội tụ phần đường tròn phép z-biến đổi chuỗi gốc Khi phép z-biến đổi chuỗi viết dạng đóng, cung cấp biểu diễn cô đọng (compact) chuỗi Như thấy, thuận lợi để giải mối liên hệ đệ quy, giải phương trình sai phân có liên quan đến dãy Các công cụ để phục hồi dãy từ phép z-biến đổi công cụ xây dựng chuỗi Laurent Công thức phép z- biến đổi ngược sau xem kiểu định lý 0.5 Định lý 3.1 Cho A(z) phép z-biến đổi dãy {a(n): -∞ < n < ∞} hình vành a khăn < z < b Khi n −1 (n = 0, ±1, ±2, ) A(ζ )ζ d ζ  ∫ 2π i Γ Γ đường cong đóng đơn định hướng dương nằm hình vành khăn bao quanh gốc toạ độ a ( n) = Chìa khóa hầu hết ứng dụng phép z- biến đổi tính chất sau Định lý 3.2: Đặt A(z) phép z-biến đổi dãy {a(n):-∞ ξ −z Khi = z z= (xem hình 4.3) ta có p.v.= [ Logz1 − Logz2 ] ∫Γ ζ − dζ z1lim , z2 → Giải: Rõ ràng ∫ Γ z1 z2 Hình 4.3 Chu tuyến ví dụ với z1 = z2 Vì ta có π π d ζ = lim [iArgz1 − iArgz2 ] = i + i = π i  Γζ −0 z1 , z2 → 2 Nếu ta khoét vùng lõm bên Γ , hình 4.4 tích phân nửa đường tròn (quay theo chiều kim đồng hồ) Sε′′ −π if ( z0 ) Ta phân tích tích phân (4.3) dạng f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) (4.5) = dζ ∫ Γε′′ ζ − z0 dζ p.v.∫Γ ζ − z0 dζ + lim ε →0 ∫Sε′′ ζ − z || || || π if ( z0 ) −π if ( z0 ) (ĐL Cauchy) [ĐT (4.4)] (bổ đề 0.17) p.v.∫ z0 Sε′′ Γ′′ε Hình 4.4 Phần lõm bên Từ xem xét ta thấy điều xảy tích phân Cauchy (4.1) điểm z xuyên qua Γ Trong hình 4.5 điểm { zn+ : n = 1, 2,3, } tiến đến z0 từ bên trong, tích phân Cauchy 2π if ( zn+ ) Hơn đường cong lõm hình 4.2, tích phân không đổi Chúng tiến đến giới hạn 2π if ( z0 ) , từ (4.3) (4.4) ta quy nửa giới hạn cho giá trị nửa khác giới hạn cho phần lồi Sε′ Bây chuỗi { zn− } tiến tới z0 từ bên Γ (Hình 4.6), sử dụng cung lõm bên Sε′′ để lập luận giới hạn (bằng không) tích phân Cauchy có π if ( z0 ) từ giá trị −π if ( z0 ) từ tích phân nửa đường tròn Sε′′ Như điểm z xuyên qua chu tuyến Γ quy cho bước nhảy tích phân Cauchy thay cung lõm cung lõm khác; Sε′ “mở cửa” cho z qua sau Sε′′ “đóng cửa” đằng sau Sự khác giới hạn phần ngược hướng nửa đường tròn: f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) d ζ d ζ d ζ dζ lim − lim = lim − lim + −  ∫  ∫  ∫  ∫ ε →0 ε →0 zn+ → z0 zn− → z0 ζ z ζ z ζ z ζ z − − − − 0 n n Sε′ Sε′′ Γ Γ (4.6) = π if ( z0 ) − [−π if= ( z0 )] 2π if ( z0 ) Bằng cách tính tương tự, trung bình giới hạn phần giới hạn phần sinh giá trị tích phân: f (ζ ) f (ζ ) d ζ + lim dζ = lim +  ∫  ∫ + − Γ Γ zn → z0 zn → z0 ζ − zn ζ − zn−   f (ζ ) f (ζ ) f (ζ ) d ζ  + lim ∫ d ζ + lim ∫ dζ =  p.v.∫ S′ Γζ −z ε →0 Sε′′ ζ − z 0   ε → ε ζ − z0   f (ζ ) d ζ  (4.7) =  p.v.