Ứng dụng phép biến đổi laplace để giải các bài toán trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ PHAN THỊ KIM UYÊN ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG VẬT LÝ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng, 2020 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ PHAN THỊ KIM UYÊN ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG VẬT LÝ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Vật lý học Khóa học: 2016 - 2020 Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu Đà Nẵng, 2020 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý, trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng! Những năm qua tận tình dạy trang bị cho kiến thức cần thiết suốt thời gian ngồi ghế giảng đường, làm tảng cho tơi hồn thành luận văn Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn tơi PGS.TS Nguyễn Văn Hiếu! Thầy tận tình giúp đỡ định hướng cách tư cách làm việc khoa học tạo điều kiện thuận lợi cho tìm hiểu thêm kiến thức Toán ứng dụng từ lý thuyết toán Vật lý cho đến thực tiễn Đó góp ý hết sức quý báu khơng quá trình thực hiện ḷn văn mà hành trang tiếp bước cho tơi quá trình học tập lập nghiệp sau này.Vì kiến thức thân cịn hạn chế nên quá trình thực tập, việc hồn thành ḷn văn tơi khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong nhận ý kiến đóng góp từ Thầy, Cô khoa Vật lý Kính chúc Ban Giám Hiệu nhà trường, đặc biệt các Thầy, Cô khoa Vật lý vui vẻ, khỏe mạnh gặt hái nhiều thành công công việc! I MỤC LỤC DANH MỤC CỤM TỪ THAM KHẢO III A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục tiêu đề tài III Nhiệm vụ nghiên cứu III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Tổng quan phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG CHƯƠNG I: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Phương pháp biến thiên số Lagrange 1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao 1.1.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số 14 1.2 Phương pháp ảnh Laplace 17 1.2.1 Hàm gốc 𝑓(𝑡) 17 1.2.2 Biểu diễn các hàm đơn giản 17 1.2.3 Bảng đối chiếu gốc ảnh 19 1.2.4 Những tính chất phép biểu diễn 20 1.2.5 Các định lý biểu diễn 22 CHƯƠNG II: VẬN DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 24 2.1 Phương trình vi phân bậc 24 2.2 Phương trình vi phân cấp hai 27 2.3 Hệ phương trình vi phân 32 CHƯƠNG III: ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ 40 3.1 Phần Cơ học 40 3.2 Phần Điện học 47 3.3 Phần Cảm ứng điện từ 61 C KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 II DANH MỤC CỤM TỪ THAM KHẢO Viết tắt Từ NTQ Nghiệm tổng quát NR Nghiệm riêng Pt Phương trình Hpt Hệ phương trình THPT Trung học Phổ thông Pp Phương pháp III A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Để nâng cao hiệu vận dụng tốt các phương pháp giải toán Vật lý, các nhà giáo dục tìm cách nghiên cứu, áp dụng, đổi phương pháp giảng dạy Hiện nay, nhiều phương pháp dạy học nói chung Vật lý nói riêng mang lại hiệu cao như: phương pháp chuẩn độ, phương pháp thực nghiệm, phương pháp mô phỏng, phương pháp đồ thị Trong phương pháp mơ hình hóa phương pháp nhận thức khoa học vận dụng vào dạy học hầu hết các môn học, đặc biệt giảng dạy nghiên cứu Vật lý Nó thể hiện trước hết tính sâu sắc, tính hệ thống các kiến