1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng

58 399 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 58
Dung lượng 513,31 KB

Nội dung

2 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc s phm H Ni di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh, sõu sc ti TS.Trnh Tuõn, ngi ó luụn quan tõm, ng viờn v tn tỡnh hng dn tụi quỏ trỡnh thc hin lun ny Tụi cng xin trõn trng cm n Ban Giỏm hiu, Phũng Sau i hc, cỏc thy giỏo, cụ giỏo ca trng i hc S phm H Ni ó giỳp v to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny Nhõn õy tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti gia ỡnh, Ban giỏm hiu trng THPT Tõn Yờn - Bc Gang cựng bn bố, ng nghip ó to iu kin, ng viờn v giỳp tụi rt nhiu sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu H Ni, ngy 27 thỏng nm 2011 Hc viờn Nguyn Th Vin LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc gi Nguyn Th Vin MC LC trang Li cm n Li cam oan Cỏc ký hiu dựng lun M u Chng Mt s kin thc chun b 11 1.1 Mt s phộp bin i tớch phõn 11 1.1.1 Phộp bin i Fourier 11 1.1.2 Phộp bin i Fourier cosine v Fourier sine 14 1.1.3 Phộp bin i Kontorovich-Lebedev 17 1.2 Tớch chp v tớch chp suy rng 18 1.2.1 Tớch chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn 18 1.2.2 Tớch chp suy rng vi hm trng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn 21 1.2.3 Mt s vớ d v tớch chp suy rng vi hm trng 24 1.3 Kt lun 32 Chng Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev vi hm trng 33 2.1 nh ngha 34 2.2 ng thc nhõn t húa v cỏc tớnh cht 34 2.1.1 ng thc nhõn t húa 34 2.1.2 Cỏc tớnh cht 40 2.3 ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn 45 2.4 Kt lun 56 Kt lun 57 Ti liu tham kho 58 CC Kí HIU DNG TRONG LUN VN ã F : phộp bin i Fourier ã F -1 : phộp bin i Fourier ngc ã Fs : phộp bin i Fourier sine ã Fs-1 : phộp bin i Fourier sine ngc ã Fc : phộp bin i Fourier cosine ã Fc-1 : phộp bin i Fourier cosine ngc ã K : phộp bin i Kontorovich-Lebedev ã K -1 : phộp bin i Kontorovich-Lebedev ngc ã L : phộp bin i Laplace ã L-1 : phộp bin i Laplace ngc ã Jg : phộp bin i Hankel ã J g-1 : phộp bin i Hankel ngc ã ( f * g) : Tớch chp ca hai hm f , g ã ổ g ỗ f * g ữ : Tớch chp ca hai hm f , g vi hm trng g ố ứ ã ( f * g ) : Tớch chp ca hai hm f , g i vi phộp bin i T ã ổ g ỗ f *T g ữ :Tớch chp ca hai hm f , g i vi phộp bin i T vi ố ứ T hm trng g ã Ă + = { x ẻ Ă : x 0} ã L1 ( Ă ) l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( -Ơ; +Ơ ) cho: +Ơ ũ f ( x) dx < +Ơ -Ơ ã L1 ( Ă + ) l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( 0; + Ơ ) cho: +Ơ ũ f ( x ) dx < +Ơ ã 1ử ổ L1 ỗ Ă + , ữ xứ ố +Ơ ũ l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( 0; + Ơ ) cho: f ( x ) dx < +Ơ x M U Lý chn ti Phộp bin i tớch phõn l mt nhng quan trng ca gii tớch Toỏn hc v c phỏt trin liờn tc sut gn 200 trm nm qua Phộp bin i tớch phõn úng mt vai trũ quan trng Toỏn hc cng nh nhiu lnh vc khoa hc t nhiờn khỏc, c bit l vic gii cỏc bi toỏn iu kin ban u, iu kin biờn ca phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi tớch phõn v cỏc bi toỏn ca Vt lý - toỏn Cỏc phộp bin i tớch phõn cũn l cụng c cú hiu lc chuyn cỏc toỏn t vi phõn, toỏn t o hm riờng, toỏn t tớch phõn v cỏc bi toỏn n gin hn Mt s phộp bin i tớch phõn u tiờn cú nhiu ng dng l cỏc phộp bin i Fourier, Fourier cosine, Fourier sine (xem [12]) Cỏc phộp bin i ny c i rt sm, t u th k XIX Tip n l cỏc phộp bin i Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Stieltjes v KontorovichLebedev Cựng vi s phỏt trin ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn, mt hng nghiờn cu mi ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn l xõy dng tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn c xut hin vo khong u th k XX Cỏc tớch chp c xõy dng u tiờn l cỏc tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier (xem [12]), Laplace(xem [20]), Mellin, Hilbert, Hankel, Tớch chp ca phộp bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev c V.A.Kakichev xõy dng u tiờn vo nm 1967 (xem [7]) v sau ú c S.B.Yakubovich hon thin li vo nm 1987 (xem[18]) ( ) f * g ( x) = K 2x +Ơ +Ơ ộ ổ xu xv uv ự + + ữ ỳ f ( u ) g ( v ) dudv ,vi x > (01) v u x ứỷ ũ ũ exp ờở - ỗố 0 Tớch chp ny tha ng thc nhõn t húa: ( K f *g K ) ( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) , vi "y > (02) Tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn i cho ta nhiu ng dng phong phỳ v thỳ v chng hn dựng tớch chp tớnh tớch phõn, tớnh tng ca mt chui, gii phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng v cú nhiu ng dng xỏc sut cng nh cỏc bi toỏn Vt lý - toỏn Tuy nhiờn, trc nhng nm 50 ca th k trc cỏc tớch chp ó c bit n u cú cựng mt c im l ng thc nhõn t húa ca chỳng ch cú nht mt phộp bin i tớch phõn tham gia iu ny ớt nhiu lm hn ch ng dng ca chỳng vo gii cỏc bi toỏn thc t Nm 1951, ln u tiờn nh toỏn hc ngi M I.N.Sneddon ó xõy dng c tớch chp suy rng u tiờn i vi hai phộp bin i tớch phõn Fourier sine, Fourier cosine cho hai hm f , g ẻ L1 ( Ă + ) (xem [12]): ( f * g )( x ) = 2p +Ơ ũ f ( y ) ộở g ( x - y ) - g ( x + y )ựỷ dy (03) Tớch chp ny tha ng thc nhõn t húa: Fs ( f * g )( y ) = ( Fs f )( y )( Fc g )( y ) , "y > (04) Sau ú, vo nm 1967, mt cụng trỡnh cụng b trờn DAN, V.A.Kakichev ó xõy dng phng phỏp kin thit tớch chp vi hm trng g ( y ) i vi phộp bin i tớch phõn K bt kỡ, tha ng thc nhõn t húa: K ( f * g )( y ) = g ( y ) ( Kf )( y )( Kg )( y ) (05) Nh phng phỏp ny, mt s tớch chp vi hm trng ó c xõy dng v nghiờn cu (xem [7], [19]) n u nhng nm 1990 ca th k trc, S.B.Yakubovich ó a mt s tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn vi ch s, chng hn tớch chp i vi phộp bin i Mellin, bin i KontorovichLebedev, bin i G, bin i H Vo nm 1998, V.A.Kakichev v Nguyn Xuõn Tho ó a phng phỏp mi kin thit tớch chp suy rng i vi ba phộp bin i tớch phõn bt kỡ K1 , K , K vi hm trng g ( y ) tha ng thc nhõn t húa (xem [8]): ổ g K1 ỗ f * g ữ ( y ) = g ( y )( K f )( y )( K3 g )( y ) ố ứ (06) Nh ú m thi gian gn õy ó cú mt s cụng trỡnh xõy dng tớch chp suy rng vi hm trng c cụng b, ú l cỏc cụng trỡnh [9], [10], [13], [14], [15], [16], [17] Tip tc hng nghiờn cu ny, di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn tụi ó chn ti: Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngc vi hm trng Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớch chp suy rng vi hm trng g ( y ) = i y.sinh ( p y ) vi cỏc bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc, cỏc tớnh cht v ng dng ca chỳng Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca tớch chp