∫ Γζ −z   z z0 z2− z3+ z1+ z1− − z0 z2+ Γ Γ Hình 4.5 Tiến đến z0 từ bên Γ Hình 4.6 Tiến đến z0 từ bên Γ Nếu đường Γ không đóng ta định lý không tổng quát nói giá trị f (ζ ) ∫Γ ζ − z dζ , lập luận tiến hành nhự từ hình 4.2 đến 4.6 đẳng thức (4.6) (4.7) giải thích dãy { zn+ } tiến tới z0 từ bên trái Γ { zn− } tiến tới từ bên phải Công thức Sokhotskyi-Plemelj mở rộng xem xét tới đường hàm tổng quát (không chỉnh hình); Công thức phát biểu hiệu giá trị f (ζ ) giới hạn tích phân Cauchy ∫ d ζ z tiến tới z0 (trên Γ ) từ bên trái từ bên Γζ −z phải 2π if ( z0 ) , trung bình chúng giá trị Xét Γ đường cong bao bọc miền nửa mặt phẳng hình 4.7 Nếu f(z) chỉnh hình nửa mặt phẳng tiến tới không vô tận nhanh cho tích phân nửa đường tròn S R triệt tiêu R → ∞ , (4.4) có dạng SR Γ= S R + [ − R, R ] -R R Hình 4.7 Chu tuyến bao quanh nửa mặt phẳng (khi R → ∞ ) ∞ f (ξ ) d ξ = π if ( x) ξ −x −∞ p.v ∫ (4.8) Chẳng hạn tích phân S R triệt tiêu f ( z ) ≤ K f ( z ) ≤ K eimz với số z nguyên m (xem bổ đề Jodan 0.18) Biểu diễn f ( x + iy= ) u ( x, y ) + iv( x, y ) tách (4.8) thành phần thực phần ảo, ta có ∞ ∞ u (ξ , 0) v(ξ , 0) (4.9) v( x, 0) = − p.v ∫ d ξ , u ( x, 0) = p.v ∫ dξ π ξ −x π ξ −x −∞ −∞ Công thức (4.9) dẫn đến định nghĩa sau Định nghĩa 4.1 Biến đổi Hilbert hàm thực tuỳ ý φ ( x) (−∞ < x < ∞) định nghĩa ∞ φ (ξ ) (4.10) dξ ψ ( x) := − p.v ∫ x π ξ − −∞ (khi tích phân tồn tại) Khi φ ( x) ψ ( x) cặp hàm số mà tổ hợp φ + iψ mở rộng thành hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng trên, bị “triệt tiêu” vô tận, ψ biến đổi Hilbert φ Như phép biến đổi Hilbert cosx sinx, cos x + i sin x = eiz z = x bổ đề Jordan eiz bị triệt tiêu vô tận Nhận xét phép biến đổi Hilbert sinx cosx ( sin x − i cos x = −ieiz z = x ) Điều phù hợp với dấu (4.9) công thức thứ hai (4.9) xem công thức phép biến đổi Hilbert ngược: ∞ ψ (ξ ) (4.11) dξ φ ( x) := p.v ∫ π ξ −x −∞ Có thể lập phép biến đổi Hilbert cách viết hàm chỉnh hình với tính chất đòi hỏi nửa mặt phẳng tách phần thực ảo trục thực Theo cách ta có bảng sau Bảng phép biến đổi Hilbert Hàm φ ( x) Phép biến đổi Hilbert ψ ( x) sin ω x cos ω x (ω>0) − sin ω x cos ω x (ω0) cos ω x sin ω x (ω0) 2 a + x2 a +x − cos ax sin ax (a>0) x x Ví dụ 2: Kiểm tra đẳng thức (4.10) dòng bảng biến đổi Giải Chúng ta tách tích phân Cauchy thành phần: ∞ ∞ ∞ cos ωξ eiωξ e − iωξ = p.v ∫ d ξ p.v ∫ d ξ + p.v ∫ dξ 2( ) 2( ) ξ ξ ξ − x − x − x −∞ −∞ −∞ Để tính giá trị tích phân đầu khép kín chu tuyến với nửa đường tròn cung lõm nửa mặt phẳng ξ , biểu diễn hình 4.8(a) Dùng bổ đề Jordan định lý Cauchy, ta có ∞ eiωξ π ieiω x p.v ∫ d ξ= π i Re s (ξ= x= ) ξ x 2( − ) −∞ x x (a) Hình 4.8 Chu tuyến cho ví dụ (b) Chu tuyến tích phân thứ hai khép kín hình 4.8(b), ta có ∞ e − iωξ π ie − iω x p.v ∫ dξ = x) = −π i Re s (ξ = − 2(ξ − x) −∞ Tổng tích phân ∞ cos ωξ eiω x − e − iω x p.v ∫ dξ = π i = −π sin ω x ξ −x −∞ chia cho –π, ta nhận điều cần chứng minh  Như đưa phương pháp tính phép biến đổi Hilbert : hàm φ ( x) , dùng công thức Poisson nửa mặt phẳng để mở rộng thành hàm điều hoà u(x,y) nửa mặt phẳng trên; thiết lập liên hợp điều hoà v(x,y) mà hạn chế trục x trở thành phép biến đổi ψ ( x) (Xem 0.7, 0.8, 0.9, 0.14 chương 