thức từ tạo điều kiện cho sinh viên phát hiện mối liên hệ các hệ thống khác các phần khác Vật lý Nội dung phương pháp mơ hình hóa dựa các tính chất khác liên quan đến tính đồng dạng Vật lý các đối tượng nghiên cứu Ta giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân khó, phức tạp các toán đại số ảnh hàm thông qua biến đổi Laplace Các phép biến đổi cho chuyển đổi vậy gọi phép tính toán tử Trong số toán dao động, chẳng hạn toán vi phân liên quan đến điều kiện biên, điều kiện ban đầu nếu giải phương pháp truyền thống phức tạp dài Tuy nhiên, nếu sử dụng phương pháp ảnh Laplace ta đơn giản hóa toán Đối với các toán khó phần Điện học Từ học phạm vi nâng cao phương pháp ảnh Laplace cần thiết thiếu Phương pháp ảnh Laplace vận dụng để giải hệ thống các tập liên quan không riêng hay hai tập đơn lẽ Vì tính chất quan trọng phương pháp ảnh Laplace, quyết định chọn đề tài “Sử dụng phương pháp ảnh Laplace để giải toán Vật lý” Đề tài giúp tơi hồn thiện bồi dưỡng lực tư giải toán mình, tài liệu hữu ích cho sinh viên các giáo viên đồng nghiệp tham khảo Mục tiêu đề tài Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một, hai hệ phương trình vi phân Vật lý phương pháp ảnh Laplace Nhiệm vụ nghiên cứu Giới thiệu nội dung, sở lý thuyết các phương pháp (ảnh Laplace, biến thiên hàm số) giải phương trình vi phân Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp một, hai hệ phương trình vi phân hai phương pháp từ rút nhận xét so sánh Xây dựng, phân loại hệ thống tập theo chuyên đề Cơ – Điện – Từ giúp cho quá trình dạy học thuận lợi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng đề tài hướng đến các phương trình vi phân bậc một, hai hệ phương trình vi phân Phạm vi nghiên cứu các toán Vật lý phần Cơ – Điện – Từ Phương pháp nghiên cứu Phương pháp mơ hình hóa dựa các tính chất khác liên quan đến tính đồng dạng Vật lý đối tượng nghiên cứu phương trình vi phân hệ phương trình vi phân tạo điều kiện cho phát hiện mối liên hệ các hệ thống khác Phương pháp thu thập các báo khoa học, các sách có liên quan đến đề tài khóa ḷn, tìm hiểu chúng trình bày các kết đề tài theo hiểu biết Phương pháp hệ thống, khái quát sử dụng sau thu thập cho kết để có cái nhìn tổng quát cụ thể cho phương pháp giải từ rút nhận xét Sử dụng các kết biến đổi tích phân, hàm biến phức, Tổng quan phương pháp nghiên cứu Về hướng nghiên cứu đề tài có nhiều tác giả thực hiện công bố nhiều báo các trang thông tin điện tử Tuy nhiên, họ chưa đưa so sánh, ưu, nhược điểm phương pháp Laplace với các phương pháp khác Ở nhiên cứu hệ thống các toán Vật lý phần Cơ-Điện-Từ giải phương pháp Laplace để thấy ngắn gọn độ chính xác phương pháp Từ đó, định lượng các toán dao dộng cưỡng bức, tắt dần, số công thức Vật lý THPT Bên cạnh, các toán vi phân có độ khó, phức tạp cao đạo hàm riêng hay dao động mạng tơi chưa giải qút hoàn toàn B NỘI DUNG CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Phương pháp biến thiên số Lagrange 1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp a Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình tún tính hàm số chưa biết đạo hàm Phương trình tún tính có dạng: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) (*) hay 𝑦 ′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) Trong 𝑝(𝑥) 