PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ

Vật lí thống kê là một trong những họ c phần Vật lí lý thuyế t đượ c họ c ở bậc Đại họ c . P hươ ng pháp c ủa vật lí thống kê đượ c áp dụng rộng rãi trong c ác lĩnh lực khác nhau c ủa vật lí hiệ n đại đặc biệt trong vật lí chất rắn, vật lí hạt cơ bản, quang lượng tử, vật lí học các hạt ngưng tụ vật lí và vật liệu siêu dẫn, vật liệu bán dẫn.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

———————o0o——————–

TRẦN THỊ TUYẾT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT

LÍ THỐNG KÊ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 5 - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình họctập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của TS Trần Thái Hoa.Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận tôi có kham khảomột số tài liệu tham khảo

Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: "Phương pháp giải một

số bài tập vật lí thống kê" không trùng lặp với kết quả các đề tàikhác

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Tuyết

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận, ngoài sự nỗ lực của bảnthân, tôi còn nhận được sự động viên, hướng dẫn chỉ bảo tận tìnhcủa thầy giáo TS Trần Thái Hoa và những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô trong tổ lý thuyết

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy côtrong khoa Vật lý, các thầy, cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt

là sự chỉ bảo tận tình của thầy TS Trần Thái Hoa - giảng viên khoaVật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp tôi hoàn thànhkhóa luận này

Do điều kiện thời gian, năng lực còn hạn chế nên khóa luận khôngtránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ýkiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận của tôi được hoàn thiệnhơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Tuyết

1.1.4 Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ khí lí

Trang2.1.3.1 Phân bố chính tắc lượng tử 362.1.1.2 Hàm phân bố chính tắc lớn lượng tử 38

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Vật lí thống kê là một trong những học phần Vật lí lý thuyếtđược học ở bậc Đại học Phương pháp của vật lí thống kê được ápdụng rộng rãi trong các lĩnh lực khác nhau của vật lí hiện đại đặcbiệt trong vật lí chất rắn, vật lí hạt cơ bản, quang lượng tử, vật lí họccác hạt ngưng tụ vật lí và vật liệu siêu dẫn, vật liệu bán dẫn.Vì vậy,

để hiểu sâu và nắm chắc cơ sở lí thuyết của Vật lí thống kê cũng như

ý nghĩa của từng đại lượng vật lí có nhiều phương pháp khác nhaunhưng một trong các phương pháp chung nhất là từ cơ sở lí thuyết tavận dụng giải một hệ thống các bài tập Tuy nhiên, số lượng bài tậptrong sách giáo trình cũng như trong sách bài tập là rất nhiều Điều

đó gây khó khăn cho sinh viên trong việc học Vì vậy cần phân loại

và sắp xếp bài tập theo một hệ thống để sinh viên nghiên cứu mộtcách hệ thống, chính xác và sâu sắc Vì vậy, đề tài “ Phương pháp giảimột số bài tập Vật lí thống kê” là cần thiết, mong rằng luận văn sẽ

là một tài liệu tham khảo giúp đỡ phần nào các bạn sinh viên tronghọc phần Vật lí thống kê Hay còn làm cơ sở để các bạn sinh viên cónhu cầu học các bậc học cao hơn có thể ôn tập một cách dễ dàng

2 Mục đích nghiên cứu

Phân loại một số dạng bài tập vật lí thống kê để giúp các bạnsinh viên dễ dàng trong việc học, nghiên cứu để có cái nhìn tổng quát

về một số dạng bài tập môn vật lí thống kê

3 Đối tượng nghiên cứu

Vật lí thống kê là một trong những môn học thuộc Vật lí lý thuyếtnhằm nghiên cứu hệ vật lí vĩ mô Vật lí thống kê là bộ môn khoa học

có đối tượng nghiên cứu là những hệ bao gồm một số rất lớn các hạtnhư nguyên tử, iôn và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay

hệ nhiều hạt

4 Phạm vi nghiên cứu

Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô

của hệ mà ta khảo sát với các đặc tính và quy luật chuyển động củacác hạt vi mô cấu trúc thành hệ.

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và chỉ ra phương hướng chung để giải một số dạng bàitập trong vật lí thống kê

6 Phương pháp nghiên cứu

Do đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là hệ nhiều hạt màđối với hệ nhiều hạt sẽ xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luậtthống kê Do đó, phương pháp nghiên cứu của vật lí thống kê làphương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất Đối với hệ ít hạt

và hệ nhiều hạt nó tuân theo các quy luật khác nhau đó là quy luậtđộng lực và quy luật thống kê Quy luật tính động lực: Là quy luậtdựa vào giá trị đã cho một cách chính xác của một đại lượng đặctrưng cho một quá trình hay hiện tượng, ta sẽ tính được giá trị củamột đại lượng khác nhờ vào việc giải phương trình Hamiltonion vàquy luật chỉ có giá trị đối với hệ ít hạt Quy luật tính thống kê: Làquy luật khách quan của hệ nhiều hạt, tính cách của hệ nhiều hạt ởthời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái lúc trước(ban đầu) Hai quy luật này tuy độc lập với nhau nhưng phụ thuộcqua lại lẫn nhau nhiệt động lực học và vật lí thống kê có mối liên

hệ với nhau Trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng thái cânbằng thì các định luật mà ta thu được trong vật lí thống kê với cácđại lượng trung bình trùng với các định luật của nhiệt động lực học

7 Cấu trúc khóa luận

CHƯƠNG 1 VẬT LÍ THỐNG

KÊ CỔ ĐIỂN

1.1 Cơ sở lí thuyết

1.1.1 Không gian pha

Không gian pha là không gian quy ước nhiều chiều, các tọa độcủa không gian pha chính là các thông số độc lập xác định trạng thái

vi mô của hệ (tọa độ, xung lượng của tất cả các hạt trong hệ) Cóhai không gian pha:

+ Không gian µ: Đối với 1 hạt có 3 bậc tự do ⇒ có 6 chiều.+ Không gian K: Đối với n hạt mỗi hạt có f bậc tự do ⇒ 2nfchiều

Các yếu tố cơ bản của không gian pha:

+ Điểm pha: 1 điểm trong không gian pha có 2nf tọa độ biểudiễn một trạng thái vi mô của hệ đang xét

+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi điểm pha sẽ

“chuyển động” và vạch một đường cong gọi là quỹ đạo pha, mỗi điểmtrên quỹ đạo tương ứng với 1 trạng thái tức thời xác định của hệ.Quỹ đạo của hệ không cắt nhau trong không gian pha

+ Mặt năng lượng (siêu diện năng lượng) đối với một hệ cô đơnthì E = const và E là thông số vĩ mô ⇒ phương trình của năng

lượng là:

E = E(q1,q2, , p1, p2, ) = const+ Thể tích pha:

dx = dq1dq2 dp1dp2

1.1.2 Định lí Liuvin

+ Tại thời điểm t1: dx1 có dn = ρ1dx1

+ Tại thời điểm t2 : dx2 có dn = ρ1dx2

- Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ(qk, pk, t)

Đối với vận tốc pha ta có:

⇔ ∂ρ

∂t +

X(q.k ∂ρ

Thay vào (1) ta được: dx1 = dx2 nguyên lí về sự bảo toàn thểtích.

• Định lí Liuvin

Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha của các hệ) chuyểnđộng trong không gian các thể tích nguyên tố giữ không đổi về độlớn và chỉ có thể thay đổi về dạng

• Phương trình Liuvin:

Ta lại có: ω = ρ

n ⇒ ρ = n.ωThay vào (4) ta có

Vì F = R F (x)ω(x, t)dx = const ⇒ ω(x, t) không phụ thuộctường minh vào thời gian ⇒ ∂ω

∂t = 0 ⇒ [H.ω] = 0Khi đó gọi là tích phân chuyển động: ω(x) = f {H(x)}

1.1.3 Công thức phong vũ biểu

Đối với hạt chuyển động trong trường thế thì phân bố Boltzman

có dạng:

U (x, y, z) = U (z)dW(x, y, z) = B expn

−mgzkT odzĐối với khí lí tưởng trong trường lực đều: U(z) = mgz có hàmphân bố các hạt theo độ cao z = h có dạng:

f (z) = dW(z)

dz = B exp

n

−mgzkT o

Hàm phân bố của mật độ số hạt theo độ cao z:

n(z) = n0expn

−mgzkTo

Ở một nhiệt độ nhất định áp suất của chất khí tỉ lệ với mật độ

⇒ công thức phong vũ biểu biểu

p(z) = p0expn

−mgzkT o

p0 là áp suất tại z = 0, p là áp suất tại z

1.1.4 Dạng áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ khí lí tưởng

- Đối với hệ N hạt khí lí tưởng:

dX

2mθ − Ukθ(x)

dX

Vậy Zk = (2πmθ)32V (Sử dụng tích phân Poatxông)

+ Năng lượng tự do:

ψ = kT ln Z

⇔ ψ = −θN

3

2ln (2πmθ)

+ ln VN+ Phương trình trạng thái:

p = −∂ψ

∂V =

kN T

V ⇔ pV = kNTĐối với 1mol N = NA và NAk = R ⇒ pV = RT

- Nội dung định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do:

“Động năng trung bình ứng với 1 bậc tự do là bằng nhau và bằng1

- Dùng phương trình chính tắc (hoặc các phương trình chuyểnđộng) để tìm ra phương trình của q, p suy ra quỹ đạo của hạt.

- Vẽ quỹ đạo, thể tích pha (nếu cần)

+ p

2 x

p2 x0

= 1Phương trình của quỹ đạo pha sẽ là

x2

x2 0

+ p

2 x

p2 x0

= y

2

y2 0

+ p

2 y

p2 y0

= z

2

z2 0

+ p

2 z

p2 z0

Hãy chứng minh rằng thể tích của không gian pha Γ của khí lítưởng đơn nguyên tử gồm N hạt chứa trong thể tích V bằng:

Γ = constVN(2m)3N /2E3N /2Trong đó m là khối lượng của một hạt và E là năng lượng của hệ Nhạt

Số trạng thái vi mô của một hạt trong yếu tố thể tích pha dX =dxdydzdpxdpydpz là:

E√

2 dE

dpxdpydpz = 4π2mE

√mE

Γ = 4

3πV

q(2mE)3Đối với N hạt mà ta xét:

Với Γi = 4

3πV

q(2mE)3 ⇔ Γ = VN

4

3π

N

(2mE)

3N2

Hay Γ = constVN(2mE)

3N

2 (đpcm)

1.2.2 Định lí Liuvin

1.2.2.1 Phương pháp chung

- Xác định số bậc tự do f suy ra số chiều của không gian pha

- Chọn tọa độ và xung lượng suy rộng

- Xác định hình dạng và thể tích pha ban đầu

- Xác định thể tích pha ở thời điểm ban đầu và thời điểm t:

đầu của chất điểm đến vị trí ta xét chiều dương hướng xuống dưới.

- Xét nguyên tố thể tích pha chiếm bởi các điểm pha ở thời điểm

t0

dΓ0 = dp0dq0

Giả sử nguyên tố thể tích pha là hình chữ nhật ABCD

Sau thời gian t:

A → A′ (q, p)

D → D′(q + dq, p)

C → C′(qC′, p + dp)

B → B′(qD′, p + dp)Nguyên tố thể tích pha ở thời điểm t là: dΓ = dqdp

qB′ − qA ′ = dq0→ dq = dq0 (1)

Ta còn có:

pD′ = pD + mgt = p0 + dp0 + mgt

pA′ = pA+ mgt = p0 + mgtnên suy ra

A (z0, p0) , B (z0 + a, p0) , C(z0, p0 + b)Giải

Theo giả thiết trạng thái ban đầu của mỗi hạt được biểu diễndưới dạng một điểm pha trong không gian 2 chiều

Theo đầu bài ta chọn tọa độ và xung lượng suy rộng là z và p do

đó, trong không gian pha pz thì thể tích pha ban đầu của 3 hạt códạng tam giác suy ra thể tích pha chính là S∆ABC

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác theo các đỉnh

B′C không phải là tam giácvuông

Vậy hình dạng thể tích pha đã thay đổi nhưng độ lớn không đổi

1.2.3 Công thức phong vũ biểu

1.2.3.1 Phương pháp chung

- Tùy từng bài ta áp dụng công thức hàm phân bố theo chiều caohay công thức phong vũ biểu

- Vận dụng công thức trung bình của một đại lượng vật lí

- Kết hợp điều kiện chuẩn hóa

1.2.3.2 Dạng bài tập

Bài 1 Áp dụng phân bố chính tắc Gibbs để tìm phân bố theo tọa

độ (phân bố Boltzman) của một khối khí lý tưởng đồng nhất khôngtương tác trong trường thế

Xét một khối khí có nhiệt độ đồng đều T , khối lượng phân tử khí

là m, mật độ khí ở độ cao z = 0 là n0 nằm trong trường trọng lực (g

là gia tốc trọng trường) Tìm phân bố các hạt theo độ cao z và suy

ra công thức phong vũ biểu

Giả sử nhiệt độ không khí là 00C và coi không khí như một chất khí lýtưởng có phân tử lượng là 29 Cho gia tốc trọng trường, số Avogadro

NA = 6, 022.1023mol−1, hằng số Boltzman kB = 1, 38 10−23J/K, sửdụng công thức phong vũ biểu để tính tỉ số giữa mật độ không khí ở

độ cao 100m và mật độ không khí ở sát mặt đất

Giải

+ Khí lý tưởng tự do là một hệ không tương tác

+ Năng lượng của khối khí là tổng năng lượng của từng hạt

= const exp



−E1kT



dX1 exp



−ENkT

)

dpxdpydpz

⇒ ω(x, y, z) = B exp



−u(x, y, z)kT



tương ứng là phân bố theo tọa độ (phân bố Boltzman) của hạt trongtrường thế U(x, y, z)

+ Xét một khối khí có nhiệt độ đồng đều T , khối lượng phân tử khí

là m, mật độ khí ở độ cao z = 0 là n0 nằm trong trường trọng lực

U (x, y, z) = mgz (g là gia tốc trọng trường)

dW(z) = B expn

−mgzkT

Số hạt nằm từ độ cao z đến z + dz bằng

dn(z) = n(z)dz = N dW(z) = N ω(z)dz Ở đây N là số hạt toàn phần của khối khí

Suy ra

n(z) = n0 expn

−mgzkT

o

là phân bố số hạt theo độ cao z

Vì ở một nhiệt độ xác định áp suất chất khí tỉ lệ với mật độ , tasuy ra công thức phong vũ biểu:

p(z) = pz=0 expn

−mgzkTo

Theo các dữ kiện của bài toán: T = 273K, g ≈ 9, 8 m/s2, NA =

6, 022.1023mol−1, kB = 1, 38 10−23J/K, A = 29 g/mol, z = 100m Tỉ

số mật độ không khí ở độ cao 100m và mật độ không khí ở sát mặt

⇔ ppz

0

= expn

−mgzkT oTheo đầu bài ta có:

pz

p0

= 13

⇔ mgzkT = ln 3

⇔ z = ln 3mgkTVới k = 1, 38.10−23, T = 273K

3Bài 3

So sánh số toàn phần các phân tử khí trên mặt đất trong cộtkhông khí có đáy 1 cm2 với số phân tử trong cột cao 1000m, 10000m

ở 00C

Giải

Ta có thể coi không khí một cách gần đúng là khí lí tưởng

Áp dụng công thức phong vũ biểu:

pz = p0expn

−mgzkTo

Vì p ∼ n (mật độ số hạt) do đó:

nz = n0expn

−mgzkTo

Số hạt có trong hình trụ diện tích đáy 1 cm2 , chiều cao z là:

mg



1 − expn−mg

kTo

n0

⇒ N1

N∞ = 1 − expn−mg

kTo

- Theo đầu bài ta có:

odX

odεVậy đối với 1 hạt thì:

C3

N

VN (kT )3N 1

N !

Năng lượng tự do của hệ:

Đối với 1 mol: pV = RT

Bài 2

Hỗn hợp của 2 khí lí tưởng gồm N1 hạt có khối lượng m1 và N2hạt có khối lượng m2 chứa trong một bình hình trụ có chiều cao h vàdiện tích đáy δ Bình khí được đặt trong trường trọng lực có gia tốc

g Tìm áp suất đặt lên mặt trên của bình

p1, p2 là áp suất khối khí 1 và 2 tác dụng lên mặt trên của bình

- Xét một khối khí lí tưởng có khối lượng m số hạt N chứa trongbình như trên:

+ Tại một độ cao z bất kì xét với một hạt khí lí tưởng:

odxdydz

odz



1 − exp



−mghθ

exp

mghkT

mghkT

mighkT

Gọi N1, N2, m1, m2 lần lượt là số hạt, khối lượng của 2 khối khí

2m + Uk(X)Trong đó: U(k) = 0 nếu nằm trong V

)exp



−Ukθ(X)

dX

VNEntropi của cả hệ là:

1.2.5.1 Phương pháp chung

Sử dụng kết hợp hai định lí để giải

1.2.5.2 Bài tập

Bài 1

Dựa vào phân bố Boltzman chứng minh rằng: đối với 1 hạt có fbậc tự do thì: ε = 1

2f kTGiải

- Giả sử hạt khí lí tưởng có f bậc tự do

- Năng lượng toàn phần E của 1 hạt khí lí tưởng:

2mPhân bố Maxuell - Boltzman có dạng:

dW = A exp



− EkT

dX

Lấy đạo hàm 2 vế theo kT ta có:

Sử dụng định lí phân bố đều của động năng theo bậc tự do vàđịnh lí Virian dưới dạng:

- Đối với 1 bậc dao động điều hòa có 1 bậc tự do suy ra có 2 chiều

đó là tọa độ và xung lượng suy rộng q và p

- Năng lượng toàn phần hay hàm Hamintơn của dao động tử điềuhòa là:

Là hệ cấu trúc bởi các hạt lượng tử.

Hạt lượng tử là hạt tuân theo các định luật của cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và các đặc tính riêng biệtcủa các hạt của thế giới vi mô mà chúng ta không thể giải thích đượcnếu dựa vào quan điểm cổ điển

2.1.1.2 Tính chất

a Các hạt vi mô mang cả tính chất sóng lẫn tính chấthạt Do có đặc tính sóng – hạt nên một hạt vi mô bất kì không cómột tọa độ xác định tuyệt đối chính xác, mà hình như nó bị “nhòeđi” trong không gian Khi có hai hoặc nhiều hơn hai hạt tồn tại trongmiền không gian nhất định thì chúng ta không thể phân biệt chúngđối với nhau vì ta không thể theo dõi chuyển động của mỗi hạt tính

Đó chính là tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượngtử

b Các đại lượng đặc trưng cho hạt vi mô có tính giánđoạn Để diễn tả một cách toán học các đặc tính đó của đại lượngvật lí, ta gắn cho mỗi đại lượng vật lí một toán tử vật lí tương ứngnhất định Trong cơ học lượng tử, các đại lượng vật lí được biểu diễnbằng các toán tử và các trị số của chúng được xác định như là cáctrị riêng của các toán tử.

c Để diễn tả các đặc tính của các đối tượng vi mô, ngoàicác tính chất và thông số mà ta đã dùng để diễn tả các hạt vi mô mộtcách cổ điển, ta phải đưa vào các thông số và các tính chất mới thuầntúy “lượng tử”, đó là “spin” của hạt, “tương tác trao đổi”, “nguyên líPaoli”

2.1.2 Áp dụng các phương pháp thống kê vào hệ lượng tử

2.1.2.1 Cách mô tả hệ lượng tử

Để mô tả các đại lượng vật lí khác nhau và các mối liên hệ giữachúng, trong cơ học lượng tử người ta dùng các toán tử tuyến tínhliên hợp bL tác dụng lên một hàm ψ nào đó gọi là hàm sóng Toán tửbiểu diễn một đại lượng vật lí nhất định nào đó sẽ chỉ rõ cho ta biết,tác dụng nào cần phải tiến hành trên hàm sóng

b

Lψ = LψTrong đó:

- Nếu phương trình trên có nghiệm đúng với các trị số bất kì của

L, ta nói rằng đại lượng vật lí diễn tả toán tử bL có phổ liên tục các

- Đối với các trạng thái dừng: bHψn = Enψn

En là trị riêng của toán tử bH, có thể nhận các giá trị rời rạc hoặcliên tục

- Hàm sóng diễn tả trạng thái của hệ có thể phụ thuộc vào cáctọa độ hoặc chỉ phụ thuộc vào các xung lượng:

ψ = ψ(q1, q2, , qN, t) = ψ(qi, t)Hoặc

ψ = ψ(p1, p2, , pN, t) = ψ (pi, t)

- Hàm sóng có ý nghĩa thống kê:

dW (q1, q2, , qN) = |ψ|2dq1dq2 dqN = |ψ|2dqTrong đó: dW là xác suất tìm thấy hệ lượng tử có các tọa độ q1, q2, , qNtrong nguyên tố không gian tọa độ dq = dq1dq2 dqN