0) Khi đẳng thức (4.10) hoàn thành công việc Nhiều áp dụng biến đổi Hilbert dựa cách mà tương tác với biến đổi Fourier Chúng ta xét công thức ∞ Φ (ω ) = ∫ φ ( x)e − iω x dx, (4.12) 2π −∞ công thức nghịch đảo φ ( x)= ∞ ∫ Φ(ω )e iω x dω , (4.13) −∞ Ta xác định phép biến đổi Hilbert toán tử tuyến tính hàm sin cosin Vì chấp nhận quan điểm phương trình (4.13) biểu diễn φ chồng chất hàm hình sin, ta viết lại (4.13) ∞ −∞ φ ( x) = ∫ Φ(ω ) [cos ω x + i sin ω x ]dω + ∫ Φ(ω ) [cos ω x + i sin ω x ]dω lấy phép biến đổi Hilbert sau: ψ ( x) = ∞ (4.14) ∫ Φ(ω ) [ − sin ω x + i cos ω x ]dω + ∫ Φ(ω ) [sin ω x − i cos ω x ]dω −∞ 0 = ∫ Φ(ω )e −∞ i (ω x +π /2) ∞ d ω + ∫ Φ (ω )ei (ω x −π /2) d ω 0 ∞ = i ∫ Φ (ω )e d ω + (−i ) ∫ Φ (ω )eiω x d ω (4.15) iω x −∞ So sánh (4.15) với (4.14) nhận xét phép biến đổi Hilbert nhân phần tần số dương Φ (ω ) với e − iπ /2 = −i nhân phần tần số âm Φ (ω ) với eiπ /2 = i ; Các tần số dương “pha chậm ” π radians, tần số âm “pha nhanh” π radians Vì phép 2 biến đổi Hilbert phép đổi pha 900 Điều đề xuất thuật toán số có hiệu cho việc thực phép biến đổi Hilbert Đầu tiên dùng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để xấp xỉ Φ (ω ) (xem phần (FFT) cuối mục 1.1) Sau ta đảo ngược phần thực phần ảo đổi dấu phần đầu ω < phần sau ω > Cuối cùng, lần nửa dùng phương pháp biến đổi Fourier nhanh lấy phép biến đổi ngược Fourier KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau: + Phương pháp phân tích hàm thực chồng chất hàm hình sin thông qua chuỗi Fourier phép biến đổi Fourrier số ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân + Phép biến đổi Laplace số ứng dụng việc giải toán với giá trị ban đầu + Phép z-biến đổi số ứng dụng việc giải toán mà có tập liệu rời rạc + Phép biến đổi Hilbert mối liên hệ với tích phân Cauchy có chu tuyến bi xuyên thủng điểm bất thường Mặc dù luận văn trình tổng hợp viết lại kết có thực hội giúp em lĩnh hội nhiều kiến thức tập tành nghiên cứu khoa học Em hy vọng kiến thức phương pháp có điều kiện tốt giúp em sâu nghiên cứu thêm lĩnh vực Qua khoảng thời gian làm khóa luận em cảm thấy may mắn học hỏi chút đề tài có tính ứng dụng này.Tuy nhiên, thời gian làm khóa luận không nhiều kinh nghiệm hạn chế nên dù cố gắng, khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô khoa toán để báo cáo tốt nghiệp em hoàn thiện hơn, qua giúp em có thêm nhiều kiến thức bổ ích Hơn em xin chân thành cảm ơn tận tâm hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Đông giúp em hoàn thành báo cáo khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO N.V Khuê, L.M Hải, Hàm biến phức, NXB Đại học quốc gia Hà nội, 2001 E.B Saff and A.D.Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science, Pearson (3rd ed.), New Yersey, 2003 R.Remmert, Theory of Complex Functions, Springer-Verlag, New york, 1991 Henrici, P.Applied and Computational Complex Analysis, Vol.3 John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986 Levinson, N., “Simplified Treatment of Intergrals of Cauchy Type, the Hilbert Problem, and Singular Intergral Equations,” SIAM Review, 7, October 1965 Panofsky, W.K.H., and Phillips, M.Classical Electricity and Magnetism, 2nd ed Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Boston, Mass., 1962 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Hàm chỉnh hình tuần hoàn 0.2 Định lý khai triển Laurent 0.3 Hàm điều hòa - Bài toán Dirichlet đĩa 0.4 Sử dụng thặng dư tính tích phân 0.5 Phép biến đổi Mobius CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 11 1.1 Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn) 11 1.2 Phép biến đổi Fourier 21 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 29 2.1 Phép biến đổi Laplace 29 2.2 Đạo hàm hàm gốc 32 2.3 Phép biến đổi Laplace ngược 33 CHƯƠNG PHÉP Z - BIẾN ĐỔI 36 CHƯƠNG TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI HILBERT 42 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 [...]... trên khoảng có độ dài L qua phép biến đổi Fourier, nêu công thức biến đổi ngược(nghịch đảo) Fourier Phần 1.2.2 nêu một số định lý khẳng định các điều kiện mà phép biến đổi Fourier tồn tại (định lý 1.8) , nêu một số ví dụ về cách tìm phép biến đổi Fourier của các hàm trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn Phần 1.2.3 trình bày ví dụ minh họa việc sử dụng các phép biến đổi Fourier trong việc giải các hệ phương... − cos t  2 2 2 2.3 Phép biến đổi Laplace ngược Trong ví dụ 1 ta thấy để tìm nghiệm ta phải chuyển ngược phép biến đổi Thông thường, như được minh hoạ, việc này có thể được thực hiện nhờ bảng các biến đổi Laplace Tuy nhiên, vì phép biến đổi này có được từ phép biến đổi Fourier, mà phép biến đổi Fourier có công thức ngược, nên chúng ta cũng nghi ngờ rằng cũng tồn tại phép biến đổi Laplace ngược Để... n  được đạo hàm theo từng số hạng hai lần Vì phương trình (1.24) không có đạo hàm cao hơn hai nên phương trình được giải  Công thức (1.14) về hệ số trong chuỗi Fourier đôi khi được xem như là phép biến đổi Fourier hữu hạn (phép biến đổi Fourier vô hạn được xem xét trong mục 1.2) Sự tính toán hiệu quả của phép biến đổi này là rất quan trọng trong ứng dụng kĩ thuật Nhưng trong thực hành người ta thường... (1.29) đòi hỏi thực hiện N phép nhân, và khi ta tính phép biến đổi Fourier với N hệ số như thế ta tính tổng cộng N2 phép nhân Trong ứng dụng ta thường muốn lấy N đến nhiều ngàn, và thuật toán của dạng này là quá phức tạp về mặt tính toán Tuy nhiên bằng cách nhóm số hạng một cách khéo léo trong (1.29), công việc có thể đơn giản đáng kể Giả sử, chẳng hạn với N=16, để tính toán, S 1,16 có dạng ở đây Aj... Laplace Ta nói rằng (2.5) xác định biến đổi Laplace L{F}(s) đối với mọi giá trị (phức) của s mà tích phân hội tụ Điều chủ yếu là phép biến đổi Laplace là có thể bao gồm nhiều hàm số hơn