Ứng dụng phép biến đổi fourier cho phép biến đổi laplace ngược

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN VĂN ĐIỆP ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN ĐIỆP

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016

Header Page 1 of 258.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN VĂN ĐIỆP

ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER CHO PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGUYỄN HUY LỢI

HÀ NỘI, 2016

Header Page 2 of 258.

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tácgiả chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Huy Lợi đã tận tình hướngdẫn, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô giáo và cán bộ công nhân viên củaTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ởTrung tâm GDTX và DN Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi chotác giả

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Điệp

Header Page 3 of 258.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Huy Lợi

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các kết quả trích dẫn trongluận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Văn Điệp

Header Page 4 of 258.

Mục lục

1.1 Phép biến đổi Fourier 7

1.2 Phép biến đổi Laplace 12

1.3 Phép biến đổi Laplace ngược 14

1.3.1 Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo 14

1.3.2 Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa 16

1.3.3 Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa suy rộng 18 2 Ứng dụng 20 2.1 Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi Fourier 20

2.1.1 Trường hợp gốc f (x) giảm nhanh 20

2.1.2 Trường hợp giá trị tuyệt đối của hàm ảnh F (p) giảm nhanh 22

2.2 Công thức nội suy để tính tích phân Fourier 24

2.2.1 Một vài chú ý 24

Header Page 5 of 258.

2.2.2 Phép nội suy đại số của hàm f (x) 242.2.3 Phép nội suy bằng hàm hữu tỷ 512.3 Công thức chính xác bậc cao 63

Header Page 6 of 258.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổiLaplace là hai trong số các phép biến đổi tích phân có vai trò quan trọngtrong toán học nói chung và trong giải tích phức nói riêng Hai phép biếnđổi này là hai phép biến đổi quan trọng thường được sử dụng trong việcgiải các bài toán phức tạp như giải phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng, phương trình tích phân, phương trình vi tích phân, Ngoài ra, hai phép biến đổi này còn có nhiều ứng dụng trong các lĩnhvực số học, hình học, vật lý, quang học và nhiều lĩnh vực khác

Hơn nữa, hai phép biến đổi này còn có mối quan hệ bổ trợ lẫn nhautrong việc giải các bài toán, là công cụ tính toán hữu ích cho việc giảicác bài toán thực tiễn cụ thể

Với mong muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu về mối quan hệ của haiphép biến đổi này và ứng dụng của nó trong lý thuyết và thực tiễn, dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Huy Lợi tôi đã chọn đề tài "Ứngdụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược"

để nghiên cứu dựa trên tài liệu tham khảo chính [3]

2 Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơbản của phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Laplace và phép biến đổiLaplace ngược sau đó nêu ra ứng dụng của phép biến đổi Fourier chophép biến đổi Laplace ngược

Header Page 7 of 258.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu về ứng dụng của phépbiến đổi Fourier cho phép biến đổi Laplace ngược.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài chủ yếu tậptrung nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi Fourier cho phép biến đổiLaplace để đưa các bài toán phức tạp trở nên đơn giản hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

− Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

− Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học. Hiểu rõ bản chất của phép biến đổiFourier, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược và tìmđược mối quan hệ bổ trợ giữa chúng để giải các bài toán

Header Page 8 of 258.

Giống như sự hội tụ của tích phân kép (1.1) và trị số của nó Định lý1.1 dưới đây là điều kiện đủ Chú ý sau đây sẽ cho chúng ta hiểu rõ hơn

a≤x≤b

là giá trị hữu hạn thì ta nói f là hàm biến phân bị chặn trên [a, b]

Header Page 9 of 258.

Định lý 1.1 Cho hàm f (t) khả tích tuyệt đối trên trục số thực −∞ <

t < ∞ Nếu trên đoạn [a, b] đã cho chứa một điểm x hàm f có biến phân

bị chặn, khi đó phương trình sau là đúng:

1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] =

1π

Các phương trình (1.2) và (1.3) được gọi là công thức Fourier

Từ giờ chúng ta sẽ giả sử rằng f (t) có biến phân bị chặn trên mọi đoạnhữu hạn của trục t Khi đó (1.2) là đúng đối với tất cả giá trị hữu hạncủa x

Bên cạnh đó, để đơn giản chúng ta sẽ thừa nhận tất cả gián đoạn của f

là “đều” và hệ thức f (x) = 1

2[f (x + 0) + f (x − 0)] đúng tại mọi điểm

x Khi đó dưới điều kiện này thì phương trình (1.2) và (1.3) sẽ có cùngmột dạng và từ bây giờ chúng ta sẽ sử dụng (1.3)

Chúng ta có thể làm cho tích phân Fourier đối xứng hơn nếu chúng taphức hóa và thay thế hàm lượng giác bởi biểu diễn nó dưới dạng hàm

số mũ

1π

Header Page 10 of 258.

Nếu thực hiện lấy tích phân và nếu trong phần đầu của tích phân chúng

ta thay thế biến u bởi biến −u, nó có thể quy công thức Fourier (1.3)thành dạng:

Định nghĩa 1.1 Cặp hàm (1.5) và (1.6) được gọi là phép biến đổiFourier phức và mang hàm gốc f vào trong ảnh của hàm ϕ Phươngtrình (1.6) cho ta một quy tắc chuyển tiếp từ ảnh ϕ vào gốc f

Bây giờ chúng ta cho hai công thức đặc biệt của công thức Fourier màtương đương với công thức (1.3) Nếu chúng ta quy về biểu thức chocosin của hai đối số khác nhau, thì (1.3) tương đương với khai triểnchuỗi Fourier của hàm

Công thức (1.3) là tổng hợp của hai công thức (1.8) và (1.9).

Thật vậy, mọi hàm f có thể biểu diễn bằng tổng của các hàm chẵn vàlẻ:

f (x) = g (x) + h (x) Trong đó

g (x) = 1

2[f (x) + f (−x)] ,

h (x) = 1

2[f (x) − f (−x)] Tích phân trong công thức (1.3) sẽ được biểu diễn qua biểu thức của g

Công thức Fourier cosine (1.8) là mối liên hệ giữa hai hàm f và ϕc:

Đầu tiên là phép biến đổi Fourier cosine của hàm gốc f vào hàm ảnh ϕc,sau đó là phép biến đổi ngược lại Công thức Fourier sine (1.9) là côngthức ngược giữa hàm f và hàm ϕc:

Phương trình (1.12) gọi là biến đổi Fourier sine và phương trình (1.13)gọi là phép biến đổi ngược của nó Ta thấy rằng biến đổi Fourier phức(1.5) dễ dàng rút gọn được các phép biến đổi (1.10) và (1.12) Trongbiến đổi (1.5), thế f (x) bởi các khai triển chẵn và lẻ của nó:

Vì vậy biến đổi phức (1.5) là một tổ hợp tuyến tính của biến đổi Fouriercosine và biến đổi Fourier sine.

1.2 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.2 Hàm gốc là tập hợp các hàm f của biến số thực t saocho tích phân

(2) Hàm f (t) và các đạo hàm cấp cao của nó liên tục từng khúc (nghĩa

là hàm liên tục trừ một số điểm gián đoạn hữu hạn mà tại đó hàm cógiới hạn trái và giới hạn phải hữu hạn);

(3) Khi t → ∞, hàm f (t) có cấp tăng bị chặn, tức là tồn tại hằng số α0

và số M > 0 với mọi t > 0 sao cho:

Đối với điều kiện (3) ta thấy rằng:

et = 1 + t + t

2

2! +

t33! +

Phép biến đổi từ hàm gốc f (t) sang hàm ảnh xác định bởi công thức(1.14) được gọi là phép biến đổi Laplace

∞ 0

∞ 0

1.3 Phép biến đổi Laplace ngược

Định nghĩa 1.4 Phép biến đổi Laplace ngược của hàm F (s) là hàm

f (t) liên tục trên [0; +∞) và thỏa mãn L {f (t)} = F (s)

1.3.1 Tìm hàm gốc qua công thức nghịch đảo

a Khai triển hàm gốc trong chuỗi số hạng của hàm mũ

Cho một lớp quan trọng của hàm ảnh F (p), chúng ta có thể thu đượcmột chuỗi khai triển của hàm gốc có các số hạng tương ứng với các điểm

kì dị của hàm ảnh Như vậy, định lí dưới đây luôn đúng:

Định lý 1.2 Giả sử

(1) Hàm F(p) là một hàm chỉnh hình;

(2) Hàm F(p) là hàm giải tích trong nửa mặt phẳng Rep > α;

(3) Tồn tại hệ đường tròn: Cn : |p| = Rn, R1 < R2 < (Rn → ∞) trong

đó F(p) tiến đến 0 với đối số p;

(4) Với mọi c > α thì tích phân

Như đã biết, F (p) là hàm ảnh của:

Kí hiệu C0n là một phần của đường tròn Cn nằm bên trái đường thẳng

Re p = c, với c ± ibn, giao điểm của đường thẳng này với đường tròn

Cn và Γn, chu tuyến đóng được tạo ra bởi phần và cung C0n theo ngượcchiều kim đồng hồ Từ bồ để Lemma, với t > 0 ta có:

lim

n→∞

Z

C 0 n

dnk −1

dnk −1 p

Chứng minh Trước tiên cần lưu ý rằng F (p) là một hàm ảnh Điều nàysuy ra từ định lí về khai triển phân thức đơn giản của một hàm phânthức hữu tỉ, từ sự tuyến tính của phép biến đổi Laplace và từ tính khảdụng của công thức:

tnep0 t

(p − p0)n+1tại đó hàm ảnh nằm ở phía bên phải, hàm gốc nằm ở phía bên trái Dođó:

tại đó, c > max Re pk là các cực của F (p)

Từ định lí trên suy ra, tích phân (1.20) có thể được thay bằng tích phân(1.18) vì bổ đề Jordan có thể áp dụng dựa trên cơ sở là F (p) → 0 khi

p → ∞ Áp dụng định lí phần dư đối với tích phân (1.18) và công thức

1.3.2 Khai triển hàm gốc thành chuỗi lũy thừa

Giả sử hàm ảnh F (p) là một hàm giải tích tại một điểm ở vô cực Như

ta đã biết, từ phép tính toán tử F (∞) = 0 Khai triển hàm F (p) trongchuỗi Laurent về điểm tại vô cực và chỉ ra rằng có thể tìm ra hàm gốcbằng cách tính tổng các phần tử gốc của các số hạng trong phép khaitriển này Cho biết hàm t

Định lý 1.4 Nếu F (p) là giải tích tại điểm vô cực và trên miền lân cận

có một phép khai triển Laurent:

Từ đó ta thấy rõ, chuỗi (1.23) hội tụ trên toàn mặt phẳng t, có nghĩa là

f (t) là một hàm nguyên của biến t Từ bất đẳng thức (1.24), ta có thểsuy ra trực tiếp rằng với t > 0 thì:

|f (t)| ≤ CeRt

Mở rộng chuỗi (1.23) với e−pt, ta có chuỗi cùng hội tụ với mọi giá trị t,nghĩa là nó có thể thu được tích phân theo t chạy từ 0 đến vô cùng Khiđó

Header Page 19 of 258.

Định lý 1.5 Cho F (p) → 0 khi p → ∞, Rep < c (c là một số dương),

và trên mặt phẳng p hữu hạn không có điểm kì dị nào trừ gốc tọa độ

p = 0, hay chính là điểm nhánh của kiểu lũy thừa Khi đó, từ việc khaitriển F (p) thành một chuỗi lũy thừa suy rộng có dạng:

ngoại trừ tất cả các số hạng của tích phân là những số không âm α + kβ

Chứng minh Xét chu tuyến kín CR,r∗ được tạo ra từ đoạn [c − ib, c + ib]

và cung C0R của đường tròn |p| = R, Rep < c, Imp < c, cung C00R củacùng đường tròn đã xác định bởi bất đẳng thức Rep < c và Imp < c,mặt cắt hai phần dọc theo trục thực −R < Rep < −r và đường tròn

Cr : |p| = r Khi đó hàm ept F (p) là một hàm giải tích trong chu tuyến

CR,r∗ , thì tích phân của hàm này theo chu tuyến CR,r∗ bằng 0, do đó, tíchphân trên đoạn [c − ib, c + ib] có thể được thay thế bằng một tích phântrên đoạn cũ của chu tuyến Đồng thời, dựa vào bổ đề Jordan, với t > 0

Header Page 20 of 258.

thì tích phân của ept F (p) trong C0R và C00R với t > 0 sẽ tiến đến 0 khi

R → ∞, vì lí do này, công thức nghịch đảo có thể được viết như sau:

f (t) = lim

R→∞

12πiZ

CR∗

F (p) eptdp = 1

2πiZ

C ∗ r

C ∗ r

1

Γ (x) =

12πiZ

Chương 2 Ứng dụng

2.1 Phép biến đổi Laplace ngược theo nghĩa phép biến đổi Fourier. Chúng ta tìm hiểu phép biến đổi Laplace ngượctrong trường hợp suy biến, các bài toán đơn giản phép biến đổi tíchphân Fourier có thể thay thế bởi chuổi Fourier Có thể thực hiện tronghai trường hợp: hoặc là khi hàm f (x) giảm nhanh giá trị tuyệt đối khi

x tiến đến vô cùng hoặc khi ảnh của hàm F (c + iτ ) dưới dấu tích phân

tiến nhanh đến 0 khi |τ | tăng

TG (kω) − ck

Ở phương trình (2.3) nếu thay thế ck chúng ta thu được giá trị xấp xỉ

ở phương trình (2.5), chúng ta thu được biểu thức sau của g(t) với cácgiá trị của ảnh F tại các điểm cách đều c + ikω với k = 0, ±1, ±2,

Chú ý rằng hàm F (c + ikω) tách ra đủ nhanh như giá trị tuyệt đối của

k tăng ở ngoài biên Trường hợp này có thể đạt được thông qua ảnh của

F (p) và sự tăng nhanh của xấp xỉ F (p) đến 0 khi p → ∞

giảm nhanh. Hàm G (τ ) = F (c + iτ ) khả tích tuyệt đối trên trục

−∞ < τ < ∞ và nhỏ không đáng kể ngoài đoạn hữu hạn [−T ≤ τ ≤ T ].Như cách làm trên đoạn [−T, T ], chúng ta thấy rằng G (τ ) là một hàmgiải tích đều với giá trị bằng 0 nhận được chính xác tại điểm cuối củađoạn Để mở rộng trong chuỗi Fourier, chúng ta viết dưới dạng phức nhưsau:

Khi đó bên ngoài đoạn [−T, T ], hàm G (τ ) được coi như nhỏ không đáng

kể, khi đó phương trình sau luôn đúng:

2π

... số hạng sin biến Và số hạng cosinbên ngồi tích phân sử dụng cho phép biến đổi cosine

Cuối cùng, đặt x = kh + hξ, đưa biến ξ vào tíchphân rk(x, f ) thay tích phân biến x, nhận... vào biến ξ, τ vàđặt x = xk+ hξ, t = xk + hτ, (0 ≤ ξ, τ ≤ 2)

và tổng số hạng qua giá trị k,(k = 0, 2, 4, ) Khi chúng

ta nhận biểu thức xác phép biến đổi Fourier. .. 1, , nk

Trong số trường hợp phép biểu diễn Rc(u) sử dụng

để thu ước lượng sai số phép biểu diễn xấp xỉ (2.22) cho

Header Page 28 of 258.