Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Ƅ MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Dạng Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ 2 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Giải phương trình lượng giác Dạng Giải phương trình lượng giác dạng mở rộng Dạng Giải phương trình lượng giác có điều kiện xác định Dạng Giải phương trình lượng giác khoảng (a; b) cho trước 10 10 11 11 11 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 12 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 15 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 15 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Giải phương trình bậc hàm số lượng giác Dạng Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng Giải phương trình bậc sinx cosx Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng Phương trình chứa sin x ± cos x sin x · cos x C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20 16 16 17 17 18 19 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 23 A B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình bậc hai (ba) hàm số lượng giác Dạng Biến đổi asinx + bcosx Dạng Biến đổi đưa phương trình tích Dạng Một số toán biện luận theo tham số 23 23 24 24 25 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 26 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG 28 A Đề số 28 B Đề số 31 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 34 Trang i Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R y • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R − π2 −π • Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng π π x Đồ thị hàm số y = sin x • Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π, nghĩa sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z Hàm số y = cos x • Tập xác định: D = R y • Tập giác trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R • Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng − π2 −π π x π Đồ thị hàm số y = cos x • Hàm số y = cos x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π, nghĩa cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z y Hàm số y = tan x π • Điều kiện cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z π Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z • Tập giá trị: R −π − π2 • Là hàm số lẻ O • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z Trang π π x Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = cot x y • Điều kiện sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} • Tập giá trị: R • Là hàm số lẻ • Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z 3π − π2 −π O π x π Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = π cos O B sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π + k2π A A cos O sin x = ⇔ x = kπ Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x cos cos x = ⇔ x = k2π B A A O sin sin sin O cos cos x = −1 ⇔ x = π + k2π B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN DẠNG Tìm tập xác định hàm số lượng giác Phương pháp giải Ta ý số điều kiện sau: y = f (x) xác định ⇔ g(x) = g(x) y = 2n f (x) xác định ⇔ f (x) 0, n ∈ N∗ y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) = π + kπ, k ∈ Z y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định u(x) = kπ, k ∈ Z Trang O B cos x = ⇔ x = cos π + kπ Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ƙ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = sin x + cos x b) y = + cos x − cos x c) y = + cos 2x sin x d) y = + cos x + sin x e) y = sin x − cos x + f) y = sin x + cos x + g) y = sin x + sin x − √ j) y = − cos x sin x − sin x + √ cos x − k) y = + cos x h) y = i) y = sin … l) y = x−1 x+2 + cos x − cos x Ƙ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = tan x + b) y = tan 2x − sin x c) y = cot x + π +1 Ƙ Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số sau có tập xác định R a) y = √ m − cos x b) y = √ sin x − m Ƙ Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số y = định R c) y = sin x − cos x + m cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác DẠNG Tính chẵn lẻ hàm số Phương pháp giải Ta thực bước sau: Tìm tập xác định D hàm số – Tập D phải đối xứng Tính f (−x) (chỗ có biến x, ta thay −x) thu gọn kết Khi • Nếu f (−x) = f (x): hàm số cho hàm chẵn • Nếu f (−x) = − f (x): hàm số cho hàm lẻ • Nếu không rơi vào trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ CHÚ Ý ① Hàm số y = sin x hàm số lẻ ② Hàm số y = cos x hàm số chẵn ③ Hàm số y = tan x hàm số lẻ ④ Hàm số y = cot x hàm số lẻ Ƙ Ví dụ Xét tinh chẵn lẻ hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x Ƙ Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số y = tan7 2x · sin 5x Trang Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ Phương pháp giải Ta thường dùng phương pháp sau: Sử dụng bất đẳng thức ① −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R; ② −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R; ③ ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R; ④ ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R ⑤ Cô – si: ⑥ Bunhiacopxki: √ a + b ≥ ab, với a, b ≥ Dấu xảy a = b (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d ) Dấu xảy a c = b d Sử dụng điều kiện có nghiệm ① sin x = f (m) có nghiệm −1 ≤ f (m) ≤ ② cos x = f (m) có nghiệm −1 ≤ f (m) ≤ ③ sin x + b cos x = c có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên hàm số, từ đó, kết luận Ƙ Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau a) y = sin x + − 2sin2 x b) y = c) y = d) y = sin x cos x + 1; e) y = − sin2 2x f) y = (3 − sin x)2 + g) y = sin4 x + cos4 x h) y = sin6 x + cos6 x √ + cos x − Ƙ Ví dụ Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − đạt giá trị nhỏ √ Ƙ Ví dụ Tìm x để hàm số y = − − cos2 x đạt giá trị nhỏ Ƙ Ví dụ 10 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau √ a) y = sin x + cos x b) y = sin 2x − cos 2x c) y = sin x + cos x Ƙ Ví dụ 11 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sau a) y = 2sin2 x − sin x + b) y = 2cos2 x + cos x − c) y = cos 2x − sin x + √ Ƙ Ví dụ 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = cos2 x − sin x cos x + Ƙ Ví dụ 13 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + sin x − cos x + C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm tập xác định D hàm số y = − tan x π + kπ, k ∈ Z B D = R \ {kπ, k ∈ Z} A D = R \ Trang Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC C D = R \ {k2π, k ∈ Z} D D = R \ π + k2π, k ∈ Z Câu Tìm tập xác định hàm số y = cot x π A D = R\ k |k ∈ Z C D = R\{k2π|k ∈ Z} B D = R\{kπ|k ∈ Z} π + kπ|k ∈ Z D D = R\ − cos x Câu Điều kiện xác định hàm số y = sin x π A x = + kπ, k ∈ Z B x = k2π, k ∈ Z kπ , k ∈ Z D x = kπ, k ∈ Z C x = 2 sin x + Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = − cos x π A x = k2π B x = kπ C x = + kπ D x = π Câu Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định hàm số y = tan 2x − π π 5π π A x = + k B x = + kπ C x = + kπ D x = 12 π + k2π 5π π +k 12 Câu Tập giá trị hàm số y = cos x tập hợp sau đây? A R B (−∞; 0] C [0; +∞] D [−1; 1] Câu Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] D [0; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn Câu Tìm hàm số lẻ hàm số sau: A y = sin2 x B y = x cos 2x C y = x sin x D y = cos x Câu 10 Tìm điều kiện xác định hàm số y = tan x + cot x π kπ , k ∈ Z D x ∈ R A x = kπ, k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z C x = 2 cos 3x − Câu 11 Tập xác định hàm số y = cos x + A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π; k ∈ Z} π C D = R \ { + kπ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z} Câu 12 Mệnh đề sai? A Hàm số y = tan x tuần hồn với chu kì π C Hàm số y = cot x tuần hồn với chu kì π B Hàm số y = cos x tuần hồn với chu kì π D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π Câu 13 Hàm số y = sin 2x có chu kỳ π A T = 2π B T = C T = π D T = 4π Câu 14 Hàm số hàm số chẵn? π π B y = cos x + A y = sin x + 2 C y = sin 2x D y = tan x − sin 2x Câu 15 Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số hàm số nào? Trang Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y −π π x 2π O −1 A y = + sin x B y = − sin x C y = sin x D y = cos x Câu 16 Đường cong hình vẽ bên đồ thị bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số nào? y −π − π O π π x C y = cos x D y = cos2 x + √ Câu 17 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + A max y = y = B max y = y = C max y = y = −2 D max y = y = −1 √ Câu 18 Tìm tập √ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau√y = sin x +√3 A max y = √5, y = B max y = √5, y = D max y = 5, y = C max y = 5, y = π Câu 19 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = + sin 2x − A y = −2, max y = B y = 2, max y = C y = −2, max y = D y = −1, max y = A y = cos x + B y = − sin x Câu 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = − cos2 3x A y = 1, max y = B y = 1, max y = C y = 2, max y = D y = −1, max y = √ sin 2x Câu 21 Tìm tập giá trị lớn nhất, √ giá trị nhỏ hàm số sau y = + + √ A y = 2, max y = + √3 B y = 2, max y = + C y = 1, max y = + D y = 1, max y = Câu 22 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = A y = , max y = 4 C y = , max y = + 2sin2 x B y = , max y = 3 D y = , max y = Câu 23 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin2 x + cos2 2x A max y = 4, y = B max y = 3, y = C max y = 4, y = D max y = 3, y = Câu 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x + A max y = 6, y = −2 B max y = 4, y = −4 C max y = 6, y = −4 D max y = 6, y = −1 Trang Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau y = sin x + cos x − A y = −6; max y = B y = −6; max y = C y = −3; max y = D y = −6; max y = Câu 26 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x − A max y = 4, y = −6 B max y = 6, y = −8 C max y = 6, y = −4 D max y = 8, y = −6 Câu 27 Gọi T tập giá trị hàm số y = sin2 x − cos 2x + Tìm tổng giá trị nguyên T A B C D Câu 28 Hàm số y = cos2 x + sin x + có giá trị lớn giá trị nhỏ 9 D ; A 3; B 1; −1 C ; 4 Câu 29 Giá √ trị lớn hàm số √ y = cos x − sin 2x√+ √ A + B − C D − sin x + cos x + Câu 30 Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin x + cos x + A M = −2 B M = −3 C M = D M = —HẾT— Trang Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Phương trình sin x = a Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1} sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = ® Trường hợp a ∈ π O + k2π A cos A O B sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π cos sin x = ⇔ x = kπ √ √ ´ ± ;± ;± Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a góc α 2 β ◦ tương ứng ① Cơng thức theo đơn vị rad: đ x = α + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − α + k2π ② Công thức theo đơn vị độ: ñ x = β ◦ + k360◦ sin x = a ⇔ ,k∈Z x = 180◦ − β ◦ + k360◦ sin N a O Trường hợp a ∈ [−1; 1] khác số ñ x = arcsin a + k2π sin x = a ⇔ ,k∈Z x = π − arcsin a + k2π Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) g(x) ñ sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔ f (x) = g(x) + k2π ,k∈Z f (x) = π − g(x) + k2π Phương trình cos x = a Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1} Trang M Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • Tính t = (sin x ± cos x)2 = ± sin x · cos x Từ ta tính sin x · cos x • Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình ẩn t Giải tìm t, sau tìm x Chú ý √ √ ① Điều kiện t − ≤ t ≤ ② sin x ± cos x = √ π sin x ± Ƙ Ví dụ 14 Giải phương trình a) sin x cos x + (sin x + cos x) = b) sin x − cos x + sin x cos x + = √ c) (sin x + cos x) + sin 2x − 11 = √ π d) sin 2x + sin x − =1 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ą Bài 16 Giải phương trình a) sin x − cos x + sin 2x = c) sin x + cos x + b) cot x − tan x = sin x + cos x 10 + = sin x cos x d) + sin3 x + cos3 x = sin 2x C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM √ Câu 1. Phương trình sin x − = có nghiệm  π x= x = + k2π   A  , k ∈ Z B  π x = − + k2π x=   π x= x = + k2π   , k ∈ Z D C   π x = − + k2π x= π + k2π , k ∈ Z 2π + k2π π + kπ , k ∈ Z 2π + kπ Câu Cho phương trình sin x − (m + 1) cos x = Tìm m đểÄphương trình có nghiệm ä √ ó ỵ √ A m ∈ [0; −2] B m ∈ −∞; −1 − ∪ −1 + 3; +∞ ỵ √ √ ó C m ∈ (−∞; −2] ∪ [0; +∞) D m ∈ −1 − 3; −1 + Câu Giải phương trình cos x − = π A x = ± + k2π, k ∈ Z π C x = + k2π, k ∈ Z π B x = ± + k2π, k ∈ Z π D x = ± + 2π, k ∈ Z Câu Nghiệm phương trình cot 3x = −1 π A x = + kπ với k ∈ Z 12 π π C x = + k với k ∈ Z 12 Câu Nghiệm phương trình sin 2x = π π B x = + kπ A x = + k2π 4 π + kπ với k ∈ Z 12 π π D x = − + k với k ∈ Z 12 B x = − C x = Trang 20 kπ D x = π + k2π Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu Điều kiện cần đủ để phương trình m sin x − cos x = có nghiệm m ∈ (−∞; a] ∪ [b; +∞) với a, b ∈ Z Tính a + b A −4 B C D Câu Giải phương trình sin 2x = kπ , với k ∈ Z A x = π C x = + kπ, với k ∈ Z π + k2π, với k ∈ Z π D x = + k2π, với k ∈ Z B x = Câu Trong phương trình sau phương trình vơ nghiệm? π A tan x = π B sin x = C sin x + cos x = Câu Nghiệm phương trình sin 3x = cos x π A x = ± + k2π; k ∈ Z B x = π D x = C x = − kπ; k ∈ Z D cos x = 2017 2018 π kπ π + , x = + kπ; k ∈ Z π + kπ; k ∈ Z Câu 10 Tìm số điểm phân biệt biểu diễn nghiệm phương trình sin 2x − cos x = đường tròn lượng giác A B C D Câu 11 Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình sin2 x + sin x cos x − cos2 x = Chọn khẳng định Å Å ã ã 3π π 3π π B x0 ∈ ; 2π C x0 ∈ ;π D x0 ∈ π; A x0 ∈ 0; 2 2 π Câu 12 Nghiệm phương trình sin 4x − − =  ñ x = k2π x = kπ A  (k ∈ Z) B (k ∈ Z) π x = π + k2π x = + k2π   π π x = +k x = π + k2π  (k ∈ Z) D  (k ∈ Z) C  π 7π π x=k x = + k 24 Câu 13 Phương trình sin x − = có nghiệm x ∈ (0; 2π)? A nghiệm B nghiệm C Vô số nghiệm Câu 14 Giải phương trình cos 2x + sin x − = π π A x = + kπ B x = k2π C x = + kπ 2 π Câu 15 Cho sin x + cos x = < x < Tính giá tri sin x 2 √ √ √ 1− 1+ 1− A sin x = B sin x = C sin x = 4 D nghiệm D x = π + k2π √ 1+ D sin x = Câu 16 Cho x0 nghiệm phương trình sin x cos x + 2(sin x + cos x) = Khi đó, giá trị P = + sin 2x0 √ A P = + B P = C P = D P = √ Câu 17 Giải phương trình sin 3x + cos 3x = π 2π π π A x = + k , k ∈ Z B x = + k , k ∈ Z π π 2π C x = + kπ, k ∈ Z D x = + k , k ∈ Z 12 Trang 21 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 18 Số nghiệm phương trình A B √ π cos x + = với ≤ x ≤ 2π C D Câu 19 Phương trình cos x = có nghiệm thuộc khoảng (−π; π)? A B C D Câu 20 Tổng nghiệm dương liên tiếp nhỏ phương trình cos 4x + = 5π π π 7π A B C D 6 Câu 21 Cho phương trình cos 2x+cos x = Khi đặt t = cos x, phương trình cho trở thành phương trình đây? A 2t + t − = B 2t − t − = C 2t − t − = D 2t + t − = sin 3x Câu 22 Số nghiệm phương trình = thuộc đoạn [2π; 4π] cos x + A B C D Câu 23 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2 x = m − có nghiệm A ≤ m ≤ B m ≤ C < m < D m ≥ √ Câu 24 Điều kiện tham số thực m để phương trình đsin x + (m + 1) cos x = vô nghiệm m≥0 A m > B −2 < m < C D m < −2 m ≤ −2 Câu 25 Có giá trị nguyên dương m để phương trình m sin 2x − cos 2x = 2m + có nghiệm? A B C D 10 Câu 26 Tìm số đo góc tam giác cân biết có số đo góc nghiệm phương trình cos 2x = − π π π π π π π π π A ; ; , ; ; B ; ; 3 ß2 4 ™ ß3 3 ™ π π π 2π π π 2π π π C ; ; , ; ; D ; ; 3 3 6 6 √ √ π π π Câu 27 Cho < α < thỏa mãn sin α + sin − α = Tính tan α + 2 √ √ √ √ 9+4 −9 + 9−4 9+4 A − B C D 7 7 Câu 28 Tính tổng tất T nghiệm thuộc đoạn [0; 200π] phương trình cos 2x − cos x − = A T = 10000π B T = 5100π C T = 5151π D T = 10100π √ π Câu 29 Số nghiệm phương trình cos2 x − sin 2x = + cos2 + x khoảng (0; 3π) A B C D Câu 30 Số giá trị thực tham số m để phương trình (sin x−1)(2 cos2 x−(2m+1) cos x+m) = có nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] A B C D Vô số —HẾT— Trang 22 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình bậc hai (ba) hàm số lượng giác Phương pháp giải Ƙ Ví dụ Giải phương trình sau x a) cos 2x + cos x = sin sin2 2x + sin2 x − − cos 2x Ç √ å b) = cos x sin x − c) tan2 x + cos 4x = d) sin3 x + cos3 x = sin x Đáp số: a) x = π π + k2π; x = − + k2π 3 b) x = c) x = π kπ + ; x = kπ d) 4π π + k2π; x = − + k2π 3 π + kπ Ƙ Ví dụ Cho phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + cos 2x + Tìm nghiệm phương trình thuộc (−π; π) Đáp số: π 5π π • Nghiệm x = ± + kπ • Do x ∈ (−π; π) nên x = ± ; x = ± 6 Å ã Å ã 15π 9π Ƙ Ví dụ Phương trình sin 2x + − cos x − = + sin x có tất 2 ï ò π 5π nghiệm thuộc đoạn ; ? 6 Đáp số: π 5π • x = kπ; x = + k2π; x = + k2π 6 ï ị π 5π π 5π • Do x ∈ ; nên x = ; x = 6 6 Ƙ Ví dụ (A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình Å ã cos 3x + sin 3x sin x + = cos 2x + + sin 2x Đáp số: • Biến đổi phương trình cos x = cos 2x + Trang 23 • Nghiệm x = π 5π ;x= 3 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG Biến đổi asinx + bcosx Phương pháp giải Ƙ Ví dụ Giải phương trình sau √ π a) cos x − sin x = cos 2x − c) b) √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) √ cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = d) sin x + cos x sin 2x + cos 4x + sin3 x √ cos 3x Đáp số: a) x = π π k2π + k2π; x = − + 18 c) x = − b) x = 2π π +k 18 π π π π +k ; x = − +k 18 π π 2π d) x = − + k2π; x = +k 42 Ƙ Ví dụ (DB1-2008) Tìm nghiệm khoảng (0; π) Å phương ã trình √ x 3π 4sin2 − cos 2x = + 2cos2 x − Đáp số: • Nghiệm x = 2π 7π 5π + k ; x = − + k2π 18 • Do x ∈ (0; π) nên x = 5π 17π 5π ;x = ;x = 18 18 DẠNG Biến đổi đưa phương trình tích Phương pháp giải Ƙ Ví dụ Giải phương trình sau a) sin2 2x + sin 7x − = sin x b) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = c) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = d) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x Đáp số: ß a) ™ π π π 2π 5π 2π +k , +k , +k ,k ∈ Z 18 18 c) x = b) kπ π kπ π + ; ± + kπ (k ∈ Z) π π d) x = k , x = k Ƙ Ví dụ Giải phương trình sau a) (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x b) cos x − sin 2x = + cos 2x c) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x d) (2 sin x − 1) (2 sin 2x + 1) = − cos2 x Đáp số: Trang 24 = Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π 5π +k2π; x = +k2π 6 π π c) x = ± + k2π; x = − + kπ a) x = π +k2π; x = Ƙ Ví dụ Giải phương trình sau Å ã 7π ã = sin Å a) + −x 3π sin x sin x − c) (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x = π + kπ; x = k2π π π d) x = kπ, x = ± + k2π, x = + k2π, x = 5π + k2π b) x = b) sin 2x + sin x − 1 − = cot 2x sin x sin 2x d) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = Đáp số: π π 5π a) x = − + kπ; x = − + kπ; x = + 8 kπ c) x = π π +k b) x = π π +k d) x = π 5π + k2π; x = + k2π 6 DẠNG Một số toán biện luận theo tham số Phương pháp giải Ƙ Ví dụ 10 Cho phương trình cos 2x + cos x + − m = Xác định tất giá trị m để π ;π phương trình có nghiệm x ∈ Đáp số: • Biến đổi cos 2x = cos2 x − • Kết m > √ √ Ƙ Ví dụ 11 Biết phương trình sin x + cos x + m2 − m = (với m tham số) có nghiệm m ∈ [a; b] Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 Đáp số: • Sử dụng điều kiện có nghiệm • Kết m ∈ [−1; 2] Vậy P = Ƙ Ví dụ 12 Cho phương trình (sin x + 1)(sin 2x − m sin x) = m cos2 x Tìm tập tất giá trị π thực tham số m để phương trình có nghiệm khoảng 0; Đáp số: • Phân tích nhân tử; √ • Kết < m < Trang 25 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ƙ Ví dụ 13 Tìm tập giá trị thực Å thamãsố m để phương trình m sin x − sin x cos x − m − 3π = có ba nghiệm thuộc khoảng 0; Đáp số: • Chia hai vế cho cos2 x • Kết m ∈ (−∞; −1) Ƙ Ví dụ 14 Số giá trị ïngun ị m để phương trình (cos x + 1) (4 cos 2x − m cos x) = 2π m sin2 x có nghiệm x ∈ 0; Đáp số: • Phân tích nhân tử • Kết quả: m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2} Ƙ Ví dụ 15 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] phương trình f (cos x) = Đáp số: y • Giao đồ thị với đường nằm ngang • Kết nghiệm O −1 x B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Ą Bài Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình cos 3x − cos 2x + cos x − = π 3π 5π 7π ;x = ;x = ;x = 2 2 x Ą Bài Giải phương trình tan x + cos x − cos2 x = sin x + tan x tan Đáp số: x = k2π Đáp số: x = − sin2 2x sin 3x cos4 x π 2π 5π 2π Đáp số: x = +k ;x = +k 18 18 sin x + cos4 x 1 Giải phương trình = cot 2x − sin 2x sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ π x x Giải phương trình sin − tan2 x − cos2 = π Đáp số: x = π + k2π; x = − + kπ Giải phương trình cos 2x + cos x 2tan x − = π Đáp số: x = (2k + 1)π, x = ± + k2π Giải phương trình − tan x (tan x + sin x) + cos x = π Đáp số: x = ± + kπ Ą Bài Giải phương trình tan4 x + = Ą Bài Ą Bài Ą Bài Ą Bài Trang 26 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ą Bài cos 4x − 8cos6 x + 2cos2 x + = π π Đáp số: x = + k , x = kπ Ä √ ä x π − cos x − 2sin2 − = Ą Bài Giải phương trình cos x − π Đáp số: x = + (2k + 1)π cos x (cos x − 1) = 2(1 + sin x) Ą Bài 10 Giải phương trình sin x + cos x π Đáp số: x = − + kπ, x = π + k2π 2 cos 4x Ą Bài 11 Giải phương trình cot x = tan x + sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ 2 Ą Bài 12 Giải phương trình cos 3x cos 2x − cos x = π Đáp số: x = k Ą Bài 13 Giải phương trình + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = π 2π Đáp số: x = − + kπ; x = ± + k2π, √ 2+3 3 Ą Bài 14 Giải phương trình cos 3x cos x − sin 3x sin x = π π Đáp số: x = ± + k 16 Ą Bài 15 Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = + tan x π Đáp số: x = − + kπ; x = kπ Ą Bài 16 cot x − tan x + sin 2x = sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ cos 2x Ą Bài 17 Giải phương trình cot x − = + sin2 x − sin 2x + tan x π Đáp số: x = + kπ √ √ Ą Bài 18 Giải phương trình 2cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) 2π Đáp số: x = + kπ sin 2x cos 2x Ą Bài 19 Giải phương trình + = tan x − cot x cos x sin x π Đáp số: x = ± + k2π Ą Bài 20 Xác định m để phương trình sin x + cos4 x + cos 4x + sin 2x − m = 0(*) có π nghiệm thuộc đoạn 0; 10 Đáp số: − ≤ m ≤ −2 Trang 27 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG A ĐỀ SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm tập xác định D hàm số y = − tan x π A D = R \ + kπ, k ∈ Z B D = R \ {kπ, k ∈ Z} π + k2π, k ∈ Z C D = R \ {k2π, k ∈ Z} D D = R \ Câu Tập giá trị hàm số y = cos x tập hợp sau đây? A R B (−∞; 0] C [0; +∞] D [−1; 1] Câu Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn D [0; 1] Câu Tìm hàm số lẻ hàm số sau: A y = sin2 x B y = x cos 2x C y = x sin x D y = cos x cos 3x − Câu Tập xác định hàm số y = cos x + A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π; k ∈ Z} π C D = R \ { + kπ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z} Câu Hàm số y = sin 2x có chu kỳ π A T = 2π B T = C T = π D T = 4π Câu Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số hàm số nào? y −π π 2π O x −1 A y = + sin x B y = − sin x C y = sin x D y = cos x √ Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + A max y = y = B max y = y = C max y = y = −2 D max y = y = −1 Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x − A max y = 4, y = −6 B max y = 6, y = −8 C max y = 6, y = −4 D max y = 8, y = −6 Câu 11 Tập nghiệm phương trình cos 2x + = ß ™ π π 2π 2π A S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z B S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z 3 3 π π π π C S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z D S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z 3 6 Trang 28 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π = có nghiệm Câu 12 Phương trình sin x − 5π 5π x B x = + k2π C x = + kπ A x = + kπ 6 √ Câu 13 Nghiệm phương trình tan x = − biểu diễn đường trịn lượng giác hình bên điểm nào? A Điểm F, điểm D B Điểm C, điểm F C Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F D Điểm E, điểm F π + k2π D x = y B C D A x O A E F B Câu 14 Gọi S tổng nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình cos x − = Tính S A S = B S = 4π C S = 3π D S = 2π Câu 15 Số nghiệm phương trình cos x = thuộc đoạn [−2π; 2π] A B C D ò1 ï 3π Câu 16 Số nghiệm thực phương trình sin 2x + = đoạn − ; 10π A 12 B 11 C 20 D 21 √ Câu 17 Cho phương trình sin x − = Tổng nghiệm thuộc [0; π] phương trình cho π 2π 4π A π B C D 3 Câu 18 Phương trình sin x = cos x có nghiệm thuộc đoạn [−π; π]? A B C D Câu 19 Phương trình cos2 x + cos x − = có nghiệm đoạn [0; 2π] A B C D √ Câu 20 Phương trình sin x − cos x = có tập nghiệm π π π π A − + k2π; + k2π , với k ∈ Z B − + k2π; − + k2π , với k ∈ Z ™ ß 7π π π π + k2π; + k2π , với k ∈ Z D − + kπ; − + kπ , với k ∈ Z C 6 Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2 x = m − có nghiệm A m ≤ B < m < C m ≥ D ≤ m ≤ √ Câu 22 Điều kiện tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = vơ nghiệm đ m≥0 A B m < −2 C −2 < m < D m > m ≤ −2 Câu 23 Số giá trị thực tham số m để phương trình (sin x−1)(2 cos2 x−(2m+1) cos x+m) = có nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] A B C D Vô số Câu 24 Giả sử A, B điểm nằm đồ thị hàm số y = sinÇx √ y =åcos x cho tam π giác OAB nhận điểm G ; làm trọng tâm 3 Tính diện tích S tam giác OAB, biết xA ∈ [0; 2π] y A O π x B Trang 29 y = cos x y = sin x Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC √ π A S = √ π B S = √ π C S = Câu 25 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x đoạn [0; π], điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn 2π Tính độ dài đoạn ABCD hình chữ nhật CD = BC √ √ A B C D 2 √ π D S = y A B O π x D C y = sin x BÀI TẬP TỰ LUẬN Ą Bài Giải phương trình b) cos2 x − sin x − = a) sin x − = c) sin x + cos x = √ cos 5x d) cos 3x + cos x + sin 2x = Ą Bài Giải phương trình a) sin x cos x − = 3(sin x + cos x) b) —HẾT— Trang 30 sin4 x + cos4 x − sin2 x − =0 − cos 4x Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B ĐỀ SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm ï tập giáò trị T hàm số y = sin 2x 1 B T = [−2; 2] A T = − ; 2 C T = R D T = [−1; 1] Câu Tìm tập xác định D hàm số y = tan 2x π π A D = R\ + kπ, k ∈ Z B D = R\ + kπ, k ∈ Z π kπ C D = R\ kπ, k ∈ Z D D = R\ + ,k ∈ Z π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = cot x − π π A D = R \ + k2π, k ∈ Z B D = R \ + kπ, k ∈ Z ß3 ™ 5π π D D = R \ + kπ, k ∈ Z C D = R \ − + k2π, k ∈ Z Câu Chu kì tuần hồn T hàm số y = cos x bao nhiêu? A T = 2π B T = π C T = 3π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = A D = R C D = R \ {kπ, k ∈ Z} D T = π sin x − cos x π + kπ, k ∈ Z B D = R \ D D = R \ {k2π, k ∈ Z} Câu Hình đồ thị hàm số y = sin x? y A y x O x O B y y O O x x C D sin x − Câu Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = A m = − B m = − C m = −3 3 Câu Tìm giá trị lớn M hàm số y = − | cos x| A M = B M = C M = Câu Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin x − cos x A M = B M = C M = π Câu 10 Hỏi x = nghiệm phương trình sau đây? A sin x = B cos x = C sin x cos x = √ Câu 11 Tìm tập nghiệm S phương trình sin 2x = − Trang 31 D m = −1 D M = D M = √ D sin 2x = Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ß ™ π 2π A S = − + kπ, + kπ, k ∈ Z ß ™ π 5π C S = + k2π, + k2π, k ∈ Z 6 ß ™ π 4π B S = − + k2π, + k2π, k ∈ Z ß ™ 5π π D S = + k2π, + k2π, k ∈ Z 12 12 π Câu 12 Tìm tập nghiệm S phương trình sin x cos x − = 4ß ™ 3π A S = {kπ, k ∈ Z} B S = + kπ, k ∈ Z ß ™ 3π π D S = kπ; + kπ, k ∈ Z C S = − + kπ, k ∈ Z 4 √ Câu 13 Tìm tập nghiệm S phương trình cos 2x = A S = R ß ™ √ √ 1 B S = − arccos + kπ; arccos + kπ, k ∈ Z 2 C S = ∅ π π D S = − + k2π; + k2π 4 Câu 14 Tìm tất giá trị số thực a để phương trình cos x = a2 có nghiệm A a ∈ R B a ∈ R \ {0} C a ∈ [0; 1] D a ∈ [−1; 1] Câu 15 Phương trình tan 2x = có họ nghiệm π kπ π A x = + , k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + k2π, k ∈ Z 4 √ Câu 16 Họ nghiệm phương trình cot x + = π π A x = − + kπ, k ∈ Z B x = − + kπ, k ∈ Z π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z ◦ Câu 17 Phương trình tan (2x + 12 ) = có họ nghiệm A x = −6◦ + k180◦ , k ∈ Z B x = −6◦ + k360◦ , k ∈ Z ◦ ◦ C x = −12 + k90 , k ∈ Z D x = −6◦ + k90◦ , k ∈ Z Câu 18 Cho phương trình a sin x + cos x = b Tìm tất giá trị thực a, b để phương trình có nghiệm A b2 − a2 ≤ B b2 − a2 < C b2 + a2 ≤ D b2 + a2 ≥ √ Câu 19 Tìm tập nghiệm phương trình sin x + cos x =ß−2 ™ 5π A S = ∅ B S = − + k2π k ∈ Z ß ™ π 5π C S = + k2π k ∈ Z D S = − + kπ k ∈ Z 6 Câu 20 Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) phương trình sin x + sin 2x = A B C D Câu 21 Giải phương trình sin2 x + sin x + = π A x = − + kπ, k ∈ Z B π C x = − + k2π, k ∈ Z D Câu 22 Giải phương trình cos 2x − sin x − = π 7π A x = − + kπ, x = + kπ, k ∈ Z B 6 7π π C x = − + k4π, x = + k4π, k ∈ Z D 6 Trang 32 π x = − + k3π, k ∈ Z π kπ x = − + , k ∈ Z 2 π x = − + k3π, x = π x = − + k2π, x = 7π + k3π, k ∈ Z 7π + k2π, k ∈ Z Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 23 Giải phương trình tan x + cot x − = π B A x = ± + k2π, k ∈ Z π D C x = + kπ, x = arctan + kπ, k ∈ Z Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m nghiệm A m ≤ B m < C π x = ± + kπ, k ∈ Z π x = ± + kπ, x = ± arctan + kπ, k ∈ Z để phương trình m cos x + sin x = − m có m ≥ D m < Câu 25 Có giá trị nguyên m để phương trình cos 2x − cos x + m = có nghiệm? A B C D BÀI TẬP TỰ LUẬN Ą Bài Giải phương trình sau: a) cos x − c) π = 0; √ π − x = 1; tan b) sin 3x − cos 3x = −1; d) sin x + cos x − sin x cos x = Ą Bài Tính tổng nghiệm x ∈ 0; 100 phương trình cos3 x − cos2 x + = cos 2x + tan2 x cos x —HẾT— Trang 33 Ƅ Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 A 11 D 21 A B 12 B 22 A D 13 C 23 D A 14 A 24 C D 15 D 25 A D 16 A 26 A C 17 B 27 C B 18 A 28 C B 19 A 29 A 10 C 20 B 30 D A 18 C 28 B A 19 D 10 D 20 D C 18 D 28 A B 19 C 29 C 10 B 20 C 30 B B 19 C 10 A 20 C D 19 B 10 C 20 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI C 11 D 21 A A 12 B 22 A B 13 C 23 D C 14 C 24 C D 15 B 25 A D 16 B 26 B B 17 C 27 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI B 11 A 21 A B 12 D 22 A A 13 D 23 A D 14 D 24 B B 15 B 25 C C 16 D 26 C C 17 D 27 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1 A 11 C 21 D D 12 B 22 C C 13 A 23 B B 14 D 24 B B 15 A 25 B D 16 A C 17 A D 18 D ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ D 11 A 21 C D 12 D 22 D B 13 C 23 C A 14 D 24 C D 15 A 25 A D 16 B Trang 34 D 17 D D 18 A ... Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x • Tập xác định: D = R y • Tập giác. .. hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] D [0; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số. .. giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn