Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

luận văn

Bộ giáo dục đào tạo Đại học Thái Nguyên Nguyễn Thị Ngân Một số lớp hệ phương trình cặp ứng dụng Luận án tiến sĩ toán học Chuyên ngành: Mà số: Toán Giải tích 62 46 01 02 Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc PGS TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, 2013 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu Các kết viết chung với tác giả khác đà trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khoa học khác Tác giả luận án Nguyễn Thị Ngân i Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành khoa Toán thuộc trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn tận tình nghiêm khắc TS Nguyễn Văn Ngọc PGS TS Hà Tiến Ngoạn Các Thầy đà truyền cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc Thầy Trong trình học tập nghiên cứu, tác giả nhận góp ý, động viên GS TSKH Đinh Nho Hào, PGS TSKH Nguyễn Minh Trí, TS Phạm Minh Hiền, Ths Đào Quang Khải (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam), GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, PGS TS Trần Huy Hổ (trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội), GS TSKH Lê Hùng Sơn, PGS TS Phan Tăng Đa (khoa Toán - Tin ứng dụng, Đại học Bách Khoa Hà Nội), PGS TS Đặng Quang (Viện Công nghệ Thông tin, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tác giả xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo anh chị em NCS, Cao học seminar Bộ môn Giải tích khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Phương trình vi phân - Viện Toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, đà giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học sống Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Sau đại học - Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Phòng Ban chức năng, Phòng Quản lý đào tạo Sau ii đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán toàn thể giáo viên khoa, đặc biệt Bộ môn Giải tích đà tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, đặc biệt chồng, người thân gia đình đà giúp đỡ, động viên tác giả trình thực luận án Mơc lơc B×a Lời cảm ơn i Lêi cam ®oan i ii iv Mét sè ký hiƯu dïng ln ¸n viii Mở đầu Môc lôc Hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát 1.1 Biến đổi Fourier hàm giảm nhanh 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian S 20 hàm giảm nhanh 20 Biến đổi Fourier hàm 19 20 BiÕn ®ỉi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 21 21 22 S 1.2.1 Không gian 1.2.2 Biến đổi Fourier hàm suy rộng tăng chậm 1.2.3 1.3 hàm suy rộng tăng chậm Biến đổi Fourier tích chập Các không gian Sobolev 23 H s (R) 24 24 24 25 1.3.1 Kh«ng gian 1.3.2 Các không gian s s H (), H, (), H s () 1.3.3 Định lý nhúng iv 1.4 Các không gian Sobolev vectơ 26 1.4.1 26 1.4.2 1.5 Khái niệm Phiếm hàm tun tÝnh liªn tơc 28 Toán tử giả vi phân vectơ 30 1.5.1 30 1.5.2 Chuẩn tích vô hướng tương đương 32 1.5.3 1.6 Kh¸i niƯm Nhóng compact 34 Tính giải hệ phương trình cặp 1.6.1 Định lý tồn 34 34 36 Định lý nhÊt 1.6.2 Hệ phương trình cặp số toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà song điều hoà miền hình dải 41 2.1 Bài trình toán điều biên hoà hỗn hợp thứ phương 42 2.1.1 Phát biểu toán 43 2.1.