Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier Sine, Fourier Cosine và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Mở đầu Nội dung Đa chập với hàm γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1 Các không gian xét đến 1.2 Định nghĩa đa chập 1.3 Các tính chất đa chập 1.4 Áp dụng giải hệ phương trình tích phân 15 Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi Fourier, Fourier sine Fourier cosine 20 2.1 Các không gian sử dụng 20 2.2 Định nghĩa đa chập 20 2.3 Các tính chất đa chập 21 2.4 Áp dụng 28 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thày TS Nguyễn Minh Khoa Trưởng khoa học - Trưởng môn Toán trường Đại học Điện lực hướng dẫn bảo tận tình suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học toán K4B quan tâm, động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô toàn thể bạn đọc Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Phạm Văn Hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Phạm Văn Hiệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Tích chập hai hàm f, g phép biến đổi tích phân Fourier có dạng [7,13]: (f ∗ g)(x) = F √1 2π +∞ f (x − y)g(y)dy ∀x ∈ R (0.1) −∞ Tích chập thảo mãn đẳng thức nhân tử hóa sau: F (fF∗ g)(y) = (F f )(y)(F g)(y), ∀y ∈ R (0.2) phép biến đổi Fouriercó dạng: [7.13] +∞ (F f )(y) = √ 2π f (x)e−ixy dx (0.3) −∞ Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi Fourier sine Fourier cosine nghiên cứu [7] , [13] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (y) [g(x − y) − g(x + y)])dy (0.4) Tích chập suy rộng thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa Fs (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.5) Trong phép biến đổi Fourier sine có dạng [7] , [13] +∞ (Fs f )(y) = π f (x)sin(xy)dx, (0.6) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phép biến đổi Fourier cosine có dạng [7] , [13] +∞ (Fc f )(y) = π f (x)cos(yx)dx, (0.7) Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier cosin Fourier sine xác định [10] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (u) [sign(u − x)g |u + x| + g(u + x)]du, x > (0.8) Và thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa: Fc (f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.9) Tích chập suy rộng với hàm trọng: γ1 (x) = sinx hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier cosine sine có dạng sau[11] +∞ (x) = √ 2π γ1 f ∗g f (y)[g |x − y − 1| − g |y − x + 1| +g |y + x − 1| − g |x + y + 1| ]dy, x > (0.10) có đẳng thức nhân tử hóa sau đây: γ1 Fc (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.11) Tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier Fourier sine xác định [6] +∞ (f ∗ g)(x) = √ 2π f (y) [sign(y − x)g |y + x| + g(x + y)]dy,∀x ∈ R Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (0.12) Tích chập thoả mãn nhân tử hóa sau đây: F (f ∗ g)(y) = (Fs f ) |y| (Fs g) |y| , ∀y ∈ R (0.13) Một tích chập với hàm trọng γ1 (x) = sinx hàm f hàm g phép biến đổi Fourier sine giới thiệu [4] γ1 (f ∗ g)(x) = Fs √1 2π +∞ f (y)sign(x + y − 1)g(|x + y − 1|) +sign(x − y + 1)g(|x − y + 1|) − g(x + y + 1) −sign(x − y − 1)g(|x − y − 1|)dy, x > (0.14) với tích chập này, đẳng thức nhân tử hóa sau thỏa mãn : η Fs (f ∗ g)(y) = sin y(Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.15) Fs Năm 1997 Kakichev giới thiệu phương pháp kiến thiết xác định đa chập với hàm trọng γ hàm f1 , f2 , , fn phép biến đổi tích phân K1 , K2 , , Kn ký hiệu γ∗ (f1 , f2 , , fn )(x) cho đẳng thức nhân tử sau thỏa mãn [5] n K γ ∗ (f1 , f2 , , fn ) (Ki fi )(y), n ≥ (0.16) (x) = γ(y) i=1 Đa chập phép biến đổi tích phân Hilbert, Stieltjes, Fourier cosine, Fourier sine nghiên cứu [9] Trong thời gian gần đây, có nhiều có nhiều công trình nghiên cứu tích chập suy rộng Các tích chập cho ta số ứng dụng thú vị xem ([8,10,11,12]) Đặc biệt ứng dụng phương trình tích phân với nhân Toeplitz+Hankel[3,14] +∞ [k1 (x + y) + k2 (x − y))]f(y)dy = g(x), x > f (x) + (0.17) k1 , k2 g hàm biết f ẩn hàm Nhiều trường hợp rieeng phương trình giải cho nghiệm đóng nhờ vào tích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn chập suy rộng Trong luận văn tác giả sử dụng kết báo Tiến sĩ Nguyễn Minh Khoa với hai đa chập với hàm trọng γ(y) phép biến đổi Fourier sine, Fourier Fourier cosine Với tính chất toán tử mối liên hệ đa chập với tích chập tích chập suy rộng biết Đồng thời, giải trường hợp riêng toán mở (0.17) Đáng ý đa chập sử dụng luận văn cho phép ta giải số lớp nghiệm số không nhiều hệ phương trình tích phân giải dạng đóng Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier Fourier sine Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier Fourier cosine Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đa chập với hàm γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine 1.1 Các không gian xét đến Các không gian xét đến chương tác giả dùng đến không gian sau: L α2 + x2 , R =   +∞ với α ≥ L R+ = α2 + x2 |f (x)| dx < +∞ f:      −∞   |f (x)| dx < +∞  +∞ f:   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... chập với hàm trọng γ(y) = e−αy phép biến đổi tích phân Fourier cosine , Fourier Fourier sine Chương Đa chập với hàm trọng γ(y) = 4e−βy phép biến đổi tích phân Fourier sine , Fourier Fourier cosine. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN HIỆU ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER, FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ... γ(y) phép biến đổi Fourier sine, Fourier Fourier cosine Với tính chất toán tử mối liên hệ đa chập với tích chập tích chập suy rộng biết Đồng thời, giải trường hợp riêng toán mở (0.17) Đáng ý đa chập