ứng dụng phép biến đổi laplace giải một lớp các phương trình toán lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ - PHẠM TIẾN PHÁT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TP Hồ Chí Minh, năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ - PHẠM TIẾN PHÁT NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ MÃ SỐ: 102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ths NGUYỄN VŨ THỤ NHÂN TP Hồ Chí Minh, năm 2012 MỤC LỤC MỤC LỤC DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU .4 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Hàm gốc .8 1.1.2 Hàm Heaviside .8 1.1.3 Hàm Delta Dirac 1.2 Phép biến đổi Laplace phía .10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Sự tồn phép biến đổi Laplace phía 10 1.3 Phép biến đổi Laplace phía .11 1.3.1 Định nghĩa 11 1.3.2 Sự tồn phép biến đổi Laplace phía 11 1.4 Các tính chất phép biến đổi Laplace 13 1.4.1 Tính tuyến tính 13 1.4.2 Tính đồng dạng 13 1.4.3 Tính chất dịch chuyển ảnh 14 1.4.4 Tính chất trễ .14 1.4.5 Ảnh hàm tuần hoàn 14 1.4.6 Đạo hàm gốc 15 1.4.7 Tích phân gốc .18 1.4.8 Đạo hàm ảnh (Luật nhân với tn) 19 1.4.9 Tích phân ảnh (Luật chia cho t) 19 1.4.10 Ảnh tích chập 19 1.4.11 Định lý giá trị đầu-cuối 22 1.5 Công thức Mellin xác định hàm gốc từ hàm ảnh .22 1.5.1 Định lý 22 1.5.2 Ảnh tích hai gốc 23 1.6 Phép biến đổi Laplace phía n-chiều 23 1.6.1 Định nghĩa 23 1.6.2 Miền hội tụ 23 1.6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace phía n-chiều 24 1.7 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 29 1.7.1 Định nghĩa 29 1.7.2 Dạng tắc phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 30 1.7.3 Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 31 Chương Áp dụng phép biến đổi Laplace giải lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hệ số 34 2.1 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình đạo hàm riêng cấp không điều kiện đầu điều kiện biên 34 2.1.1 Phương pháp giải chung 34 2.1.2 Ví dụ áp dụng .35 2.2 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình đạo hàm riêng cấp có điều kiện đầu, điều kiện biên 38 2.2.1 Phương pháp giải chung 38 2.2.2 Ví dụ áp dụng .39 Chương Kết luận hướng phát triển 53 3.1 Các kết đạt 53 3.2 Hướng phát triển 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHỤ LỤC 56 DANH MỤC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT L n : phép biến đổi Laplace tác dụng lên n biến số L x : phép biến đổi Laplace tác dụng lên biến số x L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên tất biến số L∞ : phép biến đổi Laplace phía L0 : phép biến đổi Laplace phía L−1 : phép biến đổi Laplace ngược R : tập số thực C : tập số phức ■: kí hiệu đánh dấu giới hạn phần chứng minh công thức, định lý MỞ ĐẦU Các phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị to lớn Vật lý, công cụ đắc lực mô tả tượng Vật lý cho phép biểu diễn biến đổi đại lượng theo không gian thời gian Chẳng hạn phương trình truyền sóng mơ tả truyền dao động môi trường, phương