Phương trình hàm trong lớp các hàm số lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————— NGUYỄN TRUNG NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học GS-TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Một số đặc trưng hàm hàm số lượng giác 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đặc trưng hàm hàm lượng giác 1.3 Đặc trưng hàm hàm hyperbolic 1.4 Đặc trưng hàm hàm lượng giác ngược 4 9 Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác, lượng giác hyperbolic 10 2.1 Phương trình d’Alembert lớp hàm số liên tục 10 2.2 Phương trình d’Alembert lớp hàm số không liên tục 16 2.3 Phương trình hàm sinh hàm sin sin hyperbolic 30 2.4 Phương trình hàm sinh hàm tang, tang hyperbolic 41 2.5 Một số dạng phương trình hàm sinh đặc trưng hàm cặp hàm sin cosin 44 Chương Phương trình hàm lớp hàm lượng giác ngược số tập 3.1 Phương trình hàm sinh hàm arcsin 3.2 Phương trình hàm sinh hàm arccosin 3.3 Phương trình hàm sinh hàm arctang 3.4 Một số dạng phương trình hàm khác 3.5 Một số tập Kết luận 52 52 53 53 54 56 76 Tài liệu tham khảo 77 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Phương trình hàm chuyên đề quan trọng giải tích, đặc biệt chương trình chuyên toán bậc THPT Các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, thi Olympic khu vực, Olympic Quốc tế thường xuất toán phương trình hàm, toán khó mẻ học sinh THPT Những sách tham khảo dành cho học sinh lĩnh vực không nhiều Đặc biệt tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT phương trình hàm lớp hàm số lượng giác chưa trình bày cách hệ thống đầy đủ Xuất phát từ thực tế đó, mục tiêu luận văn cung cấp thêm cho em học sinh, đặc biệt em học sinh khá, giỏi, có khiếu yêu thích môn toán tài liệu tham khảo, kiến thức lý thuyết luận văn có thêm hệ thống tập phương trình hàm xuất phát từ công thức biến đổi lượng giác lời giải cho Ngoài ra, kết mà thân tác giả tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện trình giảng dạy toán trường phổ thông Ngoài mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương Chương Một số đặc trưng hàm số lượng giác Trong chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị đặc trưng hàm số lượng giác, hàm số lượng giác hyperbolic, hàm số lượng giác ngược Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác, hàm lượng giác hyperbolic Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm d’Alembert lớp hàm số liên tục, phương trình hàm d’Alembert lớp hàm không liên tục, phương trình hàm sinh đặc trưng hàm sin 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn sin hypebolic, phương trình hàm sinh đặc trưng hàm tang, tang hyperbolic số dạng khác Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác ngược số tập Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm sinh đặc trưng hàm số lượng giác ngược số tập phương trình hàm sinh công thức biến đổi lượng giác Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS - Người thầy nghiêm khắc, tận tâm công việc truyền thụ nhiều kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo tham giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K3A Tác giả xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Yên Bái, Ban Giám hiệu tập thể giáo viên trường THPT Chu Văn An tỉnh Yên Bái tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn quan tâm giúp đỡ nhiệt tình anh chị em học viên lớp cao học toán K2, K3 Trường Đại học Khoa học tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Để hoàn thành luận văn này, tác giả tập trung học tập nghiên cứu suốt khóa học Tuy nhiên, điều kiện thời gian hạn chế thân nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy cô góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, tháng 05 năm 2011 Người thực Nguyễn Trung Nghĩa 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số đặc trưng hàm hàm số lượng giác Những công thức biến đổi lượng giác trình bày sách giáo khoa phổ thông cho ta đặc trưng hàm hàm lượng giác tương ứng Đó sở để ta thiết lập phương trình hàm mà ẩn hàm hàm lượng giác biết Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị, đặc trưng hàm hàm lượng giác, lượng giác hyperbolic, lượng