𝑓(𝑥) coi các hàm biến số liên tục 𝑥 tại miền cần lấy tích phân phương trình (*) Nếu 𝑓 (𝑥) = phương trình (*) gọi phương trình vi phân tuyến tính Trong phương trình tuyến tính các biến số phân ly: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 0, 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑝(𝑥)𝑦, lấy tích phân, ta có: ln|𝑦| = − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + lnC, C > 𝑦 = 𝐶 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 , C ≠ 0, (1.1) Khi chia cho 𝑦, ta loại nghiệm 𝑦 = 0, nhiên chưa họ nghiệm tìm (1.1), nếu ta coi C nhận giá trị b Phương pháp giải Để tính tích phân phương trình tún tính khơng nhất: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥), (*) Ta áp dụng phương pháp biến thiên số Lagrage Khi áp dụng phương pháp này, trước tiên ta tích phân phương trình tuyến tính tương ứng 𝑑𝑦 + 𝑝(𝑥)𝑦 = 0, 𝑑𝑥 Nghiệm tổng quát nó, tìm trên, có dạng: 𝑦̅ = 𝐶 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 Khi 𝐶 cố định, hàm số 𝐶𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 nghiệm phương trình Để thỏa mãn phương trình khơng nhất, coi 𝐶 hàm số 𝑥 , tức 𝐶(𝑥), ta thực hiện việc thay biến 𝑦̅ = 𝐶(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝐶(𝑥) hàm số chưa biết 𝑥 Tính đạo hàm 𝑑𝑦 𝑑𝐶 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝐶(𝑥)𝑝(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 thay vào phương trình khơng (*), ta có: 𝑑𝐶 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑒 − 𝐶(𝑥)𝑝(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑝(𝑥)𝐶(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 hay 𝑑𝐶 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 , Từ đó, lấy tích phân hai vế, ta được: 𝐶(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1 , Và 𝑦 = 𝐶(𝑥) 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶1 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 (1.2) Như vậy, nghiệm tổng quát phương trình tún tính khơng tổng nghiệm tổng quát 𝑦̅ = 𝐶1 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 phương trình tương ứng nghiệm riêng phương trình khơng 𝑦 ∗ = 𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 − ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 nhận từ (1.2) 𝐶1 = Tuy nhiên, các ví dụ cụ thể các toán sau, việc sử dụng công thức cồng kềnh khó nhớ (1.2) khơng thích hợp, nên ta lặp lại phần quá trình tính toán dễ dàng nhiều Ví dụ: Giải các pt sau a 𝑥𝑦 ′ = 𝑦 1+𝑥 +𝑥 𝑋2 = => 𝐸0 𝜔 1 [ 𝐿 (𝑅𝜔)2 +[𝐿𝜔2 − ]2 𝐶 𝐸0 𝜔 = 𝐿 =>𝑋2 = 𝑅 𝐿2 (𝜔2 −𝐶𝐿 )𝑝−𝐶 𝑅 (𝑝+2𝐿) −𝜔12 ] 𝑅 𝑅 𝑝 + 2𝐿 𝐿 2𝐶 [ − ] 𝐶 𝑅 𝑅 2 2 (𝑅𝜔) + [𝐿𝜔 − ] (𝑝 + ) − 𝜔1 (𝑝 + 2𝐿) − 𝜔1 𝐶 2𝐿 (𝐿𝜔)2 𝑝 − 𝐸0 𝜔 𝐿 (𝑅𝜔)2 +[𝐿𝜔2 − ] 𝐶 𝐿 {[(𝐿𝜔) − ] 𝐶 𝑅 2𝐿 𝑅 (𝑝+ ) −𝜔12 2𝐿 (𝑝+ ) 𝑅+𝑅𝐿𝐶𝜔2 −( 2𝐶𝜔1 ) 𝜔1 𝑅 (𝑝+ ) −𝜔12 2𝐿 } - Lấy nghịch ảnh ta thu được: 𝑅 𝑖2 (𝑡) = 𝐸0 𝜔 − 𝑡 𝑒 2𝐿 𝐿 (𝑅𝜔)2 +[𝐿𝜔2 − ] 𝐶 𝑅+𝑅𝐿𝐶𝜔2 𝐿 {[(𝐿𝜔)2 − 𝐶 ] 𝑐ℎ𝜔1 𝑡 − ( 2𝐶𝜔1 ) 𝑠ℎ𝜔1 𝑡} => Biểu thức dòng điện tổng quát: 𝑖(𝑡) = 𝑖1 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡) - TH3 𝑅 Đặt ( ) = 2𝐿 𝐶𝐿 4𝐿 hay 𝑅 = √ , pt (3.14) thành: 𝐶 𝑋 (𝑝 ) = 𝐸0 𝜔 𝑝 (3.19) 𝐿 (𝑝2 +𝜔2 )(𝑝+ 𝑅 )2 2𝐿 => 𝑋(𝑝) = 𝐸0 𝜔 𝐿 𝐴𝑝+𝐵 [𝑝2+𝜔2 + 𝐷 𝑅 (𝑝+ ) 2𝐿 + 𝐸 𝑅 2𝐿 𝑝+ ] = 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 (3.20) - Xét tử số 𝑋(𝑝): 𝑅 𝑅 (𝐴𝑝 + 𝐵 ) (𝑝 + ) + 𝐷 (𝑝2 + 𝜔2 ) + 𝐸 (𝑝2 + 𝜔2 ) (𝑝 + ) = 𝑝 2𝐿 