trình truyền nhiệt mơ tả truyền nhiệt lượng, phương trình Navier-Stokes mơ tả chế độ chảy chất lưu, hệ phương trình Maxwell-Ampere mơ tả trường điện từ cách thức truyền nhiễu loạn điện từ, Như vậy, nhu cầu tìm hiểu tường tận tượng vật lý đòi hỏi việc giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Các kĩ thuật giải loại phương trình xuất từ sớm phát triển đa dạng, đó, phải kể đến phương pháp tách biến, phương pháp tích phân, phương pháp hàm Green, [5] Việc tìm hiểu ưu-nhược điểm phạm vi ứng dụng phương pháp điều thiếu để giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Trong phương pháp tích phân hay gặp có phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace có ứng dụng quan trọng giải tích áp dụng lớp rộng hàm số việc giải phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân riêng phần hệ chúng Hay gặp phép biến đổi Laplace phía nghiên cứu từ sớm phát triển đa dạng để đáp ứng nhu cầu giải vấn đề khoa học tự nhiên [1] Trong việc giải phương trình đạo hàm riêng, ý tưởng phép biến đổi Laplace dùng phép tích phân làm đạo hàm phương trình Mặt khác chuyển khơng gian hàm gốc sang khơng gian ảnh Nhờ đó, ảnh – với tư cách hàm với biến số thuộc không gian không chịu tác động tốn tử (tích phân, đạo hàm) tác dụng lên biến không gian cũ Như vậy, phép biến đổi Laplace đơn giản hóa phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Trên sở lý luận trên, luận văn trình bày với mục đích tìm hiểu phép biến đổi Laplace phát triển để giải phương trình đạo hàm riêng Với mục đích thế, thực mục tiêu sau: - Nghiên cứu sở lí thuyết phép biến đổi Laplace tính chất - Dựa đặc thù phép biến đổi, thử áp dụng cho lớp phương trình đạo hàm riêng thích hợp - Rút ưu-nhược điểm phép biến đổi Laplace - Các đề xuất phát triển đề tài Trên giới có giáo trình trình bày qui mô nghiêm túc phép biến đổi Laplace áp dụng để giải phương trình vi phân, điển [3-5] Trong cơng trình này, tác giả tập trung nghiên cứu giải vấn đề tồn phép biến đổi Laplace, điều kiện áp dụng, kĩ thuật toán học mở rộng bảng đối chiếu gốc-ảnh Ở Việt Nam, thấy giáo trình viết phép biến đổi Laplace mức độ đơn giản như: phép biến đổi Laplace phía, phép biến đổi Laplace chiều, áp dụng giải phương trình vi phân đơn giản, biến số Các mục tiêu luận văn cụ thể hóa việc sâu vào phép biến đổi Laplace phía, nhiều chiều mà biến đổi Laplace phía trường hợp riêng ứng dụng để giải phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số Phép biến đổi Laplace phía có nhiều ưu điểm so với phép biến đổi Laplace phía lớp hàm áp dụng rộng hơn, tính chất biến đổi đơn giản [1] Trong trình khảo sát, phép biến đổi Laplace phía xuất trường hợp riêng phép biến đổi Laplace phía giúp ta có nhìn sâu sắc chất Cuối cùng, mở rộng phép biến đổi nhiều chiều để giải phương trình đạo hàm riêng nhiều biến Phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Thu thập thông tin: tham khảo giáo trình đề tài liên quan để có nhìn sơ tình hình nghiên cứu phép biến đổi Laplace, kết quả, ứng