Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier cosine và Kontorovich-Lebedev ngược với hàm trọng

2 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc s phm H Ni di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn Tụi xin by t lũng bit n chõn thnh, sõu sc ti TS.Trnh Tuõn, ngi ó luụn quan tõm, ng viờn v tn tỡnh hng dn tụi quỏ trỡnh thc hin lun ny Tụi cng xin trõn trng cm n Ban Giỏm hiu, Phũng Sau i hc, cỏc thy giỏo, cụ giỏo ca trng i hc S phm H Ni ó giỳp v to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh lun ny Nhõn õy tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti gia ỡnh, Ban giỏm hiu trng THPT Tõn Yờn - Bc Gang cựng bn bố, ng nghip ó to iu kin, ng viờn v giỳp tụi rt nhiu sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu H Ni, ngy 27 thỏng nm 2011 Hc viờn Nguyn Th Vin LI CAM OAN Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn Tụi cng xin cam oan rng mi s giỳp cho vic thc hin lun ny ó c cm n v cỏc thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc Tỏc gi Nguyn Th Vin MC LC trang Li cm n Li cam oan Cỏc ký hiu dựng lun M u Chng Mt s kin thc chun b 11 1.1 Mt s phộp bin i tớch phõn 11 1.1.1 Phộp bin i Fourier 11 1.1.2 Phộp bin i Fourier cosine v Fourier sine 14 1.1.3 Phộp bin i Kontorovich-Lebedev 17 1.2 Tớch chp v tớch chp suy rng 18 1.2.1 Tớch chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn 18 1.2.2 Tớch chp suy rng vi hm trng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn 21 1.2.3 Mt s vớ d v tớch chp suy rng vi hm trng 24 1.3 Kt lun 32 Chng Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev vi hm trng 33 2.1 nh ngha 34 2.2 ng thc nhõn t húa v cỏc tớnh cht 34 2.1.1 ng thc nhõn t húa 34 2.1.2 Cỏc tớnh cht 40 2.3 ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn 45 2.4 Kt lun 56 Kt lun 57 Ti liu tham kho 58 CC Kí HIU DNG TRONG LUN VN ã F : phộp bin i Fourier ã F -1 : phộp bin i Fourier ngc ã Fs : phộp bin i Fourier sine ã Fs-1 : phộp bin i Fourier sine ngc ã Fc : phộp bin i Fourier cosine ã Fc-1 : phộp bin i Fourier cosine ngc ã K : phộp bin i Kontorovich-Lebedev ã K -1 : phộp bin i Kontorovich-Lebedev ngc ã L : phộp bin i Laplace ã L-1 : phộp bin i Laplace ngc ã Jg : phộp bin i Hankel ã J g-1 : phộp bin i Hankel ngc ã ( f * g) : Tớch chp ca hai hm f , g ã ổ g ỗ f * g ữ : Tớch chp ca hai hm f , g vi hm trng g ố ứ ã ( f * g ) : Tớch chp ca hai hm f , g i vi phộp bin i T ã ổ g ỗ f *T g ữ :Tớch chp ca hai hm f , g i vi phộp bin i T vi ố ứ T hm trng g ã Ă + = { x ẻ Ă : x 0} ã L1 ( Ă ) l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( -Ơ; +Ơ ) cho: +Ơ ũ f ( x) dx < +Ơ -Ơ ã L1 ( Ă + ) l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( 0; + Ơ ) cho: +Ơ ũ f ( x ) dx < +Ơ ã 1ử ổ L1 ỗ Ă + , ữ xứ ố +Ơ ũ l hp tt c cỏc hm f xỏc nh trờn ( 0; + Ơ ) cho: f ( x ) dx < +Ơ x M U Lý chn ti Phộp bin i tớch phõn l mt nhng quan trng