DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là hiện tượng chuyển pha của các boson, trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha. Ngưng tụ Bose – Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử rubidi và natri được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

NGUYỄN MINH THU

DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG

NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ -

NGUYỄN MINH THU

DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG

NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Nguyễn Văn Thụ

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học TS.Nguyễn Văn Thụ, thầy đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và nghiêm khắc hướng dẫn em để em có thể hoàn thành khóa luận này

Trong quá trình học tập, trưởng thành và đặc biệt là giai đoạn thực hiện khóa luận, em nhận được sự dạy dỗ ân cần, những lời động viên và chỉ bảo của các thầy cô Qua đây cho phép em bày tỏ sự biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ lý thuyết, khoa vật lý, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Xin chân thành cảm ơn các bạn trong nhóm chuyên đề: “ Ngưng Tụ Bose – Einstein ”, những người đã cùng em san sẻ kiến thức, hun đúc quyết tâm và cộng tác hiệu quả trong quá trình thực hiện khóa luận

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Minh Thu

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy TS.Nguyễn Văn Thụ Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy em xin cam đoan nội dung của đề tài: “ Dao động kích thích bề

mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein ” là kết quả nghiên cứu, thu thập của

riêng em Các kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không có sự trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Minh Thu

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 3

1.1 Thống kê Bose – Einstein 3

1.2 Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein 4

1.3 Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Bose lí tưởng 5

Chương 2: DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 10

2.1 Phương trình Gross – Pitaevskii 10

2.2 Tổng hợp các mức dao động 15

2.3 Gần đúng Thomas – Fermi 19

2.4 Ảnh hưởng của kích thước hữu hạn và trường trung bình ngoài 26

2.4.1 Ảnh hưởng của kích thước hữu hạn 26

2.4.2 Ảnh hưởng của trường trung bình ngoài 27

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) là hiện tượng chuyển pha của các boson, trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha

Ngưng tụ Bose – Einstein đã được quan sát thành công bằng thực nghiệm năm 1995, trong đó các nguyên tử rubidi và natri được giam trong một thể tích nhỏ nhờ một từ trường và sau đó được làm lạnh xuống gần không độ tuyệt đối bằng laser Đó là BEC từ khí bose Sau đó không lâu BEC từ khí fermi cũng đã được thực nghiệm khẳng định.Việc tạo ra BEC là một quãng thời gian dài và vất vả của các nhà nghiên cứu Đầu thế kỉ 20 (năm 1920) khi

từ công thức lý thuyết trong ngưng tụ Bose – Einstein dự đoán sẽ xuất hiện trạng thái BEC và mới chỉ nêu ra được tính chất cơ bản của nó Đó là một khối các hạt đồng nhất và có spin nguyên, chúng đều ở trong cùng trạng thái

cơ bản như nhau Dừng lại ở đó cho tới khi chế tạo được BEC trong thực tế, một loạt tính chất quan trọng chưa từng biết đến trước đây được phát hiện Đây là trạng thái của vật chất hoàn toàn mới, không giống với trạng thái vật chất nào mà con người được biết Ngưng tụ Bose – Einstein được tạo thành thuần túy từ hiệu ứng lượng tử, dựa trên thống kê Bose – Einstein, vì thế nó được coi là vật chất lượng tử với các tính chất rất đặc biệt: là một chất lỏng lượng tử với tính kết hợp rất cao như các tia laser Từ những tính chất cơ bản của BEC người ta có thể suy ra nhiều loại linh kiện, thiết bị tinh vi, chế tạo các chip nguyên tử thực hiện các chức năng cực kỳ đa dạng dùng trong các giao thoa kế, máy kỹ thuật toàn ảnh, kính hiển vi đầu dò quét và xử lí thông tin lượng tử Khi áp dụng ngưng tụ Bose – Einstein người ta sử dụng phương

pháp trường trung bình:

 ( , )r t  0( )r    ( , )r t

,

trong đó   ( , )r t

gây ra kích thích bề mặt theo hai cách: khai triển Fourier

(ảnh xung lượng của r k t , 

và dịch chuyển pha (solitons) Đó cũng là lý

do em chọn đề tài “Dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose - Einstein” để tìm hiểu về một trong hai cách gây ra kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein Mặt khác em muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau nhằm tích lũy kiến thức cho bản thân

2.Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu tổng quát về ngưng tụ Bose – Einstein

Tìm hiểu về các ảnh hưởng tới dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein

4.Đối tượng nghiên cứu

Dao động kích thích bề mặt trong ngưng tụ Bose – Einstein

5.Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phân bố thống kê cổ điển, lượng tử và các phương pháp giải tích toán học

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: Tổng quan về ngưng tụ Bose – Einstein