dụng có - Phương pháp tốn học: cấu trúc logic kiến thức, chứng minh làm rõ số kiến thức - Phương pháp đàm thoại, trao đổi với Giảng viên hướng dẫn đồng nghiệp để hiểu rõ vấn đề Luận văn đóng góp cho hệ thống phương pháp kinh nghiệm giảikhảo sát phương trình đạo hàm riêng đồng thời trang bị cho thân sinh viên quan tâm hiểu biết cần thiết để giải toán Vật lý liên quan đến phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Cấu trúc luận văn gồm chương chính: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Áp dụng phép biến đổi Laplace giải lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hệ số Chương 3: Kết luận hướng phát triển Chương trình bày kiến thức cần thiết phép biến đổi Laplace bao gồm định nghĩa, điều kiện tồn tính chất quan trọng phép biến đổi Khái niệm phép biến đổi Laplace gắn liền với khái niệm “hàm gốc”, mà sản phẩm qua phép biến đổi gọi “ảnh” Phép biến đổi Laplace phía trình bày trước làm sở để định nghĩa phép biến đổi Laplace phía Sau liệt kê chứng minh tính chất phép biến đổi Laplace, quan trọng tính chất đạo hàm tích phân ảnh, sở để sử dụng phép biến đổi, đưa phương trình đạo hàm riêng dạng đại số Đồng thời, nhờ tính chất mà đòi hỏi điều kiện đầu, điều kiện biên xuất từ bước đầu giải phương trình kiện đầu vào để tiếp tục thuật giải Như thế, giảm lượng lớn tính tốn phức tạp Lưu ý chương khơng sâu vào trình bày thủ thuật tìm ảnh, tìm gốc, vốn phổ biến giáo trình phép biến đổi Laplace Cũng chương này, chúng tơi trình bày tổng quan lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính bậc hệ số hằng: định nghĩa, phân loại, dạng tắc Việc nghiên cứu lớp phương trình đóng vai trị quan trọng nhiều tốn Vật lý quy việc giải phương trình đạo hàm riêng bậc tốn dao động mơi trường đàn hồi, truyền nhiệt, truyền sóng điện từ, chuyển động chất lưu, Chương trình bày việc áp dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng bậc sở lựa chọn nhiều phương trình Tốn-Lý điển hình để giải mức độ tổng qt Qua đó, phân tích đánh giá tác dụng phép biến đổi Vì thế, không sâu vào giải chi tiết kết sau mà trọng vào trình biến đổi Trong thực tế, phương trình phức tạp cần giải phương pháp số sau đơn giản hóa phép biến đổi Laplace Chương cuối tổng kết kết đạt được: kinh nghiệm thao tác với phép biến đổi, khả giải lớp phương trình đề xuất, hướng phát triển cho đề tài, Xin chân thành cám ơn: - Thầy Nguyễn Vũ Thụ Nhân hướng dẫn tận tình, cho nhiều góp ý quý báu - Các thành viên lớp SP Vật Lý K34 giúp đỡ mặt kiến thức, chia sẻ nhiều kinh nghiệm khích lệ mặt tinh thần Tp Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng năm 2012 Tác giả Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Hàm gốc Hàm số f(t) (t ∈ R) hàm gốc, thỏa mãn tính chất sau: + Liên tục khúc R  f (t) ≤ M1eω1t ∀t ≥ 0, + ∃(M1; M ) ∈ R + × R + ,(ω1; ω2 ) ∈ R :  ω2 t ∀t <  f (t) ≤ M 2e (nghĩa f(t) tăng không nhanh hàm mũ t tiến tới ∞) 1.1.2 Hàm Heaviside a Hàm Heaviside đơn vị Hàm Heaviside đơn vị (hàm bậc thang đơn vị) định nghĩa 