GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC

Dao động là chương lí thuyết rất hay và ý nghĩa, trong chương có rất nhiều bài tập lý thú và hấp dẫn. Đặc biệt là bài tập về dao động cơ cưỡng bức và dao động diện cưỡng bức. Để giải được các bài tập này có nhiều phương pháp như: phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, đặc biệt là phương pháp sử dụng số phức.

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2014

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Văn Quyết

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Hoàng Văn Quyết, thầy

đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp cho em kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài khóa luận này Thầy cũng là người giúp em ngày càng tiếp cận

và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Vật lý đại cương, các thầy cô trong khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cuối cùng, em xin gửi lời tri ân đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Hảo

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài: “Giải bài toán dao động bằng phương pháp

số phức”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng em dưới sự hướng dẫn của các thầy cô giáo, đặc biệt là thầy Th.S Hoàng Văn Quyết Nếu có gì

không trung thực trong khóa luận em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Trần Thị Hảo

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 1

NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 2

1.1 Số phức 2

1.1.1 Khái niệm 2

1.1.2 Biểu diễn số phức x a jb    trên mặt phẳng phức 2

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức 2

1.1.4 Biểu diễn một hàm điều hòa dưới dạng số phức 3

1.1.5 Ví dụ 3

1.2 Dao động điều hòa 4

1.2.1 Dao động tuần hoàn 4

1.2.2 Dao động điều hòa 5

1.3 Dao động động cơ cưỡng bức 8

1.3.1 Phương trình động lực học 8

1.3.2 Định nghĩa 9

1.3.3 Biên độ và pha ban đầu 10

1.3.4 Sự cộng hưởng 11

1.4 Dao động điện cưỡng bức 12

1.4.1 Phương trình động lực học 12

1.4.2 Nghiệm của phương trình 14

1.4.3 Sự cộng hưởng 15

CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP 16

2.1 Bài toán dao dộng cơ 16

2.1.1 Bài toán viết phương trình dao động 16

2.1.2 Bài toán tổng hợp dao động điều hòa 18

2.1.3 Bài toán dao động cơ cưỡng bức 21

2.2 Bài toán dao động điện cưỡng bức 25

2.2.1 Bài toán mạch nối tiếp 25

2.2.2 Bài toán mạch song song 31

2.2.3 Bài toán mạch hỗn hợp 38

2.2.4 Bài toán về mạch sao – tam giác 43

KẾT LUẬN 47

CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

dễ hiểu, mang lại hiểu quả cao Bản thân tôi đã được học ở trường THPT, lên trên Đại học có điều kiện nghiên cứu thêm, việc tìm ra được phương pháp giải bài tập nhanh gọn, dễ hiểu là vấn đề rất quan trọng và cần thiết Xuất phát từ

nhu cầu đó, tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Giải bài toán dao động bằng phương pháp số phức”

2 Mục đích nghiên cứu

Giải các bài tập dao động cơ, dao dộng điện bằng phương pháp số phức Từ đó phân dạng các bài tập và đưa ra phương pháp giải các bài tập đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Ôn tập lí thuyết dao động cơ và dao động điện

Xây dựng được hệ thống bài tập dao động cơ và dao động điện, và sử dụng phương pháp số phức để giải các bài toán dao động cơ và dao động điện

4 Đối tượng nghiên cứu

Bài tập dao động cơ và dao động điện

5 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu, tra cứu, đọc tài liệu tham khảo

NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Dao động là một dạng chuyển động rất thường gặp trong đời sống và kĩ thuật, ví dụ: dao động của con lắc đồng hồ, dao động của dòng điện trong mạch… nói tổng quát dao động là chuyển động được lặp đi lặp lại nhiều lần theo thời gian

Một số tính chất tổng quát của hệ dao động, xét dao động của con lắc: a) Hệ phải có một vị trí (trạng thái) cân bằng bền và dao động qua lại hai bên vị trí đó (cân bằng bền là khi vật lệch đi khỏi vị trí cân bằng luôn có

xu hướng dịch chuyển về vị trí cân bằng)

b) Khi hệ rời khỏi vị trí cân bằng bền luôn xuất hiện tác động kéo về vị trí cân bằng bền

c) Khi hệ dời đến vị trí cân bằng bền do quán tính nó tiếp tục vượt qua

vị trí cân bằng, trong cơ học, quán tính đặc trưng ở khối lượng của hệ, trong dao động điện, quán tính đặc trưng ở độ tự cảm của mạch