Chương 2: Dao động kích thích trong bề mặt ngưng tụ Bose - Einstein

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN 1.1 Thống kê Bose – Einstein

Cơ học lượng tử mô tả các tính chất và đặc tính riêng biệt của các hạt của thế giới vi mô mà thông thường chúng ta không thể giải thích được nếu dựa vào các quan niệm cổ điển Các đặc tính đó là: lưỡng tính sóng – hạt của các đối tượng vi mô, tính gián đoạn của các thông số vật lý đặc trưng cho hạt

vi mô, các đặc tính spin v.v

Từ các đặc tính sóng – hạt ta rút ra tính đồng nhất như nhau của các hạt trong cơ học lượng tử Khi các hạt hoán vị ta có thể thu được hàm sóng đối xứng hoặc phản đối xứng

Khi xét đến tính đồng nhất như nhau của các hạt cũng như tính đối xứng của các hàm sóng ta có hai loại hệ lượng tử khác nhau và do đó ta tìm được hai thống kê lượng tử quan trọng: Thống kê Bose – Einstein áp dụng cho hệ boson và thống kê Fermi – Dirac áp dụng cho hệ fermi

Năm 1920 nhà vật lý Ấn Độ Satayendra Nath Bose đưa ra các quy tắc về

sự phân bố thống kê các hạt quang tử (photon) không có khối lượng nghỉ Năm 1924 – 1925 khi khảo sát hệ boson (các hạt có spin nguyên) không tương tác Albert Einstein đã mở rộng quy luật phân bố thống kê trên đây cho các nguyên tử (là các hạt có khối lượng) và sau này trở thành tổng quát cho mọi hạt vi mô có số lượng tử spin là số nguyên Từ lý thuyết đó phát triển thành một thống kê lượng tử mô tả các boson Được gọi là thống kê Bose – Einstein có dạng:

 

l

l l

g n

1.2.Thực nghiệm về ngưng tụ Bose – Einstein

Ngưng tụ Bose – Einstein là một trạng thái đặc biệt của hệ boson giới hạn trong một điện thế ngoài Các nguyên tử được làm lạnh tới nhiệt độ rất gần không độ Theo điều kiện này, một phần lớn boson chiếm mức năng lượng thấp nhất, đó là khi các boson giảm đến trạng thái không vận tốc

Trạng thái mới này của vật chất lần đầu tiên được dự đoán vào năm 1924 bởi nhà vật lý và toán học Ấn Độ Satayendra Nath Bose, ông cho rằng sự phân bố nhiệt của các photon không phải là phân bố Maxwell Boltzmann mà

là phân bố Plank Albert Einstein mở rộng điều này với một hệ lớn hạt bose không tương tác và trình bày ý cơ bản của một ngưng tụ Bose – Einstein vào năm 1925 Ông nhận ra rằng một phần lớn của các hạt chiếm trạng thái năng lượng thấp nhất ở nhiệt độ thấp Sau khi phát hiện ra tính siêu lỏng của Heli lỏng vào năm 1938, F London đề xuất các phương pháp gần đúng đầu tiên để thực hiện một BEC bằng cách sử dụng chất siêu lỏng 4He Tuy nhiên, sự tương tác giữa các hạt trong chất siêu lỏng 4He vẫn mạnh hơn một hệ khí lý tưởng đã được nghiên cứu bởi A.Einstein Kết quả lý thuyết và thực nghiệm cho thấy các phần nhỏ của các hạt ngưng tụ trong chất siêu lỏng 4He ít hơn khoảng 70% ở nhiệt độ không Lý thuyết đầu tiên của tương tác khí bose trong lĩnh vực BEC được xây dựng vào năm 1947 bởi Bogoliubov Ông giới thiệu hiệu chỉnh lượng tử của lý thuyết trường trung bình để tính sự tương tác nguyên tử - nguyên tử trong khí bị giam cầm

Các lý thuyết mang tính hiện tượng của tính siêu lỏng về quang phổ kích thích của chất lỏng 4He được xây dựng bởi Landau, mà sau này được bổ sung bởi kết quả thực nghiệm tiên đề quang phổ kích thích Các quan điểm lần lượt

là một trong những hiệu ứng hấp dẫn kết nối trạng thái BEC và chất siêu lỏng,

là chủ đề đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà lý luận, bao gồm Landau

và Lifshitz, Penrose, và Penrose và Onsager

Một phương diện quan trọng khác của BEC và siêu chảy là sự xuất hiện của xoáy lượng tử đã được tiên đoán bởi Onsager và Feynmam, và lần đầu tiên được quan sát thấy trong chất siêu lỏng 4He và mới đây là trong nguyên

tử BEC Ngưng tụ Bose – Einstein đầu tiên của nguyên tử 87Rb được tạo thành bởi nhóm JILA do E.Cornell và C.Wieman Hai thành tựu thực nghiệm