0 t < 0, H(t) =  1 t ≥ b Hàm Heaviside đơn vị trễ t o Hàm Heaviside đơn vị trễ t o (hàm bậc thang đơn vị trễ t o ) định nghĩa 0 t < t o , H(t − t o ) =  1 t ≥ t o t < t o , 0 Nếu f(t) hàm f (t)H(t − t o ) =  f (t) t ≥ t o 1.1.3 Hàm Delta Dirac 0 t < −ε, 1  Xét họ hàm = f ε (t)  (t + ε) − ε ≤ t ≤ ε, với ε > ,  2ε 1 t > ε ta thấy ∀ε > , họ hàm f ε (t) liên tục với t lim f ε (t) = H(t) ε→0+ e Truyền nhiệt vô hạn ∂u ∂ 2u Phương trình truyền nhiệt= a 2 + ϕ(x, t) với x ∈ R; t > ∂t ∂x (2.17) với điều kiện đầu u(x,0) = f(x) Nhân vế phương trình (2.17) với H(t) ∂u ∂ 2u = H(t) a 2 H(t) + ϕ(x, t)H(t) ∂t ∂x (2.18) Áp phép biến đổi Laplace chiều vào vế (2.18) ta   ∂u  ∂ u L=  H(t)  a L  H(t)  + L{ϕ(x, t)H(t)},  ∂t   ∂x  ⇔ p t L{uH(t)}= − L{u(x,0)} a p 2x L{uH(t)} + Φ (p x , p t ), ⇔ p t U − F(p = a p 2x U + Φ (p x , p t ), x) ⇔ U= F(p x ) + Φ (p x , p t ) 1 = F(p x ) + Φ (p x , p t ) = U1 + U , 2 2 pt − a px pt − a px p t − a p 2x +∞ U1 (p x , t) = L {U1} = F(p x )e ⇒ L {U1 (p x , t)} = ∫ f (α) 2a πt e −∞ −1 t a t.p 2x −1 x − (x −α ) 4a t dα (x −α ) t +∞ − Tương tự, L−21{U } ∫ ∫ e 4a ( t −β ) ϕ(α, β)dαdβ = −∞ 2a π(t − β) Vậy, u(x,= t) +∞ ∫ f (α) 2a −∞ − πt e (x −α ) 4a t t +∞ (x −α ) − dα + ∫ ∫ e 4a (t −β ) ϕ(α, β)dαdβ −∞ 2a π(t − β) f Truyền nhiệt có chiều dài hữu hạn ∂u ∂ u =a Phương trình truyền nhiệt , ∂t ∂x (2.19) với điều kiện x ∈ [ 0;L ] ;u(x,0) =f (x);u(0, t) =g1 (t);u(L, t) =g (t) Nhân vế (2.19) cho H(t)H x với H x = H(x) – H(x – L), ta có ∂u ∂ 2u H(t)H x = a 2 H(t)H x ∂t ∂x (2.20) Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào vế (2.20), ta thu  ∂ 2u   ∂u  2 ∂ U(x, p t ) Lt  = H(t)  a L t  H(t)  ⇔ p t U(x, p t ) −= u(x,0) a , ∂x  ∂t   ∂x  ⇔ a2 ∂ U(x, p t ) − p t U(x, p t ) = f (x) ⇒ U(x, p t ) = U(x, A(p t ), B(p t )), ∂x với điều kiện biên U (0, p t ) = G (p t ); U (L, p t ) = G (p t ) Từ điều kiện biên, ta có = = A(p t ), B(p t )) G1 (p t ),  U(0, p t ) U(0,  A(p t ), ⇒  = U(L, p ) U(p = , A(p ), B(p )) G (p ), B(p ) t t t t t t   u ∗ (x, y) u(x, = t)H x L−t1U(x, p t ) nghiệm cần tìm Vậy, = g Bài tốn truyền nhiệt chiều Phương trình truyền nhiệt hai chiều ∂ u ∂ u ∂u 0, + − = ∂x ∂y a ∂t (2.21) với u(x,y,0) = f(x,y) ∂ 2u ∂ 2u ∂u Chuẩn hóa (2.21) ta H(t) + H(t) = H(t) ∂x ∂y a ∂t (2.22) Áp phép biến đổi Laplace theo biến x, y vào vế (2.22) ∂U(p,q, t) ∂U(p,q, t) 2 ⇔ − a (p + q )U(p,q, = t) 0, a ∂t ∂t p U(p,q, t) + q U(p,q, = t) (p + q )t ⇔ U(p,q, = t) U(p,q,0)ea= L xy {f (x, y)}ea 2 2 (p + q )t với L{u} = U(p,q,t), +∞ +∞  (x − α) + (y − β)  ⇒ u(x, = = y, t) L {U(p,q, t)}  f (α, β) ∫ dα −∞∫ dβ exp − 4πa t −∞ 4a t  −2 xy Phép biến đổi Laplace ưu việc giải phương trình hai biến số Đối với phương trình nhiều biến, việc tìm gốc (hay thực liên tiếp phép biến đổi Laplace ngược) phức tạp Đòi hỏi trang bị bảng tra cứu ảnh-gốc đa dạng h Phương trình truyền nhiệt dạng đối xứng trụ Phương trình truyền nhiệt ∂u(r, t) ∂ u b ∂u = a + + ϕ(r, t), t ≥ 0;r ≥ 0;a > 0;b > 0, ∂t ∂r r ∂r (2.23) với điều kiện đầu u(r,0) = f(r) điều