Phép biến đổi tích phân kiểu tích phân kiểu tích chập kontorovich lebedev fourier cosine và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN HỮU HẢI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN HỮU HẢI PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP KONTOROVICH - LEBEDEV FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS TRỊNH TUÂN HÀ NỘI, 2016 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trịnh Tuân Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau Đại học, thầy cô giáo nhà trường bạn học viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường PTDT Nội Trú THCS-THPT Bắc Hà, Lào Cai quan tâm, động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn ! Hà Nội, ngày 22 tháng năm 2016 Tác giả Trần Hữu Hải ii Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Trịnh Tuân Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày 22 tháng năm 2016 Tác giả Trần Hữu Hải iii Danh mục kí hiệu F Phép biến đổi Fourier; Fs Phép biến đổi Fourier sine; Fs✁1 Phép biến đổi Fourier sine ngược; Fc Phép biến đổi Fourier cosine; Fc✁1 Phép biến đổi Fourier cosine ngược; K Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev; K ✁1 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược; C0 ♣R  q ♣✁f ✝ gq✠ γ f ✝g ✁ ✠ f ✝g ✁ Fγ ✠ f ✝g F L♣R  , x1 q Là không gian hàm số liên tục R  ; Tích chập hai hàm f g; Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ; Tích chập hai hàm f g phép biến đổi F ; Tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ phép biến đổi F ; tập hàm f g xác định ♣0,  ✽q cho L♣R  , sinh xq  ✽ ➩ x ⑤f ♣xq⑤dx ➔  ✽; tập hàm f g xác định ♣0,  ✽q  ✽ ➩ cho ⑤g♣xq⑤dx ➔  ✽ sinh x iv Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Danh mục kí hiệu iii Lời mở đầu 1 Tích chập phép biến đổi tích phân 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Một số không gian hàm dùng luận văn 1.1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine 1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev Một số kiến thức tích chập 1.2.1 Định nghĩa tích chập 1.2.2 Ví dụ 1.2 1.3 Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân 10 1.3.1 10 Định nghĩa đẳng thức nhân tử hóa Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược 2.1 11 Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngược 12 v 2.2 Các bất đẳng thức chuẩn 16 2.3 Định lý kiểu Watson 22 Ứng dụng 27 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Đối với tích chập ♣h ✝ f q hai hàm h f , ta cố định hai hàm, chẳng hạn cố định hàm h cho hàm f biến thiên không gian hàm xác định Ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập dạng D : f ÞÑ g ✏ D♣h ✝ f q đó: g ♣xq ✏ D ♣h ✝ f q ♣xq D toán tử Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập xây dựng theo kiểu