đã được ghi nhận trong cùng một năm của nhóm Ketterle trong MIT cho 23Na

và nhóm Hulet trong trường Đại học Rice cho 7Li Điều này có thể được thực hiện bởi những cải tiến trong nguyên tử làm lạnh và kỹ thuật bẫy, là thí nghiệm cho phép làm lạnh khí loãng của nguyên tử trung hòa xuống nhiệt độ cực thấp

Cuối cùng ngưng tụ của nguyên tử Hydro được tạo thành trong năm

1998 Có hai kỹ thuật làm lạnh để tạo ra các nguyên tử BEC loãng trong phòng thí nghiệm bằng cách kết hợp tia laser làm lạnh và làm lạnh bay hơi

Kỹ thuật làm lạnh đầu tiên dựa trên bẫy các nguyên tử do sự dịch chuyển Zeeman trong bẫy từ - quang và làm lạnh chúng đến khoảng 10 µK Sau đó được bắn phá bởi các photon trong chùm tia laser phản lan truyền trong tất cả

ba hướng không gian Kỹ thuật làm lạnh thứ hai được thực hiện bằng cách loại bỏ đuôi năng lượng cao của phân bố nhiệt từ cái bẫy, do đó làm giảm nhiệt độ dưới 1 µK Cho đến nay, BEC đã được tạo ra với Rubidi, Natri, Lithium, Hydrogen, Helium, Kali, Cesium, Ytterbium, Canxi và Stront Ngoài

ra các yếu tố khác được quan tâm do từ trường lớn tương tác lưỡng cực – lưỡng cực cũng được ngưng tụ, chẳng hạn như Chromium, Dysprosium và gần đây hơn là Erbium

1.3 Ngưng tụ Bose – Einstein đối với khí Bose lí tưởng

Đối với khí Bose lí tưởng, theo công thức của thống kê Bose – Einstein,

số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ đến + là:

trong đó ( ) là số các mức năng lượng trong khoảng từ đến +

Ta đi tìm ( ) Theo quan điểm lượng tử các hạt boson chứa trong thể tích có thể xem như các hạt sóng dừng De broglie Vì vậy có thể xác định

2

2

p m

ứng với cùng một giá trị của spin s của hạt là g  2s 1 Do đó, số các mức

năng lượng trong khoảng từ đến + bằng:

 

3

2 3

2 2

Như vậy theo công thức (1.1) số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng

  0 (1.11) Thực vậy, số hạt trung bình dn  chỉ có thể là một số dương Do đó, theo (1.9), điều kiện đó chỉ được thỏa mãn khi mẫu số ở (1.9) là luôn luôn

dương, nghĩa là khi   0(để cho exp  

0 0

0

2 0

exp

exp 1

d d

N N

nằm ở một pha khác mà người ta quy ước gọi là pha ngưng tụ

Như vậy ở nhiệt độ thấp hơn T 0 một phần các hạt của khí bose sẽ nằm ở mức năng lượng thấp nhất (mức năng lượng không) và các hạt còn lại sẽ được phân bố trên các mức khác theo định luật

1 exp  1

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG KÍCH THÍCH BỀ MẶT TRONG NGƯNG

TỤ BOSE – EINSTEIN 2.1 Phương trình Gross – Pitaevskii

Để nghiên cứu khí tương tác không đồng nhất ta phải khái quát lý thuyết Bogoliubov Ta sẽ sử dụng lý thuyết Bogoliubov cho trường toán tử có dạng

tổng quát  r   0 r a0 i0i r al nghĩa là với trật tự gần đúng bậc nhất ở nhiệt độ rất thấp, để đơn giản có thể thay thế toán tử r t,  với trường cổ điển  0r t,  còn được gọi là tham số trật tự hoặc các hàm sóng của ngưng tụ Phương pháp này thực sự có ý nghĩa vật lý sâu sắc Trong thực tế, sự thay thế tương tự các chuyển đổi từ điện động lực học lượng tử để mô tả trường điện

từ cổ điển Ta biết rằng điều này là hợp lý nếu có một số lượng lớn các photon trong trạng thái gần đúng lượng tử Trong trường hợp không giao hoán các toán tử không quan trọng và ta có thể mô tả các trường điện từ bằng cách sử dụng hàm cổ điển nghĩa là trường điện và từ tuân theo các phương trình Maxwell Trong trường hợp đó có sự xuất hiện của một số lượng lớn các nguyên tử trong một trạng thái đơn lẻ (Bose – Einstein) cho phép sử dụng các hàm cổ điển  0r t,  Tuy nhiên ta vẫn chưa thiết lập phương trình chuyển động của trường này Với mục đích này ta nên nhớ các trường toán tử r t, 

trong biểu diễn Heisenberg thỏa mãn chính xác phương trình:

cho các toán tử trường Việc thay thế r t,  cho  0r t,  đối với một thế thực

là không phù hợp Nhưng là phù hợp nếu sử dụng một cách hiệu quả điện thế không đàn hồi V e f f khi áp dụng gần đúng Born Thế V e f f được tạo ra tương tự

tính chất tán xạ năng lượng thấp được cho bởi thế cơ bản V Giả thiết rằng

hàm  0r t,  thay đổi chậm theo khoảng cách của thứ tự các độ lớn của lực

giữa các nguyên tử, người ta có thể thay thế r’ cho r cho đối số của 0cuối cùng thu được phương trình:

với hằng số tương tác g  V eff  r dr Bằng cách biểu diễn tích phân này theo

độ dài tán xạ của sóng s, thu được mối liên hệ:

xạ s cho ta các tham số tương tác liên quan Phương trình (2.2) được xây dựng

một cách độc lập bởi Gross (1961) và Pitaevskii (1961) và chính là lý thuyết chính để nghiên cứu khí bose loãng không đồng nhất ở nhiệt độ thấp Nó là đặc trưng chính của một loạt các phương trình nơi mà tham số thứ tự phải được tính một cách phù hợp

Ta đã dự đoán phương trình (2.2) cho tham số thứ tự 0 đóng vai trò

tương tự phương trình Maxwell trong điện động lực cổ điển Ta có thể nói rằng hàm sóng ngưng tụ thể hiện trong giới hạn cổ điển của sóng De broglie, nơi mà các dạng hạt của vật chất không còn quan trọng Tuy nhiên không giống như các phương trình Maxwell, phương trình (2.2) chứa hằng số lượng

tử ћ một cách rõ ràng Lý do khác biệt này là do mối liên hệ khác nhau giữa

năng lượng ( ) và xung lượng ( ) trong trường hợp của các photon và các nguyên tử, trong đó hàm ý mối liên hệ khác nhau giữa các tần số    và vectơ sóng k  p của các sóng tương ứng Đối với các photon mối liên hệ

  có chứa hằng số ћ Điều này

có ý nghĩa, đặc biệt trong hiện tượng kết hợp như nhiễu loạn phụ thuộc vào giá trị của hằng số Planck Một nét đặc biệt của phương trình Gross – Pitaevskii (2.2) là sự phi tuyến của nó Điều này xuất phát từ sự tương tác giữa các hạt và đưa ra một suy luận đáng kể giữa ngưng tụ Bose – Einstein trong khí nguyên tử và quang học phi tuyến Ảnh hưởng của sự gắn kết và tương tác là các đặc tính quan trọng có thể được nghiên cứu bắt đầu từ phương trình Gross – Pitaevskii và làm cho vật lý của ngưng tụ Bose – Einstein là một lĩnh vực phong phú của nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết

Ta xét các điều kiện áp dụng của phương trình (2.2) Đầu tiên, tổng số các nguyên tử là đủ lớn, vì chỉ trong trường hợp này là ta được sử dụng các khái niệm về ngưng tụ Bose – Einstein Thứ hai, để thay thế các toán tử với lĩnh vực cổ điển ta phải giả thiết rằng điều kiện không loãng 1 3

a  n được thỏa mãn và nhiệt độ của mẫu đủ thấp Điều này cho phép ta bỏ qua các suy giảm lượng tử và nhiệt của ngưng tụ và hàm ý rằng các tham số thứ tự được

chuẩn hóa với tổng số các nguyên tử  02drN Điều kiện tương tự cũng cần thiết để rút ra được các lý thuyết Bogoliubov của khí bose tương tác yếu

và nó có nghĩa mật độ của ngưng tụ trùng với mật độ của khí:

2 0

n r   r (2.4)

Một điều kiện nữa là chỉ được sử dụng phương trình Gros-Pitaevskii (2.2) để khảo sát những hiện tượng đang diễn ra trên một phạm vi lớn hơn nhiều so với chiều dài tán xạ

Trong thực tế, kết quả đối với khí loãng ta có thế bỏ qua để gần đúng bậc nhất chỉ ra mối tương quan giữa các hạt và viết hàm sóng nhiều hạt của hệ trong hình thức đối xứng (gần đúng Hartree- Fock)

trong đó a là hàm số thu được từ việc giải phương trình Gross - Pitaevskii

Một cách khác có thể thu được các phương trình phụ thuộc thời gian (2.2) bằng cách sử dụng điều kiện dừng

là hàm năng lượng của hệ

Xét các định luật bảo toàn kết hợp với phương trình (2.2) Trước hết,

phương trình đảm bảo việc bảo toàn các số nguyên tử  2