2𝐿  𝑅 𝑅 𝑅 𝐿 2𝐿 2𝐿 (𝐴𝑝 + 𝐵) [𝑝2 + 𝑝 + ( ) ] + 𝐷 (𝑝2 + 𝜔2 ) + 𝐸 (𝑝3 + 𝐴 + 𝐸 = (𝑝3 ) 𝑅 𝐿 => 𝐴+𝐵+𝐷+ 𝑅 𝑅 2𝐿 𝐿 𝑅 2𝐿 𝐸 = (𝑝2 ) ( ) 𝐴 + 𝐵 + 𝜔 𝐸 = (𝑝 ) 𝑅 2 { (2𝐿) 𝐵 + 𝜔 𝐷 + 55 𝑅𝜔2 2𝐿 𝐸=0 𝑝2 +𝜔2 𝑝 + 𝑅𝜔2 2𝐿 )=𝑝 𝐴 = −𝐸 𝐴 = −𝐸 𝑅 𝐵+𝐷− 𝐸 =0 𝐷+ 2𝐿  𝑅 𝐿 𝑅 𝐵 + [𝜔 − ( ) ] 𝐸 =  𝐿 𝑅 2𝐿 𝑅𝜔2 2𝐿 𝐸=0 {𝜔 𝐷 + 𝐸=− 4𝑅𝐿 𝑅 2−4(𝜔𝐿)2 𝐵= + 2𝐿 {( ) 𝐵 + 𝜔 𝐷 + 𝑅 −4(𝜔𝐿)2 −2𝑅 𝑅 4𝑅𝐿 𝑅 +4𝑅(𝜔𝐿)2 16𝐿3 𝐿 𝑅 𝐸 𝐸=− 𝑅 4𝐿 Giải hệ pt trên, ta được: 𝐴= 4(𝑅𝐿)2 −16𝜔2 𝐿4 [𝑅2 +(2𝜔𝐿)2 ]2 𝐿 𝐿[𝑅 −(2𝜔𝐿)2 ] 𝑅 𝑅[𝑅 +(2𝜔𝐿)2 ]2 𝐵= − 𝐿 𝐿[𝑅 −(2𝜔𝐿)4 ] 𝑅 𝑅[𝑅 +(2𝜔𝐿)2 ]2 𝐷=− − 𝐸= { (3.21) 16𝜔2 𝐿4 −4(𝑅𝐿)2 [𝑅 +(2𝜔𝐿)2 ]2 Thay 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐸 hệ pt (3.21) vào pt (3.20), ta được: 𝑋1 = = 𝐸0 𝜔 𝐴𝑝 + 𝐵 𝐿 𝑝2 + 𝜔 [𝑅 − 4(𝜔𝐿)2 ]2 𝐸0 𝜔 𝑝 𝜔 𝐸0 𝜔 2 3) {(4𝐿𝑅 − 16𝜔 𝐿 − }+ 2 2 2 2 [𝑅 + (2𝜔𝐿) ] 𝜔 +𝑝 𝑅𝜔 𝜔 +𝑝 𝑅 𝜔 + 𝑝2 𝑋2 = 𝐸0 𝜔 𝐿 𝐷 𝑅 (𝑝 + 2𝐿) =− 𝐸0 𝜔 𝐿[𝑅 − (2𝜔𝐿)2 ] {1 + } 𝑅 𝑅 + (2𝜔𝐿)2 𝑅 (𝑝 + 2𝐿) 𝐸0 𝜔 𝐸 4𝜔𝐸0 𝐿[(2𝐿𝜔)2 − 𝑅 ] 𝑋3 = = [𝑅 + (2𝜔𝐿)2 ]2 𝑝 + 𝑅 𝐿 𝑝+ 𝑅 2𝐿 2𝐿 - Lấy nghịch ảnh ta thu được: 𝑅2 − (2𝜔𝐿)2 𝐸0 𝑅2 − (2𝜔𝐿)2 𝐸0 ] 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 + 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 𝑖1 = 4𝐸0 𝐿𝜔 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 − [ 2 2 [𝑅 + (2𝜔𝐿) ] 𝑅 𝑅 + (2𝜔𝐿) 𝑅 𝑅 𝐸0 𝜔 𝐿[𝑅2 − (2𝜔𝐿)2 ] − 𝑡 2𝐿 {1 + } 𝑖2 = − 𝑡 𝑒 𝑅 𝑅2 + (2𝜔𝐿)2 𝑖3 = 4𝜔𝐸0 𝐿[(2𝐿𝜔)2 − 𝑅2 ] − 𝑅 𝑡 𝑒 2𝐿 [𝑅2 + (2𝜔𝐿)2 ]2 => Biểu thức dòng điện tổng quát: 𝑖(𝑡) = 𝑖1 (𝑡) + 𝑖2 (𝑡) + 𝑖3 (𝑡) 56 Nhận xét: Kết trường hợp hai cho ta thấy dao động mạch điện 𝑅𝐿𝐶 chồng chập hai dao động Một dao dộng tắt dần với biên độ giảm theo thời gian có tần số góc 𝜔1 , biểu thức dòng điện mạch 𝑖2 (𝑡) gọi dòng điện tạm thời xuất hiện sau đóng khóa Hai dao dộng điều hịa, tuần hồn với tần số góc 𝜔, biểu thức dòng điện 𝑖1 (𝑡) gọi dòng điện ổn định xảy sau thời gian ngắn sau đóng khóa Và 𝑖1 (𝑡) khơng đổi hai trường hợp Tìm cường độ dịng điện cực đại 𝐼𝑚𝑎𝑥 sau dòng điện mạch ổn định? - Ta có biểu thức dịng điện ổn định: 𝐸0 𝜔 𝑖1 (𝑡 ) = (𝑅𝜔)2 + [𝐿𝜔 − ] 𝐶 [( − 𝐿𝜔2 ) 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑅𝜔𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡] 𝐶 𝑇 𝑈 𝐼0 𝐼0 Đặt 𝑖1 (𝑡 ) = 𝑇 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑈 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 = 𝐼0 ( 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡) = 𝐼0 (𝐶𝑜𝑠𝛼 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑆𝑖𝑛𝜑 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 ) = 𝐼0 𝐶𝑜𝑠(𝜔𝑡 − 𝛼) (𝐸0 𝜔)2 Với 𝐼0 = √𝑇 + 𝑈 = √ 2 {(𝑅𝜔)2 +[𝐿𝜔2 − ] } 𝐶 = Và 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝐸0 𝜔 √(𝑅𝜔)2 + [𝐿𝜔 − ] 𝐶 𝑈 𝑇 = 𝑅𝜔 −𝐿𝜔2 𝐶 = 𝑅𝐶𝜔 1−𝐿𝐶𝜔2 = 𝐸0 √𝑅2 + (𝐿𝜔 − ) 𝐶𝜔 , (0 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋 ) => Tổng trở mạch 𝑍 = √𝑅2 + (𝐿𝜔 − Để 𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑍𝑚𝑖𝑛 => 𝑍𝐿 = 𝑍𝐶 => 𝜔 = [(𝐿𝜔 − 𝐶 ) + (𝑅𝜔)2 ] √𝐿𝐶 ) = √𝑅2 + (𝑍𝐿 − 𝑍𝐶 )2 𝐶𝜔 = 𝜔0 Nhận xét: Khi tần số góc nguồn điện 𝜔 = √𝐿𝐶 = 𝜔0 gần số góc riêng mạch 𝐼𝑚𝑎𝑥 gọi hiện tượng cộng hưởng điện Lúc này, công suất mạch điện cực đại Áp dụng: Giải toán sau Cho mạch điện (mạch điện mồi động xăng) hình vẽ gồm: nguồn DC không đổi 𝐸 = 12𝑉, 57 cuộn cảm có 𝐿 = 0,8𝐻, 𝑟 = 8𝛺 điện trở với 𝑅 = 1𝑘𝛺 Ban đầu cơng tắc điện tử đóng a Dịng điện 𝑖0 chảy qua cuộn dây bao nhiêu? b Để hở mạch thời điểm 𝑡 = Hiệu điện thế