Gần đúng Thomas – Fermi - Cấu trúc khóa luận- 123docz.net

6. Cấu trúc khóa luận

2.3. Gần đúng Thomas – Fermi

và ba nghiệm có dạng δn = αxy‚ βyz và γxz tương ứng với tần số 2 2 2

x y    , 2 2 y z   và 2 2 z x

  . Trong trường hợp ngưng tụ biến dạng các nghiệm sau tương ứng với chế độ kéo, nghĩa là tương ứng dao động quay của đám mây

nguyên tử trong mặt phẳng xy‚ yz‚ xz. Chế độ kéo đặc trưng cho tính chất

quay của ngưng tụ.

Trong cùng một giới hạnz   nghiệm lớn nhất của phương trình (2.33) xấp xỉ giá trị 2. Sự trùng hợp về kết quả này với dự đoán khí lí tưởng cho cùng một phương thức không phải là ngẫu nhiên. Thực tế chỉ có

thể chứng minh một cách tổng quát rằng các dao động xuyên tâm m = 0 của

một ngưng tụ kéo dài có tần số 2và không phụ thuộc vào sự tương tác cũng như biên độ dao động. Để chứng minh điều này ta xuất phát từ phương trình phụ thuộc thời gian đối với bình phương bán kính trung bình xuyên tâm

 

2 2

1 ,

r  N  d r r n r t .

Từ phương trình liên tục ta được kết quả :

2 2   , d r drr j r t dt   N   , (2.35) trong đó j r t , 

là mật độ dòng. Bằng cách lấy đạo hàm theo thời gian (2.35) và sử dụng phương trình (2.14) cho thông lượng, sau vài phép tính đơn giản ta thu được phương trình :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 z 2 z z d E r r p r dt      m N m   , (2.36)

trong đó E là năng lượng toàn phần của hệ được bảo toàn theo thời gian và

p m và 2 2

m z tương ứng là động năng và thế năng dao động. Kết quả (2.36) là chính xác với phương trình Gross – Pitaevskii, nó không làm hạn chế trạng thái Thomas – Fermi cũng không bị giới hạn bậc nhất. Trong một cái bẫy tần số cao z các cặp chuyển động xuyên tâm yếu với các bậc tự do nên có thể bỏ qua sự biến thiên thời gian của số hạng 2

p và

r trong (2.36).

Đối với những bẫy biến dạng cao có thể lấy các kết quả phân tích đơn giản cho các kích thích với số lượng tử lớn hơn. Ví dụ, trong trường hợp các bẫy dạng điếu thuốc z  ta được định luật tán sắc :

2  1   2

4 z

k k k

    , (2.37)

trong đó k là số lượng tử liên quan đặc trưng cho hình dạng không gian của

mật độ dao động    1  ... k k n z z z       . Phương trình (2.37) phù hợp nếu  k

  . Bao gồm như trường hợp đặc biệt, trạng thái lưỡng cực

k 1,    và tứ cực k  2,  5 2z. Nó cũng cho phép ta hiểu

được quá trình biến đổi giữa trạng thái rời rạc (k nhỏ) và liên tục (k1), thông qua việc xác định kqZtrong đó q là vectơ sóng của các phonon một chiều. Thực tế với k lớn phương trình (2.37) trở thành cqtrong đó

2 2

c   z   m trùng với vận tốc âm trong trạng thái một chiều.

Tương tự đối với bẫy hình đĩa  z định luật tán sắc của những trạng thái thấp nhất có dạng tích phân:   2 4 2 4 2 , 2 3 3 r r r r n m n n m n m         , (2.38)

trong đó nr = 0‚1‚... là số các nút xuyên tâm và m là thành phần z của góc

xung lượng.