phép biến đổi Fourier, vì tần số ω được cho phép là số phức = Định lí 2.3 Nếu F(t) là hàm gốc với chỉ số tăng β thì g ( s ) là hàm chỉnh hình trên nửa mặt phẳng hội tụ Re(s) > β Chứng minh Xét s0 là 1 điểm bất kì nào... chu tuyến như trong hình 2.1(b); tích phân trên Cρ′ được mô tả bởi − π π ≤ θ ≤ , tiến tới 0 với t là số âm Vì chu tuyến này không chứa điểm bất thường ta 2 2 có F (t ) = 0 khi t < 0  PHÉP Z - BIẾN ĐỔI CHƯƠNG 3 Như chúng ta đã thấy, ứng dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác nhau có thể mang lại những thuận lợi về mặt tính toán- ví dụ như sự thay thế phép lấy đạo hàm bằng phép nhân Đối...CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER Nhiều bài toán về kĩ thuật cuối cùng được dựa trên sự phản hồi (response) của một hệ thống đối với một phần nhập (input) là hàm hình sin Một cách tự nhiên, tất cả những tham số trong tình huống như vậy là thực, và những mô hình có thể được phân tích bằng cách dùng kĩ thuật đối với biến thực Tuy nhiên, việc sử dụng những biến phức có thể làm cho việc tính toán đơn giản... những hàm số liên tục trên một khoảng hữu hạn, hoặc những hàm tuần hoàn, chúng ta dùng chuỗi Fourier; nếu khoảng là nửa vô hạn, ta dùng biến đổi Laplace; và phép biến đổi Fourier được sử dụng khi khoảng là toàn bộ đường thẳng thực Thường trong thực hành chúng ta gặp những hàm số mà cấu trúc dữ liệu rời rạc Chẳng hạn, khi một hàm liên tục f(t) được đo trong thí nghiệm nó được lấy mẫu với một tập hữu... phân Fourier (1.36) và (1.37) đúng Một định lý rất có ích trong ứng dụng là định lý áp dụng với các hàm trơn từng khúc Lưu ý rằng giá trị chính của tích phân được yêu cầu trong định lý sau để bảo đảm phép biến đổi nghịch đảo hội tụ tại các điểm gián đoạn ∞ ∫ Định lý 1.8 Giả sử F(t) trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn và Khi đó phép biến đổi Fourier, G(ω), của F tồn tại và  F (t ) ∞  iωt p.v ∫... mà khi tính toán trực tiếp ta thấy nó thỏa phương trình vi phân (1.42) Bây giờ thông qua một bài tập tính tích phân đường ta trình bày một kết quả mà có thể được xem như một định lý khai triển Fourier, dựa vào các liên hệ (1.36) và (1.37) giữa hàm số và phép biến đổi của nó Ví dụ 9 Giả sử hàm F(t) chỉnh hình và bị chặn bởi một hằng số M trong miền mở |Imt| ... Fourier phép biến đổi Fourrier số ứng dụng vào việc giải phương trình vi phân + Phép biến đổi Laplace số ứng dụng việc giải toán với giá trị ban đầu + Phép z -biến đổi số ứng dụng việc giải toán. .. bày số đặc điểm phép biến đổi nêu bao gồm chương Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị Chương 1: Phép biến đổi Fourier Chương Phép biến đổi Laplace Chương Phép z- biến đổi Chương Tích phân Cauchy phép. .. 0.5 Phép biến đổi Mobius CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 11 1.1 Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn) 11 1.2 Phép biến đổi Fourier 21 CHƯƠNG PHÉP BIẾN