cực đại điện trở 𝑅 bao nhiêu? Năng lượng tiêu tán bao nhiêu? Giải: a Ta có, điện trở tương đương: 𝑅𝑡𝑑 = 𝐸(𝑅+𝑟) => Dịng chính mạch là: 𝑖 = Dòng nhánh 𝑖0 qua cuộn cảm là: 𝑖0 = 𝑅𝑟 𝑅+𝑟 𝑅𝑟 𝑖𝑅 = 𝑅+𝑟 𝐸(𝑅+𝑟) 𝑅 𝑅𝑟 𝑅+𝑟 = 𝐸 𝑟 = 1,5𝐴 b Tại thời điểm 𝑡 = 0, mạch để hở nên 𝐿, 𝑅 mắc nối tiếp Áp dụng định luật Kirchhoff điện áp mạch 𝐿 𝑑𝑖 + (𝑅 + 𝑟 ) 𝑖 = 𝑑𝑡 𝑖′ +  Giả sử 𝑖(𝑡) ≓ 𝑋(𝑝) => 𝑖(0) = 𝑖0 = 𝑅+𝑟 𝐿 𝑖=0 𝐸 𝑟 - Lấy ảnh Laplace hai vế pt 𝑝𝑋(𝑝) − 𝑥(0) +  (𝑝 + => 𝑅+𝑟 𝑋(𝑝) = 𝐿 𝑅+𝑟 𝐿 ) 𝑋(𝑝) = 𝑖0 𝑋(𝑝) = 𝑖0 𝑅+𝑟 𝐿 𝑝+ Lấy nghịch ảnh 𝑋(𝑝) ta nghiệm pt (3.22) 𝑅+𝑟 𝑡 𝐿 𝑖(𝑡) = 𝑖0 𝑒 − Hiệu điện thế cực đại điên trở là: 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 𝑅𝑖0 = 1,5𝑘𝑉 b Năng lượng tiêu tán 𝑅 tính công thức hiệu ứng Joule 58 (3.22) +∞ 𝝃 = ∫0 +∞ 𝑅𝑖 𝑑𝑡 = ∫0 𝑅 𝑅𝑖02 𝑒−2𝐿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐿𝐼02 = 0,9𝐽 Đây lượng cuộn dây thời điểm khỏi đầu Năng lượng tích trữ cuộn dây tiêu tán dần hiệu ứng Jounle điện trở Nhận xét: Khi ngắt dòng điện đột ngột mạch, xuất hiện hiệu điện thế cực đại hai công tắc chính 𝑢𝑚𝑎𝑥 Giá trị đủ để tạo nên tia lửa đốt cháy hỗn hợp khí-xăng Ngoài ra, công tắc phải chịu điện áp cao nếu không hiệu điện thế gây hồ quang làm hỏng công tắc Bài 3: Cho mạch điện 𝑅𝐿𝐶 hình vẽ, cung cấp nguồn điện khơng đổi 𝐸0 Ban đầu, khóa mở mạch khơng có dịng điện, tụ khơng tích điện Tại thời điểm 𝑡 = cơng tắc đóng để đóng 1𝑠 Lúc 𝑡 = cơng tắc để mở cho đến sau Xác định biểu thức dòng điện mạch sau đóng khóa? Hình 9: Mạch RLC với nguồn 𝐸0 Giải: - Tương tự ta lập pt theo định luật Kirchhoff cho mạch điện tại thời điểm 𝑡 = sau đóng khóa 𝐿  𝐿 𝑑𝑖(𝑡) + 𝑅 𝑖 (𝑡 ) + 𝑄(𝑡) = 𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 𝐶 𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 Theo đề: 𝐸(𝑡) = 𝐸0 [1 − 𝑢(𝑡 − 1)] = { => 𝑅 𝐿 𝐶𝐿 𝑖′ + 𝑖 + 𝑡 + 𝑅 𝑖(𝑡 ) + [∫0 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑞0 ] = 𝐸(𝑡) 𝐶 𝐸0 , 𝑡 < 0, 𝑡 ≥ 𝑡 [∫0 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡] = 𝐸0 [1 − 𝑢(𝑡 − 1)] Giả sử 𝑖(𝑡) ≓ 𝑋(𝑝) => 𝑥 (0) = - Lấy ảnh Laplace hai vế pt 𝑅 𝑝𝑋(𝑝) − 𝑥(0) + 𝑋(𝑝) + 𝐿 𝑋(𝑝) 𝐶𝐿 𝑝 = 𝐸0 𝑝 (1 − 𝑒 −𝑝 ) (Xem (1.22))  𝑅 1 (𝑝 + 𝐿 + 𝐶𝐿 𝑝) 𝑋(𝑝) = 59 𝐸0 𝑝 (1 − 𝑒 −𝑝 ) (3.23) => 𝑋 (𝑝 ) =  Đặt 𝜔2 = 𝐸0 (1−𝑒 −𝑝 ) 𝑋 (𝑝 ) = 𝑅 𝐿 𝐶𝐿 𝑝2 + 𝑝+ 𝐸0 (1−𝑒 −𝑝 ) 𝑅 𝑅 𝑅 𝑝2 +22𝐿𝑝+(2𝐿) +𝐶𝐿−(2𝐿) 𝑅 − ( ) pt thành: 𝐶𝐿 2𝐿 𝑋 (𝑝 ) = 𝐸0 (1 − 𝑒 −𝑝 ) = 𝑅 (𝑝 + ) + 𝜔 2𝐿 𝐸0 [ 𝜔 𝜔 𝑅 (𝑝 + ) + 𝜔 2𝐿 − 𝑒 −𝑝 𝜔 𝑅 (𝑝 + ) + 𝜔 2𝐿 ] Lấy nghịch ảnh 𝑋(𝑝) ta nghiệm pt (3.23) 𝑖(𝑡) = 𝑅 𝐸0 − 𝑅 𝑡 (𝑡−1) 𝑆𝑖𝑛𝜔(𝑡 − 1)] [𝑒 2𝐿 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡 − 𝑢(𝑡 − 1)𝑒 −2𝐿 𝜔 𝑅 (Xem phần lưu ý (1.22) với 𝑓(𝑡) = 𝑒 −2𝐿𝑡 𝑆𝑖𝑛𝜔𝑡) hay 𝑖 (𝑡 ) = 𝑅 𝐸0 √ −( 𝑅 ) 𝐶𝐿 𝑒 −2𝐿𝑡 [𝑆𝑖𝑛√ 𝐶𝐿 𝑅 2𝐿 𝐶𝐿 𝑅 − ( ) (𝑡 − 1))] 2𝐿 2𝐿 𝑅 𝐸0 √ −( 𝑅 ) 𝐶𝐿 = 𝑅 𝐸0 𝑅 − ( ) 𝑡 − 𝑢(𝑡 − 1)𝑒 2𝐿 𝑆𝑖𝑛 (√ 𝑅 {√𝐶𝐿−(2𝐿) 𝑒 −2𝐿𝑡 𝑆𝑖𝑛√ 𝐶𝐿 𝑅 − ( ) 𝑡 𝑛ế𝑢 𝑡 < 2𝐿 2𝐿 𝑒 −2𝐿𝑡 [𝑆𝑖𝑛√ 𝐶𝐿 𝑅 𝑅 − ( ) 𝑡 − 𝑒 2𝐿 𝑆𝑖𝑛 (√ 2𝐿 𝐶𝐿 𝑅 − ( ) (𝑡 − 1))] 𝑛ế𝑢 𝑡 ≥ 2𝐿 Nhận xét: Dao động dòng điện mạch 𝑡 < 𝑡 ≥ dao động tắt dần với biên độ giảm dần theo thời gian với tần số góc khơng đổi 𝜔 = √ 𝐶𝐿 𝑅 −( ) 2𝐿 Tuy nhiên, nhìn vào kết ta thấy dịng lúc 𝑡 ≥ xảy tắt dần biên độ lớn so với lúc 𝑡 < Điều phù hợp với thực tế từ thời điểm 𝑡 = trở khóa mở nên dịng mạch giảm cách nhanh chóng 60 3.3 Phần Cảm ứng điện từ Bài 1: Cho hệ thống khung dây hình vẽ, nguồn có suất điện động 𝐸, điên