ca gii tớch Toỏn hc v c phỏt trin liờn tc sut gn 200 trm nm qua Phộp bin i tớch phõn úng mt vai trũ quan trng Toỏn hc cng nh nhiu lnh vc khoa hc t nhiờn khỏc, c bit l vic gii cỏc bi toỏn iu kin ban u, iu kin biờn ca phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng, phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi tớch phõn v cỏc bi toỏn ca Vt lý - toỏn Cỏc phộp bin i tớch phõn cũn l cụng c cú hiu lc chuyn cỏc toỏn t vi phõn, toỏn t o hm riờng, toỏn t tớch phõn v cỏc bi toỏn n gin hn Mt s phộp bin i tớch phõn u tiờn cú nhiu ng dng l cỏc phộp bin i Fourier, Fourier cosine, Fourier sine (xem [12]) Cỏc phộp bin i ny c i rt sm, t u th k XIX Tip n l cỏc phộp bin i Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Stieltjes v KontorovichLebedev Cựng vi s phỏt trin ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn, mt hng nghiờn cu mi ca lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn l xõy dng tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn c xut hin vo khong u th k XX Cỏc tớch chp c xõy dng u tiờn l cỏc tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier (xem [12]), Laplace(xem [20]), Mellin, Hilbert, Hankel, Tớch chp ca phộp bin i tớch phõn Kontorovich-Lebedev c V.A.Kakichev xõy dng u tiờn vo nm 1967 (xem [7]) v sau ú c S.B.Yakubovich hon thin li vo nm 1987 (xem[18]) ( ) f * g ( x) = K 2x +Ơ +Ơ ộ ổ xu xv uv ự + + ữ ỳ f ( u ) g ( v ) dudv ,vi x > (01) v u x ứỷ ũ ũ exp ờở - ỗố 0 Tớch chp ny tha ng thc nhõn t húa: ( K f *g K ) ( y ) = ( Kf )( y )( Kg )( y ) , vi "y > (02) Tớch chp ca cỏc phộp bin i tớch phõn i cho ta nhiu ng dng phong phỳ v thỳ v chng hn dựng tớch chp tớnh tớch phõn, tớnh tng ca mt chui, gii phng trỡnh tớch phõn, phng trỡnh vi phõn, phng trỡnh o hm riờng v cú nhiu ng dng xỏc sut cng nh cỏc bi toỏn Vt lý - toỏn Tuy nhiờn, trc nhng nm 50 ca th k trc cỏc tớch chp ó c bit n u cú cựng mt c im l ng thc nhõn t húa ca chỳng ch cú nht mt phộp bin i tớch phõn tham gia iu ny ớt nhiu lm hn ch ng dng ca chỳng vo gii cỏc bi toỏn thc t Nm 1951, ln u tiờn nh toỏn hc ngi M I.N.Sneddon ó xõy dng c tớch chp suy rng u tiờn i vi hai phộp bin i tớch phõn Fourier sine, Fourier cosine cho hai hm f , g ẻ L1 ( Ă + ) (xem [12]): ( f * g )( x ) = 2p +Ơ ũ f ( y ) ộở g ( x - y ) - g ( x + y )ựỷ dy (03) Tớch chp ny tha ng thc nhõn t húa: Fs ( f * g )( y ) = ( Fs f )( y )( Fc g )( y ) , "y > (04) Sau ú, vo nm 1967, mt cụng trỡnh cụng b trờn DAN, V.A.Kakichev ó xõy dng phng phỏp kin thit tớch chp vi hm trng g ( y ) i vi phộp bin i tớch phõn K bt kỡ, tha ng thc nhõn t húa: K ( f * g )( y ) = g ( y ) ( Kf )( y )( Kg )( y ) (05) Nh phng phỏp ny, mt s tớch chp vi hm trng ó c xõy dng v nghiờn cu (xem [7], [19]) n u nhng nm 1990 ca th k trc, S.B.Yakubovich ó a mt s tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn vi ch s, chng hn tớch chp i vi phộp bin i Mellin, bin i