Về một số lớp bất phường trình hàm

Header Page of 145 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  ĐINH THÁNH ĐUA VỀ MỘT SỐ LỚP BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Footer Page of 145 Header Page of 145 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 145 Header Page of 145 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phương trình hàm, bất phương trình hàm dạng toán thường có mặt đề thi chọn học sinh giỏi cấp Olympic toán quốc tế Đây dạng toán thường khó Những dạng toán tìm hàm số thỏa mãn bất đẳng thức hàm cho trước xem toán giải bất phương trình hàm Lý thuyết giảng bất phương trình hàm đề cập sâu giáo trình bậc đại học Tuy nhiên, tài liệu bất phương trình hàm chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông, tài liệu [3], chưa có nhiều, chưa hệ thống theo dạng toán phương pháp giải Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng người hướng dẫn khoa học luận văn này) bảo vệ, chủ yếu đề cập đến số dạng bất phương trình hàm bản, tương tự dạng phương trình hàm Cauchy Nhiều dạng toán tổng hợp khác, liên quan đến bất phương trình hàm chưa đề cập Luận văn [2] chưa khảo sát dạng toán liên quan tập số nguyên Tiếp nối hướng nghiên cứu ấy, luận văn tiếp tục khai thác dạng tổng hợp khác toán giải bất phương trình hàm Các dạng toán liên quan tập số nguyên luận văn nghiên cứu Nhiều phương pháp giải toán khó đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế đề cập Footer Page of 145 Header Page of 145 Do đó, đề tài có sở khoa học mang tính thực tiễn chương trình toán học phổ thông, đặc biệt hệ Chuyên Toán, phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Đề tài đề cập đến số lớp bất phương trình hàm tập số thực tập số nguyên, với áp dụng chúng việc giải nhiều dạng toán khó, thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế Nhiều dạng toán phương pháp giải khác trình bày luận văn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu Một số lớp bất phương trình hàm tập số thực tập số nguyên 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp Phƣơng pháp nghiên cứu Từ tài liệu sưu tầm được, định hướng người hướng dẫn khoa học, luận văn đề cập đến số lớp bất phương trình hàm tập số thực tập số nguyên, với áp dụng chúng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Footer Page of 145 Header Page of 145 Cấu trúc luận văn Với mục đích nêu trên, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo theo quy định, nội dung luận văn chia thành chương sau đây: Chương 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm Nội dung chương chủ yếu đề cập đến số dạng bất phương trình hàm biến nhiều biến tự do, số định lý hệ có liên quan, áp dụng cho việc giải tập cụ thể Chương 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính Chương ta chủ yếu trình bày định lý hệ liên quan, xem tập dạng tổng quát hệ bất phương trình hàm tuyến tính, từ giải tập cụ thể Chương 3: Một số bất phƣơng trình hàm tập số nguyên Nội dung chương trình bày số toán tập số nguyên phương pháp giải đặc trưng tập số nguyên Footer Page of 145 Header Page of 145 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Nội dung chương chủ yếu đề cập đến số dạng bất phương trình hàm nhiều biến tự toán bất phương trình hàm biến số 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO Bài toán 1.1 Xác định hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , x, y  ; (ii) f  x   , x  Bài toán 1.2 Cho trước a  Xác định hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x   f  y  , x, y  ; (ii) f  x   ax , x  Bài toán 1.3 Cho trước a  Xác định hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x  f  y  , x, y  ; (ii) f  x   a x , x  Bài toán 1.4 Xác định hàm số f : U   thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x  f  y  , x, y U ; (ii) f  x    x , x U Footer Page of 145 Header Page of 145 Định lí 1.1 Nếu hàm số f : U   thỏa mãn đồng thời điều kiện sau (i) f  x  y   f  x  f  y  , x, y U ; (ii) f  x   g  x  , x U ; g  x  hàm số cho trước khả vi , g    , g '  k , f x  ekx     Hệ 1.1 Giả sử f : U   thỏa mãn điều kiện (i) với x, y U Nếu f khả vi 0, f    f '    k f x  ekx , x U   Hệ 1.2 Giả sử F hàm xác định khoảng mở U chứa thỏa mãn F  x  y  F  x  F  y với x, y U cho x  y U Nếu F bị chặn hàm G khả vi thỏa mãn G    , F  x   kx , x U , k số Định lí 1.2 Nếu hàm số f : U   thỏa mãn điều kiện sau f  x  y   f  x  g  y  , x, y U , g  x  hàm số cho trước khả vi , g    , g '    k , nghiệm bất phương trình hàm có dạng f x  Cekx , C số   Hệ 1.3 Ta có f  x   ekx g  x   ekx nghiệm hệ bất phương trình hàm Footer Page of 145 Header Page of 145   f  x  y   f  x g  y ;   g  x  y   g  x f  y , với điều kiện f    , g  x  khả vi 0, g    g '    k Định nghĩa 1.1 Hàm g ( x) xác định khoảng mở U chứa gọi hàm tựa l tồn hàm k  x  xác định U cho k    g   , k '    l tồn k  x   g  x  với x U Hệ 1.4 Bất phương trình hàm f  x  y  f  x g  y  , g hàm cho trước xác định I với g    hàm tựa l , có nghiệm không âm f elx  g  x  I trường hợp nghiệm không âm có dạng f x  Celx , C  số   Bài toán 1.5 Tìm tất hàm số f  x  , xác định khoảng mở  e ;   , thỏa mãn hệ bất phương trình hàm sau:   f  x  y   f  x  log f  y  ;    f  x   x  e Bài toán 1.6 Trên khoảng mở chứa có nghiệm hệ bất phương trình hàm  f  y ;  f  x  y   f  x  e   f  x   x2  Footer Page of 145 Header Page of 145 Định lí 1.3 Xét bất phương trình hàm f  x  y   f  x  g  y   f  y  g  x  , x, y U , g  x  hàm giới nội, khả vi 0, g    g '    k Thế f  x   hàm số thỏa mãn bất phương trình cho, với điều kiện lim x 0 f  x x  Bài toán 1.7 (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 1998) Chứng minh không tồn hàm số f :    thỏa mãn: f ( x)  f ( x  y )  f ( x)  y  , (1.1) với cặp số thực dương x, y Bài toán 1.8 (Thi học sinh giỏi Bulgaria, 2008) Tìm tất hàm f :    thỏa mãn: f ( x  y )  ( y  1) f ( x) , (1.5) với cặp số thực x, y Bài toán 1.9 (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2013) Cho hàm số f xác định tập  nhận giá trị tập  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f ( x) f ( y)  f ( xy) với x, y  ; (1.8)  (ii) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) với x, y  ; (iii) tồn số hữu tỉ a  cho f (a)  a  Chứng minh f ( x)  x với x  Footer Page of 145 (1.9) (1.10) Header Page 10 of 145 Bài toán 1.10 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện: (i) f ( x  1)  f ( x)  với x ; (1.13) (ii) f ( xy)  f ( x) f ( y) với x, y  (1.14) Bài toán 1.11 (Olympic Toán Liên Bang Nga, 2000) Tìm tất hàm số f :   thỏa mãn điều kiện : f ( x  y)  f ( y  z)  f ( z  x)  f ( x  y  3z ), x, y, z  (1.18) Bài toán 1.12 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiê ̣n sau: f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ; (1.21) f ( x)  f (0),  x  (1.22) Bài toán 1.13 (Olympic Toán châu Á Thái Bình Dương, 1994) Tìm tấ t cả các hàm số f :    thỏa mãn điều kiện sau: f ( x)  f ( y)   f ( x  y),  x, y ; (1.23) f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ; (1.24) f ( x)  f (0),  x  (0;1); (1.25) f (1)  1; f (1)  1 (1.26) Bài toán 1.14 Cho k số thực dương Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực x, y, z 4k (1.28) f ( xy)  f ( yz )  f ( zx)  k[ f ( x) f ( yz )  f ( y) f ( zx)  f ( z ) f ( xy)]  Footer Page 10 of 145 10 Header Page 12 of 145 Bài toán 1.21 (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1993) Cho hàm số f :    thỏa mãn: f ( xy)  f ( x) f ( y) (1.47) với x, y  Chứng minh với x  n  f ( xn )  f ( x) f ( x ) f ( x3 )  n f ( x n ) (1.48) Bài toán 1.22 Tìm tất số a  cho tồn số K  hàm f :    thỏa mãn: f ( x)  f ( y )  a  x y f K x y   Bài toán 1.23 Cho hàm số f :[0;1]   thỏa điều kiện: (i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) ;  x, y, x  y [0;1] ; (ii) f ( x)  0,  x [0;1] ; (iii) f (1)  Chứng minh f ( x)  x,  x [0;1] Bài toán 1.24 Cho số a  hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: n 1   a k  f ( x  ky )  f ( x  ky )  1, n  * x, y  (1.54) k 1 Xác định hàm số f ( x) Bài toán 1.25 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y),  x, y ; (ii) lim x 0 Footer Page 12 of 145 f ( x)  a ( a  ), x  x (1.57) (1.58) 11 Header Page 13 of 145 Bài toán 1.26 Tìm hàm số f :    thỏa mãn điều kiện sau: f ( x)  f ( y)  x  y ,  x, y  , k   k  k (1.59) Bài toán 1.27 Tìm hàm số f , g :    thỏa mãn điều kiện: f ( y)  f ( x)  g ( x)( x  y)  M x  y 2 a , (1.60) với x, y  M , a số dương Bài toán 1.28 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: (i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) ,  x, y  ; (1.63) (ii) f ( x)  e  1,  x  (1.64) x Bài toán 1.29 Chứng minh không tồn hàm số f :    điều kiện: (i) f (0)  ; (1.68) (ii) f ( x  y)  f ( x)  yf ( f ( x)) ,  x, y  (1.69) 1.2 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài toán 1.30 (Toán học tuổi trẻ tháng 6/1995) Tìm hàm số liên tục f :[0;1]   thỏa mãn điều kiện: f ( x)  xf ( x ),  x [0;1] (1.73) Bài toán 1.31 Cho hàm số f xác định tập số thực  thỏa mãn điều kiện: f ( x)  f ( x)  4  f  x   1,  x   3  Tìm số thực a lớn để có: f ( x)  a,  x  Footer Page 13 of 145 (1.82) 12 Header Page 14 of 145 Bài toán 1.32 Cho hàm số f :    thỏa mãn: f ( x)  f (q)  m( x  q)2 , m  * , q    x  Chứng minh f hàm Bài toán 1.33 Tìm tất hàm số f :[1; )  [1; ) thỏa mãn điều kiện: (i) f ( x)  2(1  x),  x [1; ) ; (ii) xf (1  x)  f ( x)  1,  x [1; ) Bài toán 1.34 (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 2003) Đặt F  {f :    f (3x)  f ( f (2 x))  x,  x   } Tìm giá trị lớn  cho với f  F ta có f ( x)   x Bài toán 1.35 (Thi học sinh giỏi Belarus, 1997) Cho hàm số f :    thỏa mãn: f (2 x)  x  f ( f ( x)),  x  Chứng minh f ( x)  x,  x  Bài toán 1.36 (Thi học sinh giỏi Trung Quốc, 1998) Cho hàm số f :    thỏa mãn điều kiện:  x (i) f ( x)  x f   ,  x   ; 2 (ii) f ( x)  1,  x  (1;1) x2 Chứng minh f ( x)  ,  x   Footer Page 14 of 145 13 Header Page 15 of 145 CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM DẠNG TUYẾN TÍNH Chương ta chủ yếu trình bày định lí, bổ đề hệ liên quan, xem tập dạng tổng quát, từ giải tập cụ thể Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] Ta xét hệ bất phương trình hàm dạng tuyến tính, với dạng tổng quát sau đây:   f  a  x     f  x  , x  ; - Dạng 1:    f  b  x     f  x  , x     f  a  x    f  x  , x  ; - Dạng 2:    f  b  x    f  x  , x     f  ax     f  x  , x  ; - Dạng 3:    f  bx     f  x  , x    f  ax    f  x  , x  ;  - Dạng 4:    f  bx    f  x  , x   a, b,  ,  số thực cho trước Chú ý rằng,   f  a  ,   f  b  , hệ bất phương trình hàm dạng trở thành bất phương trình hàm Cauchy cổ điển f  x  y   f  x   f  y  , x, y  Trước hết, ta nhắc lại rằng, tập hợp M trù mật tập số thực  lân cận điểm tùy ý tập  có điểm tập M Chẳng hạn, tập  số hữu tỷ tập trù mật tập  Footer Page 15 of 145 14 Header Page 16 of 145 Tính chất sau kết quen thuộc (Định lí Kronecker), tìm thấy chứng minh tài liệu lý thuyết bản: “Nếu a b số thực không thông ước với nhau, tập A  ma  nb ; m, n  trù mật  ” Hơn nữa, ta chứng minh kết sau Bổ đề 2.1 Giả sử a, b a   b số cho trước Ký hiệu A  ma  nb ; m, n  1) Nếu b   , tập A trù mật  a 2) Nếu b   , tồn d  cho: A  kd ; k  a Bổ đề 2.2 Giả sử a, b  a   b số cho trước Ký hiệu   M  a mbn ; m, n   1) Nếu log b  , tập M trù mật  0,  log a 2) Nếu log b  , tồn d  cho: M  d k ; k  log a   Định lí 2.1 Giả sử a, b,  ,  số thực cho trước thỏa mãn a0b,  a   b giả sử hàm f :    liên tục điểm 1) Nếu b   , f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm a Footer Page 16 of 145 15 Header Page 17 of 145   f  a  x     f  x  , x  ;    f  b  x     f  x  , x   f  x   px  f  0 , x  , p : (2.1)  a b   , tồn nghiệm hàm liên tục a f :    hệ phương trình hàm tương ứng 2) Nếu  f  a  x     f  x  , x  ;     f  b  x     f  x  , x   (2.2) 0,d   f0 , d : ma  nb  ; m, n  tồn tại, số dương f0 : 0, d    hàm liên tục cho trước thỏa cho f mãn điều kiện f0  d    a d  f0  0 Hơn nữa, f đơn điệu nghiêm ngặt, trùng với hàm f đoạn 0, d  Định lí 2.2 Giả sử a, b  ,   số cho trước thỏa mãn a0b, log  log   a b giả sử hàm f :    liên tục điểm 1) Nếu b   , f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm a Footer Page 17 of 145 16 Header Page 18 of 145   f  a  x    f  x  , x  ;    f  b  x    f  x  , x   f  x   f   e px (2.5) , x  , p : log  a b   , tồn nghiệm hàm liên tục a f :    hệ phương trình hàm tương ứng 2) Nếu  f  a  x    f  x  , x  ;     f  b  x    f  x  , x   (2.6) 0,d   f0 , d : ma  nb  ; m, n  tồn tại, số dương f0 : 0, d    hàm liên tục cho trước thỏa cho f mãn điều kiện log  d f0  d   f0  0 e a Hơn nữa, f đơn điệu nghiêm ngặt, trùng với hàm f đoạn 0, d  Định lí 2.3 Giả sử a, b,  ,  số thực cho trước thỏa mãn  a 1 b ,  log a   log b giả sử hàm f : I   liên tục điểm 1) Nếu log b  , f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm log a Footer Page 18 of 145 17 Header Page 19 of 145   f  ax     f  x  , x  I ;    f  bx     f  x  , x  I (2.8) i) Trường hợp I   0,   : f  x   p log x  f 1 , x  , ii) Trường hợp I   ,0  : f  x   p log   x   f  1 , x  ,  p : log a log b  , tồn nghiệm hàm liên tục log a f : I   hệ phương trình hàm tương ứng 2) Nếu   f  ax     f  x  , x  I ;    f  bx     f  x  , x  I cho f 1,d   f0 ,  (2.9)  d : a mbn  ; m, n   tồn tại, lớn f0 : 1, d    hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện f0  d    log a log d  f 1 Hơn nữa, f đơn điệu nghiêm ngặt, trùng với hàm f đoạn 1, d  Footer Page 19 of 145 18 Header Page 20 of 145 Hệ 2.1 Giả sử a, b,  ,   thỏa mãn giả thiết Định lý 2.1, phần Nếu hàm f :  ,0    0,     thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.8) khoảng  ,0  ,  0,  tồn điểm mà hàm f liên tục,   f 1 ,  p log x f  x     p log   x   f  1 , p :  log a x   0,   , x   ,0  , Chú ý 2.1 Giả sử a, b,  ,  số thực cho trước thỏa mãn  a   b  log a thỏa mãn hệ (2.8)   log b Nếu  I , không tồn hàm Định lí 2.4 Giả sử a, b,  ,  số thực cho trước thỏa mãn a 1 b , log  log   log a log b giả sử hàm f : I   liên tục điểm 1) Nếu log b  , f thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm log a   f  ax    f  x  , x  I ;    f  bx    f  x  , x  I i) Trường hợp I   0,   : p f  x   f 1 x , x  , ii) Trường hợp I   ,0  : f  x   f  1  x  p , x  , Footer Page 20 of 145 (2.11) 19 Header Page 21 of 145 p : log  log a log b  , tồn nghiệm hàm liên tục log a 2) Nếu f : I   ( I   0,   I   ,0  ) hệ phương trình hàm tương ứng   f  ax    f  x  , x  I ;    f  bx    f  x  , x  I (2.12) 1,d   f0 , cho f   d : a mbn  ; m, n   tồn tại, lớn f0 : 1, d    hàm liên tục cho trước thỏa mãn điều kiện f  d   f 1 d log  log a Hơn nữa, f đơn điệu nghiêm ngặt, trùng với hàm f đoạn 1, d  Chú ý 2.2 Giả sử a, b,  ,  số thực cho trước thỏa mãn log  log   a   b Nếu I   I  0,    log a log b I   ,0 f : I   thỏa mãn hệ (2.11), f    Chú ý 2.3 i) Giả sử f : 0,     thỏa mãn hệ (2.11) Nếu f  0,  a, b,  ,  thỏa mãn tất giả thiết Định lí 2.1, phần 1, Footer Page 21 of 145 20 Header Page 22 of 145   f x p x   0,   , f  x     x  0,  0 p : log  log a ii) Giả sử f :  ,0   thỏa mãn hệ (2.11) Nếu f  ,0  a, b,  ,  thỏa mãn tất giả thiết Định lí 2.1, phần 1,   f 1  x p x   ,0  , f  x       x  0,  0 p : log  log a Hệ 2.2 Giả sử a, b,  ,   thỏa mãn giả thiết Định lí 2.1, phần i) Nếu hàm f :  ,0    0,     thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.11) khoảng  ,0  ,  0,  tồn điểm mà hàm f liên tục, f xp x   0,   ,    f  x   p   f  1  x  x   ,0  , p : log  log a ii) Nếu hàm f :    thỏa mãn hệ bất đẳng thức (2.11) khoảng  ,0   0,  tồn điểm mà hàm f liên tục, Footer Page 22 of 145 21 Header Page 23 of 145 f xp x   0,   ,     f  x   0 x  0,  p  f  1  x  x   ,0  , p : log  log a Chú ý 2.4 Ta có định lí tương tự Định lí 2.1- Định lí 2.4, với hàm f thỏa mãn bất đẳng thức có dấu ngược lại Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 CHƢƠNG MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bất phương trình hàm tập số nguyên dạng toán khó, thường gặp kì thi Olympic toán quốc tế Lý là, phương pháp thông thường sử dụng giới hạn hàm số, dãy số,…thường giải toán Phương pháp giải bất phương trình hàm loại thường bất quy tắc, chủ yếu sử dụng tính quy nạp số phương pháp giải mang tính đặc trưng tập số nguyên Dưới số toán minh họa cho số phương pháp Bài toán 3.1 Với hàm g :    , g (1)  cho trước, chứng minh tồn hàm số f :    thỏa mãn f (n)  g (n) với n  f (mn)  f (m) f (n) với cặp số nguyên dương m, n nguyên tố Bài toán 3.2 (Thi học sinh giỏi Việt Nam, 1977) Cho hàm số f : *  * thỏa mãn điều kiện sau: f ( f (n))  f (n  1), n * Chứng minh rằng: f (n)  n, n * Footer Page 24 of 145 (3.1) 23 Header Page 25 of 145 Bài toán 3.3 Tìm hàm f : *  * cho: k  , k  : f (n  1)  f k (n), n  * (3.6) với f k (n)  f ( f ( f (n)) ) với k lần f Bài toán 3.4 Tìm tất hàm số f : *  * thỏa mãn: f ( xy)  f ( xz)  f ( x) f ( yz)  1,  x, y, z * (3.10) Bài toán 3.5 Tìm tất hàm số f : *  * thỏa mãn: i) f (2)  ; ii) f (mn)  f (m) f (n), m, n * thỏa mãn (m, n)  ; iii) f (m)  f (n) với m  n Bài toán 3.6 Cho D  {1,2,3, ,2010} Hàm số f : D   thỏa mãn với m, n  D mà m  n  2010 f (m)  f (n)  f (m  n)  f (m)  f (n)  Chứng minh tồn số thực x cho với n  D, f (n)  [nx], (với [a] số nguyên lớn không vượt a ) Footer Page 25 of 145 24 Header Page 26 of 145 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu, tìm tòi học hỏi, với tài liệu thầy giáo TS Trịnh Đào Chiến cung cấp, hoàn thành đề tài Luận văn “Về số lớp bất phƣơng trình hàm” đề cập tới vấn đề sau: Đề cập đến số dạng bất phương trình hàm biến nhiều biến tự số định lý hệ có liên quan, áp dụng cho việc giải tập đưa Trình bày định lý hệ liên quan, xem tập dạng tổng quát hệ bất phương trình hàm tuyến tính, từ giải tập cụ thể Bất phương trình hàm tập số nguyên dạng toán khó, thường gặp kì thi Olympic toán quốc tế Phương pháp giải bất phương trình hàm loại thường bất quy tắc, chủ yếu sử dụng tính quy nạp số phương pháp giải mang tính đặc trưng tập số nguyên Nhiều phương pháp giải toán khó đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế đề cập Luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh phổ thông Mặc dù thân cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót luận văn Rất mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Footer Page 26 of 145 ... TRÌNH HÀM Nội dung chương chủ yếu đề cập đến số dạng bất phương trình hàm nhiều biến tự toán bất phương trình hàm biến số 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO Bài toán 1.1 Xác định hàm số. .. 2.4, với hàm f thỏa mãn bất đẳng thức có dấu ngược lại Footer Page 23 of 145 22 Header Page 24 of 145 CHƢƠNG MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bất phương trình hàm tập số nguyên... Luận văn Về số lớp bất phƣơng trình hàm đề cập tới vấn đề sau: Đề cập đến số dạng bất phương trình hàm biến nhiều biến tự số định lý hệ có liên quan, áp dụng cho việc giải tập đưa Trình bày