trở 𝑟, MN có chiều dài 𝑙, khối lượng 𝑚 từ trường 𝐵 𝐼 𝑣0 ⃗⃗⃗⃗ Ban đầu, truyền cho vận tốc 𝑣0 , chuyển động sang phải Cho hệ số ma sát ray 𝜇 Bỏ qua điện trở ray Tìm pt chuyển động MN theo thời Hình 10: Hệ thống khung-dây MN trượt ngang gian? Giải: - Khi chuyển động, xuất hiện dòng điện cảm ứng: 𝐼𝑐 = ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ 𝑑𝑠 |𝐸 + 𝐸𝑐 | 𝐸 𝑑𝜙 𝐸 𝑑(∬ 𝐵 𝐸 𝑑𝑥 𝐸 𝐵𝑙 𝑑𝑥 | = + |𝐵𝑙 | = + = + |− | = + |− 𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 𝑑𝑡 𝑟 𝑟 𝑑𝑡 Với 𝑑𝑥 quãng đường MN khoảng thời gian 𝑑𝑡 - Ta có cơng thức độ lớn lực từ: 𝐸𝐵𝑙 (𝐵𝑙)2 𝑑𝑥 𝐹𝑡 = 𝐵𝐼𝑐 𝑙 = + 𝑟 𝑟 𝑑𝑡 Áp dụng định luật II Newton cho MN, ta có: ⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃⃗ + 𝑁 𝐹𝑚𝑠 + ⃗⃗⃗ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎 - Xét theo phương chuyển động: −𝐹𝑚𝑠 + 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎 =>  −𝜇𝑚𝑔 + 𝑑2𝑥  𝑚  𝑥 ′′ − 𝑑𝑡 − 𝐸𝐵𝑙 𝑟 + (𝐵𝑙)2 𝑑𝑥 (𝐵𝑙)2 𝑟𝑚 𝑟 𝑑𝑡 𝑥′ − (𝐵𝑙)2 𝑑𝑥 − 𝑟 𝐸𝐵𝑙 𝐸𝐵𝑙 𝑟𝑚 𝑟 - Lấy ảnh Laplace hai vế pt trên, ta được: 61 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 + 𝜇𝑚𝑔 = + 𝜇𝑔 = với điều kiện ban đầu: 𝑥 (0) = 0, 𝑥 ′ (0) = 𝑣0 Giả sử 𝑥(𝑡) ≓ 𝑋(𝑝) 𝑑𝑡 =𝑚 (3.24) (𝐵𝑙)2 𝐸𝐵𝑙 [𝑝𝑋 (𝑝) − 𝑥(0)] + (𝜇𝑔 − )=0 𝑝 𝑋 (𝑝) − 𝑝𝑥 (0) − 𝑥 0) − 𝑟𝑚 𝑝 𝑟𝑚 ′( 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑣0 −  => 𝑋 (𝑝) = ( 𝐸𝐵𝑙 𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2 𝑟𝑚 𝐸𝐵𝑙 𝑝𝑋(𝑝) = ( 𝑝 − 𝜇𝑔 + 𝑣0 𝑝) (𝐵𝑙)2 𝑝2 [𝑝− ] 𝑟𝑚 𝑟𝑚 = − 𝜇𝑔) 𝐴 𝑝2 𝐶 + + 𝑝 𝐷 (3.25) (𝐵𝑙)2 𝑟𝑚 𝑝− Xét tử số pt trên, ta có: 𝐴 [𝑝 − (𝐵𝑙)2 (𝐵𝑙)2 𝐸𝐵𝑙 ] + 𝐶𝑝 [𝑝 − ] + 𝐷𝑝2 = − 𝜇𝑔 + 𝑣0 𝑝 𝑟𝑚 𝑟𝑚 𝑟𝑚 𝐶 + 𝐷 = (𝑝2 ) => (𝐵𝑙)2 𝐶 = 𝑣0 (𝑝)  {𝐴 + 𝑟𝑚 𝐶 = 𝑣0 𝑟𝑚 𝜇𝑔𝑟𝑚−𝐸𝐵𝑙 (𝐵𝑙)2 𝐸𝐵𝑙 𝐴 = (𝐵𝑙)2 − 𝐴= − 𝜇𝑔 𝐴− { 𝑟𝑚 𝑟𝑚 𝑟𝑚 𝐶 = (𝐵𝑙)2 [𝑣0 + 𝑟𝑚 𝐸𝐵𝑙−𝜇𝑔𝑟𝑚 𝐷 = − (𝐵𝑙)2 [𝑣0 +  𝐶 = −𝐷 (𝐵𝑙)2 { 𝐴= ] (𝐵𝑙)2 𝐸𝐵𝑙−𝜇𝑔𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2 𝜇𝑔𝑟𝑚−𝐸𝐵𝑙 ] (𝐵𝑙)2 Thay 𝐴, 𝐶, 𝐷 vào pt (3.25): => 𝑋(𝑝) = 𝜇𝑔𝑟𝑚−𝐸𝐵𝑙 (𝐵𝑙)2 𝑝2 𝑟𝑚 + (𝐵𝑙)2 [𝑣0 + 𝐸𝐵𝑙−𝜇𝑔𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2 𝑟𝑚 ] − (𝐵𝑙)2 [𝑣0 + 𝑝 𝐸𝐵𝑙−𝜇𝑔𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2 ] (𝐵𝑙)2 𝑝− 𝑟𝑚 Lấy nghịch ảnh 𝑋(𝑝) ta nghiệm pt (3.24): 𝑥(𝑡) = 𝜇𝑔𝑟𝑚 − 𝐸𝐵𝑙 𝑟𝑚 𝐸𝐵𝑙 − 𝜇𝑔𝑟𝑚 𝑟𝑚 𝐸𝐵𝑙 − 𝜇𝑔𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2𝑡 𝑡 + [𝑣 + ] − [𝑣 + ] 𝑒 𝑟𝑚 (𝐵𝑙)2 (𝐵𝑙)2 (𝐵𝑙)2 (𝐵𝑙)2 (𝐵𝑙)2 Bài 2: Cho hệ thống khung dây hình vẽ, MN có chiều dài 𝑙, khối lượng 𝑚 từ trường 𝐵 Ban đầu, giữ ray,sau thả tử trượt xuống Cho quá trình trượt ln tiếp xúc vng góc với ray Bỏ qua ⃗⃗𝐼𝑐 𝑣 điện trở ray, ma sát khơng đáng kể Tìm pt chuyển động MN theo thời gian? Giải: Hình 11: Hệ thống khung-dây MN trượt dọc 62 - Khi chuyển động, xuất hiện suất điện động cảm ứng: 𝐸𝑐 = |− ⃗ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑(∬ 𝐵 𝑑𝑠) 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑑𝑥 | = |− | = |𝐵𝑙 | = 𝐵𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Với 𝑑𝑥 quãng đường MN khoảng thời gian 𝑑𝑡 - Hiệu điện thế giữ hai tụ 𝑈𝑡 = 𝐸𝑐 = 𝐵𝑙 𝑑𝑥 𝑑𝑡 , điện tích tụ 𝑄 = 𝐶𝑈𝑡 - Ta có cơng thức độ lớn lực từ: 𝑑𝑄 𝑑𝑈𝑡 𝑑2𝑥 ( ) 𝐹𝑡 = 𝐵𝐼𝑐 𝑙 = 𝐵 𝑙 = 𝐵𝐶𝑙 = 𝐶 𝐵𝑙 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Áp dụng định luật II Newton cho MN, ta có: 𝑃⃗ + ⃗⃗⃗ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎 - Xét theo phương chuyển động: Vì chiều dịng điện từ M sang N nên áp dụng quy tắc bàn