tiếng phép biến đổi liên quan đến tích chập phép biến đổi tích phân Mellin ([4]) g ♣xq ✏  ✽ ➺ k ♣xy q f ♣y q dy, x → 0 Tiếp nối ý tưởng này, năm (1999-2003) GS TSKH Vũ Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ) đồng nghiệp xây dựng lớp phép ✂ ✡ biến đổi tích phân dạng tích chập Fourier cosine f ✂ f chập suy rộng Fourier cosine Fourier sine ✝ Fc ,Fs ✡ h ✝h Fc tích ([5]) Ở toán tử D xác định sau D ✏ ✂ 1✁ d2 dx2 ✡ Năm 2003, S B Yakubovich nghiên cứu kết tương tự nói tích chập Kontorovich-Lebedev (K) ([11]) Năm 2013 tác giả N.T.Hồng, Trịnh Tuân, N.X.Thảo ([6]) xây dựng phép biến đổi tích phân cho tích chập suy rộng với hàm trọng γ phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich-lebedev ngược (Fc , K ✁1 ) từ tính Unita phép biến đổi nghiên cứu ứng dụng phép biến đổi trường hợp bậc toán tử D hữu hạn Với mong muốn tìm hiểu tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập, hướng dẫn PGS.TS Trịnh Tuân chọn đề tài “Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Kontorovich- Lebedev Fourier cosine ứng dụng” để nghiên cứu Đề tài luận văn Thạc sỹ trình bày 35 trang A4, phần lời nói đầu tài liệu tham khảo luận văn chia làm chương Chương Nêu tóm tắt kiến thức dùng để nghiên cứu cho chương sau Chương Trình bày tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân Fc , K ✁1 (2.1) Nghiên cứu tồn chúng không gian hàm, nhận đẳng thức nhân tử hóa bất đẳng thức dạng chuẩn chúng Từ nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) Nội dung chương định lý: Định lý 2.1, Định lý 2.4 Định lý 2.6 Chương Sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng hai phép biến đổi Fc , K ✁1 (2.1) chương II Trong trường hợp phép biến đổi có bậc toán tử D hữu hạn để giải đóng lớp toán dạng Cauchy mà phương trình phương trình vi-tích phân Kết chương Định lý 3.1 Để tiện theo dõi trình viết luận văn Chúng đưa vào danh mục kí hiệu toán học trang đầu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier Cosine, Kontorovich – Lebedev ngược ([6]) ☎ f ♣xq ÞÑ g ✏ ✝ D✆ ➺ ☞ ✠ ✁ ✁u cosh♣x vq ✍ ✁ u cosh♣x✁v q e   e h ♣uq f ♣v q dudv ✌ u R2  D ✏ d π dx2 ✽ ✁ ➧ k ✏1 1✁ 4d k dx2 ✠ (1) từ nghiên cứu số tính chất toán tử D ứng dụng để giải đóng lớp toán dạng Cauchy mà phương trình phương trình vi-tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày vấn đề Vấn đề Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân ♣Fc , K ✁1 q Vấn đề Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng ♣Fc , K ✁1 q với hàm trọng Vấn đề Ứng dụng giải đóng lớp toán dạng Cauchy Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fc , K ✁1 với hàm trọng không gian L2 ♣R  q ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Dùng kỹ thuật giải tích hàm; Kỹ thuật hàm đặc biệt; Dùng kỹ thuật