Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép biến đổi Fourier là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ THÊM ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: Th.S LÊ KHẮC QUYNH HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận được hoàn thành tại khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội 2. Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ThS. Lê Khắc Quynh - người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hình thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết và các bạn sinh viên khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Do lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thêm LỜI CAM ĐOAN Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thêm MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1:PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3 1.1.Định nghĩa phép biến đổi Laplace 3 1.1.1 Định nghĩa 3 1.1.2. Sự tồn tại của biến đổi Laplace 6 1.1.3.Lớp L 8 1.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace 10 1.2.1. Tính chất tuyến tính 10 1.2.2. Tính chất đồng dạng 11 1.2.3. Tính chất dời theo s 12 1.2.4. Tính chất dời theo t 13 1.2.5. Tính chất về đạo hàm của gốc 13 1.2.6. Tính chất đạo hàm của ảnh 15 1.2.7. Tính chất tích phân gốc 16 1.2.8. Tính chất tích phân ảnh 17 1.2.9. Tính chất ảnh của tích chập 18 1.3. Ảnh Laplace 19 1.3.1. Một số khái niệm 19 1.3.2. Định lý (Lerch) 20 1.3.3. Một số phương pháp tìm hàm gốc 20 1.4. Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 26 1.4.1. Đạo hàm của biến đổi Laplace 26 1.4.2. Tích phân của biến đổi Laplace 27 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 29 2.1. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân 29 2.1.1. Biến đổi laplace của đạo hàm 29 2.1.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 30 2.1.3. Phương trình vi phân với điều kiện biên 32 2.1.4. Phương trình vi phân với hệ số đa thức 33 2.2. Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số hệ phương trình vi phân với hệ số là hằng số 37 2.3. Giải phương trình tích phân 43 2.4. Giải phương trình sai phân 43 2.5. Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số 44 2.6. Giải phương trình vi tích phân 47 Bài tập tham khảo 49 ĐÁP ÁN 51 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 Phụ lục 57 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép biến đổi Fourier là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân… Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn. Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán học mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác. Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Lê Khắc Quynh, em đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài toán phương trình, hệ phương trình vi phân” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép biến đổi này cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace. - Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của 2 một số hàm số thông thường. Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết. - Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả. 6. Dự kiến đóng góp mới Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng dụng mới của phép biến đổi Laplace. 3 CHƢƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.1. Định nghĩa phép biến đổi Laplace 1.1.1 Định nghĩa Cho ()ft là hàm số xác định trên nửa khoảng 0; . Nếu tích phân suy rộng 0 () st e f t dt (trong đó s là biến số phức) hội tụ thì nó được gọi là biến đổi Laplace của ()ft và được ký hiệu là ()L f t . Biến đổi Laplace của ()ft là một hàm biến phức, kí hiệu là ()Fs . Công thức đầy đủ là 0 ( ) ( ) ( ) st F s L f t e f t dt . (1.1) Theo công thức trên, biến đổi Laplace của ()ft là một tích phân suy rộng nên biến đổi Laplace của ()ft được viết dưới dạng khai triển như sau: 00 ( ) ( ) ( ) lim ( ) . T st st T F s L f t e f t dt e f t dt (1.2) Cận dưới của tích phân bằng 0 nên ()Fs chỉ mang thông tin về ()ft với 0t . Phép biến đổi Laplace biến mỗi hàm biến thực ()ft thành một hàm biến phức 0 ( ) ( ) ( ) st F s L f t e f t dt . Ví dụ 1. Tìm biến đổi Laplace của hàm hằng 1ft , với mọi 0t Lời giải: 0 00 1 ( ) .1 lim .1 lim lim st s st st ee F s e dt e dt s s s (1.3) 4 Nếu 0s thì tích phân trên sẽ phân kí nên không tồn tại biến đổi Laplace xác định của hàm số đã cho. Nếu s > 0 thì ta nhận được ngay 1 (1)L s , s > 0 Nếu s là biến phức với Re(s) >0 thì tương tự ta cũng có 1 (1)L s . Thật vậy, trước tiên ta sử dụng công thức Euler cos sin , i e i R và 1 i e (1.4) Bây giờ ta cần chứng tỏ st st e e dt s (1.5) Với số phức s = a + ib khác 0 tùy ý, theo công thức Euler ta có: cos sin a ib t st at at e dt e dt e bt dt i e bt dt (1.6) Sử dụng nguyên hàm từng phần ta nhận được: - - 22 - cos(- ) sin(- ) sin(- ) - cos(- ) at st e e dt a bt b bt i a bt b bt ab (1.7) Mặt khác ta cũng có: -( ) 22 [cos(- ) sin(- )]( - ) - - -( ) a ib t st at e e e bt i bt a ib s a ib ab - 22 - cos(- ) sin(- ) sin(- ) - cos(- ) at e a bt b bt i a bt b bt ab Từ đó suy ra đẳng thức (1.5) đã được chứng minh. Hơn nữa, nếu lấy Re(s) > 0 thì ta có: - - - - 1 lim lim . lim lim 0 s a ib a at e e e e e Khi đó ta cũng thu được đẳng thức (1.3). 5 Ví dụ 2. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau sinf t t Lời giải: Theo định nghĩa ta có 00 (sin ) sin lim sin T st st T L t e tdt e tdt Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có - 2 - 2 2 2 0 (cos .sin ) (sin ) lim - 1 1 (cos .sin ) 1 lim 1 1 1 st s e t s t Lt s es s s s với Re(s)> 0. 3. Tìm biến đổi Laplace của hàm sau 01 11 t khi t ft khi t Lời giải: 0 ( ) ( ) st L f t e f t dt 1 1 0 01 1 lim st st st te e e dt s s s 2 1 Re( ) 0 s e s s . Ví dụ 4. Tìm biến đổi Laplace của các hàm ( ) sin , ( ) cos , 0, - 2 f t bt g t bt b b Lời giải: [...]... được vi t dưới dạng f ' (t) L 1(sF (s)) với F (s)=L( f (t)) 29 (2.3) 2.1.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 2.1.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu Phương pháp biến đổi Laplace đối với vi c giải phương trình vi phân có thể tổng quát hóa theo các bước sau: Bƣớc 1 Lấy biến đổi Laplace cả 2 vế của phương trình Các kết quả nhận được gọi là biến đổi phương trình Bƣớc 2 Thu được phương trình. .. trình Bƣớc 2 Thu được phương trình L(y) = F (s) với F (s) là một biểu thức đại số đối với biến s Bƣớc 3 Sử dụng các kết quả của biến đổi Laplace ngược để suy ra nghiệm của phương trình y L 1(F (s)) Ví dụ 24 Giải phương trình vi phân y ''' - y '' - 4 y ' 4 y Với điều kiện đầu y 0 1 y’’ 0 y’ 0 0 Lời giải: Lấy biến đổi laplace cả hai vế của phương trình đã cho ta nhận được L( y ''' ) - L( y '' ) - 4 L( y... 1 -1 1 L 24 s 2 - 2.1.2.2 Nghiệm tổng quát Nếu điều kiện đầu không được xác định cụ thể, thì ta vẫn có thể sử dụng biến đổi Laplace để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Ví dụ 25 Giải phương trình vi phân y '' - 4 y ' 4y 2e 2 t Lời giải: Lấy biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình ta được: L( y '' ) - 4 L( y ' ) 4 L( y ) L(2e 2t ) Hay ta có: s 2 L( y ) - sy (0) - y ' (0) 4 sL( y ) -... ln s -1 với s s 28 1 hoặc s 0 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Laplace đối vớ f f ểu diễ L(f ) L(f ) 2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số phƣơng trình vi phân 2.1.1 Biến đổi laplace của đạo hàm có bậc mũ λ Khi Giả sử f là một hàm liên tục từng khúc trên 0; L( f ' (t)) sL( f (t)) f (0+ ) (2.1) Chứng minh: Với Re s ta có: e-s f ( ) e-s Me Và do f ' (0 ) Me-( s- ) 0, khi... chất của biến đổi Laplace ngược (tính chất tuyến tính) Cho các hàm f k và các hàm ảnh tương ứng Fk s , ck là các hằng số, k =1, 2, …, n Khi đó n L1 F s n L1 ck Fk s (1.19) ck f k t k 1 k 1 Tính chất này được suy ra từ tính chất tuyến tính của L và đẳng thức được xác định trong miền xác đinh chung của các Fk 1.3.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc a) Áp dụng một số tính chất của phép biến đổi Laplace -... 0 s Re s Re s Re 1.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 1.2.1 Tính chất tuyến tính Cho các hàm f k có chỉ số mũ và biến đổi Laplace tương ứng là n k =1, 2, …, n Khi đó biến đổi tuyến tính của hàm f t k và Fk ; ck f k t với ck là k 1 các hằng số được xác định bởi: F ( s) n k 1 ck Fk ( s) (1.9) Chứng minh: Theo định nghĩa và tính chất tuyến tính của tích phân ta có F (s) e- st L f (t ) 0 n k 1... không ? Bởi vì sự thay đổi của một hàm tại một hay một số hữu hạn điểm không làm thay đổi giá trị của tích phân (Riemann) Ví dụ trên cho ta thấy rằng L 1 f s có thể có nhiều hơn một hàm, thậm chí là vô hạn Bây giờ ta sẽ chỉ ra những điều kiện để tồn tại hàm gốc và chứng minh rằng nếu hàm gốc tồn tại là duy nhất 19 1.3.2 Định lý (Lerch) Các hàm xác định liên tục trên 0; có biến đổi Laplace ngược hoàn toàn... với Res > max λk Ví dụ 9 Tìm biến đổi Laplace của hàm Hyperbolic f (t ) sinh at eat - e-at , g (t ) 2 cosh at Lời giải: Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có 10 eat e-at 2 L( f (t )) L( g (t )) eat - e-at L 2 L eat 1 L(eat ) - L(e-at ) 2 e-at 1 L(eat ) 2 2 L(e-at ) 1 1 1 2 s - a s a 1 1 2 s - a 1 s a Ví dụ 10 Tìm biến đổi Laplace của 2t e3t f t sin 4t Lời giải: Ta có: L f t L 2t e3t... Lời giải: Ta có: d ln( s 2 - a 2 ) ds d ln( s - a) ds 1 s-a ln( s a) 1 s a Từ đó suy ra L 1 ( F ( s)) 1 1 - L-1 t s - a 1 s a 1 - (eat t Ví dụ 23 Tìm biến đổi Laplace của hàm f (t ) 27 e-at ) et 1 t - 2cosh at t Lời giải: Ta có: - xt F x t e (e -1)dt 0 e(1- x )t lim (1- x) 0 e- xt x 0 1 1 - x -1 x Khi đó et - 1 L t 1 1 dx s x -1 x ln s -1 với s s 28 1 hoặc s 0 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE. .. 1.2.2 Tính chất đồng dạng Cho hàm f có chỉ số mũ λ, L f F và hằng số c > 0 Khi đó 1 s F , Re s c c L f (ct ) (1.10) Chứng minh: Ta có: e- st f (ct )dt L f (ct ) 0 Đặt u 1 du , t c ct thì du cdt , dt L f ct 1 e c0 us c f u du u c 1 s L , với Re s c c Ví dụ 11 Tìm biến đổi Laplace của hàm sau f t sin bt , b > 0 11 Lời giải: Theo tính chất đồng dạng của biến đổi Laplace ta có: L sin bt 1 s F Do f t b b . phần ta nhận được: - - 22 - cos (- ) sin (- ) sin (- ) - cos (- ) at st e e dt a bt b bt i a bt b bt ab (1.7) Mặt khác ta cũng có: -( ) 22 [cos (- ) sin (- )]( - ) - - -( ) a ib t st at e. a ib ab - 22 - cos (- ) sin (- ) sin (- ) - cos (- ) at e a bt b bt i a bt b bt ab Từ đó suy ra đẳng thức (1.5) đã được chứng minh. Hơn nữa, nếu lấy Re(s) > 0 thì ta có: - - - - 1 lim lim. Hyperbolic - ( ) sinh , ( ) cosh 22 at at at at e e e e f t at g t at Lời giải: Theo tính chất tuyến tính của biến đổi Laplace ta có 11 - - - 1 1 1 1 ( ( )) ( ) - ( ) - 2 2 2 - at at at