tay trái lực từ chống lại chuyển động thanh, có hướng từ lên 𝑃 − 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎 => 𝑚𝑔 − 𝐶(𝐵𝑙)2    𝑑2𝑥 𝑚 𝑑𝑡 + 𝐶(𝐵𝑙)2 [1 + 𝐶 => (𝐵𝑙)2 𝑚 𝑑2 𝑥 =𝑚 𝑑𝑡2 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 𝑑2𝑥 𝑑𝑡 − 𝑚𝑔 = ] 𝑥 ′′ − 𝑔 = 𝑥 ′′ = 𝑔 1+𝐶 (𝐵𝑙)2 𝑚 với điều kiện ban đầu: 𝑥 (0) = 0, 𝑥 ′ (0) = Giả sử 𝑥(𝑡) ≓ 𝑋(𝑝) - Lấy ảnh Laplace hai vế pt trên, ta được: 𝑝2 𝑋 (𝑝) − 𝑝𝑥 (0) − 𝑥 ′ (0) =  𝑋(𝑝) = 𝑔 (𝐵𝑙)2 𝑝 1+𝐶 𝑚 𝑔 1+𝐶 (𝐵𝑙)2 𝑝3 𝑚 Lấy nghịch ảnh 𝑋(𝑝) ta nghiệm pt (3.26): 𝑔 𝑥 (𝑡 ) = 𝑡2 (𝐵𝑙)2 + 2𝐶 𝑚 63 (3.26) Giả sử, đủ dài hiệu điện thế giới hạn tụ điện 𝑈𝑔ℎ Tính khoảng thời gian từ lúc thả đến tụ bị đánh thủng? Tụ điện bị đánh thủng 𝐸𝑐 > 𝑈𝑔ℎ hay 𝐵𝑙𝑣 > 𝑈𝑔ℎ  𝐵𝑙𝑔 1+𝐶 (𝐵𝑙)2 𝑡 > 𝑈𝑔ℎ => 𝑡 > 𝑈𝑔ℎ 𝑚+𝐶(𝐵𝑙)2 𝐵𝑙𝑔𝑚 𝑚 Nhận xét: Vật chuyển động nhanh dần 𝑡 → ∞ với gia tốc không đổi 𝑎= 2𝑔 1+𝐶 (𝐵𝑙)2 𝑚 Thực tế, chuyển động nhanh dần đến lúc 𝑣𝑚𝑎𝑥 với 𝑃 = 𝐹𝑡 chuyển động với vận tốc không đổi Ngồi ra,lực cản mơi trường đáng kể chuyển động nhanh, lực ma sát ray với điện trở mạch làm cho chuyển động chậm dần đến dừng lại hoàn toàn Bài 3: Cho hệ thống khung dây hình vẽ đặt nghiêng góc 𝛼, điện trở 𝑅, MN có chiều dài 𝑙, khối lượng 𝑚, điện trở 𝑟 từ trường 𝐵 Ban đầu, giữ ⃗ 𝐵 ⃗⃗𝐼𝑐 ray,sau thả tử trượt xuống Cho quá trình trượt ln tiếp xúc vng góc với ray Bỏ qua điện trở ray, ma sát khơng đáng kể Tìm pt chuyển động MN theo thời gian? Hình 12: Hệ thống khung-dây MN trượt nghiêng Giải: - Khi chuyển động, xuất hiện suất điện động cảm ứng: 𝐸𝑐 = |− ⃗⃗⃗⃗ ) ⃗ 𝑑𝑠 𝑑(∬ 𝐵 𝑑𝜙 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ⃗ , 𝑛⃗)| = 𝐵𝑙 | = |− | = |−𝐵𝑙 𝐶𝑜𝑠(𝐵 𝐶𝑜𝑠𝛼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 với 𝑑𝑥 quãng đường MN khoảng thời gian 𝑑𝑡 - Ta có cơng thức độ lớn lực từ: ⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗ ) = 𝐼𝑐 𝑙𝐵𝑆𝑖𝑛(𝐵 ⃗ , 𝑣) = 𝐹𝑡 = ∫ 𝐼𝑐 (𝑑𝑙 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑑𝑥 𝐸𝑐 ( ) 𝑙𝐵𝑆𝑖𝑛 90° − 𝛼 = 𝑅+𝑟 𝑅+𝑟 𝑑𝑡 Áp dụng định luật II Newton cho MN, ta có: ⃗ = 𝑚𝑎 𝑃⃗ + ⃗⃗⃗ 𝐹𝑡 + 𝑁 64 - Xét theo phương chuyển động: Vì chiều dịng điện từ N sang M nên áp dụng quy tắc bàn tay trái lực từ chống lại chuyển động thanh, có hướng hình vẽ Hình 13: Phân tích các thành phần lực 𝑃 − 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎 => 𝑚𝑔 −  𝑚  𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 +  𝑥 ′′ + (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑑𝑥 𝑅+𝑟 𝑑𝑡 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑑𝑥 𝑅+𝑟 𝑑𝑡 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑚(𝑅+𝑟) =𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 − 𝑚𝑔 = 𝑥′ − 𝑔 = (3.27) với điều kiện ban đầu: 𝑥 (0) = 0, 𝑥 ′ (0) = Giả sử 𝑥(𝑡) ≓ 𝑋(𝑝) - Lấy ảnh Laplace hai vế pt trên, ta được: 𝑝 𝑋(𝑝) − 𝑝𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) 𝑝2 𝑋(𝑝) +   𝑋 (𝑝 ) = => (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑔 [𝑝𝑋(𝑝) − 𝑥(0)] − = + 𝑚(𝑅 + 𝑟) 𝑝 [𝑝2 + (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑚(𝑅+𝑟) (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑚(𝑅+𝑟) 𝑔 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑝2 [𝑝+ ] 𝑚(𝑅+𝑟) = 𝑝𝑋(𝑝) = 𝑝] 𝑋(𝑝) = 𝐴 𝑝2 𝑔 𝑝 𝑔 𝑝 𝐶 𝐷 𝑝 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑝+ 𝑚(𝑅+𝑟) + + Xét tử số pt trên, ta có: 𝐴 [𝑝 + (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ] + 𝐶𝑝 [𝑝 + ]+𝐷 =𝑔 𝑚 (𝑅 + 𝑟 ) 𝑚 (𝑅 + 𝑟 ) 𝐶 + 𝐷 = (𝑝2 ) => 𝐴+ { (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑚(𝑅+𝑟) (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑚(𝑅+𝑟) 𝐶 = −𝐷 𝐶 = (𝑝)  𝐴=𝑔 𝐴+ { 65 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝐶=0 𝑚(𝑅+𝑟) 𝑚𝑔(𝑅+𝑟) 𝐴 = (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 (3.28) 𝑔(𝑅+𝑟)2 𝑚2 𝐶 = − (𝐵𝑙)4  𝐷= 𝐶𝑜𝑠4 𝛼 𝑔(𝑅+𝑟)2 𝑚2 (𝐵𝑙)4 𝐶𝑜𝑠4 𝛼 𝑚𝑔(𝑅+𝑟) { 𝐴 = (𝐵𝑙)2𝐶𝑜𝑠2 𝛼 Thay 𝐴, 𝐶, 𝐷 vào pt (3.28): => 𝑋(𝑝) = 𝑚𝑔(𝑅+𝑟) [ (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑝2 𝑚(𝑅+𝑟) − (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑝 𝑚(𝑅+𝑟) + (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 ] (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 𝑝+ 𝑚(𝑅+𝑟) Lấy nghịch ảnh 𝑋(𝑝) ta nghiệm pt (3.27): 𝑥 (𝑡 ) = 2 𝑚𝑔(𝑅 + 𝑟) 𝑚 (𝑅 + 𝑟 ) 𝑚(𝑅 + 𝑟) −(𝐵𝑙) 𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑡 𝑚(𝑅+𝑟) [𝑡 − ] + 𝑒 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 Giả sử, ray mặt phẳng nghiêng đủ dài Tính 𝑣𝑚𝑎𝑥 ? Trong quá trình trượt, độ lớn 𝑃 không đổi 𝐹𝑡 tăng dần theo 𝑡 nên đạt 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑃 = 𝐹𝑡 (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑑𝑥 => 𝑚𝑔 = => 𝑣𝑚𝑎𝑥 = (𝐵𝑙)2 𝑅+𝑟 𝑑𝑡  𝑚𝑔 = (𝐵𝑙)2 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑅+𝑟 𝑣𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑔(𝑅+𝑟) 𝐶𝑜𝑠2 𝛼 Nhận xét: Từ kết ta thấy MN sau thả chuyển động nhanh dần đến 𝑣𝑚𝑎𝑥 , sau giảm dần đến lúc dừng lại 66 C KẾT LUẬN Bằng phương pháp biến thiên số phương pháp ảnh Laplace khóa ḷn trình bày cách giải chi tiết các loại phương trình vi phân cấp một, hai khơng nhất; hệ phương trình vi phân Đã so sánh hai phương pháp giải phương trình vi phân biến thiên số phương pháp ảnh Laplace để ưu nhược điểm phương pháp Đã sưu tầm, chọn lọc, biên tập hệ thống hóa các toán vi phân Cơ – Điện – Từ chương trình vật lí phổ thông Vật lí đại cương sử dụng phương pháp ảnh Laplace để giải 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Văn Trực Nguyễn Văn Thỏa (2005) Phương pháp tốn cho Vật lí, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [2] L E ELSGOLS (1979) Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục, Hồ Chí Minh [3] C HENRY EDWARDS & DAVID E PENNEY (Sixth edition) Elementary differential equations, Pearson Education LTD, London 68 Ý KIẾN CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN Nhận xét: (Về chất lượng Khóa luận nếu cần) Ý kiến: Đánh dấu (X) vào ô lựa chọn Đồng ý thông qua báo cáo Không đồng ý thông qua báo cáo ., ngày tháng năm NGƯỜI HƯỚNG DẪN (Ký ghi rõ họ tên) 69 ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA VẬT LÝ PHAN THỊ KIM UYÊN ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN TRONG VẬT LÝ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Vật lý học Khóa học: 2016 - 2020 Người... quan trọng phương pháp ảnh Laplace, quyết định chọn đề tài “Sử dụng phương pháp ảnh Laplace để giải toán Vật lý? ?? Đề tài giúp tơi hồn thiện bồi dưỡng lực tư giải toán mình, tài liệu hữu... thiên số Laplace pt vi phân cấp hai cho kết Tuy nhiên, Phương pháp Laplace ngắn gọn dẫn đến giải toán độ chính xác cao 39 CHƯƠNG III: ÁP DỤNG GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ 3.1 Phần Cơ học Bài 1: Hệ