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức

1.1.4 Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức

Hàm điều hòa x Acos( t )

Nếu biểu diễn dưới dạng vectơ quay tại t 0

Ta thấy: a Acos , b Asin

Khi đó, tại t 0 có thể biểu diễn x bởi số phức:

x  a jb A(cos jsin )  A e j

1.1.5 Ví dụ

1.1.5.1 Biểu diễn dao động cơ bằng số phức

 Phương trình dao động có dạng: 5 2 cos(100 )( )

4

x t cm

, được biểu diễn bằng số phức là: x 5 2e j4

O a x

 Ngược lại số phức 200 3 200cos( )( )

1.2 Dao động điều hòa

1.2.1 Dao động tuần hoàn

Hệ dao động gồm vật dao động cùng với vật tác dụng lực kéo lên vật dao động, ví dụ con lắc lò xo, con lắc đơn, con lắc vật lí…

Dao động của hệ xảy ra chỉ dưới tác dụng của nội lực gọi là dao động

tự do hay dao động riêng Mọi dao động tự do của hệ dao động đều có một tần

số góc xác định, gọi là tần số góc riêng của vật hay hệ vật

Dao động mà trạng thái chuyển động của hệ được lặp lại như cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau gọi là dao động tuần hoàn

Dao động tuần hoàn có thể có mức độ phức tạp khác nhau tùy theo vật thể hay hệ vật dao động

Khoảng thời gian T ngắn nhất sau đó trạng thái chuyển động của hệ lặp lại như cũ gọi là chu kì dao động tuần hoàn (hay khoảng thời gian xác định không đổi T giữa hai dao động liên tiếp nhau gọi là chu kì của dao động)

Dao động tuần hoàn đơn giản nhất là dao động điều hòa

1.2.2 Dao động điều hòa

1.2.2.1 Phương trình động lực học

Xét một con lắc lò xo gồm vật

nhỏ khối lượng m, gắn vào đầu một

lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo

cố định, trượt không ma sát trên một

mặt phẳng nằm ngang

Tại VTCB: Lò xo không biến

dạng

Tại vị trí bất kì: Vật dịch

chuyển được một đoạn x tính từ vị

trí cân bằng, khi đó vật chịu tác dụng của lực đàn hồi F , trọng lực P và phản

lực N



nằm cân bằng nhau

Lực F tác dụng lên vật nặng là lực đàn hồi của lò xo, lực này luôn

hướng về vị trí cân bằng (trái dấu với li độ) và có độ lớn tỉ lệ với li độ, nên:

F  kx , hệ số tỉ lệ k là độ cứng của lò xo Lực F luôn hướng về vị trí cân

bằng nên được gọi là lực kéo về hay lực hồi phục

Gia tốc của vật nặng bằng đạo hàm bậc hai của li độ theo thời gian d x

1.2.2.3 Phương trình dao động điều hòa

Phương trình dao động điều hoà có dạng: xAsin(t)

Trong đó:

x là li độ, là toạ độ của vật trong hệ toạ độ có gốc là vị trí cân bằng, đơn vị đo li độ là đơn vị đo chiều dài

A là biên độ của dao động (là một số dương)

 là pha ban đầu, đơn vị là rađian (rad)

 là tần số góc của dao động, đơn vị là rađian trên giây (rad s/ ).(t)là pha của dao động tại thời điểm t, đơn vị là rađian (rad)

Với một biên độ đã cho thì pha là đại lượng xác định vị trí và chiều chuyển động của vật tại thời điểm t

 Chu kì T của dao động điều hoà là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần, đơn vị của chu kì là giây (s)

 Tần số f của dao động điều hoà là số dao động toàn phần thực hiện trong một giây, đơn vị là một trên giây (1/s), gọi là héc (kí hiệu Hz)

Hệ thức mối liên hệ giữa chu kì và tần số là   2  

2 f

T

1.2.2.4 Tổng hợp dao động điều hòa

Xét hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và có phương trình dao động dạng: x1 A1sin(t1)

Dao động tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần

số là một dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với hai dao động đó

Nếu    2  1 0 thì dao động x2 sớm pha hơn dao động x1, hay dao động x1 trễ pha so với dao động x2

Nếu    2  1 0 thì dao động x2 trễ pha so với dao động x1, hay dao động x1 sớm pha hơn dao động x2

Nếu    2 1 2n, (n   0; 1; 2; 3 )thì hai dao động cùng pha

   và khi ta tác dụng lên vật nặng ngoại lực: F n Hcost

hướng theo trục Ox và biến đổi điều hòa theo thời gian với tần số góc , thì vật nặng sẽ dao động

Theo định luật II NewTon:

d x dx

x hc

dt   dt    (1.3.1) Trong đó: 2

(1.3.1) được gọi là phương trình động lực học của vật

Khi ổn định dao động cưỡng bức có phương trình: x Acos( t ),

( là pha ban đầu của dao động cưỡng bức) với điều kiện 2 2

- Về tần số: Trong khoảng thời gian ban đầu nhỏ, dao động của vật là

một dao động phức tạp vì đó là sự tổng hợp của dao động riêng và dao động

do ngoại lực gây ra Sau khoảng thời gian nhỏ này, dao động riêng bị tắt

hẳn, chỉ còn lại dao động do tác dụng của ngoại lực gây ra, đó là dao động

cưỡng bức, và dao động cưỡng bức này có tần số bằng tần số của ngoại lực

cưỡng bức

- Về biên độ: Dao động cưỡng bức có biên độ phụ thuộc vào H, vào

ma sát và đặc biệt phụ thuộc vào độ chênh lệch giữa tần số f của ngoại lực

cưỡng bức và tần số riêng f0 của hệ Nếu tần số f càng gần với tần số riêng f0

thì biên độ của dao động cưỡng bức càng tăng, và nếu f  f0 thì xảy ra cộng

hưởng

1.3.3 Biên độ và pha ban đầu

Ta có: j( t )

xAe  

2 2 0

y y



Nhận xét: Khi tần số ngoại lực bằng tần số cộng hưởng thì biên độ dao

động cưỡng bức đạt giá trị cực đại ta gọi đó là giá trị cộng hưởng

Nếu môi trường không có lực cản  0 khi đó  ch 0, A ch   đó là

trường hợp lí tưởng Nói chung bao giờ cũng có lực cản, do đó

    nếu lực cản càng nhỏ thì A ch càng lớn đường cong cộng

hưởng càng nhỏ, A ch càng nhỏ đường cong cộng hưởng càng tù

1.3.4.3 Ứng dụng của cộng hưởng

 Cộng hưởng có lợi

Với một lực nhỏ có thể tạo dao động có biên độ lớn, ví dụ một em nhỏ cần đưa võng cho người lớn, sức của em bé có hạn nên không thể đẩy võng lên cao ngay được, nhưng nếu em bé đẩy võng bằng những xung nhịp

mà tần số bằng tần số riêng của võng thì có thể đưa võng lên rất cao Hay bản thân dây đàn phát ra âm thanh rất nhỏ, nhờ bầu đàn đóng vai trò hộp cộng hưởng mà âm phát ra to hơn

 Cộng hưởng có hại

Mọi vật đàn hồi đều là hệ dao động và đều có tần số riêng của nó Đó

có thể là chiếc cầu, bệ máy, khung xe, thành tàu Nếu vì một lí do nào đó

mà chúng dao động cộng hưởng với một dao động khác, điều này làm chúng rung lên rất mạnh và có thể bị gãy đổ

1.4 Dao động điện cưỡng bức

1.4.1 Phương trình động lực học

Xét mạch RLC (hình vẽ)

Nếu ta đặt vào mạch này một hiệu điện

thế xoay chiều có tần số góc  thì trong

U

mạch có dao động điện Dao động điện xảy ra trong mạch dưới tác dụng của một hiệu điện thế từ ngoài đặt vào gọi là dao động điện cưỡng bức

Hiệu điện thế xoay chiều: u t( )U0cost

Trong khoảng thời gian dt dòng điện chuyển một điện tích idt đến tích thêm vào bản dương của tụ điện, vậy idt dq, suy ra: dq

i dt



Suất điện động cảm ứng trong cuộn dây:

2 2

Phương trình (1.3.1) và (1.4.1) có dạng giống nhau, nghĩa là con lắc lò

xo có ma sát dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn và mạch RLC chịu tác dụng của một hiệu điện thế tuần hoàn từ bên ngoài cùng tuân theo một phương trình vi phân Qui luật biến đổi theo thời gian của li độ x của con lắc

lò xo và của điện tích q của tụ điện là như nhau

1.4.2 Nghiệm của phương trình

Phương trình (1.4.1) có nghiệm tổng quát là phương trình của hai số hạng q q1 q2

q q c t là nghiệm tổng quát của phương trình:

2

2 0

q chính là dao động cưỡng bức trong giai đoạn ổn định

Trong giai đoạn ổn định q1 0 và 2

U q

2 2

12

Chương 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP

Dựa trên phương pháp giải bài toán dao động cưỡng bức bằng số phức

có thể phân chia thành các dạng bài tập như sau:

2.1 Bài toán dao động cơ

2.1.1 Bài toán viết phương trình dao động

(0) (0)

coscos

a x v b

Bài 1 Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ dao động điều hòa với chu kì 1s

người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc buông vật Viết phương trình dao động của vật

Giải

Tại t 0, có

(0) (0)

Bài 2 Vật nhỏ khối lượng m250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ thẳng đứng k25N m/ Từ vị trí cân bằng người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm s/ theo phương của trục lò xo Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, gốc thời gian lúc m qua vị trí cân bằng ngược chiều dương Hãy viết phương trình dao động

0

40410

j

a x

x j e v

(0)

40

a x

x v

v b

Điều kiện ban đầu là kéo vật tới vị trí có li độ 4cm rồi thẻ nhẹ

Nhận xét: Dùng số phức để viết phương trình dao động rất tiện lợi và

nhanh gọn, chỉ cần tính , viết đúng các điều kiện ban đầu ta dễ dàng viết được phương trình dao động của vật

Đáp số

Ban đầu người ta kéo vật tới li độ 4cm rồi truyền cho vật một vận tốc

4cm s/ theo chiều dương

2.1.2 Bài toán tổng hợp dao động điều hòa

Vận dụng phần tổng hợp dao động điều hòa trong mục (1.2.2.4) để tổng hợp dao động

Giải

Ta có:

6 1

2

( )33

75cos(2 ) 5cos(2 ) 5cos(2 )( )

2.1.3 Bài toán dao động cơ cưỡng bức

Bài 1 Chứng tỏ rằng nếu ngoại lực tác dụng lên một dao động tử (con lắc lò

xo) có dạng Hcost thì li độ của dao động cưỡng bức có dạng:

( ) 0

  

      (2.1.2) Điều kiện để phương trình này được thỏa mãn ở mọi thời điểm t là:

Mô đun hai vế bằng nhau: Z x C 0 H

r

    là acguymen của tổng trở phức Z C



, công thức (2.1.2) có

thể viết lại như sau: v Z C F

  

 , công thức tương tự như công thức U Z I

  

 của định luật Ôm dạng phức

Bài 2 Chứng minh khi có cộng hưởng li độ thì biên độ của li độ một dao

động cơ học cưỡng bức có dạng:

t

H A

r

 , trong đó H là biên độ của ngoại

lực, còn

2 2

2,4

Biên độ của li độ

C

H A

Z



2 2

0,012

2.2 Bài toán dao động điện cƣỡng bức

2.2.1 Bài toán mạch nối tiếp

Xét mạch điện R L C, , mắc nối tiếp

Kí hiệu ,I U U U U L, R, C,

là các số phức biểu diễn lần lượt các đại lượng điều hòa

L C R



  , là định luật Ôm cho bởi dạng thực

Và biểu thức của hiệu điện thế: u t( )U0cos( t ), của cường độ dòng điện i t( )I0cost, ta thấy điện thế giữa hai đầu mạch sớm pha hơn 

so với cường độ dòng điện qua đoạn mạch Góc  cho bởi (2.2.8)

Mở rộng, giả thiết các tổng trở Z Z1, 2, ,Z n

mắc nối tiếp được biến đổi

thành tổng trở tương đương Z , khi đó ta có:

Như vậy, định luật Ôm cho bởi dạng phức có nội dung rộng hơn so với định luật Ôm dạng thực Điều kiện thuận lợi chính là ở chỗ khi dùng

tổng trở phức Z có thể cộng tổng trở của từng linh kiện mắc nối tiếp, như

công thức (2.2.6)

Bài tập vận dụng

Bài 1 Mạch điện xoay chiều gồm R100,

cuộn dây có điện trở thuần

2

2 arctan 3