Ứng dụng của định lý Viét để giải một số bài toán trung học phổ thông

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐÀU 1 Lý do chọn đề tài

Định lý là một mệnh đề đúng vì thế nó là kiến thức cơ bản và có giá trị

về phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình tốn nói chung cũng như chương trình tốn trung học phổ thơng nói riêng

Có rất nhiều định lý nỗi tiếng có vai trò quan trọng trong nghành toán học như định lý Fermat, định lý Chebyshev, định lý Bunhia, định lý Cauchy trong đó có định lý Vi-ét Do có đặc thù đặc biệt gồm định lý thuận và định lý đảo nên nó có nhiều ứng dụng quan trọng, có vai trị “móc chìa khóa” mở ra các hướng giải quyết cho những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai, hệ phương trình

Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm đa dạng

các bài tập về phương trình bậc hai, quy về phương trình bậc hai, các bài toán

liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc hai, những thuật giải phương trình, hệ phương trình độc đáo

Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã tạo được hứng thú giải bài tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những lý tưởng phong phú, trau dồi

tư đuy và óc sáng tạo cho các em Tuy nhiên, còn rất nhiều ứng dụng của định lý Vi-ét mà hầu như học sinh chưa nắm được Với việc hệ thống một cách tương đối đầy đủ và cụ thể theo từng dạng cùng phương pháp giải và bài tập áp dụng nhằm cung cấp thêm tài liệu cho học sinh và giáo viên thuận lợi trong quá trình học tập, cùng với sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tịi mong muốn có được kiến thức vững vàng hơn về các bài toán ứng dụng

của định lý Vi-ét mà tôi chọn đề tài “Ứng dụng cúa định lý Vi-ét để giải một

số bài toán trung học phổ thông”

Trang 2

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp thêm tài liệu cho giáo viên và học sinh thuận lợi trong quá trình học tập và giảng dạy, từ đó nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường phô thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận, ứng dụng của định lý Vi-ét

- Tìm hiểu thực trạng dạy và học định lý Vi-ét ở một 36 truong trung hoc phé théng

- Xây dựng hệ thống bài tập về một số ứng dụng của định lý Vi-ét - Tiến hành thực nghiệm đề kiểm tra tinh khả thi của khóa luận

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu ly luận - Phương pháp tống kết kinh nghiệm

- Phương pháp thực nghiệm

5 Cấu trúc đề tài

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung

Chương l Cơ sở lý luận

Chương 2 Ứng dụng của định lý Vi-ét dé giải các bài tốn trung học

phổ thơng

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm Kết luận

Trang 3

NOI DUNG

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Định lý Vi-ét

1.1.1 Định lý Vi-ét trong Toán học 1.1.1.1 Định lý thuận

Nếu phương trình bậc n

a,x" +4, ,X"'+ +4a,x+a, =0(a#0)

có n nghiệm x,,x,, ,x, (cac nghiém khong nhat thiét phan biét) thi ta co hé thức Vi-ét sau: n=l a X, +X, + 4+%,=- n-2 a n

XX, +X Xye XX, FIX, $A ALM, +N, HM, =

1.1.1.2 Dinh ly dao

Cho n số thực tly YQ,,@,, ,@, Dat S=ø,+ø,+ +Ø,

S, =@,,+ @,0, +@, a,

Trang 4

Khi đó ø,,ø, z„ là các nghiệm của phương trình:

x= Sx" + 4(-1) Sx"* + +(-1)'S, =0

1.1.1.3 Vidu

Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba * Định lý thuận

Cho phương trình bậc ba:

ax` + by? +cx+ d =0(a #0)

Giả sử phương trình có ba nghiệm x,,x,,x, (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt)

X,+x,4+%,= 2 a cau c Khi đó XX, + XX, +.X,x, =— a X,X,X, =—— a * Dinh ly dao Giả sử cho 3 số thực x,„x,,x, Đặt § =x,+x, +x, S, = x,X, +x,x, +.%,x, S, = X,x,X,

Khi do x,,x,,x, 1a cac nghiém của phương trình:

x - Sx? +S,x-S,=0

1.1.2 Nội dung định lý Vi-ét trong nhà trường phổ thông

1.1.2.1 Định lý thuận

Nếu phương trình bậc hai ax? + bx + = 0(a #0) có hai nghiệm x,,x, thì

b x.+x,=T— a

Trang 5

1.1.2.2 Dinh ly dao

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thi u va v là nghiệm của phương trình:

X?-SXY+P=0

Điều kiện cần và đủ để tồn tại hai số u và v là S” > 4P

1.2 Một số ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài toán Trung học

phố thông

1.2.1 Bài toán nhấm các nghiệm cúa phương trình bậc hai

Vĩ đụ: Khơng giải phương trình, hãy tìm nghiệm các phương trình sau:

a,x -3x+2=0 b,x -7x+§=0 c, 2x° +5x+3=0 đ, 5x ”+12x—17=0 Giải a,x -3x+2=0 Tacó:a+b+c=l-3+2=0 x, x,

=>Phương trình có hai nghiệm ‘

b, x -7x-8=0

Tacó:a-b+c=l+7-§=0

x,=-1

=Phuong trinh cé hai nghiém 3°

Xx, =

c, 2x7 +5x+3=0

Tacé:a—b+c=2-5+3=0

x,=-l => Phương trình có hai nghiệm 3

X,=—— đ, 5x +12x—17=0

Tacó:a+b+c=S5+l12-I7=0

x=l = Phương trình có hai nghiệm 17-

X;=—— 5

Trang 6

1.2.2 Bài tốn tính giá trị các biểu thức dối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ I: Giả sử phương trình ax°+bx+c=0(a#0) có hai nghiệm

x,,x, Hãy lập phương trình có nghiệm như sau:

a, —X, VÀ —X, d, x.+x, va x,.x, | 1 1 b, 2x, va 2x, e, — va — x x, 2 x 2 C, xỉ Và x; Giải

Giả sử phương trinh ax’ + bx + e= 0(a 0) có hai nghiệm x,,x, b S=x,+x,=-— Khi do ta dat: c P=x,.x,=— a a, —x, va —x, (-x,)+ (-x,) = -(x +x; ) =—S Ta có: (—x, )(-x,) =x, =P

Vậy—x, và —x, là nghiệm cia phuong trinh ? + St+ P=0 b, 2x, va 2x,

_ |J2x+2x,=2(x+x,) =2

Ta có: ` _

2x,.2x, =4x,x, =4P

Vậy 2x, và 2x, là nghiệm của phương trình ÿ —2%+P=0

c, x, va x;

Ta có: Đ +x, =(x,+x,) —2xx,=%°—2P

2

x, x; =P?

Vay x; và x; là nghiệm của phương trình ¢ -(S*-2P)¢+ P* =0

Trang 7

d, x, +x, va x,.x,

Tạ có: l +x,)+xx,=S+P (x, + x,).x, x, = SP

Vậy x¿+x, và x,.x, là nghiệm của phương trình ? —(§ + P)+ $P=0

e, — va — x x, 1 1 x, +x, 1 1 S$ —+— = 2 —+—=— rb x x, xXx, x, x, P Ta có: © tilt bill xX, xX, XX, x, x, P lẻ, ¬ su z ST

Vậy — và — là nghiệm của phương trình /' —/+— =0

Xx, I Xx 2 P P

Vi du 2: Giả sử x,,x, là các nghiệm của phương trình 3x — 5x— 6=0 Hãy tính: a, x) +X; b, xi +x} x 2), % 2 c, x' 1 — x! 2 đ, +(1-x?)+=2(1-x?7) 2 1 x, x, Giải

Ta có A= 25 + 4.3.6 © A = 97 >0 > phương trình có hai nghiệm x,,x,

Theo định lý Vi-ét ta có:

a, x) +x;

Taco (x +x3)=(x, +x,) —3x,.x,(x, +x,)

©x+x.= (>) -3.(-2).3

Trang 8

©x+x = 15 119 27 33 _ 395 BX +x, = “27 b, x6 +x} Ta c6 (x) +.x3) = (x) +x?)— 2xx; cx+x =[ (x, +x,)`—2x, x) — 2xx? 3 2 ©x'+x;= 5 —2.(-2) 246 x4¢x-327!_¢ 3 ˆ 81 + 4 _ 3073 S x} +x) = 81 c, x) — x} Ta có mà Œ, —x,} = (x, +x,) -4x x, © (x, -x,) = (3) -4(-2) & (x, -x,) = ` 497 Gia str x, <x, thi x, —x, —

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp + a 305-97 _._ 305/97 =x -X,==_ôâx_-Y ot 27 3 nó 81 Gia str x, > x, thi —- ,„_ 35597 , „_ 305497 >xT-X,=— ——— ©x-x,= 27 3 se 8 Av)e (ew ¬" Ta có xú-x)+ 0<) = 1+ tt c2xw c© A 4 ayy = (ute y = 2%, —2x,.x, x, x, X.X; Cˆ+4 © “!(I-x;)+“2(I-x7)= S +4 2)4 (yz) Oh © (lex) (l x) s4 ¬ " n- Xx, vx, 18

Vi dụ 3: Gia st x,x, là các nghiệm của phương trình ax’ +bxt+c= O(a z 0) Hãy biểu diễn các biểu thức sau qua a, b, c

a, x +x; b, xP +x; 1 1 > 2 c, —+— d, x, —4x,x,+x, x, x, Giải _b X+x,=T—— a

Theo dinh ly Vi-ét ta co:

Trang 10

2 2 a, x, +x; Taco x) +.x>= (x, +x,)’ —2x,x, 2 ? c 2x tx = —-2- a@ sea >, 2 _(b)’ —2ac Sx tx =———— az b, x +x; Ta có x ` +x; = (x,+x,) —3x.x,(x, +x,) 38 b ich ©x+x, = c†+3—— a aa 3 3 _3abe—b’ OX +X, = a 1 1 c, —+— x x, , 1 ot xX, +X, II _-bøa 1 1 _-b Tacó —+—= ©—+—=—.—€6€_—-+†—=— xX, X, XX, Xx xX, ae x, xX, CỐ 2 2 d, x —4x,x, +x} „ 2 2 —_ 2 Tacó x, —4x,x, +x) = (x,+x,) -— 6x,.x, 2 ,_b Cc & x — Axx, +x) = > -6- a a > , _ b-6ac ©x -4xx,+x; = a“ :

1.2.3 Bài tốn tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình ax’ +bx+c=0 (a z 0) không phụ thuộc vào tham số

Ví dụ I: Cho phương trình (m _ 1)x — 2(m — 4)x +m — 5 =0(1) Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào tham sô m

Trang 11

Giải

Phương trình (1) có 2 nghiệm x,,x, khi và chỉ khi m—1#0 (m—4)) =(m—])(m—5)>0 11 ml mal = Ly no mS

khi đó phuong trinh (1) co hai nghiém x,,x, thỏa mãn:

x, tx, = 2-4) m= Sh % ° m-1 So 2-x,—-X, m—5 5-Xx,.x, X, xX, = —— m=—— m—] 1-x,.x, Khử m ở hệ trên ta được: 8Ñ-x-x, 5X, 2-x,-x, 1-x,.x, & 8-8 x,.x, + x/x, + x}x,-—x,-—x, = 10-5x, — 5x, —2x, x, +x) x, +x) x, <> A(x, +x,)-6x,x,=2 & 2(x +x,)—3xx,= I Vậy hệ thức cần tim 1a 2(x, + x,)—3x,x,= 1

Chi ý: Trong nhiều trường hợp, việc khử tham số cần sử dụng các hằng

đăng thức, đặc biệt là các hằng đăng thức lượng giác ví dụ như:

sin’ a+cos'a=1

tana.cota =1

Vi du 2: Cho phuong trinh x° —2sina.x+cosa-1=0 (2) a, Chứng minh rằng phương trình (2) ln có nghiệm với mọi a

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình (1) không phụ thuộc vào œ

Trang 12

Giải a, Ta có A’ = sin’a + (1 — cosa) > 0 V a

Vậy với mọi œ phương trình (2) ln có hai nghiệm x,,x, thoa man:

xX, +x, =2sina (I) x,.x, =cosa—1 b, Khử ơ từ hệ (1) ta được: sing ='L~% sin? = St) 2 2S 4 cosa =x,.x, +1 cos’ a =(x,.x, +1)’ 2 2

=> sin’a + cos”œ = Gray (x,.x, +l? @1= rays (x,.x, +1)’

à +x,} >

Vậy hệ thức cần tìm là Ca (x.x, +1)? =1

Vi du 3: Cho phuong trinh: (1 + mx? —2mx+1-n’ =0 (3)

a, Chứng minh rằng phương trình (3) ln có nghiệm với m > l

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình (3) khơng phụ thuộc vào tham số m

Giải

a, Ta có A' =m?- (1 + m2(1 -m?)= mỶ+ m”- I -[m +) -š

2

Vớim>1= [a2 ) > FS asl

Vậy phương trình (3) ln có nghiệm x,,x, với V m> 1 b, Theo định lý Vi-ét ta có: 2m x, + x, = 1 2 7” úp l-m Xx, = 2 l+m

Trang 13

ïx n l+m l+m? my)

=> (x, +x, + (xx,Ÿ= sin’a + cos”œ với m= tant

= (x, +, + (4x, = 1

Vậy hệ thức cần tìm là (x, + x,} + (x,x,} = 1

12.4 Bài tốn tìm điều kiện của tham số để phương trình

ax’ +bx+c=0 (a z 0) có nghiệm xạ, x; thỏa mãn điều kiện cho trước

Vi dụ 1: Với mỗi phương trình sau, biết 1 nghiệm Tìm m và nghiệm cịn lại

a, x°—mx+21=0 có một nghiệm bằng 7

b, x—0x+zm =0 có một nghiệm bằng -3

e, (m—3)x”—25x+32 =0 có một nghiệm bang 4

Giải

Giả sử nghiệm đã cho làx,, phải tìm nghiệm thứ hai là x, và tham số m a, x—mx+21=0 có một nghiệm bằng 7

7+x,=m x, =3

=

7x, =21 m=10

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là 3 và m = 10 Theo định lý Vi-ét ta có b, x°—~9x+ =0 có một nghiệm bằng -3 Theo định lý Vi-ét ta có (-3)x, =m m=-36 2 (-3)+ x, =9 x, =12

Vậy nghiệm cịn lại của phương trình là 12 va m = —36

c, (m—3)x”~25x+23=0 có một nghiệm bằng 4

Trang 14

Theo định lý Vi-ét ta có

(-4)+x,=- nh

no?) oo

-4).x,=———— x, ==

4) m-3 ` 77

Vay nghiém con lai cua phuong trinh hộ vim= =

Vi du 2: Cho phuong trinh bac hai x* + (2m—3)x +m’ —2m=0 (1)

a, Xác định m dé phuong trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

b, Với giá trị nào của m thì phương trinh (1) có hai nghiệm phân biệt và

tích của chúng bằng 8

Giải

a, Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy với m < : thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b, Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m < 7

Theo định lý Vi-ét ta có x,.x, =m”— 2m mà x,.x, =8

m=-2 m=4 => m-2m=8>

“ ^ 22 1a 9

+ Với m = 4 không thỏa mãn m < T

+ Với m =-2 thỏa mãn m < = Khi đó phương trình (1) trở thành

x? —7x+8=0(2)

Trang 15

Phương trình (2) có hai nghiệm x, = T >? x, = 2

Vay voi m = -2 thì phương trình (I) có hai nghiệm phân biệt

x, = 7+ŸjH 5X, = 7-vi7 thỏa mãn tích của chúng bằng 8

2 2

Vi du 3: Cho phương trình mx”—2(m—1)x+3(m—2) (3) Tìm m để

phương trình (3) có hai nghiệm x,,x, thỏa mãn x, + 2x, =1

Giải

Phương trình (3) có hai nghiệm x,,x, khi và chỉ khi: m#0 m#0 So _ MA mel? =8 2 2 _ 20n—]) — 1m _ 3(m—2) —— x+2x, =l X, +X, 1

Khi đó theo định lý Vi-ét và điều kiện bài ra ta có: 4 x,.x,

Rút x,,x, từ phương trình thứ nhất và thứ ba của hệ ta được:

x=1- 2(m—]) x, = 2-m m m x=l-2x,=l— + ý _3m-4 m m

Thay x,,x, vào phương trình thứ hai của hệ ta được: 2-m 3m-4 _ 3(m-2)

mm m

<= (2- m)(3m- 4) = 3(m - 2)m < (2 - m)(3m - 4 + 3m) = 0 << (2-m)(6m- 4) =0

Trang 16

Vậy m = 2 hoặc m = ; thỏa mãn yêu cầu bài tốn

Ví dụ 4: Tìm a đễ phương trình x? +øx+l=0 (4) có nghiệm x,,x, thỏa mãn

x ox

My xx 7,

2 1

Giải

Phương trình (4) có nghiệm khi và chỉ khi a”— 4> 0 © la| > 2

x.+x, =-a Mặt khác, theo định lý Vi-ét | (1) x,.x, =1 x x, , x x x, x,) Tacó: ++ >1e|S+5]=a>7 2 1 2 212 x +x ; ; ; © (0 +1) - 2) 9S (x 4x5) > Ox x x, Xx; | (x +x,) -2xx, J > 9x?

Thay (I) vào bất phương trình trên ta được

a-2>3 a>s gh dee

q <—

(”-2>9© 2

a -2<-3

Vay la| > ^Í5 thỏa mãn điều kién bai ra

Trang 17

Vi du 5: Tìm m đề phương trình:

xÌ—2mxT— m+2=0

có hai nghiệm sao cho tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi

m -(-m+2)>0 ©m°+m-—2>0 c©mec(_œ;-2] U [1; +00) Theo định lý Vi-ét ta có {: +3, =2m x.x, =2—m Ta có x +x;= (x,+x,) ` —2x,x, © x}+xj =4m”- 2(2 - m) © x+xj =4m+2m-4 Xét hàm số: f(m)= 4m”+ 2m-— 4 với m e (—œ;~ 2 ]2[1; +œ) Bảng biến thiên: M ao —2 _ 1 1 +00 4 f{m) - | - 0 + | + —ơa +œ f(m) 8 2 2 min ƒ(m) =2 khi và chỉ khi m= 1

me(—2;-2)U(1;+9)

Vậy min(x; +x,;)=2 khim=1 me(—2;-2)U(1;+0)

Trang 18

1.2.5 Bài toán xét dấu các nghiệm của phương trình

ax’ +bx+c=0(a#0)

Vi dy 1: Xac dinh m dé phuong trinh x? —2(m+1)x—m+1=0 cé hai nghiém duong phan biét

Giải

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi m<—3

(m+1) -(-m+1)>0 m>0

I-m>0 ©m<lÐ <60<m<l

2(m+1)>0 m>-l

Vay voi 0 < m< 1 phuong trinh da cho co hai nghiệm dương phân biệt Ví dụ 2:Xét dẫu các nghiệm của phương trình sau (nếu có)

(2-v3)x +2(I-v3]x+!=0

Giải

Ta có 2— A3>0P=(2- 43).1>0 A’ =(1- V3 -(2- V3) =2- V3>0

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt

-~24-x3) _23-2 _

2-43 2-3

Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

Mặt khác, S = 0

mx” +x+m

Vi du 3: Tim m dé 46 thi ham sé y= cat truc hoanh tai hai

x-I điểm phân biệt có hồnh độ đương

Trang 19

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và trục hoành là

(1)

mx +xt+m x#1

mg 1x TH _

x-1 mx’ +x+m=0

Đề đồ thị hàm số cắt Ox tại hai điểm có hồnh độ đương thi (1) phải có

hai nghiệm dương phân biệt khác | tire la

m.]?+1+m #0 mei m#0 m+0 1 1-4m’ >0 So 1 1 = =;<m<0 1 ——<m<— ——>0 m m<0

Vậy 5 < m<0 đô thị hàm sơ cắt trục hồnh tại hai điêm phân biệt có hồnh độ dương

Ví dụ 4: Cho phương trình m — 1)x” + 2(m + 2)x+ m+1=0 (2) a, Xác định m để phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu b, Xác định m đề phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt

Giải

a, Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi

m+1 c© c©=-l<m<]l

—<0

m-1#40 Mỹ

m-1 -l<m<l

Vậy với —1 < m< I thì phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu b, Phương trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

Trang 20

m—1#0 ml (m+ 2)? -(m? -1)>0 4m+5>0 m<-—2 ~2(m+2) 9 m-1 S m>l S me(~Fe1} (9) 4 m+Ì m<-l m-1 m>l

Vay voi me (-2:-1] U (1;+00) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm âm

phân biệt

1.2.6 Bài toán về hàm số

Ví dụ 1: Cho parabol (P): y=x? Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có

hồnh độ lần lượt là —1, 2 Viết phương trình đường thắng AB

Giải *Cach 1

Từ giả thiết ta có A(—1; 1); B(2; 4)

Phương trình đường thắng AB được xác định là

x1! „r] 2T dcp eet =3(y- 3(y Nox y+2=0 _y+2=

Vậy phương trình đường thắng AB là x~ y+ 2= 0 *Cach 2: Str dung định lý Vi-ét

Giả sử phwong trinh duong thang AB co dang: y=ax +b

Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và đường thắng AB là: x?=ax +b @©x -ax-b=0

Ta có xa=-—l; xgs= 2 là nghiệm của phương trình Theo định lý Vi-ét ta có:

-l+2=a a=1

=>

(-1).2=-b b=2

Trang 21

Vậy phương trình đường thắng AB là x~ y+ 2= 0

2

Vi du 2: Cho parabol (P): y = 7 A là điểm thuộc (P) có hồnh độ bằng

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại A

Giải

Ta có ba cách giải như sau:

* Cách I

Từ giả thiết ta có AQ@; 1)

Giả sử phương trình tiếp tuyến của (P) tại A có dang y = ax +b (d) +) Tacd Ae d>2a+b=10 b=1-2a (l)

+) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là T =ax+b x’ —4ax—4b=0 (2)

Mặt khác, (P) tiếp xúc (đ) © (2) có nghiệm kép

©4a'+4b=0 @)

Từ (1) và (3) suy ra a= I,b=-—I

Vậy phương trình tiếp tuyến là x— y—1=0

+ Cách 2: Sử dụng đạo hàm

Từ giả thiết ta được A(2; 1)

2

Xét hàm số: (P) y= T co y= 7 Phương trình tiếp tuyến của (P) tại A là

y =F (x — 2) + 1a x-y-1=0 Vậy phương trình tiếp tuyến của (P) là x— y—1=0 * Cách 3: Sử dụng định lý Vi-ét

Giả sử phương trình tiép tuyén tai A cé dang y=ax+b (d) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (đ) là:

Trang 22

2

“pat be x2 4ax —4b=0 (4

X a= 2 la nghiém kép cua (4) va theo dinh ly Vi-ét ta co:

4a=2+2 a=l

S

—4b =2.2 b=-1

Vậy phương trình tiếp tuyến của (P) là x— „—1=0 2x +x+l

Ví dụ 3: Cho hàm số: y = xe có đồ thị (C) và đường thẳng

(đ):y=x+m Tìm m đề đường thắng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho độ dài đoạn AB =41§

Giải

Hồnh độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là nghiệm của

phương trình 2x +x+l “————=x+m x-1 x#1 oS 2 2x +x+lI=(x+m)(x—l) x#l © x’ —(m—-2)x+m+1=0

Duong thang (d) cat dé thi (C) tại hai điểm khi và chỉ khi phương trình x’ —(m-2)x+m+1=0 (1) cé hai nghiém phân biệt khác 1 tức là

(m—2) —4(m + l) >0 ° m — 4m — 4— 4m + 4> 0 I’ —(m—2).1+m+140 440 Vm m<—\8 m >^J§ Vậy me (—2;—V8 )U(V8;+20) om-8>0 “|

Trang 23

Gọi A(xA; xa + m); B(xs; xg + m) là các giao điểm của (d) và (C) Trong đó xa, xg là hai nghiệm phân biệt khác 1 của phương trình (1)

Ta có AB = V18 ©-Í(,T—x,) +(x, +m—x,-my = V18

& (x, +x,) —4x,.x, =9 (x, +x,) —4x,.x%,-9=0 (2)

x, +x,=m-2

Theo dinh ly Vi-ét thay vào (2) ta được: X,.x,=m+] (m— 2)? —4(m+1)—9=0 © m -4m +4—4m—4—9=0 = m -8m-9=0 m=-l o m=9

= -1 không thỏa mãn điều kiện me (-20;-V8)U(V8;+=) Vậy m = 9 là giá trị cần tìm

1.2.7 Bài tốn có nội dung hình học

Ví dụ 1: Tìm hai cạnh của hình chữ nhật có chu vi bằng 22m và diện tích bang 28m’

Giải

Gọi x và y là hai cạnh của hình chữ nhật (x > 0, y > 0) Ta có: Me

x„=28

Vậy x, y là hai nghiệm của phương trình:

X,=4

X°=11X +28=0©|

X,=7

Vậy hai cạnh của hình chữ nhật là: 4m, 7m

Trang 24

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2 Tìm m > 0 để

phương trình xÌ—mx+m”—m~—3= 0(1) có hai nghiệm x,,x, là độ dài các cạnh AB, AC

Giải

Ta có x,,x, là độ dài cạnh AB, AC > x,,x, 1a hai nghiệm dương của phương trình (1) tức là 2-210 2+2/10 sms 3 3 nm’ —4(m’ —m-3) „.1-MI3 2 m—m—3>0 © m>0 „„ 1t v3 2 m>0 14+V13 3 <ms—— 2+2V10

Do x,,x, 1a hai cạnh của tam giác vng có cạnh huyền là 2 nên x+x; =4 © (x, +x,) —2xx,=4

x.+x,=m

Theo định lý Vi-ét ta si ; thay vao trén ta duoc x,.x, =m —m—3 mẺ — 2(m — m~— 3) =4 =l-4x3 © -m+2m+2=0 © „ v3 m=1+73 Nghiém m= 1—-J3 <0 (loai) Vậy m =l+ V3 Ia giá trị cần tìm

Trang 25

Vĩ dụ 3: Xác định các góc B, C của tam giác ABC vuông tại A biết

B

BC=2;S= ` (S là diện tích AABC) Giải

Gọi b, c là độ dài hai cạnh góc vuông AC và AB (0<b<2,0<c<2) Theo bai ra ta co:

b+c=4 (b+e} —2be= 4

=

b.c= V3 b.c= 3

& (b+ cP =4+2 V3 & (b+ 0) = (V3 41

Vib>0,c>0>bt+c= 3+1

Vậy b, c là nghiệm của phương trình:

¿=(J3+1)£+v3 =0

= i - HN

t=V3 — |e=1b=3

Ta co: tanC= “etanC=-L- =>C=30°—=p=00°

b 3

tanc=Sesanc=™ > C=60° >B=30°

1.2.8 Bài toán giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn kiểu một

Vi du 1: Giải hệ phương trình sau:

x+y=l x+y txy=7

ay b, „

x+y =61 x'+y'+xy'=2I

Giải

x+y=l x+y=l

a, 2 3

x+y =61 (x+y) —3xy(x+ y)=61

Trang 26

„Jx†y=5 re

Dat ta được hệ mới: xy=P S=1 S=1 > S*-3SP=61 I-3P=6I S=1 Sa oS (thỏa mãn S“> 4P ) P=-20

=> x, y là nghiệm của phương trình:

5 t=-4

£-t-20=0 © t=5

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (—4; 5), (5;—4)

x'+y°+xy=7 x+y'+wy=7

b, 2 oS 2\2 2

x+y tx’y’ =21 (x'+z°) -xy =21

x'+yÌ+xy=7 x'+y+xy=7

(x? +? -xy)(x° + +xy)=21 x+y -xy=3

‘+y =5 ?—2xy=

xy=2 xy =2

xy=P

P=2 S=33 2

c© (thỏa mãn S“> 4P )

|Jx+y=ŠS gs

Dat ta được hệ mới:

S’-2P=5 P=2

- Với S =3, P= 2 ta có x, y là nghiệm của phương trình

#-3i+2=0_ () =| t=2 = hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2), (2; 1)

- Với S=-3,P=2 Ta có x, y là nghiệm của phương trình

Trang 27

t +3t+2=0 (2) =|

=> hệ phương trình có hai nghiệm (-—l; 2), (2; —1)

Kết luận: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm: (1; 2), (2; 1), (-1; 2),

(2; =1)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

X+y+2xy=2

ụ +y =8 ‘ Giải

x+y+2x=2 x+y+2x„=2

S

x+y =8 (x+y} -3xy(x+y)=8

_ [xty=8 ane

Dat ta được hệ mới: xy=P

ng ko sỊ

S'-3SP=8 (2-2P|(2-2P}~3P]=8

S=2-2P S=2 ;

5 t=0

£=2t=0 © t=2

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (0; 2), (2; 0)

Ví dụ 3: Tìm m đề hệ sau có nghiệm

x+y=m—4m +6 @

Trang 28

Giải Dat u=Vx+120,v=Jy-120 Hé (J) tro thanh: u+v=m u+tv=em 2 <© 2 2 ut+v =m — 4m +6 (+) — 2u = mÌ — 4m + 6 ut+tv=S Dat hệ (II) trở thành: uv=P S=m S=m = S?—2P=m —4m +6 P=2m-3 Do đó u, v là nghiệm của phương trình

t—mt+2m-3=0 (3)

Hệ ban đầu có nghiệm khi va chỉ khi tồn tại u > 0, v > 0

Khi đó phương trình (3) có hai nghiệm /, > 0, ¢, > 0 tức là m° —§m+12>0 m>0 2m—3>0 m<2 ree m>6 <©+m>0 2/3 Xm<2 m2—

Vậy với m>6 hoặc ; <m<2 thì hệ ban đầu có nghiệm

aD

Kết luận: Nếu ở cấp Trung học cơ sở học sinh học định lý Vi-ét và bước đầu được làm quen với ứng dụng của định lý một cách ẩn tàng thì ở cấp

Trung học phô thông học sinh được nghiên cứu sâu hơn các ứng dụng của nó Đồng thời, các kiến thức về định ly Vi-ét mà học sinh được học ở cấp Trung

Trang 29

học cơ sở là nền tang dé hoc sinh có thể tiếp tục củng cố, nâng cao hơn các kiến thức về định lý Vi-ét trong nhà trường phổ thơng Qua đó ta cũng thấy được vai trò quan trọng định lý Vi-ét trong việc giải một số dạng tốn trong chương trình Tốn Trung học phổ thơng

Với việc hệ thống hóa lại định lý Vi-ét và một số ứng dụng của định lý ở

trên nhằm giúp các em học sinh có thể hình dung khái quát cdc dang toán liên quan đến ứng dụng của định lý Vi-ét Sang chương 2 khóa luận sẽ xây dựng

hệ thống bài tập tương ứng với các phần đã đề cập ở trên

Trang 30

Chương 2

HỆ THÓNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT

2.1 Bài toán nhắm các nghiệm của phương trình bậc hai

Cần hình thành cho học sinh thói quen khi giải phương trình bậc hai, kiểm tra trước tiên việc áp dụng hệ thức Vi-ét, nếu không dùng được mới áp dụng công thức nghiệm

2.1.1 Phương pháp chung

Cho phương trình bậc hai ax” + bx + c = 0(ø #0)

x=I Nếu a+b + c=0 thì phương trình có hai nghiệm: e-

x,=— “a

x,=-1

Nếu a — b + c =0 thì phương trình có hai nghiệm:

X;,=—— a 2.1.2 Bài tập áp dụng

Bài I: Nhâm nghiệm của phương trình sau:

a, x’ -8x-9=0 b, 25x* -23x-2=0

c, 2x7 +3x-5=0 d, -5x°+4x+1=0 Hướng dẫn giải

a, Tacoa—b+c=1+8-9=0

=Nghiệm của phương trình là x¡ =—l, x.=9

b, Ta cóa+b+ec=25-23-2=0

=Nghiệm của phương trình là x¡= 1, waa : c, Tacoda+b+c=2+3-5=0

=Nghiệm của phương trình là xị= l, xạ= —5 d, Tacóa+b+c=-5+4+I=0

: 1

=Nghiệm của phương trình là x¡= 1, ng

Trang 31

2.2 Bài tốn tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

2.2.1 Phương pháp chung

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x.x, của phương trình ax’ +bx+c= O(a # 0) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị

X,,X,- 13⁄2

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x,,x, theo S và P như sau:

x+xj =(xi+ x;“—2x¡.x;= $°—-2P xì +x)=(xi# x;}`—3xị xa(xi#+ x:)= 9) —3PS x +x} =(x +x; y —2x}x; = (s? - 2P) -2P? 1, 1l _x+x 5 xX, Xx, _ xx, P 1 1 x+x S°-2P x, x; P 2 27 x, x; 2.2.2 Bài tập úp dụng

Bài 1: Giả sử x,,x, là nghiệm của phương trình x” — 2N2x+1=0 Không giải phương trình, tính giá trị các biểu thức sau:

2 a,S¡= x +1; c, S3= x) +x} 2 l—x_ l—x, b, §;= x'+x; +xj ý d, S¿= t+—? Xx, 1 x 2 Hướng dẫn giải

Ta có A'= (J2) ~1 = 1 > 0=phương trình có 2 nghiệm x,„x, =22

Theo định lý Vi-ét ta có: {* +x, =2/2

Trang 32

a, Sị = x +1? =(x,+x,) —2x,x,= 6 b, Sp = x7 x) +x) = xP x} (x, + x,) =242 c, S3= x +x) = (x, +x,)-Sxx, (x) +.x3)-10x7x) (x, + x,) =(x, +x, y —5x,x, l(x +x, y —3x,x, (x, + x,)| —10x?x3 (x, + x, ) = 5842 d, 8: = 1-x, + l—x, _ X,—XX,†X xxx, (X†+X,)—2XX, _ 2AJ2—I1 Xx, x, Xx, xx, 2/2

Bai 2: Cho phuong trinh x° -6x+m=0

a, Xác dinh m dé phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b, Với giá trị nào của m thì phương trình có 2 nghiệm x,„x, thỏa mãn điều

kiện: TỰ Da xX, Xx

Hướng dẫn giải

a, Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi A° = 9 - m> 0 m< 9

Bài 3: Giả sử x,,x, là các nghiệm của phương trình x + 2mx + 4=0 Với m <2 tính theo m giá trị các biểu thức sau:

a,M= x, +x, b, N= ax, +4/x,

Trang 33

Khóa luận tốt nghiệp Hướng dẫn giải xX, +x,=-2m Theo định lý Vi-ét ta có: 4 XxX, a, M?= (fx, +x, ) = 21+ 12+ 2x, =4-2m => M= V4=2m b, N= (ax, +a.) = 2 + xa + 4 ale Ge + aha) + oem

=x + xịt 4#x| (6 +S} =2Sx |*ốt XX; =x, + x.+44/xx, (n° =24[x, x, )+ 64 Xi;

=N= ŸI2-2m+4w\8—4m

2.3 Bài tốn tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình

ax’ + bx +c =0(a #0) khong phu thudc vào tham số

2.3.1 Phuong phap chung

Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình ax’ +bxt+c= O(a # 0) không phụ thuộc vào tham số (giả sử tham số m) ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có 2 nghiệm

,„ J0

x,,x, la: A>0

+ Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét ta được:

‘i +x, = f(m)

xx,=e(m)

+ Bước 3: Khử m ở hé (1) ta dugc hé thire cần tim

Trang 34

2.3.2 Bài tập úp dụng Bài 1: Cho phương trình

x’ —2(m+1)x-m+1=0

a, Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b, Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x,,x, của phương trình không phụ thuộc vào tham số m

Hướng dẫn giải a, Chứng minh A° >0 ` m>0 Tìm được m<3 i ey amet) [mae 2

b, Theo dinh ly Vi-ét ta co: oS 2

XxX, =—m+] m=l—-xx

MM ye 2

Bai 2: Cho phuong trinh:

x°—2(m—])x+m° —3m+4=0

a, Xác định m để phương trình có nghiệm kép

b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình khơng phụ thuộc vào tham số m

b, Để phương trình có 2 nghiệm thì A' > 0 Tìm được m > 3

x,+x, =2(m—l) Theo định lý Vi-ét ta có: „ Xx, =m —3m+4 1 1 =>x,x, =—(x, +x, -= (x, +x,) +2 12 cử >) 2 )

Trang 35

Bài 3: Cho phương trình:

x’ —2(m+1)x+m-4=0

a, Chứng tỏ rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m b, Chứng minh rằng hé thire M = x,(1 — x2) +x2(1 — x¡) không phụ thuộc vào tham số m

Hướng dẫn giải › 2 IÝ 19 a, A'=(m+Iƒ-(m-4)= mực +770 Vm b,M= x¡(1- x¿)† xa(Í— x)= x, + x2-2x 1x2 Theo định lý Vi-ét ta có: h +x =2(m+1) x,x,=m—4 => xi†x¿—2x¡x¿=2(m+ I)—-(2m-—8) ©M=I0

Bài 4: Cho phương trình:

x —xcosa+sina—-1=0

a, Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt b, Tìm hệ thức liên hệ giữa x,,x, không phụ thuộc vào a ® Hướng dẫn giái

a, ChiraA>0Va

b, Theo dinh ly Vi-ét ta có : {: FF COSA Ệ +x) =cos'a

xx, =sina—-1 (x,x, +1)’ =sin’ a = (x+x,}+(xx,+= I

2.4 Bài toán fìm điều kiện của tham số để phương trình

ax'+bx+c=0(a #0) có nghiệm x,.x, thóa mãn điều kiện cho trước

2.4.1 Phương pháp chung Ta thực hiện các bước sau:

Trang 36

+ Bước I: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình có 2 nghiệm „ J0

X,,X, la: A>0'

x, +x, = f(m)

+ Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét ta được: (Ð

xx = g(m)

+ Bước 3: Biểu diễn điều kiện m thông qua hé (1) 2.4.2 Bai tép áp dụng

Bài 1: Cho phương trình (m + 1)x”— 2(m-— 1)x +m—2=0 a, Giải và biện luận phương trình theo tham số m

b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho tổng bình phương các nghiệm bằng 3

a,* a=0<m+l=0<m=-l

Thay m = —l vào phương trình tìm được x=3 xa40Qm+140Gme-1

Ta co A’ = (m-— 1)? — (m+ 1)(m- 2) =—m + 3

+ A"<0<>m >3 phương trình vô nghiệm

+ A’? =0 << m= 3 phương trình có nghiệm kép x = > +A” >0<m <3 phương trình có 2 nghiệm phân biệt

_ m—l]=x3-m _ m—l+x3—m Ä#*I1—=——————————; Xạ — ——————————,

m+1 m+1

2(m-1 +x, = (m 2 Theo định lý Vi-ét ta có mà m—2 X, xX, = m+1

Trang 37

Khóa luận tốt nghiệp > > >, 2 4(m-l) ~2 Mặt khác, x'+x) =(x +x,)'~2x xe x'+x)= 108=D, _m=2 Œn+1) m+l > 2 2m’ -6m+8 SX +x) = (m+

(thỏa mãn điều kiện m < 3)

m=J41—6

©

m=—V41-6

Bài 2: Tìm m dé phuong trinh_ mx’ +(m—1)x+3(m—1)=0 co hai nghiém

~ | 17

X,,x, thoa man —+—=-—

` x x, 9

œ Hướng dẫn giải

: -1P -4.3.m.(m-1)>0

Đê phương trình có hai nghiệm thì { ) m.(m—l)>

Mat khac, — % + ¬ = Ti ty) —23 2, +x) <2 7

x x 9 xx, 9 XX) 9

Thé (*) vào phương trinh ta duge m= 1 hoặc m =}

So sánh với điều kiện nề m <1 tìm được m =;

Trang 38

Bài 3: Cho phương trình 2x” - (+ l)x+ø+3=0

Tim tat ca các giá trị của a để phương trình trên có hai nghiệm thỏa mãn hiệu của chúng bằng 1

(x +x,)= atl

- Theo định lý Vi-ét ta có ?

a+3

x, x, =—— 2

Thay vào biểu thức |x¡ — x2|= 1 ta duoc a = 9 hoặc a = -3

2.5 Bài toán xét dấu các nghiệm của phương trình a3” + öx + e= O(a z 0) 2.5.1 Phương pháp chung

Dùng định ly Vi-ét ta có thê xét dấu các nghiệm x,,x, của phương trình

ax) +bx+c=0(a #0)

+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu x¡< 0< xe “<0

a

A>0

P>0

A>0

S>0 A>0

S<0

Trang 39

2.5.2 Bài tập úp dụng

Bài 1: Xét dấu các nghiệm của phương trình:

x? —(J2+V3)x+ V6 =0

Có 1.6 >0=P>0

A=(2+Äÿ -\6 =5+ J6>0

-b=A2+43>0—=§>0

Do đó, phương trình có hai nghiệm dương

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình:

mx’ —(m—2)x+l=m

có hai nghiệm trái dau và giá trị tuyệt đối là nghịch đảo của nhau

m#0

Phương trình có hai nghién trai dau 4 (m— 2) — 4.m.(1— m) >0

l—m

m >0

2 1 Từ đây tìm được m= — Bài 3: Xác định m để phương trình (m—1)x* +2(m+2)x+m-1=0 a, Có đúng một nghiệm

b, Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

a, *m— l =0<m= I = Phương trình có một nghiệm x = 0

Trang 40

*m-1z0<€©mzl

= Phương trình có đúng 1 nghiệm © (m + I)~(m - 1)`= 0 ©m=0 b,Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi

m—1#z0 m#l (Œm+2)) =(m— 1) >0< 1- 4 m>— m~"so m—] 2.6 Bài toán về hàm số

Bài 1: Cho đường thang (d) có phương trinhy=mva dé thi ham sé _ 2x? +mx-1

y (C) Tim m dé (d) cat (C) tai hai diém phan biét A, B sao cho

OA vng góc với OB

œ Hướng dẫn giải

Hoành độ giao điểm của (C) và (đ) là nghiệm của phương trình

2x? +mx— Ì fe fe

x-1 2x? +mx—-1—m(x-l)=0 [2x7 +m-1=0

: cà 2.14m-140 m<l

(d) cat (C) tai 2 diém = | S |

-8(m-1) > 0 m#-l

Goi A(x 4; m), B(x p; m) là giao diém cua (d) va (C)

Ta cd OA L OB S04.0B= 02 x,x, +m’? =0 (*)

Theo định lý Vi-ét ta có x,x,= a

m=-1 Thay vào (*) ta được: m + “—=0e mat

2

Vay m= 3 là giá trị cần tìm

Định dạng
Số trang	63
Dung lượng	5,99 MB