Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài toán phương trình, hệ phương trình vi phân

Phép biến đổi Laplace là một trong các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng trong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng. Nó cùng với phép biến đổi Fourier là những phép biến đổi hữu ích thường được sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân…

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận được hoàn thành tại khoa Vật lý, Trường ĐHSP Hà Nội 2 Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới ThS Lê Khắc Quynh - người thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và hình thành khóa luận này Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, các thầy giáo, cô giáo trong khoa, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết và các bạn sinh viên khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

Do lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

Trần Thị Thêm

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng với bất kì đề tài nào khác Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực

Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Thêm

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1:PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 3

1.1.Định nghĩa phép biến đổi Laplace 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Laplace 6

1.1.3.Lớp L 8

1.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 10

1.2.1 Tính chất tuyến tính 10

1.2.2 Tính chất đồng dạng 11

1.2.3 Tính chất dời theo s 12

1.2.4 Tính chất dời theo t 13

1.2.5 Tính chất về đạo hàm của gốc 13

1.2.6 Tính chất đạo hàm của ảnh 15

1.2.7 Tính chất tích phân gốc 16

1.2.8 Tính chất tích phân ảnh 17

1.2.9 Tính chất ảnh của tích chập 18

1.3 Ảnh Laplace 19

1.3.1 Một số khái niệm 19

1.3.2 Định lý (Lerch) 20

1.3.3 Một số phương pháp tìm hàm gốc 20

1.4 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace 26

1.4.1 Đạo hàm của biến đổi Laplace 26

1.4.2 Tích phân của biến đổi Laplace 27

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 29

2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số

phương trình vi phân 29

2.1.1 Biến đổi laplace của đạo hàm 29

2.1.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số 30

2.1.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên 32

2.1.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức 33

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số hệ phương trình vi phân với hệ số là hằng số 37

2.3 Giải phương trình tích phân 43

2.4 Giải phương trình sai phân 43

2.5 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số 44

2.6 Giải phương trình vi tích phân 47

Bài tập tham khảo 49

ĐÁP ÁN 51

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

Phụ lục 57

sử dụng trong việc giải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân… Nghiên cứu cơ sở của phép biến đổi này người ta có thể biết được cơ sở của phép tính toán tử để đưa các dạng phương trình trên về dạng đơn giản hơn Trong vật lý, phép biến đổi Laplace được dùng để giải các bài toán về phân tích mạch điện, xử lý số liệu, dao động điều hoà, các hệ cơ học

Như vậy phép biến đổi Laplace không chỉ có ý nghĩa trong lý thuyết toán học mà nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác

Trên cơ sở đó và dưới sự hướng dẫn của Thạc sĩ Lê Khắc Quynh, em đã lựa

chọn đề tài “Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài toán

phương trình, hệ phương trình vi phân” nhằm nghiên cứu sâu hơn về phép

biến đổi này cũng như một số ứng dụng của nó trong thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản của phép biến đổi Laplace

- Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số dạng toán liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và một số ứng dụng của nó

4 Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu phép biến đổi Laplace và một vài ứng dụng của nó trên cơ sở thao tác đối với hàm một biến và một số lượng nhỏ các hàm hai biến để tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của

2

một số hàm số thông thường Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết

- Phân tích đánh giá, tổng hợp kết quả

6 Dự kiến đóng góp mới

Hiểu rõ bản chất của phép biến đổi Laplace và tìm được một vài ứng dụng mới của phép biến đổi Laplace

Từ đó suy ra đẳng thức (1.5) đã được chứng minh

Hơn nữa, nếu lấy Re(s) > 0 thì ta có:

(cos sin )(sin ) lim -

2 2

0

2 2

0

lim sin - .cos

1.1.2 Sự tồn tại của biến đổi Laplace

1.1.2.1 Đòi hỏi tính liên tục

Định nghĩa: Một hàm f được gọi là gián đoạn nhảy(gián đoạn loại một) tại điểm t nếu cả hai giới hạn sau tồn tại và hữu hạn 0

7

Ví dụ 6

2

2 khi 0( )

t t có điểm gián đoạn tại t 1và t 2

nhưng không là điểm gián đoạn nhảy tại đó vì:

Định nghĩa: Một hàm f được gọi là liên tục từng khúc trên đoạn

0; nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây

Cho các hàm f có chỉ số mũ và biến đổi Laplace tương ứng là k kvà F ; k

k =1, 2, …, n Khi đó biến đổi tuyến tính của hàm

1

n

k k k

f t c f t với ck là các hằng số được xác định bởi:

với Res > max λk

Ví dụ 9 Tìm biến đổi Laplace của hàm Hyperbolic

Điều này nghĩa là (1.13) đúng với n 1

Giả sử (1.12) đúng với n N * Khi đó

N N

N N

Điều này chứng tỏ (1.12) đúng với n N 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học, (1.12) đúng với n *

Ví dụ 13 Tìm biến đổi Laplace của f t( ) tsinat và 2

s Chứng minh:

Định lý: Giả sử L f t( ) F s L g t( ), ( ) G s , ( ) f t( ) và g t( ) là các hàm liên tục từng khúc trên một khoảng hữu hạn của Nếu ta xem f t( ) và

Ở đây D là góc phần tư thứ nhất trên mặt phẳng toạ độ Thực hiện phép

đổi biến t 1 2, 2 thì miền D đổi thành miền D 1 bao bởi trục thực dương và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Khi đó ta có:

F s G s( ) ( )

1

st D

0 0

t st

L g* ( )f t L f * ( )g t

1.3 Ảnh Laplace

1.3.1 Một số khái niệm

Định nghĩa: Nếu L f t F s thì biến đổi Laplace ngược được định

nghĩa bởi tích phân sau

1

(1.18)Hàm f t được gọi là hàm gốc

- Theo tính chất đồng dạng

21

Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng F s

c (hoặc F cs( )), ta chỉ cần tìm hàm gốc của hàm F(s)là hàm f(t) Khi đó

- Theo tính chất chuyển dời theo s của biến đổi Laplace

Muốn tìm hàm gốc của hàm có dạng F s( - )a ta chỉ việc tìm hàm gốc của hàm F s( )là hàm f t( ) Khi đó ta sẽ có L-1 F s( - )a e f t at ( )

L F s a e f t

Chẳng hạn hãy tìm hàm gốc của hàm

3 29

23

Từ đó ta suy ra:

-1 ( )-

Giả sử hàm ảnh của biến đổi Laplace có thể khai triển chuỗi lũy thừa theo s

1 2 2

24

0

! ( )L t n e st n.t dt n n

F s

Lời giải:

B C

1.4 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace

1.4.1 Đạo hàm của biến đổi Laplace

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên [0, ∞) có bậc mũ λ và

Đạo hàm lặp lại liên tiếp cho ta công thức trên

1.4.2 Tích phân của biến đổi Laplace

Cho f là một hàm liên tục từng khúc trên [0,∞) có bậc mũ λ và

( (t)) = (s)

L f F Khi đó nếu tồn tại +

t 0

(t)limt

f

thì

( )( )

f t

t

28

Lời giải:

Ta có:

(1- ) -

29

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

2.1 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân

2.1.1 Biến đổi laplace của đạo hàm

Giả sử f là một hàm liên tục từng khúc trên 0; có bậc mũ λ Khi

Mặt khác nếu f liên tục tại t 0 thì f(0 ) f(0) Khi đó công thức trên trở thành

'( (t)) = s ( ( )) (0)

30

2.1.2 Phương trình vi phân với hệ số hằng số

2.1.2.1 Phương trình vi phân với điều kiện đầu

Phương pháp biến đổi Laplace đối với việc giải phương trình vi phân có thể tổng quát hóa theo các bước sau:

Bước 1 Lấy biến đổi Laplace cả 2 vế của phương trình Các kết quả

nhận được gọi là biến đổi phương trình

Bước 2 Thu được phương trình (y) = (s)L F với (s)F là một biểu thức đại

số đối với biến s

Bước 3 Sử dụng các kết quả của biến đổi Laplace ngược để suy ra

nghiệm của phương trình y L 1( ( ))F s

Ví dụ 24 Giải phương trình vi phân

( -1)( - 2)( 2)

L y

Sử dụng đồng nhất thức ta nhận được

2.1.3 Phương trình vi phân với điều kiện biên

Bài toán giải phương trình vi phân với giái trị biên cũng tuân theo phương pháp giải của biến đổi Laplace

Ví dụ 26 Giải phương trình vi phân

Từ đó ta nhận được:

2 2

2.1.4 Phương trình vi phân với hệ số đa thức

Theo định lý (1.4.1), nếu hàm y(t) liên tục từng khúc trên [0,∞), có bậc

mũ λ thì

n

n n n

Hay là:

5 2

s

Do F(s) 0 khi s nên chúng ta phải có C 0.

Khi đó ta nhận được nghiệm của phương trình là

3

16

y(t) = e h là nghiệm của phương trình này nhưng chúng ta cũng

đã biết hàm này không có biến đổi Laplace Vậy điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta

sử dụng biến đổi Laplace để gải phương trình này

Ngoài ra chúng ta cũng chú ý thêm rằng, trong trường hợp phương trình vi phân có một điểm kì dị chính quy, một trong những nghiệm có thể kiểu như hàm logt khi t 0 thì biến đổi Laplace của đạo hàm không tồn tại và khi đó, phương pháp biến đổi Laplace có thể cho ta nghiệm bị chặn tại gốc

Ví dụ 28 Tìm dòng điện trong mạch hình (2.1) nếu đóng ngắt điện tại thời

điểm 0 t I 0 0 và điện tích ban đầu ở trên tụ điện là Q 0

Một cách chặt chẽ ta phải viết E h t trong đó h t là hàm bậc thang, 0

nhưng khi lấy các ảnh Laplace ta luôn giả thiết rằng tất cả đều triệt tiêu khi 0

2 21

Q E c

i p

Trong đó

2 2

1,

c

I t

Cho hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, vi phân cao nhất có cấp là n và có m phương trình là hệ có dạng

Bước 3: Làm phép biến đổi Laplace ngược nghiệm vừa tìm ta được

nghiệm của hệ phương trình vi phân

Ví dụ 29 Giải hệ phương trình vi phân:

Ví dụ 31 Cho mạch điện (RLC ) mắc nối tiếp như trong hình (2.3) Hiệu điện

thế hai dầu cuộn cảm, điện trở và tụ điện lần lượt là L dI

Do đoạn mạch mắc nối tiếp nên hiệu điện thế hai đầu mạch điện bằng

tổng các hiệu điện thế thành phần vì vậy ta có

mạch diện trên, ta sẽ có một số bài toán cơ bản sau:

Ví dụ 32 Giả sử I là dòng điện thoả mãn L dI RI E0sin t)

Ví dụ 33 Giả sử Ilà dòng điện trong mạch điện gồm cuộn cảm Lvà tụ điện

C mắc nối tiếp, E là hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch thoả mãn

42

Phương trình dạng

0( ) ( ) ( , ) ( )

t

f t g t k t f d và

0( ) ( , ) ( )

Ví dụ 35 Một hạt trượt không ma sát quanh một đường cong với điều kiện

khoảng thời gian mà vật rơi xuống do trọng lực là độc lập với điểm rơi (Ta gọi đường cong đó là đường đẳng thời) Khi đó vị trí của vật được cho bởi

g y u , trong đó T là hằng số thời 0

gian, g là trọng lực và f u( )được cho bởi ds

dy tại y u với s s y( ) là độ dài

của đường cong Nhận thấy phương trình tích phân trên là tích chập của hàm

0

2 ( )

T g s

2

c x c y

2.4 Giải phương trình sai phân

Ví dụ 36 Giải phương trình

2.5 Giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số bằng số

Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp không quá hai có hệ số bằng số

45

0

U x s L u x t e u x t dt

Ở đây x được gọi là biến không thay đổi

Với định nghĩa trên, ta thừa nhận một số tính chất sau

nghĩa là biến đổi Laplace của đạo hàm bằng đạo hàm của biến đổi)

Trong công thức trên, để thuận lợi ta viết U x s( , ) d U x s( , ) dU

46

Vậy nghiệm của bài toán là u x t( , ) x t

Bài tập trên đây minh hoạ cho các kỹ thuật cơ bản việc sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên để các dạng bài tập được phong phú ta sẽ thừa nhận một số kết quả sau

2.6 Giải phương trình vi tích phân

Ví dụ 39 Tìm nghiệm của bài toán sau

49

Bài tập tham khảo Bài 1 Giải phương trình

1''

với điều kiện y 0 y' 0 0

Bài 2 Giải phương trình sóng một chiều

ch t thỏa mãn điều kiện y 0 0, ’ 0 0y

Bài 6 Hãy tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

với điều kiện ban đầu x(0)=y(0)=0

Bài 7 Giải hệ phương trình vi phân

2x 1 dy 4 x 1 dy 8y 0

51

ĐÁP ÁN Bài 1

Đầu tiên ta phải giải bài toán Cauchy

52

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.34) là:

2 2

u x t U x p lấy ảnh theo t cả hai vế của phương trình

(2.31) ta thu được phương trình

53

Do đó , 2 2

px sh

sin

x

t a

l a

0 0

11

55

KẾT LUẬN

Với mục đích nghiên cứu đặt ra từ ban đầu, qua quá trình nghiên cứu và

hoàn thiện khóa luận “Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số bài

toán phương trình, hệ phương trình vi phân” đã đạt được một số kết quả thể

hiện trong chính nội dung của nó như sau:

Chương 1: Xây dựng lý thuyết cơ bản của phép biến đổi Laplace (Định nghĩa và các tính chất), trên cơ sở đó đề cập đến biến đổi Laplace ngược và mối liên hệ giữa hai loại biến đổi trên

Chương 2: Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace như:

- Tìm biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược của một số hàm số

- Sử dụng biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân với hệ

số bằng số, phương trình tích phân, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân, một số bài toán trong Vật lý

Mặc dù biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng như vậy song do thời gian

và điều kiện bản thân nên tôi chưa nghiên cứu được đầy đủ về phép biến đổi này Tôi hy vọng khóa luận sẽ được tiếp tục nghiên cứu ở mức độ lý thuyết cao hơn và các ứng dụng sâu sắc hơn, có ý nghĩa thực tế hơn

56

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[A] TÀI LIỆU TIẾNG VIỆT

[1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân

(2001), Biến đổi tích phân, Nhà xuất bản Giáo dục, Thành phố Hồ Chí Minh [2] Đậu Thế Cấp (2003), Bài tập hàm biến phức, Nhà xuất bản Giáo dục,

Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội

[8] Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa (2008), Phương pháp toán cho Vật lý,

tập 2, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà Nội

[B] TÀI LIỆU TIẾNG ANH

[9] Joel L Schiff (1988), The Laplace - Transform Theory and Application,

Springer - Verlag, NewYork

f t t

, ( 0)

s

-1( )

a

1

, ( )( - )( - )s a s b a b

bt at

1 - 2 1 - 2

( )( ) 2

( )( ) 2

-a s

e

s s

sin 2 at t

a t

e t

2

a t

a e t