kiện biên u(0, t) = g(t) Chuẩn hóa (2.23) ta ∂u(r, t) ∂ 2u b ∂u = H(t)H(r) a H(t)H(r) + H(t)H(r) + ϕ(r, t)H(t)H(r) ∂t ∂r r ∂r (2.24) Áp phép biến đổi Laplace theo biến vào vế (2.24) p t L{uH(t)H(r)} − L{u(r,0)H(r)},   F(p r )  ∂u  =ap 2r L{uH(t)H(r)} − ap r L  H(t)  − a L{u(0, t)H(t)}   r r =0  ∂ G (p t )   T(p t ) +∞  ∂u  + b ∫ L  H(t)H(r)  dp r + Φ (p r , p t ),  ∂r  pr +∞ ⇔ p t U − F(p = ap U − ap r T(p t ) − aG(p t ) + b ∫ [p r U − G(p t )]dp r + Φ (p r , p t ), r) r pr +∞ ⇔ b ∫ [p r U − G(p t )]dp r + (ap 2r − p t )U − ap r T(p t ) − aG(p t ) + F(p r ) + Φ (p r , p t ) = 0, (2.25) pr với U = L{u} Đạo hàm vế (2.25) theo p r , ta có − bp r U + 2ap r U − aT(p t ) + dF(p r ) ∂Φ (p r , p t ) + = 0, dp r ∂p r ⇔ (2a − b)p = aT(p t ) − F'(p r ) + Φ '(p r , p t ), rU = ⇔U aT(p t ) F'(p r ) Φ '(p r , p t ) , − + (2a − b)p r 2a − b p r 2a − b pr với L{u*} = L{uH(r)H(t)} = U Thực phép biến đổi ngược theo biến r, ta r r aT(p ) 1 U(r, p t ) = L {U} = t H(r) + rf (r)H(r)dr − r.Φ (r, p t )H(r)dr, ∫ 2a − b 2a − b 2a − b ∫0 −1 r ⇒ u ∗ (r, t) = L−t1{U(r, p t )}, r = r a H(r)H(t) T(t)H(r)H(t) + rf (r)dr r.L−t1{Φ (r, p t )H(r)}dr, − ∫ ∫ 2a − b 2a − b 2a − b r r a H(r)H(t) H(r)H(t) T(t)H(r)H(t) + rf (r)dr − rϕ(r, t)dr, = ⇒ u (r, t) ∫ 2a − b 2a − b 2a − b ∫0 ∗ r  a  t)  T(t) + r[f (r) − ϕ(r, t)]dr  H(r)H(t), ⇒ u ∗ (r,= ∫ 2a − b  2a − b  đó, T(t) = ∂u ∂r Lưu ý, u*(r,t) = u(r,t)H(r)H(t) nghiệm cần tìm r =0 xác định miền [0, +∞)×[0;+∞) i Phương trình Klein-Gordon ∂ 2u ∂ u a − bu Phương trình có dạng= ∂t ∂x (2.26) ∂ 2u ∂ u H(t) a H(t) − buH(t) Chuẩn hóa (2.26), ta được:= ∂t ∂x (2.27) Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào vế của,  ∂ 2u   ∂ 2u  = L t  H(t)  a L t  H(t)  − bL t {uH(t)} ,  ∂t   ∂x  ⇔ p 2t L t {uH(t)} − p t ∂u ∂t u(x,0) a − = t =0 ∂2 L t {uH(t)} − bL t {uH(t)} , ∂x ∂ U(x, p t ) ⇔ p U(x, p t ) − p t g(x)= − f (x) a − bU(x, p t ), ∂x 2 t ⇔ a2 ∂ U(x, p t ) − (b − p 2t )U(x, p t ) = − p t g(x) − f (x), ∂x ⇔ U(x, = p t ) U(x, p t , A, B) ⇒ u(x, = t) L−t1{U(x, p t , A, B)} Tùy vào điều kiện biên, ta xác định A B j Phương trình Khokhlov–Zabolotskaya dừng Phương trình xuất nhạc học học phi tuyến, có dạng ∂ 2u ∂ 2u ∂u + α +β = với (x, y) ∈ [0; +∞) × [0; +∞), 2 ∂x ∂y ∂y (2.28) điều kiện: = u(0, y) a(y); = u x (0, y) b(y); = u(x,0) c(x); = u y (0, y) d(y) Chuẩn hóa (2.28) thu ∂ 2u ∂ 2u ∂u H(x)H(y) + α H(x)H(y) + β H(x)H(y) = 2 ∂x ∂y ∂y (2.29) Áp phép biến đổi Laplace chiều theo x,y vào vế (2.29) ta có  ∂ 2u   ∂ 2u   ∂u  L  H(x)H(y)  + αL  H(x)H(y)  + βL  H(x)H(y)  = 0,  ∂y   ∂x   ∂y  ⇔ p 2x L{uH(x)H(y)} − p x L {u x (0, y)H(y)} − L{u(0, y)H(y)}, + αp 2y L{uH(x)H(y)} − αp y L {u y (x,0)H(x)} − αL{u(x,0)H(x)}, +βp y L{uH(x)H(y)} − βL{u(x,0)H(x)} = 0, ⇔ p 2x U − p x B(p y ) − A(p y ) + αp 2y U − αp y D(p x ) − αC(p x ) + βp y U − βC(p x ) = 0, với A, B, C D ảnh u(0,y); u x (0,y); u(x,0) u y (x,0), U= = (α + β)C(p x ) + αp y D(p x ) + A(p y ) + p x B(p y ) p 2x + αp 2y + βp y A(p y ) p 2x + αp 2y + β p y + p