KontorovichLebedev, bin i G, bin i H Vo nm 1998, V.A.Kakichev v Nguyn Xuõn Tho ó a phng phỏp mi kin thit tớch chp suy rng i vi ba phộp bin i tớch phõn bt kỡ K1 , K , K vi hm trng g ( y ) tha ng thc nhõn t húa (xem [8]): ổ g K1 ỗ f * g ữ ( y ) = g ( y )( K f )( y )( K3 g )( y ) ố ứ (06) Nh ú m thi gian gn õy ó cú mt s cụng trỡnh xõy dng tớch chp suy rng vi hm trng c cụng b, ú l cỏc cụng trỡnh [9], [10], [13], [14], [15], [16], [17] Tip tc hng nghiờn cu ny, di s hng dn ca TS.Trnh Tuõn tụi ó chn ti: Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev ngc vi hm trng Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớch chp suy rng vi hm trng g ( y ) = i y.sinh ( p y ) vi cỏc bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc, cỏc tớnh cht v ng dng ca chỳng Nhim v nghiờn cu - Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca tớch chp suy rng vi hm trng i vi hai phộp bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc - ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn dng chp 10 i tng nghiờn cu Tớch chp suy rng i vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fourier cosine v Kontorovich-Lebedev ngc vi hm trng g ( y ) = y.sinh ( p y ) Phng phỏp nghiờn cu - S dng mt s k thut ca Gii tớch hm - Lý thuyt cỏc phộp bin i tớch phõn - Phng phỏp kin thit tớch chp suy rng vi hm trng ca V.A.Kakichev v Nguyn Xuõn Tho nm 1998 D kin nhng úng gúp mi Lm phong phỳ thờm v phộp bin i tớch phõn vi quan im xem tớch chp l mt phộp bin i tớch phõn Nh vic lm phong phỳ ú ó cho ta ng dng thỳ v l gii úng c mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp m nhng h phng trỡnh tớch phõn dng chp õy khú cú th gii c bng cụng c khỏc 11 Chng MT S KIN THC CHUN B Trong chng ny chỳng tụi s trỡnh by mt cỏch túm tt li mt s kin thc v cỏc phộp bin i tớch phõn, tớch chp v tớch chp suy rng, c bit l hai s kin thit tớch chp v tớch chp suy rng vi hm trng (1.14), (1.29) Sau mi s ú chỳng tụi u trớch dn mt s tớch chp v tớch chp suy rng lm vớ d minh Mt s cỏc tớch chp ny s c dựng chng sau 1.1 Mt s phộp bin i tớch phõn 1.1.1 Phộp bin i Fourier Cho hm f ( x ) ẻ L1 ( Ă ) nh ngha 1.1.1 Phộp bin i Fourier ca hm f ( x ) l mt hm kớ hiu F f v c xỏc nh bi cụng thc (xem [12]): f ( x ) = ( Ff )( x ) = 2p +Ơ ũe -iyx f ( y ) dy -Ơ vi x ẻ Ă (1.1) ú F c gi l toỏn t Fourier hoc phộp bin i Fourier nh ngha 1.1.2 Phộp bin i Fourier ngc ca mt hm c xỏc nh bi cụng thc (xem [12]): ( ú F ngc -1 F f -1 )( x) = 2p +Ơ ũe -Ơ iyx f ( y ) dy vi x ẻ Ă (1.2) c gi l toỏn t Fourier ngc hoc phộp bin i Fourier 45 Chng minh Ta cú ổ g ỗ f * g ữ ( x) = p ố ứ = p2 +Ơ ũ = p = p = p +Ơ +Ơ ũ ộ -u.cosh( x+v) -u.cosh( x-v) ự +e ũ0 u ởe ỷ f ( u) g ( v) dudv , "x > +Ơ ỡ +Ơ - u cosh ( x + v ) ỹ - u cosh ( x -v ) e f u g v dv + e f u g v dv ( ) ( ) ( ) ( ) ớũ ý du ũ u u ợ0 ỵ +Ơ ũ -Ơ ỡ +Ơ - u.cosh ( x -v ) ỹ - u cosh ( x -t ) f (u ) ũ e g ( v ) dv - ũ e g ( -t ) dt ý du u ợ0 ỵ +Ơ ũ +Ơ ũ = p p ỡ+Ơ - u cosh ( x - v ) ỹ f (u ) ũ e g ( v ) dv + ũ e - u cosh ( x -v ) g ( v ) dt ý du u -Ơ ợ0 ỵ ỡ +Ơ -u cosh ( x -v ) ỹ f (u ) ũ e g ( v ) dv ý du u ợ -Ơ ỵ +Ơ ũ ( ) f ( u ) e- u cosh v * g ( v ) ( x ) du F u Mnh c chng minh Nhn xột 2.2.2 Nu g l mt hm chn thỡ tớch chp (2.3) cng c biu din qua tớch chp ca phộp bin i Fourier cosin nh sau: ổ g ỗ f * g ữ ( x) = p p ố ứ ũ u f (u ) ( e +Ơ - u cosh v ) * g ( v ) ( x ) du Fc (2.14) ( ) ú tớch chp F* c nh ngha bi cụng thc (1.17) c 2.3 ng dng gii h phng trỡnh tớch phõn Nh chỳng ta ó bit i vi phng trỡnh tớch phõn v h phng trỡnh tớch phõn hu ht cho ti ngi ta ch nhn c nghim xp x ca nú Trong mc ny chỳng tụi s a mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng 46 chp sau ú s dng cụng c tớch chp suy rng (2.3) v mt s tớch chp khỏc gii Nghim nhn c l nghim ỳng cho dng biu thc gii tớch biu din qua tớch chp suy rng (2.3) v mt s tớch chp ó bit trc ú Ngoi chỳng tụi cũn chng minh c rng nghim nhn c ca h phng trỡnh thuc khụng gian L1 ( Ă + ) 2.3.1 Xột h phng trỡnh tớch phõn: +Ơ f ( x ) + l1 ũ q ( x, u ) g ( u ) du = h ( x ), x > 0, l2 2p +Ơ ũ f ( u ) ộởy ( x + u ) +y ( x - u )ựỷ du + g ( x ) = k ( x ), (2.15) ú q ( x, u ) = p +Ơ ũ ộ -u cosh ( x +v ) -u cosh ( x -v ) ự e +e ỷ j ( v ) dv uở ổ + x3 ữ , k,y , h ẻ L1 ( Ă + ) l cỏc hm cho trc; l1 , l2 Trong ú j ẻ L1 ỗỗ Ă + , ữ x ố ứ l cỏc hng s; f , g l cỏc n hm nh lý sau õy cho ta cụng thc nghim ca h (2.15) v khng nh s tn ti nghim khụng gian L1 ( Ă + ) nh lớ 2.3.1 Gi s ổ g - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, "y > (2.16) ố ứ Khi ú h (2.15) cú nghim nht thuc khụng L1 ( Ă + ) v nghim c xỏc nh nh sau: ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố 47 ( ) ( x ) - l ( h *y ) ( x ) - l ổỗố l * ( h *y ) ửữứ ( x ) g ( x) = k ( x) + l * k Fc 2 Fc Fc Fc (2.17) vi l ẻ L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ "y > ( ) ổ g ú cỏc tớch chp ỗ * ữ , F* ln lt c nh ngha bi (2.3) c ố ứ v (1.17) Chng minh S dng nh ngha tớch chp (2.3) v (1.17), ú h (2.15) c vit di dng h chp nh sau: ổ g f ( x ) + l1 ỗ j * g ữ ( x ) = h ( x ) , ố ứ ( l2 f *y Fc ) ( x) + g ( x) = k ( x) , x > S dng ng thc nhõn t húa ca cỏc tớch chõp (2.3) v (1.17) ta chuyn h trờn v dng sau: ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , l2 ( Fcy )( y )( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , "y > Ta cú D= l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) l2 ( Fcy )( y ) ổ g = - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, ố ứ "y > (2.18) 48 ( Fc h )( y ) D1 = ( Fc k )( y ) l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ D2 = l2 ( Fcy )( y ) ( Fc h )( y ) ( Fc k )( y ) ( ) ( y ) = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h * y Fc T (2.18) ta suy ộ ự ổ g l l F c ỗ j *y ữ ( y ) ỳ ố ứ ỳ = ờ1 + g D ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ỳ ờở ỳỷ ố ứ nh lớ Wiener-Levi (xem [5]) núi rng: Nu f l nh ca phộp bin i Fourier ca mt hm thuc L1 ( Ă ) , f ( z ) l mt hm gii tớch lõn cn ca hp cha giỏ tr { f ( x ) , x ẻ Ă } v f ( ) = thỡ f ( f ) l nh ca phộp bin i Fourier ca mt hm thuc L1 ( Ă ) Chỳ ý rng nh lớ Wiener-Levi ỳng cho phộp bin i Fourier cosine ca mt hm thuc L1 ( Ă + ) õy ta ỏp dng nh lớ trờn cho trng hp: f (z) = l1l2 z ổ g ú z = Fc ỗ j *y ữ ( y ) , vi iu kin (2.16) thỡ - l1l2 z ố ứ hm f ( z ) gii tớch, f ( ) = Do ú tn ti hm l ẻ L1 ( Ă + ) cho ( Fcl )( y ) = f ( z ) Hay 49 ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ Do ú = ộ1 + ( Fc l )( y ) ựỷ D Bi vy ta cú ( Fc f )( y ) = D1 ộ ự ổ g = ộở1 + ( Fcl )( y ) ựỷ ờ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ D ố ứ ỷ ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + ( Fc l )( y )( Fc h )( y ) ố ứ ổ g -l1 ( Fc l )( y ) Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ ( ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + Fc l * h ( y ) Fc ố ứ ổ ổ g ửử -l1 Fc ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( y ) , ứứ ố Fc ố y > Suy ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố Tng t ta cú ( Fc g )( y ) = ( ) ( y )ựỳỷ D2 = ộở1 + ( Fcl )( y ) ựỷ ộ( Fc k )( y ) - l2 Fc h *y ờở Fc D ( ) ( y ) + ( F l )( y )( F k )( y ) -l ( F l )( y ) F ( h *y ) ( y ) = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h *y c Fc c c c Fc (2.19) 50 ( ) ( y ) + F (l * k ) ( y ) -l F ổỗ l * ( h *y ) ửữ ( y ) , ố ứ = ( Fc k )( y ) - l2 Fc h * y c Fc c Fc Fc Fc y > Do ú ( ) ( x ) - l ( h *y ) ( y ) - l ổỗố l * ( h *y ) ửữứ ( x ) g ( x) = k ( x) + l * k Fc 2 Fc Fc Fc (2.20) T cụng thc (2.19), (2.20) cho ta thy rng nghim ( f , g ) nhn c õy l mt biu thc gii tớch biu din thụng qua tớch chp (2.3) v mt s tớch chp ó bit M cỏc tớch chp ny u thuc L1 ( Ă + ) vy nghim nhn c õy hon ton thuc L1 ( Ă + ) nh lớ c chng minh Vớ d minh cho nh lớ 2.3.1, ta chn cỏc hm j ,y , k v h nh sau: ổ + x3 j ( x ) = ẻ L1 ỗ Ă + , ữ, ỗ ữ x ố ứ k ( x) = x2 ẻ L1 ( Ă + ) , + x4 h ( x) = x2 y ( x) = ẻ L1 ( Ă + ) + x4 ẻ L1 ( Ă + ) + x2 ổ g Khi ú ta cú ( K j ) ( y ) = 0, Fc ỗ j *y ữ ( y ) = 0, "y > v ố ứ -1 ( Fcy )( y ) = ( Fc k )( y ) p ộ ổ j - ự ộổ j - ổ j -1 ự = exp - y.sin ỗ ữ p ỳ sin ờỗ ữ 3p + y.cos ỗ ữp ỳ , j =1 ố ứ ỷ ởố ứ ố ứ ỷ vi "y > , v 51 ( Fc h )( y ) = p -y e , "y > Võy iu kin ca nh lớ 2.3.1 ổ g - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) 0, ố ứ "y > luụn c tha v ổ g l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ =0 ( Fcl )( y ) = g ổ - l1l2 Fc ỗ j *y ữ ( y ) ố ứ ú l ( x ) = ẻ L1 ( Ă + ) Nh vy nghim ca h phng trỡnh cú dng: f ( x) = h ( x) = , + x2 ( ) ( x) g ( x ) = k ( x ) - l2 h *y v Fc ( ) ( x ) u thuc khụng gian Mt khỏc, h ( x ) , k ( x ) v tớch chp h F*y c L1 ( Ă + ) nờn nghim f ( x ) , g ( x ) ca h cng thuc khụng gian L1 ( Ă + ) 2.3.2 Xột h phng trỡnh tớch phõn sau: +Ơ f ( x ) + l1 