THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ VÀ ÁP DỤNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

Khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ. Để tìm các định luật ngƣời ta đưa ra các thống kê lượng tử. Từ việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất của hệ lượng tử.

Trong thời gian thực hiện đề tài tôi xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trong khoa Vật lý và các bạn bè của tôi và đặc biệt là thầy

giáo Th.S Lê Khắc Quynh đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Phạm Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn

tận tình của Th.S LÊ KHẮC QUYNH

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của tôi, không trùng với bất kì đề tài nào khác Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực

Tôi xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Phạm Thị Hà

MỤC LỤC Trang

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1: CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ 3

1.1 Áp dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 3

1.2 Phân bố chính tắc lượng tử 5

1.3 Thống kê Bose - Einstein 12

1.4 Thống kê Fecmi - Đirac 13

1.5 Thống kê Maxweell - Boltzmann 13

1.6 So sánh các phân bố Maxwell - Bonltzmann, Bose - Einstein và Fecmi - Đirac 14

CHƯƠNG 2 ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ NGHIÊN CỨU 17

HỆ LƯỢNG TỬ 17

2.1 Dao động tử lượng tử 17

2.1.1 Phổ năng lượng của dao động tử 17

2.1.2 Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử 17

2.2 Hệ rotato lượng tử 19

2.2.1 Phổ năng lượng của rotato 19

2.2.2 Tổng trạng thái và nội năng của rotato 20

2.3 Nhiệt dung của các chất khí các nhiệt độ đặc trưng 22

2.3.1 Nhiệt dung gắn với chuyển động tịnh tiến 22

2.3.2 Nhiệt dung gắn với chuyển động quay: 23

2.4 Nhiệt dung của vật rắn 25

2.4.1 Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Einstein 25

2.4.2 Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Debye 26

2.5 Áp dụng thống kê Bose - Einsten để nghiên cứu hệ lượng tử 29

2.5.1 Nghiên cứu về pha ngưng tụ và sự ngưng tụ Bozơ 29

2.5.2 Một số tính chất khác của khí Bozơ 32

2.6 Lý thuyết bức xạ cân bằng xem như khí photon 33

2.7 Áp dụng thống kê Fecmi - Dirac để nghiên cứu hệ lượng tử 36

2.8 Khí electron và tính chất từ của nó 38

2.8.1 Khí electron 38

2.8.2 Tính chất từ của khí electron 40

CHƯƠNG 3 ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 43

Dạng toán: Các thống kê lượng tử 43

Dạng toán: Tìm các hàm phân bố lượng tử 48

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lý vi mô nói chung và lý thuyết trường lượng tử nói riêng đã tạo nên cơ sở của thế giới quan vật lý để

lý giải bản chất của các hạt vi mô về mặt cấu trúc và tính chất của nó

Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người vật lý học cũng đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng Từ cơ học

cổ điển của Niuton đến thuyết trường từ điện của Macxoen và Faraday, ngày nay vật lý học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất ta thấy rằng ngoài các quy luật tìm thấy trong vật lý cổ điển ở đây xuất hiện các quy luật mới là quy luật thống kê Vật lý thống kê là một bộ phận của vật lý hiện đại nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê

Khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng rẽ Để tìm các định luật người ta đưa ra các thống kê lượng tử

Từ việc tìm hiểu các thống kê lượng tử người ta áp dụng chúng để nghiên cứu tính chất của hệ lượng tử

Trên cơ sở đó, tôi lựa chọn đề tài “ Thống kê lượng tử và áp dụng để

giải một số bài toán” để nghiên cứu sâu hơn về tính chất của hệ nhiều hạt

2 Mục đích nghiên cứu

- Các thống kê lượng tử

- Tính chất của hệ lượng tử

- Bài toán có liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các thống kê lượng tử theo phương pháp Gipxo

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết

NỘI DUNG CHƯƠNG 1:

CÁC THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ

1.1 Áp dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử

Trước khi nghiên cứu việc áp dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử ta xét xem: Các hệ lượng tử được mô tả như nào?