x B(p y ) p 2x + αp 2y + β p y + ( α + β) , p y D(p x ) C(p x ) + α p 2x + αp 2y + β p y p 2x + αp 2y + β p y Bằng phương pháp khai triển Heaviside tìm gốc từ tích chập, ta giải u(x,y) k Một phương trình đạo hàm riêng cấp Cho phương trình ∂u ∂u +x = với (x, t) ∈ [0; ∞) ∂x ∂t (2.30) điều kiện u(x,0) = 0; u(0,t) = t Chuẩn hóa (2.30) ∂u ∂u (2.31) H(x)H(t) + x H(x)H(t) = ∂x ∂t Áp phép biến đổi Laplace theo biến t vào vế (2.31) ta được:  ∂u   ∂u  L t  H(x)H(t)  + L t  x H(x)H(t)  = 0,  ∂x   ∂t  ∂ ⇔ L t {uH(x)H(t)} + x.p t L t {uH(x)H(t)} − x.u(x,0)H(x) = 0,  ∂x * u x − pt ∂U(x, p t ) ⇔ + x.p t U(x, p t ) = ⇔ U(x, p t ) = C(p t )e , ∂x U(0, = p t ) C(p = L t {u(0, t)H(t)} = t) , p 2t  x2   x2  − x2 pt * −1 nên U(x, p t ) = e ⇒ u = L t {U(x, p t )} =  t −  H  t −  pt     Chương Kết luận hướng phát triển 3.1 Các kết đạt Chúng hoàn thành mục tiêu ban đầu: - Hệ thống lại tính chất quan trọng phép biến đổi Laplace - Đề phương pháp chung mặt lí thuyết để giải lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hệ số - Áp dụng phép biến đổi Laplace giải số phương trình Tốn-Lý phổ biến phương trình truyền sóng, truyền nhiệt, phương trình Laplace, Poisson không gian một, hai ba chiều biến thời gian để đánh giá tính khả dụng phép biến đổi lớp phương trình đạo hàm riêng cấp - Nhận xét ưu-nhược điểm sử dụng phép biến đổi Laplace: + Phép biến đổi Laplace phía trường hợp riêng phép biến đổi Laplace phía áp dụng cho nhóm hàm dạng u(r).H(r) với H hàm Heaviside nhiên có khác miền hội tụ, nói chung, miền hội tụ phép biến đổi Laplace phía hẹp tính chất lại đơn giản Một số tính chất có liên quan tới cận tích phân đạo hàm ảnh, tích phân ảnh, khác biệt sở để giải toán chứa điều kiện đầu điều kiện biên + Phép biến đổi Laplace công cụ mạnh mẽ để giải phương trình vi phân đặc biệt phương trình vi phân đạo hàm riêng cách đưa phương trình đại số hàm ảnh + Phép biến đổi Laplace có nhược điểm lớn nên áp dụng cho phương trình có điều kiện biên đơn giản, không chứa nhiều biến số Ngược lại, ta gặp phải vấn đề phức tạp việc xác định miền hội tụ: hàm ảnh miền hội tụ khác lại cho gốc khác nhau, việc tìm hàm gốc vất vả không + Phép biến đổi Laplace thuận tiện áp dụng cho phương trình hệ số hệ số tích biến với bậc Gặp khó khăn giải phương trình có hệ số chứa nhiều biến số + Phép biến đổi Laplace ưu việc giải phương trình chứa hai biến số Đối với phương trình nhiều biến, việc tìm gốc (hay thực liên tiếp phép biến đổi Laplace ngược) phức tạp Đòi hỏi trang bị bảng tra cứu ảnh-gốc đa dạng + Phép biến đổi Laplace sử dụng điều kiện đầu/điều kiện biên bước trình tìm nghiệm mà khơng cần thơng qua nghiệm tổng quát với tham số Nhờ đó, giảm phần lớn khối lượng tính tốn làm đơn giản biến đổi - Đặc biệt, luận văn này, nghiên cứu phép biến đổi Laplace phía n-chiều áp dụng chủ yếu để giải phương trình đạo hàm riêng Bước đầu cho đánh giá khả thi tích cực 3.2 Hướng phát triển - Xây dựng phép biến đổi Laplace áp dụng cho phương trình đạo hàm riêng có điều kiện biên