tích chập; Kỹ thuật phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng 21 ↕2 ➺✽ ➺✽ ➺✽ ⑤ f ♣uuq ⑤pK0♣βuq⑤g♣vq⑤q dudvdx 0 f qL✁p,β ♣R q p   ✏⑥ ⑥ ⑥g⑥qL ♣R q (2.22) q Từ (2.20), (2.21) (2.22) ta có ⑥F ⑥L p1 ♣ ⑥G⑥L  q R3 q1 ♣ ⑥H ⑥L  q R3 r1 ♣ ✁ ⑥f ⑥L✁ ↕  q p p R3 p p,β ♣R  q ⑥g ⑥Lq ♣R  q ⑥h⑥Lr ♣R  q (2.23) Từ (2.2) (2.23), bất đẳng thức Hodler cho ba hàm ta có ✞ ✞ ✞➺✽ ✞ ✞ ✞ γ ✞ f g x h x dx✞ ✞ ✞ ✞ ✞ ♣ ✝ q♣ q ♣ q ↕ π2 ➺✽ ➺✽ ➺✽ ✑ ✙ f ♣uq ✁ u cosh♣x v q ✁ u cosh♣x✁v q ⑤ u ⑤⑤g♣vq⑤⑤h♣xq⑤ e  e dudvdx 0 ✏ π12 ➺✽ ➺✽ ➺✽ F ♣x, u, v qG♣x, u, v qH ♣x, u, v qdudvdx 0 ↕ ↕ ⑥F ⑥Lp1 ♣R3 q⑥G⑥Lq1 ♣R3 q⑥H ⑥Lr1 ♣R3 q π2 p✁1 p ⑥f ⑥L✁p p,β ♣R q⑥g⑥Lq ♣R q⑥h⑥Lr ♣Rq  π2 Định lý chứng minh Bất đẳng thức Young’s suy từ định lý Hệ 2.1 (Bất đẳng thức Young’s) ([6]) Cho ➔ p ➔ ✽, ➔ q ➔ ✽, ➔ r ➔ ✽ cho p1   1q ✏   1r cho f € L✁p p,β ♣R q, ➔ β ↕ 1, g € Lp ♣R  q Khi tích chập suy rộng (2.1) xác định Lr ♣R  q, nữa, bất đẳng thức sau ✎ γ ✎ ✎ ✎ ✎f g ✎ ✝ Lr ♣R  q ↕ ✁ p p ⑥f ⑥L✁p p,β ♣R q⑥g⑥Lq ♣R q π2 (2.24) 22 2.3 Định lý kiểu Watson Một kết chương nghiên cứu định lý dạng Watson tích chập suy rộng (2.1) cách cho toán tử D✽ tác động vào tích chập suy rộng (2.1) Ở hàm h cố định, hàm f biến thiên không gian hàm xác định Tuy nhiên toán tử D✽ xác định hoàn toàn khác với toán tử D [5] Bởi tích chập (2.1) có tham gia phép biến đổi tích phân K ✁1 , mà nhân phép biến đổi chứa hàm đặc biệt Macdonald công thức (1.6) Còn tích chập xây dựng [5] tích chập Fc mà nhân phép biến đổi hàm cos ♣xy q công thức (1.4) Định lý dạng Watson nhận sau cho ta thấy tính Unita phép biến đổi D✽ L2 ♣R  q nhận công thức biến đổi ngược dạng đối xứng phép biến đổi không gian L2 ♣R  q ✁ ✠ Chúng ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập h ✝ f (2.1) sau D✽ : L2 ♣R  q Ñ L2 ♣R  q f đó: D✽ g ♣xq ✏ γ ✽ ✂ ✏ ÞÑ g ✏ D✽♣h ✝γ f q ✽ ✂ d2 ➵ 4d2 1✁ 2 dx2 k✏1 k dx d2 ➵ 4d2 1✁ 2 π dx2 k✏1 k dx (2.25) ✡ ✡ ➺✽ ➺✽ ✂ ✁u cosh♣x vq e u 0 ✡   e✁u cosh♣x✁vq h♣uqf ♣vqdudv, (2.26) Định lý 2.5 (Dạng Watson) (X.[6]) Cho h € L✁2 2,β ♣R q, ➔ β ↕ Khi điều kiện ⑤K ✁1rhs♣rq⑤ ✏ cosh1♣πrq (2.27) 23 cần đủ để phép biến đổi (2.25) unita L2 ♣R  q Hơn nữa, cho ta công thức phép biến đổi ngược dạng đối xứng L2 ♣R  q sau ✂ 4d2 d2 ➵ 1✁ 2 f ♣xq ✏ lim 2 N Ñ✽ π dx k dx k ✏1 N ✡ ➺✽ ➺✽ ✂ ✁u cosh♣x vq e u 0 ✡   e✁u cosh♣x✁vq h¯ ♣uqf ♣vqdudv (2.28) đó: h liên hợp phức h Trước chứng minh Định lý này, trình bày bổ đề sau Bổ đề 2.1 ([6]) Cho h € L✁2 2,β ♣R q, ➔ β ↕ f € L2♣R q Khi tích chập suy rộng (2.1) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa (2.2) Hơn nữa, nhận đẳng thức Parseval ♣h ✝ f q♣xq ✏ ❝ γ π ➺✽ K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q cos xydy, y sinh πy (2.29) Chứng minh Định lý (2.5) Điều kiện đủ Giả sử hàm h thỏa mãn điều kiện (2.27) Áp dụng Bổ đề 2.1, dễ dàng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.26) viết dạng g ♣xq ✏ ❝ N d ➵ ✂ 2 4d lim 1✁ 2 π N Ñ✽ dx k✏1 k dx ✡ ➺✽ ♣Kiy rhs♣yq cos xydy, y sinh πy (2.30) tương đương, g ♣xq ✏ lim gN ♣xq, N Ñ✽ gN ♣xq ✏ ✂ ✡ d2 ➵ 4d2 ✁ 2 Fc dx2 k✏1 k dx N ✂ ♣Kiy rhsq♣Fcf q♣yq y sinh πy ✡ ♣xq Biết h♣y q, yh♣y q, y h♣y q € L2 ♣R  q ♣F hq♣xq, ♣d♣F hq♣xq④dxq, ♣d2♣F hq♣xq④dx2q € L2♣R q Do h♣yq, yh♣yq, y2h♣yq, , ynh♣yq € L2♣R q 24 ♣F hq♣xq, ♣d♣F hq♣xq④dxq, ♣d2 ♣F hq♣xq④dx2 q, , ♣dn♣F hq♣xq④dxnq € L2♣R q Hơn nữa, với số nguyên dương n ta có d2n ♣ F hq♣xq ✏ ♣✁1qn F ♣y 2n h♣y qq♣xq 2n dx Do đó, y N d ➵ ✂ dx2 k✏1 N ➧ k ✏1 1✁ ♣1   4yk qh♣yq € L2♣R q công thức sau ✡ 4d k dx2 ♣Fchq♣xq ✏ ✁Fc ✓ y2 N ➵ k ✏1 ✂ 1  4y k2 ✡ ✛ h♣y q ♣xq (2.31) Từ điều kiện (2.27) dạng tích vô hạn sinhz ta có ✞ N ✂ ✞ ➵ ✞ ✞y ✞ k ✏1 ✡   4yk2 ✞ ✞ ✞ ✁ K h y ✞ ✞ y sinh πy r s♣ q ✏ ✽ ✁ ➧ k ✏N  1 1  4y k2 ✠ ➔ 1, bị chặn Vì y2 N ➵ ✂ k ✏1 1  4y k2 ✡ K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q € L2 ♣R  q, y sinh πy công thức (2.31) ✓ gN ♣xq ✏ Fc y N ➵ k ✏1 ✂ 1  4y k2 ✡ K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q y sinh πy ✛ ♣xq € L2♣R q Điều gN thuộc L2 ♣R  q Áp dụng phép biến đổi Fourier cosine cho hai vế quan hệ trên, ta có ♣FcgN q♣yq ✏ y N ➵ k ✏1 ✂ 1  4y k2 ✡ K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q y sinh πy Ngoài ra, từ đẳng thức Parseval phép biến đổi Fourier cosine ⑥Fcf ⑥L ♣R q ✏ ⑥f ⑥L ♣R q, suy ra: 2 ⑥FcgN ✁ Fcg⑥L ♣R q ✏ ⑥gN ✁ g⑥L ♣R q Ñ 0, 2 N Ñ ✽ 25 Do đó, ta kết luận ✂ 4y k2 ✡ K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q y sinh πy ✏ y sinh 2πy 2y sinh K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q πy ♣Fcgq♣yq ✏ y 1  ✏ cosh πyK ✁1rhs♣yq♣Fcf q♣yq Từ điều kiện (2.27), dễ dàng ⑤♣Fcgq♣yq⑤ ✑ ⑤♣Fcf q♣yq⑤, ⑥f ⑥L ♣R q ✏ ⑥g⑥L ♣R q, điều có nghĩa phép biến đổi (2.26) unita Lại 2 từ điều kiện (2.27) ta được: ¯ s♣y q♣Fc g q♣y q ✏ ♣Fc f q♣y q cosh πyK ✁1 rh Như vậy, cách tương tự tương ứng với (2.28) suy công thức nghịch đảo phép biến đổi (2.26) Điều kiện cần Giả sử phép biến đổi (2.26) unita L2 ♣R  q công thức biến đổi ngược dạng đối xứng xác định (2.28) Khi đó, sử dụng đồng thức Parseval (2.29), đồng thức Parseval phép biến đổi Fourier cosine ta ⑥g⑥L ♣R q ✏ ⑥ cosh πyK ✁1rhs♣yq♣Fcf q♣yq⑥L ♣R q ✏ ⑥Fcf ⑥L ♣R q ✏ ⑥f ⑥L ♣R q Đẳng thức với f 2 € L2♣R q h thỏa mãn điều kiện (2.27) Định lý chứng minh 26 Kết luận chương Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi   ✟ tích phân Fc , K ✁1 Chỉ tồn chúng không gian hàm, nhận đẳng thức nhân tử hóa bất đẳng thức dạng chuẩn tích chập (Định lý 2.1, Định lý 2.4) Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm   ✟ trọng phép biến đổi tích phân Fc , K ✁1 không gian L2 ♣R  q Từ nhận tính unita công thức phép biến đổi ngược dạng đối xứng chúng (Định lý 2.5) 27 Chương Ứng dụng Ngày kết lý thuyết ứng dụng phương trình vi phân phương trình tích phân phát triển mạnh mẽ gần "trọn vẹn" Trong lý thuyết công cụ để nghiên cứu cho phương trình vi-tích phân "khiêm tốn" Trong chương sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) trình bày chương II để giải đóng lớp toán dạng Cauchy mà phương trình có dạng phương trình vi-tích phân Kết nhận chương Định lý (3.1) Tài liệu dùng để nghiên cứu chương ([6]) Một lớp toán dạng Cauchy Mục đích phần xây dựng lớp toán dạng Cauchy mà phương trình có dạng vi-tích phân Sau sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng trình bày chương II để giải toán Cần phải nhấn mạnh thêm toán tử D dùng cho chương có bậc hữu hạn Cụ thể xét phép biến đổi sau D : L1 ♣R  q Ñ L1 ♣R  q f ✁ ÞÑ Kh ♣f q ✏ D h ✝ f γ ✠ 28 Trong đó: D ♣Khf q♣xq ✏ ✏ ✂ n✁1 ✂ d2 ➵ π dx2 k✏1 d2 dx2 ✡ n✁1 ✂ ➵ d2 ✁ dx2 d2 ✁ dx2 k ✏1  k  k ✡➺ ✽➺ ✽ 0 ✡ (3.1) ✁u cosh♣x vq re u   e✁u cosh♣x✁vqsh♣uqf ♣vqdudv (3.2) Ta xét toán dạng Cauchy sau ✩ ✬ ✬ ✫ f ♣xq   ♣Kh f q♣xq ✏ g ♣xq, d2k✁1 f dx2k✁1 ♣k q ♣0q ✏ 0, k ✏ 1, n, ♣xq ✏ 0, k ✏ 0, 2n ✁ ✬ ✬ ✪ lim f xÑ✽ (3.3) Ở đây, h, g hàm cho trước L1 ♣R  q, f ẩn hàm phải tìm ♣Khf q xác định công thức (3.2) Ta cần lưu ý: Cho h € L1 ♣R  q cho: h♣0q ✏ 0, lim h✶ ♣xq ✏ 0, phép xÑ✽ biến đổi Fourier sine Fourier cosine h, h✶ tồn Hơn nữa, ♣Fsh✶q♣yq ✏ ❄1 2π ✏ ❄1 2π ➺✽ ★0 h✶ ♣xq sin xydx ✞ ✞ ✞ h x sin xy ✞ ✞0 ♣q ✰ ✽ ✁ y ➺ ✽ h♣xq cos xydx (3.4) h✶ ♣xq cos xy dx ✏ y ♣Fs hq♣y q (3.5) ✏ ✁y♣Fchq♣yq, ♣Fch✶q♣yq ✏ ❄1 2π ➺✽ Định lý sau cho ta nghiệm toán Cauchy (3.3) không gian L1 ♣R  q Biểu thức nghiệm nhận được viết dạng biểu thức giải tích thông qua tích chập phép biến đổi tích phân Fc 29 Định lý 3.1 ([6]) Giả sử ✂ ♣ 2n ✁ 1q! γ 1✁ ❄ F h ✝ c 2n✁1 ✡ cosh2n τ ④2 2π.2 ♣yq ✘ 0, ❅y → (3.6) Khi toán (3.3) có nghiệm L1 ♣R  q nghiệm có dạng f ♣xq ✏ g ♣xq   ♣g ✝ lq♣xq, (3.7) Fc l € L1 ♣R  q xác định bởi: ❄ γ ♣♣ 2n ✁ 1q!④ 2π.22n✁1 qFc ♣h ✝ cosh✁2n τ ④2q♣y q ♣Fclq♣yq ✏ ❄ γ ✁ ♣♣2n ✁ 1q!④ 2π.22n✁1 qFc ♣h ✝ cosh✁2n τ ④2q♣y q ✂ ✡ ✝ Fc ✁ ✠ xác định (1.17), ✝ xác định (2.1) γ Chứng minh Từ phương trình toán dạng Cauchy f ♣xq   ♣Kh f q ♣xq ✏ g ♣xq Ta viết dạng f ♣xq   n✁ ✂ d2 ➵ π dx2 k✏1 d2 ✁ dx2   k2 ✡➺ ✽➺ ✽ 0 ✁u cosh♣x vq re u   e✁u cosh♣x✁vqsh♣uqf ♣vqdudv ✏ g♣xq (3.8) Sử dụng công thức (2.1), (3.1) ♣h ✝ f q♣xq ✏ γ D ✏ ✁ d2 dx2 π2 ➺  ✽ ➺  ✽ 0 ✠ n➧ ✁1 ✁ k ✏1 ✁u cosh♣x vq ✁u cosh♣x✁vq re  e sh♣uqf ♣vqdudv, x → u ✁  k d2 dx2 ✠ Khi phương trình vi-tích phân toán dạng Cauchy viết dạng phương trình tích chập sau f ♣xq   n✁ ✂ d2 ➵ dx2 k✏1 d2 ✁ dx  k ✡✦ ✮ ♣h ✝ f q♣xq ✏ g♣xq γ (3.9) 30 Tác động phép biến đổi tích phân Fourier cosine vào hai vế phương trình (3.9), từ sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (2.2) điều kiện toán (3.3) cộng với công thức (3.4), (3.5) Cho ta phương trình (3.9) viết lại sau ♣Fcf q♣yq ✁ y n ✁1 ➵ k ✏1 K ✁1 rhs♣y q♣Fc f q♣y q ✏ ♣Fc g q♣y q ♣y2   k2q y sinh πy (3.10) Sử dụng công thức ✂ Fc ❄ 2n✁1 n➵ ✁1 2π.2 y ♣yq ✏ ♣2n ✁ 1q! sinh πy ♣y2   k2q, 2n cosh τ ④2 k ✏1 ✡ ta có ✂ ♣ 2n ✁ 1q! ♣Fcf q♣yq✁ ❄ 2n✁1 Fc 2π.2 cosh τ ④2 2n ✡ ♣yqK ✁1rhs♣yq♣Fcf q♣yq ✏ ♣Fcgq♣yq, tương đương, ✂ ♣ 2n ✁ 1q! ♣Fcf q♣yq ✁ ❄ 2n✁1 Fc h♣τ q ✝γ ✒ 2π.2 cosh2n τ ④2 ✡ ✚ ♣yq ✏ ♣Fcgq♣yq Từ điều kiện (3.6) ta có ♣Fcf q♣yq ✏ ✄ ❄ q Fc ♣h ✝ cosh✁2n τ ④2q♣y q ♣♣ 2n ✁ 1q!④ 2π.2 1  ❄ γ ✁ ♣♣2n ✁ 1q!④ 2π.22n✁1 qFc ♣h ✝ cosh✁2n τ ④2q♣y q 2n✁1 γ ☛ ♣Fcgq♣yq (3.11) Nhắc lại định lý Wiener-Levy f phép biến đổi Fourier hàm L1 ♣R  q, ϕ giải tích lân cận điểm gốc chứa miền tf ♣y q, ❅y € R✉ ϕ♣0q ✏ 0, ϕ♣f q phép biến đổi Fourier hàm L1 ♣R  q Cho phép biến đổi Fourier cosine nghĩa f phép biến đổi Fourier cosine hàm L1 ♣R  q, ϕ giải tích 31 lân cận điểm gốc chứa miền tf ♣y q, ❅y € R✉ ϕ♣0q ✏ 0, ϕ♣f q phép biến đổi Fourier hàm L1 ♣R  q Theo điều kiện (3.6) cho trước hàm ϕ♣z q ✏ 1 z z thỏa mãn điều kiện định lý Wiener-Levy, đó, tồn hàm l € L1 ♣R  q cho: ❄ γ ♣♣ 2n ✁ 1q!④ 2π.22n✁1 qFc ♣h ✝ cosh✁2n τ ④2q♣y q , ❅y → ♣Fclq♣yq ✏ ❄ 2n✁1 γ ✁ 2n ✁ ♣♣2n ✁ 1q!④ 2π.2 qFc♣h ✝ cosh τ ④2q♣yq Do phương trình (3.11) trở thành ♣Fcf q ♣yq ✏ ♣1   ♣Fclqq ♣yq ♣Fcgq ♣yq , ❅y → Suy ♣Fcf q ♣yq ✏ ♣Fcgq ♣yq   ♣Fclq ♣yq ♣Fcgq ♣yq , ❅y → Sử dụng công thức (1.18) cho ta ♣Fcf q ♣yq ✏ ♣Fcgq ♣yq   Fc Từ cho ta ♣Fcf q ♣yq ✏ Fc ✂ Suy ra: f ♣y q ✏ g ♣y q   l ✂ g l ✂ ✡ l ✝ g ♣yq, ❅y → Fc ✡ ✝ g ♣yq , ❅y → Fc ✡ ✝ g ♣y q , ❅ y → Fc ✂ ✡ € L1 ♣R q l F✝ g € L1 ♣R q (X.[VD 2]) Do nghiệm toán Cauchy (3.3) f € L1 ♣R  q Theo giả thiết: g c Định lý chứng minh 32 Kết luận chương Trong chương này, phép biến đổi D có bậc hữu hạn cho ta ứng dụng để giải đóng lớp toán dạng Cauchy (3.3) Kết chương Định lý 3.1 33 Kết Luận Khuôn khổ luận văn dành cho việc trình bày về: Luận văn nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng (2.1)   ✟ hai phép biến đổi tích phân Fc , K ✁1 Nhận số tính chất toán tử chúng không gian hàm khác (Định lý 2.1 Định lý 2.4) Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1), từ nhận Định lý dạng Watson (Định lý 2.5) Ứng dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) xây dựng chương II Trong trường hợp phép biến đổi có bậc toán tử D hữu hạn để giải đóng lớp toán dạng Cauchy (Định lý 3.1) Một số ý nghiên cứu Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng nói không gian Lp với hàm trọng Nghiên cứu hệ số tốt bất đẳng thức dạng chuẩn tích chập suy rộng (2.1) số lớp không gian hàm khác 34 Tài liệu tham khảo A Tài liệu tiếng Việt [1] Đặng Đính Áng (2009), Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (Tái