Để mô tả các đại lượng vật lý khác nhau và các mối liên hệ giữa chúng ,

trong cơ học lượng tử người ta dùng các toán tử tuyến tính tự liên hợp ˆL tác

dụng lên một hàm  nào đó gọi là hàm sóng Toán tử biểu diễn một đại lượng nhất định nào đó sẽ chỉ cho ta biết, tác dụng nào cần phải tiến hành trên hàm sóng

VD: Toán tử tọa độ X chỉ rõ hàm sóng được nhân một cách đơn giản với

Trong cơ học lượng tử toán tử H tương ứng với năng lượng toàn phần

Đối với trạng thái dừng phương trình Schrodinger được viết dưới dạng sau:

Hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc hoặc chỉ vào các tọa độ

q q1, 2, ,q N



hoặc chỉ phụ thuộc vào các xung lượng p p1, 2, ,p N

Nếu hàm sóng q q1, 2, ,q Nthỏa mãn phương trình Schodinger thì hàm sóng q q2, , ,1 q Ntrong đó thứ tự các hạt đã thay đổi, cũng sẽ thỏa mãn phương trình đó, đặc tính đó phản ánh khi tọa độ riêng lẻ đổi chỗ cho nhau ta cũng không thấy xuất hiện một hiện tượng nào mới Tuy nhiên khi các hạt hoán vị hai hạt thì được gọi là hàm đối xứng

Tính đối xứng của hàm sóng của một hệ lượng tử phụ thuộc vào spin của hạt cấu thành hệ đó Nếu các hạt cấu thành hệ có spin nguyên thì trạng thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng

Nếu hạt cấu thành hệ có spin bán nguyên thì trạng thái của hệ được diễn

tả bằng các hàm sóng phản đối xứng

Tính đối xứng của hàm sóng xác định các trạng thái khả hữu của hệ, dẫn tới hai loại thống kê lượng tử: Thống kê Fecmi - Dirac, thống kê Bose - Einstein

Các hạt có spin bán nguyên tuân theo nguyên lí Pauli, trong hệ không thể

có hai hạt nằm trong cùng một trạng thái lượng tử

Nhiệm vụ của vật lý thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của các hệ nhiều hạt mô tả bằng phương pháp cơ học lượng tử.cũng như trong trường hợp vật lý thống kê cổ điển,trạng thái vi mô của hệ lượng tử thực tế vẫn còn chưa biết với chúng ta Phương trình Srodingo chỉ cho phép ta tìm được phổ các trạng thái khả hữu của hệ Còn chúng ta không thể trả lời câu hỏi: ở thời điểm đã cho, hệ lượng tử nằm trong trạng thái nào?

Cũng như trong trường hợp cổ điển, để trả lời câu hỏi đó ta phải xét một tập hợp các trạng thái vi mô khác nhau tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định (tập hợp thống kê lượng tử) Sau đó, dựa vào các trạng thái khả hữu đó của hệ và bằng phương pháp thống kê, ta có thể xác định được xác suất của trạng thái, và do đó, xác định được trị trung bình của các thông

số trạng thái của các thông số vi mô khác nhau của hệ Nói khác đi, khi khảo sát các hệ lượng tử cũng như khi khảo sát các hệ cổ điển ta cần phải biết định luật phân bố xác suất của các trạng thái riêng lẻ

Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta có thể dùng phương pháp: phương pháp Gipxo

1.2 Phân bố chính tắc lượng tử

Phương pháp Gipxo mà ta xét trong vật lý thống kê cổ điển về cơ bản vẫn có thể áp dụng để nghiên cứu các hệ lượng tử, tuy nhiên, do đó các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, nên khi áp dụng phương pháp đó ta cần

có những thay đổi thích hợp Lập luận giống như trong trường hợp vật lý thống kê cổ điển, ta tìm thấy rằng, đối với hệ đẳng nhiệt xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Ek là

exp k k

Đó là phân bố chính tắc lượng tử

Ta nhắc lại rằng, trạng thái vi mô của hệ lượng tử được diễn tả bằng hàm sóng k thì trị trung bình của một đại lượng vật lý nào đó L (có toán tử tương ứng là L) đo được ở trạng thái vi mô k là:

ta phải tìm Và cũng giống như trong trường hợp cổ điển, tập hợp thống kê lượng tử là tập hợp các hệ tượng tự nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Vì vậy, một tập hợp thống kê lượng tử được mô tả bằng một tập các hàm sóng k và một tập hợp tương ứng các xác suất Wk của các trạng thái diễn tả bằng các k Do đó, theo lý thuyết xác suất trị trung bình của đại lượng L theo tập hợp thống kê lượng tử (trung bình pha lượng tử) được xác định theo công thức