phức tạp nhiều biến - Áp dụng phép biến đổi Laplace giải lớp phương trình đạo hàm riêng có bậc lớn hai - Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên hỗn hợp - Kết hợp phép biến đổi Laplace với phương pháp hàm Green để giản hóa tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Balth Van Der Pol, H Bremmer (1950), Operational Calculus Based On The Two-Sided Integral, The Syndics of the Cambridge University Press, Great Britain at the University Press, Cambridge [2] Dyke P.D.G (2004), An Introduction to Laplace Transforms and Fourier Series, Springer-Verlag London, UK [3] James G Holbrook, Laplace transforms for electronic engineers, Pergamon Press Ltd, & Fitzroy Square, London W.1 [4] Jole L.Schiff (1999), The Laplace Transform Theory and Applications, Springer-Verlag New York, Inc, 175 Fifth Ayenue, New York, NY 10010, USA [5] Tyn Myint-U, Lokenath Debnath (2007), Linear Partial Differential Equations fo Scientists and Engineers, Birkhauser Boston, c/o Springer Science+Business Media LLC, 233 Spring Street, NewYork, NY 10013, USA [6] Urs Graf (2010), Introduction to Hyperfunctions and Their Integral Transforms An Applied and Computational Approach, Birkhäuser / Springer Basel AG P.O Box 133, CH-4010 Basel, Switzerland, Germany [7] Vladimirov V.S (1971), Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, Inc., New York PHỤ LỤC TĨM TẮT CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ CÁC CẶP GỐC - ẢNH PHỔ THÔNG [1], [3] CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN STT f(t) F(p) α < Re(p) < β 01 M.f(t) M.F(p) α < Re(p) < β 02 f(at) (a > 0) p F  a aα < Re(p) < aβ (a > 0) 03 f(at) (a < 0) p −F   a aβ < Re(p) < aα (a < 0) 04 ∂f (t, x) ∂x ∂F(p, x) ∂x α < Re(p) < β 05 df (t) dt pF(p) α < Re(p) < β 06 d n f (t) dt n pnF(p) α < Re(p) < β 07 i t f  t i p 2πpF   i Re(p) = 08 f(t + a) (a ∈ R) eapF(p) α < Re(p) < β 09 e-atf(t) (a ∈ C) F(p + a) p+a α – Re(a) < Re(p) < β – 10  t d e  f (t)  dt  (p-1)(p-2) (p – n + 1)F(p n n – n) d n F(p) dp n 11 t f(t) (−1) n 12 f(-e-t) πp F(− p) sin(πp) Re(a) α + n < Re(p) < β + n α < Re(p) < β 13 14 15 16 17 f (t) H(t) t 1 f   H(t) t f(t )H(t) t f(e )H(t) t f(a(e – 1))H(t) +∞ ∫ p F(x) dx x +∞ ∫ J1{2 px} f(a.sinht)H(t) − x  p  dx e F ∫0  4x  x Γ(p) Γ(p) ∫J +∞ ∫x 19 f (t / n) H(t)∑ n +∞ ∫ 0 < Re(p) < +∞ p < Re(p) < +∞ p −1 F(x)dx < Re(p) < +∞ −x x p −1F(x / a)dx < Re(p) < +∞ +∞ ∫e (ax) ∞ p F(x)dx x +∞ π +∞ 18 < Re(p) < +∞ F(x) dx x F(x)dx e px − < Re(p) < +∞ < Re(p) < +∞ CÁC CẶP GỐC-ẢNH 01 H(t) 1/p < Re(p) < +∞ 02 H(t – a) e-ap/p < Re(p) < +∞ 03 tH(t) 1/p2 < Re(p) < +∞ 04 tnH(t) n! p n +1 < Re(p) < +∞ 05 eatH(t) p−a Re(a) < Re(p) 06 (eat -1)H(t) a p(p − a) Re(a) < Re(p) < +∞ 07 teatH(t) (p − a) Re(a) < Re(p) < +∞ 08 tneatH(t) n! (p − a) n +1 Re(a) < Re(p) < +∞ 09 sin(mt)H(t) m p + m2 < Re(p) < +∞ 10 cos(mt)H(t) p p2 + m2 < Re(p) < +∞ 11 sh(mt)H(t) m p2 − m2 |Re(m)| < Re(p) 12 ch(mt)H(t) p p2 − m2 |Re(m)| < Re(p) 13 eatsin(mt)H(t) m (p − a) + m Re(a) < Re(p) < +∞ 