THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ. Để tìm các định luật ngƣời ta đưa ra các thống kê lượng tử. Từ việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất của hệ lượng tử.

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ  PHẠM THỊ HÀ THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S LÊ KHẮC QUYNH H Ni, 2014 LỜI CẢM ƠN Qua thời gian thực hiện đề tài tôi đã bƣớc đầu hiểu và làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, đã hiểu đƣợc một số vấn đề cơ bản của vật lý thống kê và áp dụng giải đƣợc một số bài toán. Mặc dù đã rất cố gắng nhƣng chắc rằng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô và các bạn đọc về mọi ý kiến đóng góp để cuốn khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn. Trong thời gian thực hiện đề tài tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong khoa Vật lý và các bạn bè của tôi và đặc biệt là thầy giáo Th.S Lê Khắc Quynh đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Hà LỜI CAM ĐOAN Khóa luận đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH Khóa luận là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác. Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị H MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 2 3. Đối tƣợng nghiên cứu 2 4. Phƣơng pháp nghiên cứu 2 5. Cấu trúc khóa luận 2 NỘI DUNG 3 CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 3 1.1. Áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử 3 1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử 5 1.3. Thống kê Bose - Einstein 12 1.4. Thống kê Fecmi - Đirac 13 1.5. Thống kê Maxweell - Boltzmann 13 1.6. So sánh các phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein và Fecmi - Đirac. 14 CHƢƠNG 2 ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU 17 HỆ LƢỢNG TỬ 17 2.1. Dao động tử lƣợng tử 17 2.1.1. Phổ năng lượng của dao động tử 17 2.1.2. Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử 17 2.2. Hệ rotato lƣợng tử 19 2.2.1. Phổ năng lượng của rotato 19 2.2.2. Tổng trạng thái và nội năng của rotato 20 2.3. Nhiệt dung của các chất khí các nhiệt độ đặc trƣng 22 2.3.1. Nhiệt dung gắn với chuyển động tịnh tiến. 22 2.3.2. Nhiệt dung gắn với chuyển động quay: 23 2.4. Nhiệt dung của vật rắn 25 2.4.1. Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Einstein 25 2.4.2. Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Debye 26 2.5. Áp dụng thống kê Bose - Einsten để nghiên cứu hệ lƣợng tử 29 2.5.1. Nghiên cứu về pha ngưng tụ và sự ngưng tụ Bozơ 29 2.5.2 Một số tính chất khác của khí Bozơ 32 2.6. Lý thuyết bức xạ cân bằng xem nhƣ khí photon 33 2.7. Áp dụng thống kê Fecmi - Dirac để nghiên cứu hệ lƣợng tử 36 2.8. Khí electron và tính chất từ của nó 38 2.8.1. Khí electron 38 2.8.2. Tính chất từ của khí electron. 40 CHƢƠNG 3 ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 43 Dạng toán: Các thống kê lƣợng tử 43 Dạng toán: Tìm các hàm phân bố lƣợng tử 48 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và lý thuyết trƣờng lƣợng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và tính chất của nó. Cùng với sự phát triển của lịch sử loài ngƣời vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt đƣợc nhiều thành tựu quan trọng. Từ cơ học cổ điển của Niuton đến thuyết trƣờng từ điện của Macxoen và Faraday, ngày nay vật lý học hiện đại với khuynh hƣớng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phƣơng pháp thống kê. Khi khảo sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ. Để tìm các định luật ngƣời ta đƣa ra các thống kê lƣợng tử. Từ việc tìm hiểu các thống kê lƣợng tử ngƣời ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất của hệ lƣợng tử. Trên cơ sở đó, tôi lựa chọn đề tài “ Thống kê lượng tử v áp dụng để giải mt số bi toán” để nghiên cứu sâu hơn về tính chất của hệ nhiều hạt. 2 2. Mục đích nghiên cứu - Các thống kê lƣợng tử. - Tính chất của hệ lƣợng tử. - Bài toán có liên quan. 3. Đối tƣợng nghiên cứu - Các thống kê lƣợng tử theo phƣơng pháp Gipxo. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý thuyết. - Vật lý lý thuyết. 5. Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG Chƣơng 1: Các thống kê lƣợng tử Chƣơng 2 : Áp dụng thống kê lƣợng tử vào hệ lƣợng tử Chƣơng 3. Áp dụng giải một số bài tập 3 NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ 1.1. Áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử Trƣớc khi nghiên cứu việc áp dụng các phƣơng pháp thống kê vào hệ lƣợng tử ta xét xem: Các hệ lƣợng tử đƣợc mô tả nhƣ nào? Để mô tả các đại lƣợng vật lý khác nhau và các mối liên hệ giữa chúng , trong cơ học lƣợng tử ngƣời ta dùng các toán tử tuyến tính tự liên hợp ˆ L tác dụng lên một hàm  nào đó gọi là hàm sóng. Toán tử biểu diễn một đại lƣợng nhất định nào đó sẽ chỉ cho ta biết, tác dụng nào cần phải tiến hành trên hàm sóng. VD: Toán tử tọa độ  X chỉ rõ hàm sóng đƣợc nhân một cách đơn giản với tọa độ  Xx   Toán tử hình chiếu xung lƣợng  x pi x       chỉ rõ cần phải lấy vi phân hàm sóng theo x. Trong cơ học lƣợng tử toán tử  H tƣơng ứng với năng lƣợng toàn phần của hệ      2 2 2 2 2 2 2 2 H T U U x m x y z                 Trong cơ học lƣợng tử để diễn tả trạng thái của hệ vật lý ngƣời ta dùng phƣơng trình Schrodinger :  iH t       4 Đối với trạng thái dừng phƣơng trình Schrodinger đƣợc viết dƣới dạng sau:  nn HE   Mỗi giá trị riêng E n của năng lƣợng tƣơng ứng với một hay nhiều trạng thái xác định của hệ, diễn tả bằng một hay nhiều hàm riêng. Nếu một mức năng lƣợng tƣơng ứng với nhiều hàm riêng thì những mức năng lƣợng nhƣ vậy gọi là suy biến, khi đó trạng thái ứng với năng lƣợng E đã cho gọi là độ suy biến hay trọng thống kê g(E). Hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc hoặc chỉ vào các tọa độ.   12 , , , N q q q  hoặc chỉ phụ thuộc vào các xung lƣợng   12 , , , N p p p  Nếu hàm sóng   12 , , , N q q q  thỏa mãn phƣơng trình Schodinger thì hàm sóng   21 , , , N q q q  trong đó thứ tự các hạt đã thay đổi, cũng sẽ thỏa mãn phƣơng trình đó, đặc tính đó phản ánh khi tọa độ riêng lẻ đổi chỗ cho nhau ta cũng không thấy xuất hiện một hiện tƣợng nào mới. Tuy nhiên khi các hạt hoán vị hai hạt thì đƣợc gọi là hàm đối xứng. Tính đối xứng của hàm sóng của một hệ lƣợng tử phụ thuộc vào spin của hạt cấu thành hệ đó. Nếu các hạt cấu thành hệ có spin nguyên thì trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng hàm sóng đối xứng. Nếu hạt cấu thành hệ có spin bán nguyên thì trạng thái của hệ đƣợc diễn tả bằng các hàm sóng phản đối xứng. Tính đối xứng của hàm sóng xác định các trạng thái khả hữu của hệ, dẫn tới hai loại thống kê lƣợng tử: Thống kê Fecmi - Dirac, thống kê Bose - Einstein. 5 Các hạt có spin bán nguyên tuân theo nguyên lí Pauli, trong hệ không thể có hai hạt nằm trong cùng một trạng thái lƣợng tử. Nhiệm vụ của vật lý thống kê lƣợng tử là nghiên cứu các tính chất của các hệ nhiều hạt mô tả bằng phƣơng pháp cơ học lƣợng tử.cũng nhƣ trong trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển,trạng thái vi mô của hệ lƣợng tử thực tế vẫn còn chƣa biết với chúng ta. Phƣơng trình Srodingo chỉ cho phép ta tìm đƣợc phổ các trạng thái khả hữu của hệ. Còn chúng ta không thể trả lời câu hỏi: ở thời điểm đã cho, hệ lƣợng tử nằm trong trạng thái nào? Cũng nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, để trả lời câu hỏi đó ta phải xét một tập hợp các trạng thái vi mô khác nhau tƣơng thích với những điều kiện bên ngoài nhất định (tập hợp thống kê lƣợng tử). Sau đó, dựa vào các trạng thái khả hữu đó của hệ và bằng phƣơng pháp thống kê, ta có thể xác định đƣợc xác suất của trạng thái, và do đó, xác định đƣợc trị trung bình của các thông số trạng thái của các thông số vi mô khác nhau của hệ. Nói khác đi, khi khảo sát các hệ lƣợng tử cũng nhƣ khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẻ. Để tìm các định luật phân bố thống kê lƣợng tử, ngƣời ta có thể dùng phƣơng pháp: phƣơng pháp Gipxo. 1.2. Phân bố chính tắc lƣợng tử Phƣơng pháp Gipxo mà ta xét trong vật lý thống kê cổ điển về cơ bản vẫn có thể áp dụng để nghiên cứu các hệ lƣợng tử, tuy nhiên, do đó các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lƣợng tử, nên khi áp dụng phƣơng pháp đó ta cần có những thay đổi thích hợp. Lập luận giống nhƣ trong trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển, ta tìm thấy rằng, đối với hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lƣợng E k là exp k k E W        (1.1) [...]... thì đối với một hệ lƣợng tử bất kì, ta có thể vận dụng phân bố Maxweell - Boltzmann Còn trong trƣờng hợp ngƣợc lại thì có thể tự xảy ra suy biến và ta không thể áp dụng phân bố Maxweell - Boltzmann Điều kiện (1.29) đƣợc gọi là tiêu chuẩn suy biến 16 CHƢƠNG 2 ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƢỢNG TỬ NGHIÊN CỨU HỆ LƢỢNG TỬ 2.1 Dao động tử lƣợng tử 2.1.1 Phổ năng lượng của dao động tử Năng lƣợng của dao động tử điều hòa... điển, một trạng thái vĩ mô nhất định của hệ lƣợng tử tƣơng ứng với một tập hợp các trạng thái vi mô k và xác suất để cho hệ cùng nằm trong một trạng thái vi mô k nào đó sẽ bằng Wk mà ta phải tìm Và cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp cổ điển, tập hợp thống kê lƣợng tử là tập hợp các hệ tƣợng tự nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Vì vậy, một tập hợp thống kê lƣợng tử đƣợc mô tả bằng một tập... thu đƣợc tập hợp thống kê lƣợng tử cân bằng từ điều kiện ˆ  0 t ˆ Hay là theo (11), từ điều kiện  H ,    0 ˆ ˆ Khi đó toán tử mật độ  giao hoán với các toán tử H và do đó ma trận ˆ ˆ mật độ là tích phân chuyển động Hơn nữa  và H có hàm riêng chung Vì vậy trong trƣờng hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dƣới dạng ˆ (6) trong đó k (q) là hàm riêng của toán tử H và đƣợc xác định... phƣơng trình toán tử 7 (10) ˆ  ˆ   H ,   t (11) ˆ Trong đó  H ,   là dấu móc Poatxông lƣợng tử Phƣơng trình (11) là tƣơng tự lƣợng tử của phƣơng trình chuyển động cổ điển của tập hợp pha Cũng giống nhƣ trong trƣờng hợp vật lý thống kê cổ điển phƣơng trình (11) là cơ sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong khuôn khổ của vật lý thống kê lƣợng tử Cũng nhƣ trong vật lý thống kê cổ điển... 2 IkT và công thức E  kT 2 2 h T Nội năng của chuyển động quay là: U q  E  kT 2 Nhiệt dung  ln Z q T N o  kTN o U    No k  R  T V C q=   23 2.3.3 Nhiệt dung gắn với chuyển động dao động Để tìm nhiệt dung gắn với chuyển động dao động, ta hãy coi mỗi một phân tử nhƣ một dao động tử lƣợng tử và cho rằng tất cả các phân tử của chất khí dao động với cùng một tần số  Nội năng của một mol... trung bình và nhiệt dung ứng với một dao động tử Đối với một dao động tử biết tổng trạng thái Zdđ ta có thể tìm đƣợc các hàm nhiệt động của một hệ N dao động tử không tƣơng tác Năng lƣợng trung bình của một hệ N dao động tử sẽ là nội năng của hệ Nội năng U  N E  ( h  2 h )N  h  exp    1  kT  2.2 Hệ rotato lƣợng tử 2.2.1 Phổ năng lượng của rotato Rotato là một chất điểm quay theo đƣờng tròn,... trung bình pha trong vật lý thống kê cổ điển, nếu ta đƣa vào các phần tử ma trận của các toán tử Khi đó ta có 6 L   L(q, q)  (q, q)dq.dq (5) q q  Ở đây là phần tử ma trận của toán tử L còn (q, q’) chính là ma trận mật độ đƣợc định nghĩa nhƣ sau  (q, q)  Wk k  (q) k (q) (6) k ˆ Ma trận mật độ chính là phần tử ma trận của toán tử mật độ  định nghĩa nhƣ sau * ˆ  k (q)    (q, q)... i thì xác suất để một hạt bất kì của hệ hạt không tƣơng tác nằm trên mức năng lƣợng  i sẽ bằng    exp  i   kT  Wi  g ( i )  Z Đây là công thức của thống kê Maxweell – Boltzmann lƣợng tử Khảo sát hệ các hạt không tƣơng tác Gọi l và nl là năng lƣợng một hạt và số hạt có cùng năng lƣợng ở trạng thái l Ta có:  Ek   nl el (1.4) l 0 Độ suy biến gk sẽ đƣợc tìm bằng cách tìm số các trạng thái...   1  kT  (1.27) - Thống kê Fecmi - Đirac f F    14 Ở đây g    là trọng số thống kê hay độ suy biến của các trạng thái lƣợng tử có năng lƣợng khác nhau Tuy nhiên, từ các công thức kể trên, ta thấy rằng: khi thỏa mãn điều kiện     exp    1 hay     kT kT   (1.28)    exp    1  kT  hay thì thống kê Bose - Einstein, Fecmi - Đirac chuyển thành thống kê Maxweell Boltzman,... các trạng thái không suy biến khác nhau với số lƣợng tử n bất kì Tổng trạng thái với dao động tử là: 17   E   h    h  Z dd   exp  n   exp   exp  n   kT   kT  n0  kT  n 0 Vế phải của biểu thức trên có chứa một cấp số nhân vô hạn giảm dần  h  mẫu số là q  exp   và số hạng đầu tiên là a = 1.Theo công thức của  kT  tổng cấp số nhân lùi vô hạn giảm dần S  a ta đƣợc: