Ứng dụng phép biến đổi fourier cho phép biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN ĐIỆP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN VĂN ĐIỆP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN HUY LỢI HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tác giả chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Huy Lợi tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo cán công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Trung tâm GDTX DN Yên Lạc tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Điệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Huy Lợi Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 07 năm 2016 Tác giả Nguyễn Văn Điệp Mục lục MỞ ĐẦU Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.2 Phép biến đổi Laplace 12 1.3 Phép biến đổi Laplace ngược 14 1.3.1 Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo 14 1.3.2 Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa 16 1.3.3 Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy rộng 18 Ứng dụng 20 2.1 Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi Fourier 20 2.1.1 Trường hợp gốc f (x) giảm nhanh 20 2.1.2 Trường hợp giá trị tuyệt đối hàm ảnh F (p) giảm nhanh 22 2.2 Công thức nội suy để tính tích phân Fourier 24 2.2.1 Một vài ý 24 2.2.2 Phép nội suy đại số hàm f (x) 24 2.2.3 Phép nội suy hàm hữu tỷ 51 2.3 Công thức xác bậc cao 63 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace hai số phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọng toán học nói chung giải tích phức nói riêng Hai phép biến đổi hai phép biến đổi quan trọng thường sử dụng việc giải toán phức tạp giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, Ngoài ra, hai phép biến đổi có nhiều ứng dụng lĩnh vực số học, hình học, vật lý, quang học nhiều lĩnh vực khác Hơn nữa, hai phép biến đổi có mối quan hệ bổ trợ lẫn việc giải toán, công cụ tính toán hữu ích cho việc giải toán thực tiễn cụ thể Với mong muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu mối quan hệ hai phép biến đổi ứng dụng lý thuyết thực tiễn, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Huy Lợi chọn đề tài "Ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược" để nghiên cứu dựa tài liệu tham khảo [3] Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hệ thống kiến thức phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace phép biến đổi Laplace ngược sau nêu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace để đưa toán phức tạp trở nên đơn giản Phương pháp nghiên cứu − Đọc sách, nghiên cứu tài liệu − Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu Giả thuyết khoa học Hiểu rõ chất phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược tìm mối quan hệ bổ trợ chúng để giải toán Chương Phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace 1.1 Phép biến đổi Fourier Xét tích phân kép ∞ π ∞ f (t) cos u (x − t) dt du (1.1) −∞ giả sử hàm f khả tích tuyệt đối trục số thực −∞ < t < ∞ Trong tích phân t hội tụ tuyệt giá trị x u, hội tụ Giống hội tụ tích phân kép (1.1) trị số Định lý 1.1 điều kiện đủ Chú ý sau cho hiểu rõ vấn đề Chú ý Giả sử hàm f (x) với giá trị hữu hạn đoạn [a, b] Chia đoạn [a, b] hữu hạn điểm x0 = a < x1 < < xn = b n−1 |f (xk+1 ) − f (xk )| Lập tổng V (x0 , x1 , , xn ) = k=0 Cận tổng V (x1 , x2 , , xn ), V ar (f ) = sup V (x0 , x1 , , xn ) a≤x≤b x1 , ,xn gọi tổng biến phân toàn phần f đoạn [a, b] Nếu V ar (f ) a≤x≤b giá trị hữu hạn ta nói f hàm biến phân bị chặn [a, b] Định lý 1.1 Cho hàm f (t) khả tích tuyệt đối trục số thực −∞ < t < ∞ Nếu đoạn [a, b] cho chứa điểm x hàm f có biến phân bị chặn, phương trình sau đúng: ∞ 1 [f (x + 0) + f (x − 0)] = π ∞ du f (t) cos u (x − t) dt (1.2) −∞ Nhưng f hàm biến phân bị chặn [a, b] liên tục đoạn [a, b] ∞ f (x) = π ∞ du f (t) cos u (x − t) dt (1.3) −∞ Ở đây, tích phân kép hội tụ tới f (x) theo x đoạn đóng đoạn [a, b] Các phương trình (1.2) (1.3) gọi công thức Fourier Từ giả sử f (t) có biến phân bị chặn đoạn hữu hạn trục t Khi (1.2) tất giá trị hữu hạn x Bên cạnh đó, để đơn giản thừa nhận tất gián đoạn f “đều” hệ thức f (x) = [f (x + 0) + f (x − 0)] điểm x Khi điều kiện phương trình (1.2) (1.3) có dạng từ sử dụng (1.3) Chúng ta làm cho tích phân Fourier đối xứng phức hóa thay hàm lượng giác biểu diễn dạng hàm số mũ ∞ π ∞ f (t) cos u (x − t) dt du −∞ ∞ = 2π ∞ du f (t) eiu(x−t) + e−iu(x−t) dt −∞ Ở giả sử f (x) = F (x) (x + 1)−s (s > 1) F (x) hàm liên tục đủ mịn nửa trục ≤ x ≤ ∞ Chúng ta nội suy hàm f với đa thức Pn (x) bậc n (1 + x)−1 viết Pn (x) dạng (2.80) Nếu tích phân (2.88) ta thay hàm gốc f biểu thức f (x) = (1 + x)−s F (x) = (1 + x)−s [Pn (x) + rn (x)] sau loại bỏ phần dư Rn , ta biểu diễn ϕe (u) sau (có thể xem quy tắc tính toán với ϕe ): ∞                    eiux (1 + x)−s F (x) dx ϕe (u) = ∞ eiux (1 + x)−s [Pn (x) + rn (x)] dx = n = n (k) F (xk ) k=0 l=0 cl (1 + xk )n ω (xk ) ∞ iux e −n+l−s (1 + x) ∞ eiux (1 + x)−s rn (x) dx Rn (u) =    dx + Rn (u),                (2.89) (k) cl (1 n + xk ) phụ thuộc vào điểm xk , không phụ ω (xk ) thuộc vào s hay hàm F Ở đây, hệ số Akl = ∞ eiux (1 + x)−n+l−s dx phụ thuộc vào u s, tức x Tích phân tăng nhanh f (x) giảm nhanh nhiêu Thông qua phép biểu diễn sai số Rn (u) (2.89), ta dễ dàng tìm đại lượng không đổi với u dạng phép nội suy sai số rn (x): ∞ |Rn (u)| ≤ 58 |rn (x)| dx (1 + x)s (2.90) Từ suy định lý hội tụ trình tính toán tương ứng với (2.89) Quá trình xác định dãy xếp tam giác vô hạn điểm phép nội suy:   (0) x0 (1) x1   (1)   x1      X=    (n) (n) (n)   x0 x1 xn    (2.91) (n) Giả sử phép nội suy (2.80) hàm F thực với điểm xk với (k = 0, 1, , n) hàng n, dãy xếp X Giả sử n → ∞, ta có định lý sau: Định lý 2.1 Giả sử điều kiện sau đúng: (1) Quá trình nội suy (2.80) xác định dãy điểm (2.91) hội tụ với hàm F (x) với hầu hết giá trị x nằm nửa trục ≤ x < ∞ (2) Với tất giá trị đủ lớn n, sai số nội suy rn (x) thỏa mãn điều kiện |rn (x)| ≤ M < ∞, (0 ≤ x < ∞) Thì phần dư Rn (u) phép toán tương ứng (2.89) sau phép biến đổi ϕe (u) với u nằm trục −∞ < u < ∞ n → ∞ Định lý kết suy trực tiếp từ định lý tương tự thông qua phần giới hạn tích phân Lebesgue: dãy hàm gn (x) tập E hội tụ E đến tổng khả tích hàm g (x) E tồn hàm tổng khả tích h(x) E cho với n, x ∈ E ta có bất đẳng thức |gn (x)| ≤ h (x), thì: gn (x) dx → E g (x) dx E 59 Trong trường hợp cố định, sử dụng cách biểu diễn khác Rn (u) mà ta thu (2.89) thay rn (x) biểu thức (2.87) tìm đánh giá sai số Rn (x) phụ thuộc vào tính chất hàm F (x) ∞ Rn (u) = dxe iux n − k=0 n!(1 + x)n+s ∞ Ln+1 (F ) (x − t)n E(x − t) ωn+1 (x) dt (xk − t)n E(xk − t) (x − xk )ωn+1 (xk ) 1+t (2.92) Một ý liên quan đến dấu nhân tích phân hai kép: K ∗ (x, t) = (x − t)n E(x − t) n+1 n!(1 + x) (1 + t) n − k=0 = ωn+1 (x) (xk − t)n E(xk − t) (x − xk )ωn+1 K(x, t) n!(1 + x)n+1 (1 + t) Cho điểm xk (k = 0, 1, , n) phép nội suy điểm x nằm đoạn [a, b] hàm g(x) nội suy với giá trị gk (x) qua đa thức pn (x) bậc n Nếu g(x) có đạo hàm liên tục bậc n + đoạn [a, b] sai số nội suy biểu diễn theo đạo hàm bậc n + g dạng: b ρn (x) = n! g (n+1) (t)K (x, t) dt (2.93) a Nói cách khác, với ρn (x) ta có phép biểu diễn Lagrange tương tự: ρn (x) = ωn+1 (x) (n+1) g (ξ) , a ≤ ξ ≤ b (n + 1)! (2.94) Giả sử g(x) đa thức bậc n + với g (n+1) (x) = từ hai phép biểu diễn sai số ρn (x) ta suy : b n! K (x, t) dt = a 60 ωn+1 (x) (n + 1)! Như vậy, với x không đổi dấu nhân K (x, t) trùng với dấu ωn+1 (x) Trường hợp Phép nội suy với điểm cách Chúng ta lấy điểm cách xk = kh, (k = 0, 1, 2, ; h > 0) làm điểm nội suy Trong trường hợp ωn+1 (x) = (k) x (x − h) (x − nh) hệ số cl xác định dạng: ωn+1 (x) = x (x − h) [x − (k − 1) h] [x − (k + 1) h] (x − nh) x − xk n (k) cl (1 + x)l , (k = 0, 1, , n) = l=0 Trong trường hợp hội tụ đều: ω (xk ) = kh (k − 1) h h (−h) (−2h) (−1) (n − k) h = h2 (−1)n−k k! (n − k)!, (k) Akl = cl (1 + kh)n (−1)n−k hn k! (n − k)! (2.95) Khi xếp bảng số với Akl , ta giả sử h = giá trị khác h cho kết thông qua phép biến đổi tuyến tính biến số tự x = hx Quy tắc tính (2.89) trường hợp điểm cách có dạng sau: ∞ eiux ϕe (u) = F (x) dx (1 + x)s n = F (kh) k=0 eiux (1 + x)−n−s+l dx + Rn (u) Akl l=0 (2.96) ∞ n 1+x Nửa trục đóng ≤ x ≤ ∞ trở thành đoạn đóng ≥ z ≥ Hàm Để giải thích rõ ràng hơn, quay lại biến z đặt z = F (x) mà ta giả sử hàm liên tục nửa trục ≤ x ≤ ∞ biến 61 − , hàm liên tục z đoạn đơn vị ≤ z ≤ Pn (x) trở thành đa thức đại số xác định đổi thành hàm xác định ψ (z) = F Pn (z) bậc n nội suy ψ (z) giá trị ψ (k) = ψ (zk ) điểm zk = m, (k = 0, 1, , n) + kh Xét dãy điểm nội suy có dạng:   z0   z z    (2.97) Z=   z0 z1 z2    Các hàng dãy thứ tự điểm z0 , z1 , z2 , zk = (1 + kh)−1 hội tụ đến điểm z = Giả sử hàm số ψ (z) quy miền mặt phẳng phức z chứa đoạn [0, 1] Miền mở rộng điểm kì dị ψ (z) xa đoạn [0, 1] tính trơn dáng điệu ψ (z) đoạn [0, 1] khả hội tụ phép nội suy tới ψ (z) đoạn [0, 1] tăng cao Trong định lý phép nội suy, người ta chứng minh miền nhỏ đường tròn khép kín có bán kính nhỏ có tâm nằm gốc tọa độ |z| ≤ 1, đặc biệt hội tụ đường tròn hội tụ bán kính ≤ r ≤ Vấn đề hội tụ xác định qua dáng điệu đa thức nội suy Pn (z) với giá trị lớn n Nhưng giá trị n lớn hầu hết điểm đóng với điểm giới hạn z = phép nội suy đóng kín đến phép nội suy với điểm z = có bội số n Điều thể chuỗi bị chặn Taylor: z n (n) z Sn (z) = ψ (0) + ψ (0) + + ψ (0) 1! n! Chúng ta quay lại xét biến cũ x = − Hàm ψ (z) trở thành hàm z 62 = F (x) quy miền xác định chứa nửa 1+x trục đóng ≤ x ≤ ∞, đặc biệt điểm không hạn định x = ∞ Đường ≤ |1 + x| ≥ tròn đơn vị |z| ≤ biến đổi thành miền |1 + x| nằm đường tròn có bán kính tâm nằm điểm −1 ψ (z) = ψ Từ đó, khẳng định sau: Khi F (x) hàm giải tích quy miền |1 + x| ≥ phép nội suy tương ứng với điểm cách xk = kh (k = 0, 1, ) theo nghĩa đa thức Pn (x) bậc n 1+x (xem 2.77) hội tụ miền Điều cho phép ta suy định lý sau đúng: Định lý 2.2 Nếu hàm F(x) quy miền |1 + x| ≥ mặt phẳng phức x, phép toán thu từ phương trình (2.96) loại bỏ phần dư Rn (u) hội tụ tới ϕe (u) tương ứng với u trục −∞ < u < ∞ n → ∞ 2.3 Công thức xác bậc cao Chúng ta giả sử hàm gốc f (x) biểu diễn dạng f (x) = (1 + x)−s F (x) liên tục nửa trục ≤ x ≤ ∞ Xét biến đổi Fourier cosine: ∞ ϕc (u) = ∞ cos ux F (x) dx (1 + x)s f (x) cos uxdx = 0 Đối với hàm trọng lượng lấy nhân tử (1 + x)−s cos ux việc tính toán tích phân xây dựng công thức cầu phương có dạng: ∞ cos ux F (x) dx ≈ (1 + x)s 63 n Ak F (xk ) k=1 (2.98) Ta có 2n tham số Ak xk cố gắng lựa chọn chúng để (2.98) có kết xác F (x) đa thức tùy ý (1 + x)−1 có bậc 2n − tương tự (1 + x)−i , (i = 0, 1, , 2n − 1) công thức sau: n −s−i (1 + x) Ak (1 + xk )−i , (i = 0, 1, , 2n − 1) cos uxdx = k=1 (2.99) Sử dụng phép biến đổi bản: ∞ ∞ ∞ f (x) dx = Ic1 − Ic2 (1 + cos ux) f (x) dx − cos uxf (x) dx = 0 1−t làm 1+t giảm để thành tích phân với hàm trọng lượng Jacobi với tham Tích phân Ic2 có dạng đơn giản, qua phép biến đổi x = số 0, s − ∞ ∞ Ic2 = f (x) dx = F (x) 1−s s dx = (1 + x) F 1−t (1 + t)s−2 dt 1+t −1 Chúng ta tập chung vào tích phân Ic2 Nó phụ thuộc vào tham số u Để làm điểm hệ số công thức tính toán không phụ thuộc vào u, biểu diễn phép biến đổi ux = x , (u ≥ 0) mà giảm tham số dấu cosin tới đơn vị đưa từ hàm trọng lượng đến hàm lấy tích phân: ∞ ∞ x (1 + cos x) f dx = u u Ic1 = (1 + cos x) X (x) dx, (2.100) x f u u Giả sử X(x) biểu diễn sau: X (x) = X (x) = F (x) ; (s > 1) , (1 + x)s 64 (2.101) F (x) hàm liên tục nửa trục ≤ x ≤ ∞ Khi toán thiết lập quy tắc tính toán tích phân: ∞ Ic1 = ∞ + cos x F (x) dx (1 + x)s (1 + cos x) X (x) = (2.102) với hàm trọng lượng dương + cos x (1 + cos x) (1 + x)−s Bây tiến hành xây dựng công thức xác bậc cao: Xét tích phân Ic1 (xem (2.102)) xây dựng quy tắc tính toán cho dạng: ∞ Ic1 n (1 + cos x) X (x) dx ≈ = Ak X (xk ) (2.103) k=1 Chúng ta chọn tham số Ak , xk để phương trình xác hàm (1 + x)−s−1 , (s > 0; i = 0, 1, 2, , 2n − 1) tương đương với tất hàm có dạng: 2n−1 −s cj (1 + x)−j = (1 + x)−s−2n+1 P2n−1 (x) , (1 + x) j=0 P2n−i (x) đa thức tùy ý bậc 2n − x ∞ + cos x P2n−1 (x) dx = (1 + x)2n−1+s n k=1 Ak P2n−1 (xk ) (1 + x)2n−1+s n = (2.104) Bk P2n−1 (xk ) k=1 Các tham số Ak , xk giảm để thành toán cổ điển việc xây dựng nửa khoảng [0, ∞), công thức cầu phương đại số xác bậc cao với hàm trọng lượng dương (1 + cos x) (1 + x)−2n+1−s Chúng ta sử dụng công thức sau để đánh giá tích phân b n p (x) f (x) dx ≈ Bk f (xk ) k=1 a 65 (2.105) Đối với công thức (2.105) xác với tất đa thức bậc 2n − 1, điều kiện cần đủ để điều sau đúng: (1) Hệ số Bk có giá trị: b Bk = p (x) ω (x) dx, (x − xk ) ω (xk ) (2.106) a n (x − xk ) ω (x) = k=1 Quy tắc phép lấy tích phân (2.105) nội suy (2) Đa thức ω (x) đa thức trực giao [a, b] với hàm trọng lượng p(x) cho đa thức Q(x) bậc cao n − b p (x) ω (x) Q (x) dx = (2.107) a Ta dễ thấy điều kiện cần Để phương trình (2.105) với tất đa thức bậc cao 2n − Xét đa thức: ωj (x) = ω (x) có bậc n − (2.105) xác Nhưng (x − xj ) ω (xj ) ωj (x) có tính chất sau: ωj (xk ) = với k = j ωj (xj ) = cho ωj (x) thu từ (2.105) phương trình: b n p (x) ωj (x) dx = Bk ωj (xk ) = Bj k=1 a Khi ω (xk ) = có f (xk ) = r (xk ) vậy: b b p (x) f (x) dx = a b p (x) ω (x) Q (x) dx + a p (x) r (x) dx a Phần đầu tích phân vế phải có kết theo phép trực giao Khi điều kiện ban đầu quy tắc (2.105) nội suy, việc thực 66 r (x), xác với đa thức có bậc n − 1, vậy: b n n k=1 k=1 a Do Bk f (xk ) Bk r (xk ) = p (x) r (x) dx = b n Bk f (xk ) p (x) f (x) dx = k=1 a phương trình (2.105) với f (x) Điều kiện (2.107) tương đương với n phương trình sau đúng: b p (x) ω (x) xi dx = 0, với i = 0, 1, , n − a Nếu ta biểu thức dạng x vào vị trí ω (x) đặt b p (x) xk dx = αk , ta nhận hệ phương trình việc tìm a hệ số a1 , a2 , , an : αn + αn−1 a1 + αn−2 a2 + + α0 an = αn+1 + αn a1 + αn−1 a2 + + α1 an = α2n−1 + α2n−2 a1 + α2n−3 a2 + + αn−1 an = Để kiểm tra việc giải hệ nghiệm nó, ta thiết lập hệ sau: αn−1 a1 + αn−2 a2 + + α0 an = αn a1 + αn−1 a2 + + α1 an = α2n−2 a1 + α2n−3 a2 + + αn−1 an = có nghiệm Chúng ta giả sử a1 , , an thỏa mãn phương trình hệ Nhân thêm tương ứng phương trình với 67 an , , a1 , có: b p (x) an + an−1 x + + a1 xn−1 dx = a Trong tích phân (2.104) đoạn lấy tích phân [a, b] nửa trục [0, ∞) hàm trọng lượng p (x) = (1 + x)−2n−s+1 (1 + cos x) dương hầu khắp nơi ngoại trừ điểm x = (2j + 1) π, (i = 0, 1, ) Đa thức ω (x) = xn + a1 xn−1 + + an xác định theo điều kiện trực giao: ∞ (1 + x)−2n−s+1 (1 + cos x) ω (x) xj dx = 0, (j = 0, 1, , n − 1) (2.108) Các hệ số ak tìm thấy hệ: ∞ n (1 + x)−2n−s+1 (1 + cos x) xn−i+j dx = i=0 (2.109) với j = 0, 1, , n − 1; a0 = Các hệ số Bk mà ký hiệu (2.104) quy tắc cầu phương dạng (2.105), viết theo tích phân ∞ (1 + x)−2n−s+1 (1 + cos x) f (x) dx phải tìm thấy với hỗ trợ của công thức có dạng (2.106) Với hệ số Ak (2.103), xác với tất hàm có dạng: 2n−1 −s cj (1 + x)−j = (1 + x)−2n−s+1 P2n−1 (x) X (x) = (1 + x) j=0 khác Bk , nhìn thấy từ (2.104) theo nhân tử (1 + xk )2n+s−1 , có: 68 ∞ (1 + x)−2n−s+1 (1 + cos x) Ak = (1 + xk )2n+s−1 ω (x) dx (x − xk ) ω (xk ) (2.110) Một bảng giá trị xk Ak (2.103) bảng tương tự xk Ak với công thức xác bậc cao ∞ n (1 + sin x) f (x) dx ≈ Ak f (xk ), (2.111) k=1 f (x) = F (x) , |F (x) ≤ M | (1 + x)s với tham số s n giống Chúng ta lấy tích phân Ic1 (xem (2.107)) dạng thu hàm X(x) phép biểu diễn X (x) = (1 + x)−s F (x) Bây xét quy tắc tương đương (2.103) ∞ Ic1 + cos x F (x) dx ≈ (1 + x)s = n n −s A∗j F (xj ) Aj (1 + xj ) F (xj ) = j=1 j=1 (2.112) Khi xây dựng (2.103) tham số xk Ak chọn để phương trình X(x) hàm có dạng 2n−1 cj (1 + x)−s−j X (x) = j=1 Với quy tắc (2.112), tương đương cho kết xác hàm F dạng: 2n−1 cj (1 + x)−j = P2n−1 (1 + x)−1 F (x) = j=1 69 1 = t, x = − 1, ≥ t > Khi (2.112) trở thành 1+x t quy tắc với đoạn hữu hạn [0, 1] Chúng ta đặt ∞ Ic1 = n (1 + cos x) t s−2 ∗ A∗j F ∗ (tk ) = Q∗n (F ∗ ) , F (t) dt ≈ (2.113) j=1 F ∗ (t) = F −1 t = F (x) , tk = + xk Phương trình với thời điểm F ∗ (t) đa thức bậc 2n − t: F ∗ (t) = P2n+1 (t) Từ ta có (2.113) quy tắc cầu phương đại số xác bậc cao đoạn [0, 1] hàm trọng lượng p (t) = (1 + cos x) ts−2 Liên quan đến quy tắc mà biết n → ∞ theo thứ tự phép xấp xỉ giá trị hội tụ đến giá trị xác tích phân Ic1 với hàm F ∗ (t) bị chặn [0, 1] tập hợp điểm gián đoạn có độ đo 0, đặc biệt với hàm F ∗ (t) bị chặn đoạn [0, 1] liên tục bên tích phân Điều cho phép nêu định lý hội tụ trình cầu phương (2.103) n → ∞ Định lý 2.3 Nếu hàm X(x) biểu diễn (2.101), F(x) liên tục nửa trục ≤ x ≤ ∞ trình cầu phương theo quy tắc xác bậc cao (2.103) hội tụ đến giá trị xác tích phân n → ∞ Một định lý tương tự với quy tắc cầu phương (2.111) quy tắc xác bậc cao phép biến đổi Fourier sine 70 KẾT LUẬN Luận văn cấu trúc hai chương với số nội dung sau: Chương 1: − Trình bày phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace phép biến đổi Laplace ngược − Đưa kết việc khai triển hàm gốc biến đổi thành chuỗi lũy thừa hay chuỗi lũy thừa suy rộng Chương 2: − Đưa số kết khai triển hàm gốc thành chuỗi đánh giá sai số trường hợp khác áp dụng phép biến đổi Fourier phép biến đổi Laplace − Trình bày công thức nội suy để tính tích phân Fourier 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] ĐẶNG ĐÌNH ÁNG (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] P HENRICI (1971), An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractial, Z f Angew Mathem Physik [3] V I KRYLOV, N.S SKOBLYA (1977), A Handbook Of Methods of Approximate Fourier Transformation and Inversion of the Laplace Transformation, Mir Publishers Moscow [4] K R RAO AND N AHMED (1968), Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function, IEEE Trans Edu [5] H TRIEBEL (1978), Interpolation Theory Function Spaces Differential Operators, Berlin 72 [...]... kβ) tkβ ở đây, loại bỏ các số không âm α + kβ Đến đây ta đã hoàn thành chứng minh định lý 19 Chương 2 Ứng dụng 2.1 Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi Fourier Chúng ta tìm hiểu phép biến đổi Laplace ngược trong trường hợp suy biến, các bài toán đơn giản phép biến đổi tích phân Fourier có thể thay thế bởi chuổi Fourier Có thể thực hiện trong hai trường hợp: hoặc là khi hàm f (x) giảm... F (s) biến số phức s = α + iβ xác định bởi tích phân Laplace (1.14) Phép biến đổi từ hàm gốc f (t) sang hàm ảnh xác định bởi công thức (1.14) được gọi là phép biến đổi Laplace Ký hiệu là: F (s) = L {f (t)}   1, t ≥ 0 Ví dụ 1.3 Xét hàm số đơn vị: η (t) =  0, t < 0 Biến đổi Laplace của η là: ∞ −pt F (p) = e 1 dt = − e−pt p 0 ∞ = 0 1 với Rep > 0 p Ví dụ 1.4 Xét hàm mũ f (t) = eαt Biến đổi Laplace. .. sin utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) , ϕc (u) = (1.12) 0 ∞ 2 f (x) = π ϕc (u) sin xudu (1.13) 0 Phương trình (1.12) gọi là biến đổi Fourier sine và phương trình (1.13) gọi là phép biến đổi ngược của nó Ta thấy rằng biến đổi Fourier phức (1.5) dễ dàng rút gọn được các phép biến đổi (1.10) và (1.12) Trong biến đổi (1.5), thế f (x) bởi các khai triển chẵn và lẻ của nó: f (x) = g(x) + h(x) ở đây g(x) và h(x) đã được chỉ... (t)] [cos ut + i sin ut] dt −∞ ∞ =2 ∞ g (t) cos utdt + 2i 0 h (t) sin utdt 0 = 2gc (u) + 2ihs (u) 11 Vì vậy biến đổi phức (1.5) là một tổ hợp tuyến tính của biến đổi Fourier cosine và biến đổi Fourier sine 1.2 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.2 Hàm gốc là tập hợp các hàm f của biến số thực t sao cho tích phân ∞ f (t) e−st dt F (s) = (1.14) 0 hội tụ đối với một số phức s thỏa mãn các điều kiện sau: (1)... = e α−p 0 13 ∞ = 0 1 −1 = α−p p−α 1.3 Phép biến đổi Laplace ngược Định nghĩa 1.4 Phép biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) là hàm f (t) liên tục trên [0; +∞) và thỏa mãn L {f (t)} = F (s) Ký hiệu: f (t) = L−1 {F (s)} Ví dụ 1.5 Ta có: L t3 = 3! ⇒ L−1 4 s 6 s4 = t3 1.3.1 Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo a Khai triển hàm gốc trong chuỗi số hạng của hàm mũ Cho một lớp quan trọng của hàm ảnh F (p),... cos utdt 0 ∞ sin xudu 0 10 h (t) sin utdt 0 Công thức Fourier cosine (1.8) là mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc : ∞ f (t) cos utdt, (0 ≤ x ≤ ∞) , ϕc (u) = (1.10) 0 ∞ 2 f (x) = π ϕc (u) cos xudu (1.11) 0 Đầu tiên là phép biến đổi Fourier cosine của hàm gốc f vào hàm ảnh ϕc , sau đó là phép biến đổi ngược lại Công thức Fourier sine (1.9) là công thức ngược giữa hàm f và hàm ϕc : ∞ f (t) sin utdt, (0 ≤ x... , F (c + iτ ) = G (τ ) ∞ f (t) e−(c+iτ )t dt và phép Khi đó phép biến đổi Laplace: F (c + iτ ) = 0 biến đổi ngược của nó có thể được viết lại: ∞ g (t) e−iτ t dt, G (τ ) = 0 20 ∞ 1 g (x) = 2π G (τ ) eixτ dτ (2.2) −∞ Giả sử f (t) là hàm gốc, do đó hàm g(t) bị triệt tiêu hoặc có giá trị nhỏ không đáng kể trên đoạn [0, T ] Khai triển g(t) trong chuỗi Fourier trên [0, T ] và viết khai triển dưới dạng... hạng của sin sẽ biến mất Và số hạng của cosin bên ngoài tích phân sẽ sử dụng cho phép biến đổi cosine Cuối cùng, nếu đặt x = kh + hξ, chúng ta đưa biến ξ vào trong tích phân rk (x, f ) thay vì tích phân biến x, khi đó chúng ta nhận được một biểu thức về sai số ở dạng tích phân kép, và sau khi tính tổng các đoạn [kh, (k + 1)h] , (k = 0, 1, ) chúng ta nhận được một biểu thức chính xác cho ϕc (u) như sau:... ≈ T cm π (2.13) Áp dụng phương trình (2.12) để tính toán hàm gốc bằng cách tính hệ số Fourier trong phương trình (2.9) của hàm F (c + iτ ) 2.2 Công thức nội suy để tính tích phân Fourier 2.2.1 Một vài chú ý Để thực hiện phép biến đổi Fourier, ta tính các tích phân ∞ ϕc (u) = f (t) cos utdt, (2.14) f (t) sin utdt, (2.15) 0 ∞ ϕs (u) = 0 ∞ f (t) eiut dt ϕ (u) = (2.16) −∞ Có thể sử dụng nhiều quy tắc cổ... phân chúng ta thay thế biến u bởi biến −u, nó có thể quy công thức Fourier (1.3) thành dạng: ∞ ∞ 1 f (x) = 2π e−ixu du −∞ f (t)eiut dt (1.4) −∞ Phương trình này được gọi là công thức Fourier phức, nó là liên thông quan hệ nghịch đảo của cặp hàm: ∞ ϕ (u) = f (t) eiut dt (1.5) ϕ (u) e−ixu du (1.6) −∞ ∞ 1 f (x) = 2π −∞ Định nghĩa 1.1 Cặp hàm (1.5) và (1.6) được gọi là phép biến đổi Fourier phức và mang