ũ q1 ( x, u ) g ( u ) du = h ( x ), x > 0, +Ơ l2 ũ q ( x, v ) f ( v ) dv + g ( x ) = k ( x ), x > 0, (2.21) 52 ổ + x3 ữ ; x ẻ L1 ổỗ Ă + , ửữ ; k,y , h ẻ L1 ( Ă + ) l cỏc hm Trong ú j ẻ L1 ỗỗ Ă + , xứ ố x3 ữứ ố cho trc; l1 , l2 l cỏc hng s; f , g l cỏc n hm v q1 ( x, u ) = 4p q ( x, v ) = p 2p +Ơ ũ ộởe - u cosh ( x + v ) + e -u cosh( x -v ) ựỷ j ( v ) dv, +Ơ +Ơ ũ ũ y ( z )x ( u ) ộở sign ( z - x ) sinh ( z - x + v ) e - u cosh ( z - x + v ) + sign ( z - x ) sinh ( z - x - v ) e - u cosh ( z - x - v ) + sinh ( z + x + v ) e -u cosh ( z + x + v ) + sinh ( z + x - v ) e - u cosh ( z + x - v ) ự dudz ỷ nh lớ 2.3.3 Vi iu kin ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) 0, "y > ố ố ứứ (2.22) thỡ h (2.21) cú nghim nht thuc L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố ( ) ổ ổ g0 ử ổ ổ g0 ử g ( x ) = k ( x ) + l * k ( x ) - l2 ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( x ) - l2 ỗ l * ỗ x *y ữ ữ ( x ) Fc ố Fc ố ứ ứ ố Fc ố ứ ứ vi l ( x ) ẻ L1 ( Ă + ) v c xỏc nh bi ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ ( Fcl )( y ) = ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ 53 ( ) ổ g0 ổ g * Trong ú cỏc tớch chp ỗ ữ , F* , ỗ *5 ữ ln lt c nh ngha bi c ố ứ ố ứ (2.3), (1.17), (2.2) Chng minh Gi s h ó cho cú nghim f , g ẻ L1 ( Ă + ) H (2.21) cú th vit di dng ổ g f ( x ) + l1 ỗ g *j ữ ( x ) = h ( x ) , ố ứ ổ ổ g0 l2 ỗy * ỗ x * ố 1ố ửử f ữ ữ ( x) + g ( x) = k ( x) , ứứ x > ( ) ổ g0 * Trong ú tớch chp , ỗ *4 ữ c nh ngha bi (1.44), (2.1) ố ứ S dng ng thc nhõn t húa ca cỏc tớch chp (2.1),(1.44) v (2.3) ta cú ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , l2 ộởg ( y )( Fsy )( y ) ( K -1x ) ( y ) ựỷ ( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , Hay ( Fc f )( y ) + l1g ( y ) ( K -1j ) ( y )( Fc g )( y ) = ( Fc h )( y ) , ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ( y )( Fc f )( y ) + ( Fc g )( y ) = ( Fc k )( y ) , ố ứ gii h phng trỡnh ny ta xột nh thc D= l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ( y ) ố ứ y > 0, "y > 54 ổ g0 = - l1l2g ( y ) ( K j ) ( y ) Fc ỗ x *y ữ ( y ) ố ứ -1 ổ g ổ g0 ử = - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) 0, ố ố ứứ "y > Suy ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ứứ ố = 1+ D ổ l ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ Theo nh Wiener-Levi [5], tn ti hm l ẻ L1 ( Ă + ) cho ổ g ổ g0 ử l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ứứ ố ( Fcl )( y ) = ổ g ổ g0 ử - l1l2 Fc ỗ j * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố ố ứứ iu ú dn ti = ộ1 + ( Fc l )( y ) ựỷ D Tip tc xột nh thc ( Fc h )( y ) D1 = ( Fc k ( y ) ) l1g ( y ) ( K -1j ) ( y ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ố ứ Do ú D1 ộ ổ g ự ( Fc f )( y ) = = ờ( Fc h )( y ) - l1Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ D Dở ố ứ ỷ 55 ộ ự ổ g = ộở1 + ( Fc l )( y ) ựỷ ờ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) ỳ ố ứ ỷ ( ) ổ g = ( Fc h )( y ) - l1 Fc ỗ j * k ữ ( y ) + Fc l * h ( y ) Fc ố ứ ổ ổ g ửử -l1 Fc ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( y ) , ứứ ố Fc ố y > Suy ( ) ổ ổ g ửử ổ g f ( x ) = h ( x ) - l1 ỗ j * k ữ ( x ) + l * h ( x ) - l1 ỗ l * ỗ j * k ữ ữ ( x ) Fc ố ứ ứứ ố Fc ố Tng t ta cú D2 = ( Fc h )( y ) ổ g0 l2 Fc ỗ x *y ữ ố ứ ( Fc k )( y ) ổ ổ g0 ử = ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( y ) ố Fc ố ứ ứ Do vy ộ ự ổ ổ g0 ử D2 ( Fc g )( y ) = = ộở1 + ( Fcl )( y )ựỷ ờ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h F* ỗ x *5 y ữ ữ ( y ) ỳ D ứứ ố cố ỷ ( )( y) ổ ổ g0 ử = ( Fc k )( y ) - l2 Fc ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( y ) + Fc l * k Fc ố Fc ố ứ ứ ổ ổ ổ g0 ử -l2 Fc ỗ l * ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ữ ( y ) , F F ứứứ ố cố cố Suy ( ) ổ ổ g0 ử g ( x ) = k ( x ) + l * k ( x ) - l2 ỗ h * ỗ x *y ữ ữ ( x ) Fc ố Fc ố ứ ứ y > (2.23) 56 ổ ổ ổ g0 ử -l2 ỗ l * ỗ h * ỗ x * ữ ữ ữ ( x ) ố Fc ố Fc ố ứ ứ ứ (2.24) T cụng thc (2.23), (2.24) cho ta thy rng nghim ( f , g ) nhn c õy l mt biu thc gii tớch biu din thụng qua tớch chp (2.3) v mt s tớch chp ó bit M cỏc tớch chp ny u thuc L1 ( Ă + ) , vỡ vy nghim ( f , g ) ca h (2.21) nhn c thuc L1 ( Ă + ) nh lớ c chng minh Nhn xột 2.2.3 Ta thy rng i vi nhng h phng trỡnh tớch phõn (2.15), (2.21) c a õy ch cú th gii c bng cụng c tớch chp suy rng (2.3) kt hp vi mt s tớch chp ó c cụng b trc ú v nghim nhn c di dng úng thuc khụng gian L1 ( Ă + ) m khú cú th gii c bng cỏc cụng c khỏc õy chớnh l mt hng ng dng mi gn õy ca tớch chp suy rng vi hm trng m ó c nh toỏn hc Nga V A Kakichev xõy dng t nm 1998 2.4 Kt lun Trong chng chỳng ta ó xõy dng c tớch chp suy rng vi hm -1 trng i vi hai phộp bin i tớch phõn Fc , K (2.3) Tớch chp ny khụng cú tớnh cht giao hoỏn, khụng cú tớnh cht kt hp v khụng cú phn t n v c bit ó ng dng tớch chp ny gii c nghim ỳng ca mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp 57 KT LUN Lun nghiờn cu tớch chp suy rng vi hm trng mi i vi cỏc -1 phộp bin i tớch phõn Fc , K v a ng dng gii mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp Nhng kt qu chớnh lun ó t c l: ã Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca tớch chp suy rng vi hm trng mi i -1 vi cỏc phộp bin i tớch phõn Fc , K ã Tỡm c mi liờn h ca tớch chp suy rng mi vi mt s tớch chp v tớch chp suy rng ó bit ã ng dng tớch chp mi gii c nghim ỳng ca mt lp h phng trỡnh tớch phõn dng chp Lun m mt s hng nghiờn cu mi l: ã Nghiờn cu cỏc phộp bin i tớch phõn kiu tớch chp suy rng da trờn cỏc tớch chp ó bit v ng dng ã Nghiờn cu cỏc a chp i vi cỏc phộp bin i tớch phõn v ng dng Tuy nhiờn thi gian v trỡnh cú hn nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca quý thy, cụ v bn c lun c hon thin tt hn 58 TI LIU THAM KHO A Ting Vit [1] ng ỡnh ng (1997), Lý thuyt tớch