bản) [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kì dị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh [4] E C Titchmarsh (1986), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Third edition Chelsea Publishing Co., New York [5] F Al-Musallam, V.K.Tuan (2000), “Integral transforms related to a genneralized convolution”, Result Math 38, pp 197-208 [6] N T Hong, T Tuan, N X Thao (2013), “On the Fourier cosine – Kontorovich – Lebedev generalized convolution tranforms”, Applications of Mathematics, Vol 58, No 4, pp 473-486 [7] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Nat Bur Stan appl Math Ser 55 [8] Trinh Tuan (2007), “On the ganeralized convolution with a weight function for the Fourier consine and the inverse Kontorovich-Lebedev integral transformations”, Nonlinear Funct Anal Appl, Vol.12, N.2, pp 325-341 35 [9] V.K.Tuấn (1999), integral transforms of the Fourier cosine convolution type, J Math Anal Appl, Vol 229, pp 519-529 [10] V.A.Kakichev (1967), On the convolution for integral transforms, Izv AN BSSR, Ser Mat, No.2, pp 48-57 [11] Yakubovich.S.B (2003), integral transforms of the Kontorovich-Lebedev convolution type, Collect math, Vol 54, No.2, pp 99-110 [...]... ✁ y ✁ 1⑤q dy ✂ Tích chập tử hóa f ✝g γ Fs ✂ Fs f ✡ thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân ✡ ✝ g ♣yq ✏ sin y♣Fsf q♣yq.♣Fsgq♣yq, γ Fs (1.21) y → 0 (1.22) 11 Chương 2 Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine, Kontorovich- Lebedev ngược Trong chương này chúng tôi trình bày về tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich- Lebedev ngược (2.1)... về tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Kontorovich- Lebedev để minh họa cho Định nghĩa 1.4, ngoài ra các tích chập này còn dùng để nghiên cứu các chương sau của luận văn 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1 ([4]) € L1♣Rq, tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier (1.1) đối với hai hàm f, g, ký hiệu ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi công thức F Cho f, g ♣f F✝ gq♣xq ✏ Tích chập. .. hóa và các bất đẳng thức dạng chuẩn đối với tích chập này (Định lý 2.1, Định lý 2.4) 2 Nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng với hàm   ✟ trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fc , K ✁1 trên không gian L2 ♣R  q Từ đó nhận được tính unita và công thức phép biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng (Định lý 2.5) 27 Chương 3 Ứng dụng Ngày nay các kết quả về lý thuyết cũng như ứng dụng. .. (1.4) 0 ↕ 1, ⑤ sin xy⑤ ↕ 1 và f ♣xq € L1♣R q nên các tích phân (1.3), (1.4) đều hội tụ với mỗi x € R 1.1.3 Phép biến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev Định nghĩa 1.3 ([6]) Phép biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev được nghiên cứu đầu tiên bởi M J Kontorovich và N N Lebedev trong khoảng 7 (1938-1939) và có dạng K rf s♣y q ✏ ➺✽ Kix ♣y qf ♣xqdx, (1.5) 0 nó bao hàm các hạt nhân và hàm Macdonald Kv ♣xq... biến đổi tích phân K ✁1 , mà nhân của phép biến đổi này chứa hàm đặc biệt Macdonald công thức (1.6) Còn đối với tích chập được xây dựng trong [5] là tích chập Fc mà nhân của phép biến đổi này là hàm cos ♣xy q công thức (1.4) Định lý dạng Watson nhận được sau đây cho ta thấy tính Unita của phép biến đổi D✽ trong L2 ♣R  q ngoài ra còn nhận được công thức biến đổi ngược dạng đối xứng của phép biến đổi này... đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Định nghĩa 1.1 ([4]) Cho hàm f ♣xq € L1 ♣Rq Khi đó phép biến đổi tích phân Fourier (F ) đối với hàm f được định nghĩa như sau fr♣xq ✏ ♣F f q♣y q ✏ ➺  ✽ 1 ❄ e✁ixy f ♣y qdy; 2π ✁✽ x € R (1.1) Ở đó F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier Và F có phép biến đổi Fourier ngược (F ✁1 ) được định nghĩa như sau Phép biến đổi Fourier ngược của hàm f được xác... đó nhận được tính Unita của phép biến đổi này, cũng như công thức biến đổi ngược dạng đối xứng của chúng Các kết quả chính của chương này là Định lý 2.1, Định lý 2.4 và Định lý 2.5 Tài liệu chính để nghiên cứu chương này là ([5,6]) 12 2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Kontorovich- Lebedev ngược Định nghĩa 2.1 ([8]) Tích chập suy rộng với hàm trọng γ... γ ♣y q ✏ y sinh1♣πyq của hàm h và f với phép biến đổi tích phân Fourier cosine và phép biến đổi tích phân Kontorovich- Lebedev ngược được định nghĩa như sau ♣h ✝ f q♣xq ✏ γ 1 π2 ➺  ✽ ➺  ✽ 0 0 1 ✁u cosh♣x vq ✁u cosh♣x✁vq re  e sh♣uqf ♣vqdudv, x → 0 u (2.1) Định lý 2.1 ([8]) Giả sử h € L♣R  , x1 q và f € L♣R , sinh1 x q Khi đó tích chập suy rộng ♣h ✝ f q♣xq thuộc L♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa... L1♣R q Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine của hai hàm f và g ký hiệu: ♣f ✝ g q♣xq được xác định bởi công thức F Cho f, g c ♣f F✝ gq♣xq ✏ c ❄1 2π ➺  ✽ 0 f ♣y qrg ♣⑤x ✁ y ⑤q   g ♣x   y qsdy; x → 0 (1.16) Tích chập này thuộc không gian L1 ♣R  q và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fc ♣f ✝ gq♣yq ✏ ♣Fcf q♣yq♣Fcgq♣yq, ❅y → 0 (1.17) Fc Ví dụ 3 ([11]) € L1♣R q Tích chập đối với phép biến đổi tích. .. trình vi phân và phương trình tích phân được phát triển khá mạnh mẽ và gần như "trọn vẹn" Trong khi đó lý thuyết và các công cụ để nghiên cứu cho phương trình vi -tích phân còn "khiêm tốn" Trong chương này chúng tôi sử dụng phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng (2.1) đã trình bày ở chương II để giải đóng một lớp bài toán dạng Cauchy mà phương trình ở đây có dạng phương trình vi -tích phân Kết