giác ngược Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [2] [4] 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Xét hàm số f (x) với tập xác định Df ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 Hàm f (x) gọi hàm chẵn M , M ⊂ Df ( gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.2 Hàm f (x) gọi hàm số lẻ M , M ⊂ Df ( gọi tắt hàm chẵn M) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.3 Cho hàm số f (x) tập M (M ⊂ Df ) Hàm f (x) gọi hàm tuần hoàn M tồn số dương α cho ∀x ∈ M ⇒ x ± α ∈ M, f (x + α) = f (x), ∀x ∈ M ; 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn số α dương nhỏ thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở hàm tuần hoàn f (x) Ví dụ 1.1 Hàm f (x) = cos x hàm tuần hoàn chu kỳ 2π R Thật vậy, ta có ∀x ∈ R x ± 2π ∈ R f (x + 2π) = cos(x + 2π) = cos x = f (x), ∀x ∈ R Định nghĩa 1.4 Cho hàm f (x) tập M (M ⊂ Df ) Hàm f (x) gọi hàm số phản tuần hoàn tập M tồn số dương α cho ∀x ∈ M ⇒ x ± α ∈ M, (1.2) f (x + α) = −f (x), ∀x ∈ M ; số α nhỏ thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn f (x) Ví dụ 1.2 Hàm f (x) = sin x hàm phản tuần hoàn chu kỳ π R Thật vậy, ta có với ∀x ∈ R x ± π ∈ R f (x + π) = sin(x + π) = − sin x = −f (x), ∀x ∈ R Định nghĩa 1.5 Hàm f (x) gọi hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ α (α ∈ R \ {0, 1, −1}) M M ⊂ Df ∀x ∈ M ⇒ α±1 x ∈ M, (1.3) f (αx) = f (x), ∀x ∈ M ; số α dương nhỏ thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở hàm tuần hoàn nhân tính f (x) Ví dụ 1.3 Hàm f (x) = sin(2π log2 x) hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 2±1 x ∈ R+ f (2x) = sin[2π log2 (2x)] = sin[2π(1 + log2 x)] = sin(2π log2 x) = f (x) Định nghĩa 1.6 Hàm f (x) gọi hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ α (α ∈ R \ {0, 1, −1}) M M ⊂ Df ∀x ∈ M ⇒ α±1 x ∈ R, f (αx) = −f (x), ∀x ∈ R; (1.4) số α nhỏ thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở hàm phản tuần hoàn nhân tính 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.4 Hàm f (x) = cos(π log3 x) hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ R+ Thật vậy, ta có ∀x ∈ R+ 3±1 x ∈ R+ f (3x) = cos[π log3 (3x)] = cos[π(1 + log3 x)] = − cos(π log3 x) = −f (x) Định nghĩa 1.7 Tập A ⊂ R gọi trù mật R ký hiệu [A] = R với x, y ∈ R, (x < y) tồn α ∈ A, cho x < α < y Định nghĩa 1.8 Tập A ⊂ R gọi trù mật R ký hiệu [A] = R với x ∈ R tồn dãy số (an ) ⊂ A, cho an −→ x n −→ ∞ Định nghĩa 1.9 Cho A ⊂ B ⊂ R với x ∈ B, với ε > tồn y ∈ A, cho |x − y| < ε A gọi tập trù mật B, ký hiệu [A] = B Nhận xét 1.1 Định nghĩa 1.7 định nghĩa 1.8 tương đương với Định nghĩa 1.10 Nếu hai hàm số f (x), g(x) hai hàm liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x) = g(x) với x ∈ A [A] = R f (x) = g(x) với x ∈ R Ta thường sử dụng số tập trù mật R sau Với Q := tập số hữu tỷ, ta có [Q] = R Với = tập số vô tỷ, ta có [ ] = R Với [A] = R tập {α + r | α ∈ A, r = const , r ∈ R} trù mật R Với [A] = R tập {αr | α ∈ A, r = const , r = 0, r ∈ R} trù mật R Tập { m | n ∈ Z+ ; m ∈ Z} trù mật R 2n Tập {mα − n | a ∈ ; m, n ∈ N} trù mật R Bài toán 1.1 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f (x) xác định R thỏa mãn điều kiện sau    f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R, f (x) liên tục x = x0 ∈ R,   f (1) = α, (α = 0) 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giải Giả sử tồn hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu Cho x = y = ta f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = Cho y = −x ta f (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈ R Vậy hàm f (x) hàm số lẻ nên ta cần xác định biểu thức f (x) với x > Cho y = x suy f (2x) = 2f (x) Giả sử f (kx) = kf (x), (k ∈ N∗ ) Ta có f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x) Theo nguyên lý quy nạp ta f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R, n ∈ N∗ Với n ∈ Z− suy −n ∈ N∗ , ta có f (nx) = f ((−n)(−x)) = −nf (−x) = (−n)(−f (x)) = nf (x) ( f (x) hàm số lẻ) Suy f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z− Kết hợp với f (0x) = f (0) = = 0f (x) ta f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R; n ∈ Z Với m ∈ Z ∗ , ta có f (x) = f m x m = mf x m ⇒f Với r ∈ Q, tồn n ∈ Z; m ∈ Z cho r = f (rx) = f n x x = nf m m = x m = f (x) m n Từ kết trên, ta có m n f (x) = rf (x), ∀r ∈ Q m Cho x = ta f (r) = rf (1) = αr, ∀r ∈ Q Với ∀m ∈ R, ta có f (x) = f (x + x0 − m + m − x0 ) = f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 ) Từ giả thiết hàm số liên tục x = x0 ta có lim f (x) = lim [f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 )] x→m x→m = lim f (x − m + x0 ) + f (m) − f (x0 ) x→m =f (x0 ) + f (m) − f (x0 ) = f (m) Vậy f (x) liên tục điểm m ∈ R Nói cách khác f (x) liên tục R Với ∀x ∈ R, tồn dãy số (rn ) ⊂ Q, cho rn → x n → +∞ Khi đó, f (x) liên tục R nên ta có f (x) = lim f (rn ) = lim αrn = αx n→+∞ n→+∞ Thử lại, dễ thấy hàm số f (x) = αx thỏa mãn yêu cầu đề 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài toán 1.2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định hàm f (x) liên tục R thỏa mãn điều kiện sau f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R (1.5) Giải Dễ thấy f ≡ nghiệm (1.5) Xét trường hợp f ≡ , tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) = Theo (1.5) f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) = ∀x ∈ R Suy ra, f (x) = 0, ∀x ∈ R, mặt khác f (x) = f x x + 2 = f x 2 > 0, ∀x ∈ R Đặt ln f (x) = g(x) ⇒ f (x) = eg(x) Khi g(x) hàm liên tục R g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ R Theo toán 1.1 g(x) = bx, b ∈ R tùy ý, suy f (x) = ebx = ax với a > Kết luận: Nghiệm toán f ≡ f (x) = ax , a > 1.2 Đặc trưng hàm hàm lượng giác a) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (x + y)f (x − y) = [f (x)]2 − [f (y)]2 , với ∀x, y ∈ R f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , với ∀x ∈ R b) Hàm f (x) = cos x có tính chất f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), với ∀x, y ∈ R f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, với ∀x ∈ R Cặp hàm f (x) = sin x g(x) = cos x có tính chất f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x), ∀x, y ∈ R, g(x + y) = g(x)g(y) − f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Để đơn giản ký hiệu ta hiểu f ≡ c nghĩa f (x) = c, ∀x ∈ R f ≡ c hiểu ∃ x0 , (x0 ∈ Df ) cho f (x0 ) = c 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn c) Hàm tan x có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y) (2k + 1)π , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = (k ∈ Z) − f (x)f (y) d) Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x + y) = f (x)f (y) − , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = kπ (k ∈ Z) f (x) + f (y) 1.3 Đặc trưng hàm hàm hyperbolic f (3x) = 3f (x) + 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R b) Hàm cosin hyperbolic g(x) = cosh x := (ex + e−x ) có tính chất g(x + y) + g(x − y) = 2g(x)g(y), ∀x, y ∈ R a) Hàm sin hyperbolic f (x) = sinh x := (ex − e−x ) có tính chất ex − e−x có tính chất ex + e−x h(x) + h(y) , ∀x, y ∈ R h(x + y) = + h(x)h(y) c) Hàm tan hyperbolic h(x) = x := d) Hàm cotan hyperbolic q(x) = coth x := q(x + y) = ex + e−x có tính chất ex − e−x + q(x)q(y) , ∀x, y ∈ R, x + y = q(x) + q(y) 1.4 Đặc trưng hàm hàm lượng giác ngược a) Hàm f (x) = arcsin x có tính chất f (x) + f (y) = f (x − y2 + y − x2 ), với ∀x, y ∈ [−1; 1] b) Hàm g(x) = arccos x có tính chất g(x) + g(y) = g(xy − − x2 − y ), với ∀x, y ∈ [−1, 1] c) Hàm h(x) = arctan x có tính chất h(x) + h(y) = h x+y , với ∀x, y ∈ R, xy = 1 − xy d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất p(x) + p(y) = p xy − , với ∀x, y ∈ R, x + y = x+y 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Một số đặc trưng hàm số lượng giác Trong chương luận văn trình bày số kiến thức chuẩn bị đặc trưng hàm số lượng giác, hàm số lượng giác hyperbolic, hàm số lượng giác ngược Chương Phương trình hàm. .. hàm lớp hàm số lượng giác, hàm lượng giác hyperbolic Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm d’Alembert lớp hàm số liên tục, phương trình hàm d’Alembert lớp hàm không liên tục, phương trình. .. Chương Phương trình hàm lớp hàm số lượng giác ngược số tập Trong chương luận văn trình bày phương trình hàm sinh đặc trưng hàm số lượng giác ngược số tập phương trình hàm sinh công thức biến đổi lượng