phõn, NXB Giỏo dc [2] ng ỡnh ng, Trn Lu Cng, Hunh Bỏ Lõn, Nguyn Vn Nhõn (2001), Bin i tớch phõn, NXB Giỏo dc [3] Hong Ty (2005), Hm thc v gii tớch hm, NXB i hc Quc Gia H Ni B Ting Anh [4] M Abramowitz and I A Stegun (1964), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, Natl Bur Stan appl, Washington DC [5] N I Achiezer (1965), Lectures on Approximation Theory, Science publishing House, Moscow [6] H J Glaeske, A P Prudnikov, K A Skornik (2006), Operational Calculus and Related Topics, Taylor and Francis, LLC [7] V A Kakichev (1967), On the Convolution for Integral Transforms, Izv AN BSSR, Ser Fiz.Mat, No 2, 48-57 [8] V A Kakichev and Nguyen Xuan Thao (1998), On the design Method for the Generalized Integral Convolution, Izv Vuzov Mat, No 1, 31-40 (In Russian) [9] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Vu Kim Tuan (1998), On the generalized convolution for Fourier cosine and sine transforms, East-West J.Math No 1, 85-90 [10] Nguyen Minh Khoa and Trinh Tuan (2011), On the Polyconvolution with a Weight Function for Fuorier Cosine, Fourier and Fourier Sine Transforms, Advances in Nonlinear Variational Inequalities, Vol 14, No 1, 17-30 [11] M Saigo and S B Yakubovich (1991), On the Theory of convolution Integrals for G-transform Fukuoka Univ Sci Reports, Vol 21, No 2, 181193 59 [12] I N Sneddon (1951), Fourier Transforms, Mc Gray Hill, Newyork [13] Nguyen Xuan Thao, Nguyen Minh Khoa (2006), On the Generalized convolution with a weight fuction for the Fourier sine and cosine transforms, Taylor and Francis, Vol 17, No 9, 673-685 [14] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2003), On the Generalized Convolution for I-Transform, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 18, 135145 [15] Nguyen Xuan Thao and Trinh Tuan (2005), On the Generalized Convolution of Interal Kontorovich- Lebedev, Fourier sine and cosine Transforms, Annales Univ Sci Budapest, Sect Comp, Vol 25, 37-51 [16] Trinh Tuan (2007), On the Generalized Convolution with a weight fuction for the Fourier cosine and the inverse Kontorovich-Lebedev integral transformations, Nonlinear Funct Anal & Appl, Vol 12 No 2, pp 325341 [17] Trinh Tuan, Nguyen Xuan Thao, Nguyen Van Mau (2010), On the Generalized Convolution for the Fourier Sine and the Kontorovich-Lebedev transforms, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 35, No 2, pp.303-317 [18] S B Yakubovich (1987), On the Convolution for Kontorovich- Lebedev Integral Transform and its Application to Integral Transform, Dokl Akad Nauk BSSR 31, 101-103 (in Russian) [19] S B Yakubovich and A I Mosinski (1993), Integral Equation and Convolution for Transforms of Kontorovich-Lebedev type, Dif Uravnenia 29, 1272-1284 [20] D V Widder (1941), The Laplace Transforms, Princeton Univerisity Press C Ting Nga [21] ., ., (1983), ms u neua uu, -M: Hayka, 750 c