suy rng vi hm trng i vi hai phộp bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc - ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn dng chp 10 i tng nghiờn cu Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc vi hm trng g ( y ) = y.sinh ( p y ) Phng phỏp nghiờn cu - S dng mt s k thut ca Gii tớch hm - Lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn - Phng phỏp kin thit tớch chp suy rng vi hm trng ca V.A.Kakichev v Nguyn Xuõn Tho nm 1998 D kin nhng úng gúp mi Lm phong phỳ thờm v phộp bin i tớch phõn vi quan im xem tớch chp l mt phộp bin i tớch phõn Nh vic lm phong phỳ ú ó cho ta ng dng thỳ v l gii úng c mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp m nhng h phng trỡnh tớch phõn dng chp õy khú cú th gii c bng cụng c khỏc 11 Chng MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny chỳng tụi s trỡnh by mt cỏch túm tt li mt s kin thc v cỏc phộp bin i tớch phõn, tớch chp v tớch chp suy rng, c bit l hai s kin thit tớch chp v tớch chp suy rng vi hm trng (1.14), (1.29) Sau mi s ú chỳng tụi u trớch dn mt s tớch chp v tớch chp suy rng lm vớ d minh Mt s cỏc tớch chp ny s c dựng chng sau 1.1 Mt s phộp bin i tớch phõn 1.1.1 Phộp bin i Fourier Cho hm f ( x ) ẻ L1 ( Ă ) nh ngha 1.1.1 Phộp bin i Fourier ca hm f ( x ) l mt hm kớ hiu F f v c xỏc nh bi cụng thc (xem [12]): f ( x ) = ( Ff )( x ) = 2p +Ơ ũe -iyx f ( y ) dy -Ơ vi x ẻ Ă (1.1) ú F c gi l toỏn t Fourier hoc phộp bin i Fourier nh ngha 1.1.2 Phộp bin i Fourier ngc ca mt hm c xỏc nh bi cụng thc (xem [12]): ( ú F ngc -1 F f -1 )( x) = 2p +Ơ ũe -Ơ iyx f ( y ) dy vi x ẻ Ă (1.2) c gi l toỏn t Fourier ngc hoc phộp bin i Fourier 45 Chng minh Ta cú ổ g ỗ f * g ữ ( x) = p ố ứ = p2 +Ơ ũ = p = p = p +Ơ +Ơ ũ ộ -u.cosh( x+v) -u.cosh( x-v) ự +e ũ0 u ởe ỷ f ( u) g ( v) dudv , "x > +Ơ ỡ +Ơ - u cosh ( x + v ) ỹ - u cosh ( x -v ) e f u g v dv + e f u g v dv ( ) ( ) ( ) ( ) ớũ ý du ũ u u ợ0 ỵ +Ơ ũ -Ơ ỡ +Ơ - u.cosh ( x -v ) ỹ - u cosh ( x -t ) f (u ) ũ e g ( v ) dv - ũ e g ( -t ) dt ý du u ợ0 ỵ +Ơ ũ +Ơ ũ = p p ỡ+Ơ - u cosh ( x - v ) ỹ f (u ) ũ e g ( v ) dv + ũ e - u cosh ( x -v ) g ( v ) dt ý du u -Ơ ợ0 ỵ ỡ +Ơ -u cosh ( x -v ) ỹ f (u ) ũ e g ( v ) dv ý du u ợ -Ơ ỵ +Ơ ũ ( ) f ( u ) e- u cosh v * g ( v ) ( x ) du F u Mnh c chng minh Nhn xột 2.2.2 Nu g l mt hm chn thỡ tớch chp (2.3) cng c biu din qua tớch chp ca phộp bin i Fourier cosin nh sau: ổ g ỗ f * g ữ ( x) = p p ố ứ ũ u f (u ) ( e +Ơ - u cosh v ) * g ( v ) ( x ) du Fc (2.14) ( ) ú tớch chp F* c nh ngha bi cụng thc (1.17) c 2.3 ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn Nh chỳng ta ó bit i vi phng trỡnh tớch phõn v h phng trỡnh tớch phõn hu ht cho ti ngi ta ch nhn c nghim xp x ca nú Trong mc ny chỳng tụi s a mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng 46 chp sau ú s dng cụng c tớch chp suy rng (2.3) v mt s tớch chp khỏc gii Nghim nhn c l nghim ỳng cho dng biu thc gii tớch biu din qua tớch chp suy rng (2.3) v mt s tớch chp ó bit trc ú Ngoi chỳng tụi cũn chng minh c rng nghim nhn c ca h phng trỡnh thuc khụng gian L1 ( Ă + ) 2.3.1 Xột h phng trỡnh tớch phõn: +Ơ f ( x ) + l1 ũ q ( x, u ) g ( u ) du = h ( x ), x > 0, l2 2p +Ơ ũ f ( u ) ộởy ( x + u ) +y ( x - u )ựỷ du + g ( x ) = k ( x ), (2.15) ú q ( x, u ) = p +Ơ ũ ộ -u cosh ( x +v ) -u cosh ( x -v ) ự e +e ỷ j ( v ) dv uở ổ + x3 ữ , k,y , h ẻ L1 ( Ă + ) l cỏc hm cho trc; l1 , l2 Trong ú j ẻ L1 ỗỗ Ă + , ữ x ố ứ l cỏc hng s; f , g l cỏc n hm nh lý sau õy cho ta cụng thc nghim ca h (2.15) v khng nh s tn ti nghim khụng gian L1 ( Ă + ) nh lớ 2.3.1 Gi s ổ g - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, "y > (2.16) ố ứ Khi ú h (2.15) cú nghim nht thuc khụng L1 ( Ă + ) v nghim c xỏc nh nh sau: ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố 47 ( ) ( x ) - l ( h *y ) ( x ) - l ổỗố l * ( h *y ) ửữứ ( x ) g ( x) = k ( x) + l * k Fc 2 Fc Fc Fc (2.17) vi l ẻ L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ "y > ( ) ổ g ú cỏc tớch chp ỗ * ữ , F* ln lt c nh ngha bi (2.3) c ố ứ v (1.17) Chng minh S dng nh ngha tớch chp (2.3) v (1.17), ú h (2.15) c vit di dng h chp nh sau: ổ g f ( x ) + l1 ỗ j * g ữ ( x ) = h ( x ) , ố ứ ( l2 f *y Fc ) ( x) + g ( x) = k ( x) , x > S dng ng thc nhõn t húa ca cỏc tớch chõp (2.3) v (1.17) ta chuyn h trờn v dng sau: ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , l2 ( Fcy )( y )( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , "y > Ta cú D= l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) l2 ( Fcy )( y ) ổ g = - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, ố ứ "y > (2.18) 48 ( Fc h )( y ) D1 = ( Fc k )( y ) l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ D2 = l2 ( Fcy )( y ) ( Fc h )( y ) ( Fc k )( y ) ( ) ( y ) = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h * y Fc T (2.18) ta suy ộ ự ổ g l l F c ỗ j *y ữ ( y ) ỳ ố ứ ỳ = ờ1 + g D ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ỳ ờở ỳỷ ố ứ nh lớ Wiener-Levi (xem [5]) núi rng: Nu f l nh ca phộp bin i Fourier ca mt hm thuc L1 ( Ă ) , f ( z ) l mt hm gii tớch lõn cn ca hp cha giỏ tr { f ( x ) , x ẻ Ă } v f ( ) = thỡ f ( f ) l nh ca phộp bin i Fourier ca mt hm thuc L1 ( Ă ) Chỳ ý rng nh lớ Wiener-Levi ỳng cho phộp bin i Fourier cosine ca mt hm thuc L1 ( Ă + ) õy ta ỏp dng nh lớ trờn cho trng hp: f (z) = l1l2 z ổ g ú z = Fc ỗ j *y ữ ( y ) , vi iu kin (2.16) thỡ - l1l2 z ố ứ hm f ( z ) gii tớch, f ( ) = Do ú tn ti hm l ẻ L1 ( Ă + ) cho ( Fcl )( y ) = f ( z ) Hay 49 ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ Do ú = ộ1 + ( Fc l )( y ) ựỷ D Bi vy ta cú ( Fc f )( y ) = D1 ộ ự ổ g = ộở1 + ( Fcl )( y ) ựỷ ờ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ D ố ứ ỷ ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + ( Fc l )( y )( Fc h )( y ) ố ứ ổ g -l1 ( Fc l )( y ) Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ ( ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + Fc l * h ( y ) Fc ố ứ ổ ổ g ửử -l1 Fc ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( y ) , ứứ ố Fc ố y > Suy ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố Tng t ta cú ( Fc g )( y ) = ( ) ( y )ựỳỷ D2 = ộở1 + ( Fcl )( y ) ựỷ ộ( Fc k )( y ) - l2 Fc h *y ờở Fc D ( ) ( y ) + ( F l )( y )( F k )( y ) -l ( F l )( y ) F ( h *y ) ( y ) = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h *y c Fc c c c Fc (2.19) 50 ( ) ( y ) + F (l * k ) ( y ) -l F ổỗ l * ( h *y ) ửữ ( y ) , ố ứ = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h * y c Fc c Fc Fc Fc y > Do ú ( ) ( x ) - l ( h *y ) ( y ) - l ổỗố l * ( h *y ) ửữứ ( x ) g ( x) = k ( x) + l * k Fc 2 Fc Fc Fc (2.20) T cụng thc (2.19), (2.20) cho ta thy rng nghim ( f , g ) nhn c õy l mt biu thc gii tớch biu din thụng qua tớch chp (2.3) v mt s tớch chp ó bit M cỏc tớch chp ny u thuc L1 ( Ă + ) vy nghim nhn c õy hon ton thuc L1 ( Ă + ) nh lớ c chng minh Vớ d minh cho nh lớ 2.3.1, ta chn cỏc hm j ,y , k v h nh sau: ổ + x3 j ( x ) = ẻ L1 ỗ Ă + , ữ, ỗ ữ x ố ứ k ( x) = x2 ẻ L1 ( Ă + ) , + x4 h ( x) = x2 y ( x) = ẻ L1 ( Ă + ) + x4 ẻ L1 ( Ă + ) + x2 ổ g Khi ú ta cú ( K j ) ( y ) = 0, Fc ỗ j *y ữ ( y ) = 0, "y > v ố ứ -1 ( Fcy )( y ) = ( Fc k )( y ) p ộ ổ j - ự ộổ j - ổ j -1 ự = exp - y.sin ỗ ữ p ỳ sin ờỗ ữ 3p + y.cos ỗ ữp ỳ , j =1 ố ứ ỷ ởố ứ ố ứ ỷ vi "y > , v 51 ( Fc h )( y ) = p -y e , "y > Võy iu kin ca nh lớ 2.3.1 ổ g - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, ố ứ "y > luụn c tha v ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ =0 ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ú l ( x ) = ẻ L1 ( Ă + ) Nh vy nghim ca h phng trỡnh cú dng: f ( x) = h ( x) = , + x2 ( ) ( x) g ( x ) = k ( x ) - l2 h *y v Fc ( ) ( x ) u thuc khụng gian Mt khỏc, h ( x ) , k ( x ) v tớch chp h F*y c L1 ( Ă + ) nờn nghim f ( x ) , g ( x ) ca h cng thuc khụng gian L1 ( Ă + ) 2.3.2 Xột h phng trỡnh tớch phõn sau: +Ơ f ( x ) + l1 ũ q1 ( x, u ) g ( u ) du = h ( x ), x > 0, +Ơ l2 ũ q ( x, v ) f ( v ) dv + g ( x ) = k ( x ), x > 0, (2.21) 52 ổ + x3 ữ ; x ẻ L1 ổỗ Ă + , ửữ ; k,y , h ẻ L1 ( Ă + ) l cỏc hm Trong ú j ẻ L1 ỗỗ Ă + , xứ ố x3 ữứ ố cho trc; l1 , l2 l cỏc hng s; f , g l cỏc n hm v q1 ( x, u ) = 4p q ( x, v ) = p 2p +Ơ ũ ộởe - u cosh ( x + v ) + e -u cosh( x -v ) ựỷ j ( v ) dv, +Ơ +Ơ ũ ũ y ( z )x ( u ) ộở sign ( z - x ) sinh ( z - x + v ) e - u cosh ( z - x + v ) + sign ( z - x ) sinh ( z - x - v ) e - u cosh ( z - x - v ) + sinh ( z + x + v ) e -u cosh ( z + x + v ) + sinh ( z + x - v ) e - u cosh ( z + x - v ) ự dudz ỷ nh lớ 2.3.3 Vi iu kin ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) 0, "y > ố ố ứứ (2.22) thỡ h (2.21) cú nghim nht thuc L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố ( ) ổ ổ g0 ử ổ ổ g0 ử g ( x ) = k ( x ) + l * k ( x ) - l2 ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( x ) - l2 ỗ l * ỗ x *y ữ ữ ( x ) Fc ố Fc ố ứ ứ ố Fc ố ứ ứ vi l ( x ) ẻ L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ ( Fcl )( y ) = ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ 53 ( ) ổ g0 ổ g * Trong ú cỏc tớch chp ỗ ữ , F* , ỗ *5 ữ ln lt c nh ngha bi c ố ứ ố ứ (2.3), (1.17), (2.2) Chng minh Gi s h ó cho cú nghim f , g ẻ L1 ( Ă + ) H (2.21) cú th vit di dng ổ g f ( x ) + l1 ỗ g *j ữ ( x ) = h ( x ) , ố ứ ổ ổ g0 l2 ỗy * ỗ x * ố 1ố ửử f ữ ữ ( x) + g ( x) = k ( x) , ứứ x > ( ) ổ g0 * Trong ú tớch chp , ỗ *4 ữ c nh ngha bi (1.44), (2.1) ố ứ S dng ng thc nhõn t húa ca cỏc tớch chp (2.1),(1.44) v (2.3) ta cú ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , l2 ộởg ( y )( Fsy )( y ) ( K -1x ) ( y ) ựỷ ( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , Hay ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ( y )( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , ố ứ gii h phng trỡnh ny ta xột nh thc D= l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ( y ) ố ứ y > 0, "y > 54 ổ g0 = - l1l2g ( y ) ( K j ) ( y ) Fc ỗ x *y ữ ( y ) ố ứ -1 ổ g ổ g0 ử = - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) 0, ố ố ứứ "y > Suy ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ứứ ố = 1+ D ổ l ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ Theo nh Wiener-Levi [5], tn ti hm l ẻ L1 ( Ă + ) cho ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ứứ ố ( Fcl )( y ) = ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ iu ú dn ti = ộ1 + ( Fc l )( y ) ựỷ D Tip tc xột nh thc ( Fc h )( y ) D1 = ( Fc k ( y ) ) l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ Do ú D1 ộ ổ g ự ( Fc f )( y ) = = ờ( Fc h )( y ) - l1Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ D Dở ố ứ ỷ 55 ộ ự ổ g = ộở1 + ( Fc l )( y ) ựỷ ờ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ ố ứ ỷ ( ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + Fc l * h ( y ) Fc ố ứ ổ ổ g ửử -l1 Fc ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( y ) , ứứ ố Fc ố y > Suy ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố Tng t ta cú D2 = ( Fc h )( y ) ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ố ứ ( Fc k )( y ) ổ ổ g0 ử = ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố Fc ố ứ ứ Do vy ộ ự ổ ổ g0 ử D2 ( Fc g )( y ) = = ộở1 + ( Fcl )( y )ựỷ ờ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h F* ỗ x *5 y ữ ữ ( y ) ỳ D ứứ ố cố ỷ ( )( y) ổ ổ g0 ử = ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( y ) + Fc l * k Fc ố Fc ố ứ ứ ổ ổ ổ g0 ử -l2 Fc ỗ l * ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ữ ( y ) , F F ứứứ ố cố cố Suy ( ) ổ ổ g0 ử g ( x ) = k ( x ) + l * k ( x ) - l2 ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( x ) Fc ố Fc ố ứ ứ y > (2.23) 56 ổ ổ ổ g0 ử -l2 ỗ l * ỗ h * ỗ x * ữ ữ ữ ( x ) ố Fc ố Fc ố ứ ứ ứ (2.24) T cụng thc (2.23), (2.24) cho ta thy rng nghim ( f , g ) nhn c õy l mt biu thc gii tớch biu din thụng qua tớch chp (2.3) v mt s tớch chp ó bit M cỏc tớch chp ny u thuc L1 ( Ă + ) , vỡ vy nghim ( f , g ) ca h (2.21) nhn c thuc L1 ( Ă + ) nh lớ c chng minh Nhn xột 2.2.3 Ta thy rng i vi nhng h phng trỡnh tớch phõn (2.15), (2.21) c a õy ch cú th gii c bng cụng c tớch chp suy rng (2.3) kt hp vi mt s tớch chp ó c cụng b trc ú v nghim nhn c di dng úng thuc khụng gian L1 ( Ă + ) m khú cú th gii c bng cỏc cụng c khỏc õy chớnh l mt hng ng dng mi gn õy ca tớch chp suy rng vi hm trng m ó c nh toỏn hc Nga V A Kakichev xõy dng t nm 1998 2.4 Kt lun Trong chng chỳng ta ó xõy dng c tớch chp suy rng vi hm -1 trng i vi hai phộp bin i tớch phõn Fc , K (2.3) Tớch chp ny khụng cú tớnh cht giao hoỏn, khụng cú tớnh cht kt hp v khụng cú phn t n v c bit ó ng dng tớch chp ny gii c nghim ỳng ca mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp 57 KT LUN Lun nghiờn cu tớch chp suy rng vi hm trng mi i vi cỏc -1 phộp bin i tớch phõn Fc , K v a ng dng gii mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp Nhng kt qu chớnh lun ó t c l: ã Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca tớch chp suy rng vi hm trng mi i -1 vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fc , K ã Tỡm c mi liờn h ca tớch chp suy rng mi vi mt s tớch chp v tớch chp suy rng ó bit ã ng dng tớch chp mi gii c nghim ỳng ca mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp Lun m mt s hng nghiờn cu mi l: ã Nghiờn cu cỏc phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng da trờn cỏc tớch chp ó bit v ng dng ã Nghiờn cu cỏc a chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn v ng dng Tuy nhiờn thi gian v trỡnh cú hn nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca quý thy, cụ v bn c lun c hon thin tt hn 58 TI LIU THAM KHO A Ting Vit [1] ng ỡnh ng (1997), Lý thuyt tớch phõn, NXB Giỏo dc [2] ng ỡnh ng, Trn Lu Cng, Hunh Bỏ Lõn, Nguyn Vn Nhõn (2001), Bin i tớch phõn, NXB Giỏo dc [3] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc Gia H Ni B Ting Anh [4] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Natl Bur Stan appl, Washington DC [5] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science publishing House, Moscow [6] H J Glaeske, A P Prudnikov, K A Skornik (2006), Operational Calculus and Related Topics, Taylor and Francis, LLC [7] V A Kakichev (1967), On the Convolution for Integral Transforms, Izv AN BSSR, Ser Fiz.Mat, No 2, 48-57 [8] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design Method for the Generalized Integral Convolution, Izv Vuzov Mat, No 1, 31-40 (In Russian) [9] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms, East-West J.Math No 1, 85-90 [10] Nguyen Minh Khoa and Trinh Tuan (2011), On the Polyconvolution with a Weight Function for Fuorier Cosine, Fourier and Fourier Sine Transforms, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Vol 14, No 1, 17-30 [11] M Saigo and S B Yakubovich (1991), On the Theory of convolution Integrals for G-transform Fukuoka Univ Sci Reports, Vol 21, No 2, 181193 59 [12] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, Mc Gray Hill, Newyork [13] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa (2006), On the Generalized convolution with a weight fuction for the Fourier sine and cosine transforms, Taylor and Francis, Vol 17, No 9, 673-685 [14] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2003), On the Generalized Convolution for I-Transform, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 18, 135145 [15] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolution of Interal Kontorovich- Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp, Vol 25, 37-51 [16] Trinh Tuan (2007), On the Generalized Convolution with a weight fuction for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich-Lebedev integral transformations, Nonlinear Funct Anal & Appl, Vol 12 No 2, pp 325341 [17] Trinh Tuan, Nguyen Xuan Thao, Nguyen Van Mau (2010), On the Generalized Convolution for the Fourier Sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 35, No 2, pp.303-317 [18] S B Yakubovich (1987), On the Convolution for Kontorovich- Lebedev Integral Transform and its Application to Integral Transform, Dokl Akad Nauk BSSR 31, 101-103 (in Russian) [19] S B Yakubovich and A I Mosinski (1993), Integral Equation and Convolution for Transforms of Kontorovich-Lebedev type, Dif Uravnenia 29, 1272-1284 [20] D V Widder (1941), The Laplace Transforms, Princeton Univerisity Press C Ting Nga [21] ., ., (1983), ms u neua uu, -M: Hayka, 750 c

Ngày đăng: 27/10/2016, 22:46

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w