đó toán tử mật độ cũng phụ thuộc vào thời gian ta có

Hay là nếu đưa các phần tử ma trận của toán tử ˆH

Dó đó từ (8), (9) ta thấy rằng ma trận mật độ ( , , )q q t thỏa mãn phương

 

ˆ

ˆ,

H t

  



Trong đó H,ˆ là dấu móc Poatxông lượng tử

Phương trình (11) là tương tự lượng tử của phương trình chuyển động cổ điển của tập hợp pha Cũng giống như trong trường hợp vật lý thống kê cổ điển phương trình (11) là cơ sở để nghiên cứu các quá trình không cân bằng trong khuôn khổ của vật lý thống kê lượng tử

Cũng như trong vật lý thống kê cổ điển ta thu được tập hợp thống kê lượng tử cân bằng từ điều kiện

ˆ0

t



 



Hay là theo (11), từ điều kiện H,ˆ0

Khi đó toán tử mật độ ˆ giao hoán với các toán tử ˆH và do đó ma trận

mật độ là tích phân chuyển động Hơn nữa ˆ và ˆH có hàm riêng chung Vì

vậy trong trường hợp cân bằng thống kê ma trận mật độ có thể viết dưới dạng (6) trong đók( )q là hàm riêng của toán tử ˆH và được xác định từ phương

trình (3) Bởi vì ma trận mật độ là tích phân chuyển động cho nên Wk phải là hàm của năng lượng Ek Tương tự như trường hợp thống kê cổ điển, đối với

hệ nằm tiếp xúc với hệ điều nhiệt (hệ đẳng nhiệt) ta có thể lựa chọn Wkdưới dạng

(11)

trong đó gk là độ suy biến

Tương tự như trong trường hợp cổ điển, nếu hệ lượng tử gồm N hạt không tương tác thì từ phân bố chính tắc lượng tử ta suy ra phân bố Maxweell – Boltzmann lượng tử Cụ thể là với lập luận hoàn toàn giống như trong trường hợp cổ điển ta sẽ tìm được: Xác suất để một hạt bất kì của hệ nằm trên mức năng lượng i là

exp i i

kT W

Đây là công thức của thống kê Maxweell – Boltzmann lượng tử

Khảo sát hệ các hạt không tương tác Gọi l và nl là năng lượng một hạt

hoán vị của các hạt tương ứng với các trạng thái mới Bởi vì, số hạt trong hệ không phải là bất biến, cho nên, tương tự như trong thống kê cổ điển, thay thế cho phân bố chính tắc lượng tử ta phải dùng phân bố chính tắc lớn lượng tử Phân bố chính tắc lớn lượng tử có dạng:

0

l l

Kí hiệu  , 1 

!

k o

Thứ nhất vế phải của công thức (1.7) có thể coi là hàm của các n l nên ta

có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n o hạt nằm trên mức

l

 , nghĩa là đó là xác suất các số chứa đầy

Thứ hai là sở dĩ đại lượng G n n o, 1  xuất hiện là vì ta kể đến khả năng xuất hiện các trạng thái vật lý mới khi hoán vị các hạt Đối với hệ các Bozon

và các hạt Fecmion thì các phép hoán vị đều không đưa đến các trạng thái vật

lý mới, khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu, hoặc đổi dấu nghĩa

là diễn tả một trạng thái lƣợng tử Do đó, đối với hệ các hạt Bozon và Fecmion ta có

n n



Để tính trị trung bình của các số chứa đầy ta gắn cho đại lƣợng µ trong (1.7) chỉ số l, nghĩa là ta sẽ coi rằng hệ ta xét hình nhƣ không phải chỉ có một thế hóa học µ mà có cả một tập hợp các thế hóa học µl bằng nhau và bằng µ

Điều kiện chuẩn hóa đƣợc viết nhƣ sau

Ta xét đạo hàm của Ω theo µ k

Nếu ta đặt k  thì theo (1.7), vế phải của công thức (1.13) có ý nghĩa

là giá trị trung bình của số chứa đầy nk, ta đƣợc:

Bây giờ ta sẽ tìm các công thức của thống kê lƣợng tử

1.3 Thống kê Bose - Einstein

Đối với hệ hạt Bôzôn, số hạt trên các mức có thể có trị số bất kỳ và

Đây là công thức của thống kê Bose - Einstein Thế hóa học  trong phân bố (1.16) đƣợc xác định từ:

0

l l

1.4 Thống kê Fecmi - Đirac

Đối với hệ hạt Fecmion, theo nguyên lí Pauli n1 ≤ 1và G n n 0, 1 1Theo (1.11) ta có

0

1 0

trong đó thế hóa học µ đƣợc xác định từ điều kiện (1.14)

1.5 Thống kê Maxweell - Boltzmann

Các số chứa đầy có thể có trị số bất kì và G n n 0, 1 đƣợc tính theo công thức (1.9) Theo (1.11) ta có

0 0

n n n

Ở đây g  là trọng số thống kê hay độ suy biến của các trạng thái lượng tử có năng lượng khác nhau Tuy nhiên, từ các công thức kể trên, ta thấy rằng: khi thỏa mãn điều kiện

Khi tìm hàm phân bố Maxweell - Boltzmann ta đã giả thiết là các hạt khác nhau về phương diện hoán vị tọa độ Vì vậy, trong trường hợp tổng quát,

sự phân bố theo các mức năng lượng (1.24) không thể áp dụng cho hạt thực, bởi vì sự thực là các hạt không khác biệt nhau Tuy nhiên có tồn tại một loạt các hệ lượng tử mà ta gọi là hệ lượng tử định xứ Đối với hệ như vậy nguyên

lí về tính không thể phân biệt của các hạt vi mô xem như không có hiệu lực, nghĩa là trong các hệ định xứ, đòi hỏi về tính đối xứng của hàm sóng không làm giảm số các trạng thái vi mô khả hữu Thí dụ, hệ các dao động tử điều hòa là một hệ định xứ, hay mạng tinh thể của vật rắn cũng là hệ định xứ Khi đó, với các đối tượng lượng tử xem như hệ định xứ ta vẫn có thể áp dụng phân bố Maxweell - Boltzmann đối với các mức năng lượng rời rạc

Còn trong các trường hợp khác ta phải vận dụng phân bố Bose - Einstein, hay phân bố Fecmi - Đirac

Cả 3 phân bố này trùng nhau chỉ trong trường hợp khi mà điều kiện (1.28) được thực hiện hay

3/2 2

Trong trường hợp đó thể tích của không gian pha

3

3 1

N N

i i i

Nếu bất đẳng thức (1.29) được thực hiện thì đối với một hệ lượng tử bất

kì, ta có thể vận dụng phân bố Maxweell - Boltzmann Còn trong trường hợp ngược lại thì có thể tự xảy ra suy biến và ta không thể áp dụng phân bố Maxweell - Boltzmann Điều kiện (1.29) được gọi là tiêu chuẩn suy biến

CHƯƠNG 2

ÁP DỤNG THỐNG KÊ LƯỢNG TỬ NGHIÊN CỨU

HỆ LƯỢNG TỬ 2.1 Dao động tử lượng tử

2.1.1 Phổ năng lượng của dao động tử

Năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính với tần số  chỉ có thể

“không” mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ Nói cách khác

đi, do có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử trong cơ học lượng

tử không thể ở trạng thái nghỉ Năng lượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần tuyệt đối Ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lượng thấp nhất, nhưng khi đó các nguyên tử lại thực hiện dao động

2.1.2 Tổng trạng thái và nội năng của dao động tử

Ta xét với một dao động tử của hệ, dao động tử có thể nằm trong các trạng thái không suy biến khác nhau với số lượng tử n bất kì

Tổng trạng thái với dao động tử là:

  và số hạng đầu tiên là a = 1.Theo công thức của

tổng cấp số nhân lùi vô hạn giảm dần

1

a S

h kT

h kT Z

h kT

exp

n n

n l

n

n l

Z E

E

h kT

Ở các nhiệt độ cao năng lượng trung bình của dao động tử có “trị số cổ điển” kT Nhiệt dung CV ứng với một dao động tử được xác định theo công thức:

2 2

exp 1

h kT V

hơn là năng lượng trung bình và nhiệt dung ứng với một dao động tử

Đối với một dao động tử biết tổng trạng thái Zdđ ta có thể tìm được các hàm nhiệt động của một hệ N dao động tử không tương tác Năng lượng trung bình của một hệ N dao động tử sẽ là nội năng của hệ

2exp 1

h kT

2.2.1 Phổ năng lượng của rotato

Rotato là một chất điểm quay theo đường tròn, trong vật lý cổ điển năng lượng quay của chất điểm đó có dạng:

q

mv mr I M E

I

Mặt khác

2 2

Trong đó l là số lượng tử quỹ đạo có các trị số là số nguyên bất kì 0,

1,2… Các trị số đó của bình phương momen động lượng xác định phổ năng lượng rời rạc của rotato

2 2

( 1)8

l

h l l E

2.2.2 Tổng trạng thái và nội năng của rotato

Năng lượng ứng với trạng thái l của Rotato bằng

2 2 0

4

q T

h Z

Năng lượng trung bình của Rotato

Trường hợp 2: Đối với nhiệt độ cao T>> Tđ =

2 2

8

h Ik

 sự phân bố năng

lượng của Rotato theo các mức có thể xem như là liên tục theo trị số l Các

khoảng giữa các mức năng lượng, tính theo đơn vị kT, khi đó sẽ nhỏ hơn đơn

2 2 0

( 1)

88exp

d q

8ln

Đối với hệ N Rotato, năng lượng trung bình và nhiệt dung tăng lên N lần

Biết tổng trạng thái của rotato lượng tử ta cũng sẽ tìm được các hàm nhiệt động của N rotato lượng tử

Năng lượng tự do:

2 2

2.3 Nhiệt dung của các chất khí các nhiệt độ đặc trưng

Đầu tiên ta xét một mol khí lưỡng nguyên tử Trong trường hợp đó nội năng của chất khí là:

2.3.1 Nhiệt dung gắn với chuyển động tịnh tiến

Áp dụng định lí phân bố đều động năng theo các bậc tự do, ta có năng lượng của chuyển động tịnh tiến là:

32

2.3.2 Nhiệt dung gắn với chuyển động quay:

Coi mỗi phân tử như một rotato lượng tử

+) Trường hợp 1: với các nhiệt độ thấp T0

Từ công thức:

2 2

4

q

h Z



 

2.3.3 Nhiệt dung gắn với chuyển động dao động

Để tìm nhiệt dung gắn với chuyển động dao động, ta hãy coi mỗi một phân tử nhƣ một dao động tử lƣợng tử và cho rằng tất cả các phân tử của chất khí dao động với cùng một tần số  Nội năng của một mol là

o dđ

N h h kT

1 2

Ta lại thấy rằng, ở các nhiệt độ cao (T >> ) ta thu đƣợc biểu thức cổ điển của nhiệt dung nghĩa là các hiệu ứng lƣợng tử không biểu hiện ra

Ta có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt dung vào tọa độ:

Ta thấy rằng, ở các nhiệt độ rất cao tất cả các bậc tự do; tịnh tiến, quay, dao động và electron đều đóng góp vào nhiệt dung Khi nhiệt độ hạ xuống thấp hơn Tel thì các electron ngừng đóng góp Nhiệt dung của khí sẽ xác định bởi các bậc tự do tịnh tiến, quay, dao động Nếu nhiệt độ tiếp tục hạ xuống thấp hơn Tdđ thì các bậc tự do dao động ngừng đóng góp Nếu hạ xuống thấp hơn Tq thì nhiệt dung của chất khí sẽ chỉ đƣợc xác định bởi chuyển động tịnh tiến

2.4 Nhiệt dung của vật rắn

2.4.1 Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Einstein

Einstein giả thuyết coi vật rắn nhƣ một tập hợp gồm 3N dao động tử có cùng một tần số

Năng lƣợng trung bình của dao động tử là:

2exp 1

E

h kT

3R R

T

Têl

2 2

Khi nhiệt độ hạ xuống theo (2.6) nhiệt dung giảm đi, và tới giới hạn khi

T0 nhiệt dung tiến đến không theo hàm số mũ

2.4.2 Nhiệt dung của vật rắn theo thuyết Debye

Theo Debye các nguyên tử khác nhau dao động trong vật rắn với các tần

số khác nhau, vì số các nguyên tử là rất lớn, nên thực tế ta có thể coi phổ của các tần số dao động riêng như là phổ liên tục Do tương tác mạnh giữa các nguyên tử của vật rắn, ta có thể xem vật rắn như một môi trường liên tục đàn hồi trong đó hình thành một hệ sóng đứng

Trong vật rắn có thể truyền đi 3 loại sóng: 2 loại sóng ngang phân cực độc lập và 1 sóng dọc

Thay năng lƣợng trung bình E của sóng đứng trong thể tích V bằng

năng lƣợng trung bình của dao động tử