14 eatcos(mt)H(t) p−a (p − a) + m Re(a) < Re(p) < +∞ 15 eatsh(mt)H(t) m (p − a) − m |Re(m)| + Re(a) < Re(p) 16 eatch(mt)H(t) p−a (p − a) − m |Re(m)| + Re(a) < Re(p) 17 tsin(mt)H(t) 2pm (p + m ) < Re(p) < +∞ 18 tcos(mt)H(t) p2 − m2 (p + m ) < Re(p) < +∞ 19 tsh(mt)H(t) 2pm (p − m ) |Re(m)| < Re(p) 20 tch(mt)H(t) p2 + m2 (p − m ) |Re(m)| < Re(p) < Re(p) < +∞ 2 21 sin (mt)H(t) 2m p(p + 4m ) 22 cos2(mt)H(t) p + 2m p(p + 4m ) < Re(p) < +∞ 2m p(p − 4m ) |Re(2m)| < Re(p) p − 2m p(p − 4m ) |Re(2m)| < Re(p) 23 24 sh (mt)H(t) ch (mt)H(t) 25 teatsin(mt)H(t) (p − a) − m [(p − a) + m ]2 Re(a) < Re(p) < +∞ 26 teatcos(mt)H(t) 2m(p − a) [(p − a) + m ]2 Re(a) < Re(p) < +∞ 27 teatsh(mt)H(t) 2m(p − a) [(p − a) − m ]2 |Re(m)| + Re(a) < Re(p) te ch(mt)H(t) (p − a) + m [(p − a) − m ]2 |Re(m)| + Re(a) < Re(p) 29 [1 – cos(mt)]H(t) m2 p(p + m ) < Re(p) < +∞ 30 f(t)sin(mt)H(t) 31 f(t)cos(mt)H(t) 32 f(t)sh(mt)H(t) 33 f(t)ch(mt)H(t) 34 sin t t 28 at [F(p − i.m) − F(p + i.m)] [F(p − i.m) + F(p + i.m)] [F(p − m) − F(p + m)] với F ảnh f(t) [F(p − m) + F(p + m)] πH(p2 + 1) Re(p) = arctan(a/p) < Re(p) < +∞ -∞ < Re(p) < +∞ 36 sin(at) H(t) t δ(t) 37 δ(n)(t) pn -∞ < Re(p) < +∞ 38 δ(n)(1 – e-t) (p-1)(p-2) (p-n) -∞ < Re(p) < +∞ 35 -(1/p)log(p) – γ/p 39 log(t)H(t) γ số Euler- < Re(p) < +∞ Mascheroni 40 log(t + γ)H(t) -(1/p)log(p) < Re(p) < +∞ 41 − e− t H(t) t  1 log 1 +   p < Re(p) < +∞ 42 log(et + 1) π psin(πp) 43 erfc(-t)H(t) (2 / p)e − t2 p2 πe p erfc(p) < Re(p) < < Re(p) < +∞ -∞ < Re(p) < +∞ 44 e 45 erf ( t )H(t) p p +1 < Re(p) < +∞ erf (t)H(t) e p /4 [1 − erf (p / 2)] p < Re(p) < +∞ H(t) 46 47 p(p + a) at e erfc( at )H(t) a Re(-a) < Re(p) < +∞ 48 erf at H(t) a p p+a Re(-a) < Re(p) < +∞  a erfc  2 t e−a p p 49 < Re(p) < +∞ e−a p 50 a πt e−a   H(t)  /4t H(t) 51 e − at H(t) πt 52 eat − e bt H(t) t ln 53 eat − e bt H(t) a−b (p − a)(p − b) 54 e t/a − e t/b H(t) a−b (ap + 1)(bp + 1) 55 (1 + at)eatH(t) p (p − a) 56 ea − at − H(t) a2 (p − a)p p+a < Re(p) < +∞ Re(-a) < Re(p) < +∞ p−b p−a Re(a) < Re(p) < +∞ Re(a) < Re(p) < +∞ 57 J o (at)H(t) (hàm Bessel) 58 t x −1 Γ(x) p2 + a < Re(p) < +∞ x>0 px = r2 KÍ HIỆU: 4πr 01 − 02 Pn (cos θ) r n +1 03 − 04 − 05 sin(kr) , k thực 4πr  x2   x3  x = ; θ arccos = ; ϕ arctan  = ; p ∑i i    r   x1  ∑p 1/p2 Re(p) = 4π (−1) n p3n − n! p Re(p) = eikr 4πr p + k2 |Re(p)| < Im(k) cos(kr) , k thực 4πr p + k2 Re(p) = δ(p2 + k2) Re(p) = 2 i i ... biến số L x : phép biến đổi Laplace tác dụng lên biến số x L : phép biến đổi Laplace tác dụng lên tất biến số L∞ : phép biến đổi Laplace phía L0 : phép biến đổi Laplace phía L−1 : phép biến đổi. .. phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace có ứng dụng quan trọng giải tích áp dụng lớp rộng hàm số việc giải phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình. .. Nam, thấy giáo trình viết phép biến đổi Laplace mức độ đơn giản như: phép biến đổi Laplace phía, phép biến đổi Laplace chiều, áp dụng giải phương trình vi phân đơn giản, biến số Các mục tiêu luận