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân 43 2.1.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.10) 45 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nh©n Cauchy 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại sè tuyÕn tÝnh 2.2 46 Bài toán biên hỗn hợp dải đàn hồi 49 56 2.2.1 Phát biểu toán 56 2.2.2 §­a vỊ hệ phương trình cặp tích phân 58 2.2.3 TÝnh giải hệ phương trình cặp tích phân (2.51) 61 2.2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 2.2.5 64 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tÝnh 2.3 67 Bài toán biên hỗn hợp phương trình song điều hoà 72 2.3.1 Phát biểu toán 73 2.3.2 Đưa hệ phương trình cặp tích phân 74 2.3.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.106) 77 2.3.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân nhân logarithm 2.3.5 Đưa hệ phương trình tích phân nhân logarithm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính 2.4 84 86 Bài toán biên hỗn hợp thứ hai phương trình điều hoà 2.4.1 Phát biểu toán 90 91 2.4.2 §­a hệ phương trình cặp tích phân 91 2.4.3 Tính giải hệ phương trình cặp tích phân (2.157) 92 2.4.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy 2.4.5 94 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy hệ vô hạn phương trình đại số tuyÕn tÝnh 96 Giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier 102 3.1 Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên 102 3.2 Tính gần nghiệm hệ phương trình tích phân kỳ dị 106 3.2.1 Tính gần ma trận hạch hệ phương trình tích phân kỳ dị 106 3.2.2 Tính nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị 110 3.2.3 Về tốc độ hội tụ 128 Kết luận đề nghị Danh mục công trình tác giả đà công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo 132 134 135 Mét sè ký hiƯu dïng ln ¸n R: đường thẳng thực : khoảng hệ khoảng không giao R Rn : không gian vectơ Euclide n chiỊu Cn : kh«ng gian phøc n chiỊu C k (): tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp k k C (): tập tất hàm khả vi liên tục đến cấp k , có giá compact C (): tập tất hàm khả vi vô hạn C (R): tập hợp tất hàm khả vi vô hạn có giá compact R : không gian dÃy số {fn }, n N, thoả mÃn điều kiện n=0 |fn |2 < L1 (R): không gian hàm khả tích R L2 (R): không gian hàm bình phương khả tích R L21 (a, b): không gian hàm u(x) cho (a, b) cho b ||u||L2±1 = ρ ρ±1 (x)|u(x)|2 dx 1/2 < +∞, a víi ρ(x) = (x − a)(b − x), a < x < b viii S : không gian hàm giảm nhanh R S : không gian hàm suy rộng tăng chậm R D(): không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact D (): không gian đối ngÉu cña D(Ω) s s H s (R), H◦ (Ω), H, (), H s (): không gian Sobolev s s Hs (R), H◦ (Ω), H◦,◦ (Ω), Hs (Ω): c¸c không gian Sobolev vectơ F : phép biến đổi Fourier F : phép biến đổi Fourier ngược p, p : toán tử hạn chế , : toán tử thác triển Tn (x): đa thức Chebyshev bậc n loại Un (x): đa thức Chebyshev bậc n loại hai Jm : hàm Bessel loại cấp m Rút gọn ta v ( ) = √  1,6   − τ2      +√    − τ2     +√  − τ2 v ∗ (τ ) = √  2,6    − τ2     +√    − τ2      +√ − τ2 B©y giê ta tÝnh u1,6 vµ (1) (1) (1) (1) (1) (1) (−A2 + A4 − A6 ) + (A1 − 3A3 + 5A5 )τ (1) (1) (1) (1) (1) (2A2 − 8A4 + 18A6 )τ + (4A3 − 20A5 )τ (1) (1) (1) (1) (8A4 − 48A6 )τ + 16A5 τ + 32A6 τ , (2) (2) (2) (2) (2) (2) (−A2 + A4 − A6 ) + (A1 − 3A3 + 5A5 )τ (2) (2) (2) (2) (2) (2A2 − 8A4 + 18A6 )τ + (4A3 − 20A5 )τ (2) (2) (2) (2) (8A4 − 48A6 )τ + 16A5 τ + 32A6 τ u2,6 : Do (b − a)τ + b + a ), (b − a)τ + b + a ∗ v2 (τ ) = v2 ( ), (b − a)τ + b + a t= ∗ ∗ nªn ta cã v1 (τ ) = v1 (t), v2 (τ ) = v2 (t) ∗ v1 ( ) = v1 ( Mặt khác ta có  b−a b−a  ∗ ∗ u (y) =  1,6 v1 (τ )sign[ (y − τ )] dτ   −1 2     b−a y ∗ b−a ∗   = v1 (τ )dτ − v1 (τ )dτ,  4 −1 y b−a b−a  ∗ ∗ u (y) =  2,6 v2 (τ )sign[ (y − τ )] dτ   −1 2     b−a ∗ b−a y ∗   v2 (τ )dτ − v2 (τ )dτ, =  4 −1 y y ∈ (−1, 1), y ∈ (−1, 1) Tính rút gọn tích phân ta ®­ỵc   u∗ (y) = a − b  1,6   30   a−b   + − y2    30     + a − b − y2 30  u∗ (y) = a − b  2,6   30     + a − b − y2    30    a−b  + − y2 30 (1) (1) (1) − y 15A1 − 5A3 + 3A5 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (15A2 − 15A4 + 15A6 )y + (20A3 − 36A5 )y (1) (1) (30A4 − 80A6 )y + 48A5 y + 80A6 y , (2) (2) (2) − y 15A1 − 5A3 + 3A5 (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (15A2 − 15A4 + 15A6 )y + (20A3 − 36A5 )y (2) (2) (30A4 − 80A6 )y + 48A5 y + 80A6 y Vì (b a)y + b + a u (y) = uj,6(x) j,6 2x − b − a ), víi j = 1, nªn uj,6(x) = uj,6( ba x= Ta tính u (x) = − (b − x)(x − a) 15A(1) + 15(a + b) A(1) − 5A(1)  1,6   15 a−b   20(a + b)2  15(a + b) (1) 30(a + b)3 (1)  (1) (1) + A3 − A4 + A4 + 3A5   (a − b)2  a−b (a − b)   36(a + b)2  48(a + b) (1) 15(a + b) (1) 80(a + b)3 (1)  (1) −   (a − b)2 A5 + (a − b)4 A5 + a − b A6 − (a − b)3 A6     80(a + b)5 (1) 30 (1) 80(a + b) (1) 30 (1)  + A6 + [− A2 − A3 + A   (a − b)5  a−b (a − b)2 a−b    180(a + b)2 (1) 144(a + b) (1) 384(a + b)3 (1)  −  A4 + A − A5 (a − b)3 (a − b)2 (a − b)4  30 (1) 480(a + b)2 (1) 800(a + b)4 (1) −   a − b A6 + (a − b)3 A6 − (a − b)5 A6 ]x      +[ 80 A(1) + 360(a + b) A(1) − 144 A(1)   (a − b)2  (a − b)3 ((a − b)2    1152(a + b)2 (1) 960(a + b) (1) 3200(a + b)3 (1)  +  A5 − A6 + A6 ]x2   (a − b) (a − b) (a − b)     +[ −240 A(1) − 1536(a + b) A(1) + 640 A(1) − 6400(a + b) A(1) ]x3   (a − b)3  (a − b)4 (a − b)3 (a − b)5     +[ 768 A(1) + 6400(a + b) A(1) ]x4 − 2560 x5 ,  (a − b)4 (a − b)5 (a − b)5 vµ   u (x) = − (b − x)(x − a) 15A(2) + 15(a + b) A(2) − 5A(2)  2,6   15 a−b   20(a + b)2  15(a + b) (2) 30(a + b)3 (2) (2) (2)  +   (a − b)2 A3 − a − b A4 + (a − b)3 A4 + 3A5    36(a + b)2  48(a + b)4 (2) 15(a + b) (2) 80(a + b)3 (2)  (2) − A5 + A + A6 − A   (a − b)2  (a − b)4 a−b (a − b)3   80(a + b)5  30 (2) 80(a + b) (2) 30 (2)  (2) +   (a − b)5 A6 + [− a − b A2 − (a − b)2 A3 + a − b A4     180(a + b)2 (2) 144(a + b) (2) 384(a + b)3 (2)  − A4 + A − A5  (a − b)3 (a − b)2 (a − b)4  30 (2) 480(a + b)2 (2) 800(a + b)4 (2) −   a − b A6 + (a − b)3 A6 − (a − b)5 A6 ]x      +[ 80 A(2) + 360(a + b) A(2) − 144 A(2) + 1152(a + b) A(2)   (a − b)2  (a − b)3 ((a − b)2 (a − b)4    960(a + b) (2) 3200(a + b)3 (2)  −   (a − b)3 A6 + (a − b)5 A6 ]x      +[ −240 A(2) − 1536(a + b) A(2) + 640 A(2) − 6400(a + b) A(2) ]x3   (a − b)3  (a − b)4 (a − b)3 (a − b)5     +[ 768 A(2) + 6400(a + b) A(2) ]x4 − 2560 x5  (a − b)4 (a − b)5 (a − b)5 Đặc biệt, cho A(1) (1) A A(2)    (2) A {aj }5 j=0 = −1.14326, {bj }5 j=0 c¸c giá trị cụ thể tương tự ta tÝnh (1) vµ A3 = −0.0623679, A2 = 0.832775, (1) (1) (1) = −0.124985, A5 = 0.0624995, A6 = −0.03125, (2) (2) = −1.88123, A2 = −1.2092, A3 = 0.0625742, (2) (2) = −0.249973, A5 = −0.0625003, A6 = 0.0625 (3.45) Nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị trường hợp v (τ ) = √  1,6    − τ2     +√  − τ2 v ∗ (τ ) = √  2,6    − τ2     +√  − τ2 − 0.92651 − 0.6436588τ + 2.10293τ − 1.4994616τ 0.50012τ + 0.999992τ − 1.000000τ 0.896727 − 2.3814487τ + 0.706384τ + 1.500006τ − 4.999784τ + 1.0000048τ + 1.000000 , ta tính                                                  u1,6 (x) vµ u2,6 (x) (b − x)(x − a) 6.99883a5 − 40.3026a4 b + 148.207a3 b2 15(a − b) −158.795a b + 151.188ab4 − 27.295b5 +(5.30845a4 − 135.203a3 b + 31.7664a2 b2 − 287.16ab3 − 14.7124b4 )x +(56.9845a3 + 171.038a2 b + 398.973ab2 + 173.005b3 )x2 u1,6 (x) = −(113.997a2 + 380.007ab + 305.996b2 )x3 + (152a + 248b)x4 − 80x5 (b − x)(x − a) 49.1674a5 − 183.946a4 b + 252.095a3 b2 15(a − b) −348.288a b + 78.239ab4 − 7.26725b5 −(61.8911a4 − 231.595a3 b − 288.579a2 b2 − 383.619ab3 + 41.9028b4 )x +(7.98465a3 − 635.972a2 b − 864.009ab2 − 108.004b3 )x2 u2,6 (x) = +(204.006a2 + 999.987ab + 396.007b2 )x3 − (352a + 448b)x4 + 160x5 3.2.3 VỊ tèc ®é héi tụ Trong mục này, trình bày tốc ®é héi tơ cđa nghiƯm gÇn ®óng vm,N (x) ®Õn nghiƯm chÝnh x¸c vm (x), m = 1, cđa hệ phương trình tích phân kỳ dị (3.1):   πi b a vm (t)dt + x−t b a vk (t)ℓmk (x − t)dt = −ifm (x), k=1    vm (t) ∈ L2 (a, b), m = 1, 2; ρ (3.46) a < x < b, ®ã −i ℓ11 (x) = ℓ22 (x) = π ∞ i ℓ12 (x) = ℓ21 (x) = π e−ξh sin(ξx)dξ, sinh(ξh) ∞ sin(ξx) dξ sinh(ξh) Trong hệ phương trình tích phân kỳ dị (3.46), thay vm (t) = φm (t) , ®ã ρ(t) φm ∈ L2−1 (a, b), m = 1, 2, ta thu hệ phương trình tích phân kỳ dị sau:  b  b φm (t)dt  φk (t)  + ℓmk (x − t)dt = −ifm (x), πi a ρ(t)(x − t) (3.47) a ρ(t) k=1    φm (t) ∈ L2−1 (a, b), m = 1, 2; a < x < b ρ Theo ph­¬ng pháp đa thức trực giao [32, 36], nghiệm hệ (3.47) tìm dạng m (t) = (m) Aj Tj [η(t)], (m = 1, 2), (3.48) j=1 (m) Aj số chưa biết, t×m cho (m) {Aj } ∈ ℓ2 , m = 1, Nghiệm gần hệ phương trình tích phân (3.47) tìm dạng N (m) m,N (t) = Aj Tj [η(t)] j=1 Khi ®ã, sư dơng tính trực giao đa thức ||vm vm,N ||2 Lρ = ||φm (t) − φm,N (t)||2 2−1 Lρ Tj [η(t)], ta cã π = ∞ j=N +1 (m) |Aj |2 , m = 1, Trong Mục 2.1.5 đà đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ vô hạn phương trình đại số tuyÕn tÝnh ∞ −(b − a)π (m) An+1 + 4i j=1 (k) (mk) Aj Cnj (m) = Fn , (m = 1, 2), (n = 0, 1, 2, ), k=1 (3.49) ®ã (mk) Cnj (m) Fn b b ρ(x)Un [η(x)] = a a Tj [η(t)] ℓmk (x − t)dt dx, ρ(t) (3.50) b = −i ρ(x)Un [η(x)]fm (x)dx, (m = 1, 2), (n = 0, 1, 2, ) a (3.51) Theo c¸ch ký hiƯu Môc 2.1.5 ta cã X2n−1 = A(1) , X2n = A(2) , (n = 1, 2, 3, ), n n 4i 4i (1) (2) E2n+1 = − Fn , E2n+2 = − Fn , (n = 0, 1, 2, ), (b − a)π (b − a)π 4i 4i (11) (12) C2n−1,2j+1 = − Cnj , C2n,2j+1 = − Cnj , (b − a)π (b − a)π 4i 4i (21) (22) C2n−1,2j+2 = − Cnj , C2n,2j+2 = − Cnj (b − a)π (b − a) (3.52) (3.53) (3.54) (3.55) Khi hệ phương trình (3.49) viết dạng Xj + Cj,n Xn = Ej (j = 1, 2, ) (3.56) n=1 Theo (3.52), ta cã vm,N ||2 ρ ||vm − ®ã C = ||φm (t) − φm,N (t)||2−1 ρ ≤C ∞ j=N +1 |Xj |2 , (3.57) lµ h»ng số dương Theo (3.53)-(3.55) ta có j=N +1 V× ∞ |Xj | ≤ 2C {Xn } ∈ ℓ2 j=N +1 ∞ |Ej | + ∞ j=N +1 n=1 |Cj,n | ∞ n=1 |Xn |2 (3.58) nên từ (3.58) ta có đánh giá j=N +1 |Xj | ≤ C ∞ ∗ j=N +1 |Ej | + ∞ ∞ j=N +1 n=1 |Cj,n |2 (3.59) Theo đánh giá (2.38) Bổ ®Ò 2.2 ta cã: |Cj,n | ≤ L , j n2 Ngoài ra, theo Bổ đề 2.3, hàm đoạn j 2, n fm (x) có đạo hàm (3.60) (k) fm (x) liên tục [a, b] có đánh giá |Ej | ≤ L (j = 1, 2, ) jk (3.61) Sử dụng bất đẳng thức j=n < js n dt 1 = s−1 , s > 1, ts n s−1 tõ (3.59)-(3.61) ta cã ®¸nh gi¸ ∞ j=N +1 |Xj |2 ≤ C N 2k1 (3.62) Từ kết trên, hệ phương trình tích phân kỳ dị (3.46) ta có mệnh đề sau tốc độ hội tụ: Mệnh đề 3.3 đoạn [a, b] (k) Nếu hàm fm(x) có đạo hàm fm (x) liên tục đến cấp k trªn ||vm − vm,N ||2 = ||φm (t) − φm,N (t)||2 2−1 = O Lρ L ρ • KÕt luËn Ch­¬ng N 2k−1 , m = 1, Thực việc giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân Fourier gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà Mục 2.1 với bước sau đây: - Đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị dạng không thứ nguyên - Thực giải gần hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính đà "chặt cụt" ®Õn N = vµ N = 7, sau ®ã tìm nghiệm gần hệ phương trình tích phân kỳ dị - Trình bày đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm gần đến nghiệm xác hệ phương trình tích phân kỳ dị tương ứng với hệ phương trình cặp Kết luận đề nghị Kết chủ yếu Xây dựng số không gian Sobolev vect¬ Hs (Ω) s s Hs (R), H◦ (), H, (), mô tả không gian đối ngẫu chúng Nghiên cứu toán tử (Au)(x) := F −1 [A(ξ)u(ξ)](x) víi c¸c líp cđa biĨu tr­ng: Σα (R), (R), (R) Thiết lập tính giải hệ phương trình cặp tích + giả vi phân vectơ phân Fourier tổng quát có dạng: pF [A()u()](x) = f (x), x ∈ Ω, p′ F −1 [u(ξ)](x) = g(x), x ∈ Ω′ := R \ Ω Chøng minh tồn nghiệm hệ phương trình cặp tích phân trường hợp ma trận A() (R) trường hợp ma trận A() (R) + không gian Sobolev vectơ thích hợp hàm suy rộng Nghiên cứu số lớp hệ phương trình cặp tích phân mà dẫn dắt tới toán biên hỗn hợp phương trình điều hoà phương trình song điều hoà miền hình dải: hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng cấp một, hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng giảm cấp một, hệ phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng-giảm cấp Các bước nghiên cứu cho toán gồm: thiết lập tính giải hệ phương trình cặp tích phân, sau đưa hệ phương trình cặp tích phân hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy nhân logarithm, cuối đưa hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy nhân logarithm hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính đánh giá hệ số hệ phương trình đó, chứng minh hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính có nghiệm không gian 132 chứng minh hệ hệ tựa hoàn toàn qui Giải gần hệ phương trình tích phân kỳ dị hệ phương trình cặp tích phân gặp toán biên hỗn hợp thứ phương trình điều hoà Mục 2.1 Đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm xấp xỉ Những vấn đề mở Nghiên cứu tính giải hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi khác biÕn ®ỉi Hankel, biÕn ®ỉi Mellin, Danh mục công trình tác giả đà công bố liên quan đến luận án Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan (2009), ''On a system of dual integral equations involving Fourier Transforms'', nghệ, Đại học Thái Nguyên, Tạp chí Khoa học Công 54 (6), pp 107-112 Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan (2010), ''Solvability of a system of dual integral equations involving Fourier Transforms'', Mathematics, Nguyen Vietnam Journal of 38 (4), pp 467-483 Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan (2011), of dual integral equations involving Fourier transforms'', ''On some systems Algebraic Structures in Partial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp selected lectures of the 17th International 225-248, (Based on the Conference Dimensional Complex Analysis and Applications, on Finite and Ho Chi Minh City, Infinite August 1-3, 2009) Nguyen Van Ngoc and Nguyen Thi Ngan (2011), ''Solvability of a system of dual integral equations of a mixed boundary value problem for the biharmonic equation in a strip'', Acta Mathematica Vietnamica, 134 36 (2), pp 375-396 Tài liệu tham khảo [1] Aleksandrov V M (2003), ''Asymptotic Methods Applied to Contact Prob- lems'', [2] International Applied Mechanics, Legendre functions and Special Functions, in distributional spaces'', Journal of Inequalities , pp 53-60 Brychkov U A and Prudnikov A P (1977), formations, [4] (8), pp 912-920 Banerji P K and Deshna Looneker (2010), ''Dual integral equations involv ing [3] 39 Generalized integral trans- Nauka, Moscow Cakoni F., Hsiao G C and Wendland W L (2005), ''On boundary integral equation method for a mixed boundary value problem of the biharmonic equation'', [5] Complex Variales and Elliptic Equations, Ciaurri O'., ''Solving Gaidalupe Jose' J., dual integral 50 (7), pp 681-696 Pere'z Mario and Varona Juan L (2000), equations on Lebesgue spaces'', Studia Math 142 (2), pp 253-267 [6] Duduchava R (1979), Integral Equations with Fixed Singularites, Teubner Verlagsgesellscohaft, Leipzig [7] Delfino F., Procopio R and Rossi M (2009), ''A new method for the so- lution of convolution-type dual integral equation systems occurring in en- gineering electromagnetics'', [8] Eskin G I (1973), tial Equations, J Eng Math, Volume 63 N1, pp 51-59 Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodifferen- Nauka, Moscow, (in Russian) 135 [9] Estrada R and Kawal R P (1985), Distributional solution of dual inte- , Journal of Integral gral equations of Cauchy, Abel and Titchmarsh type Equations, 9(3), pp 277-305 [10] Fuqian Yang and Rong Yao (1996), ''The solution for mixed boundary value problems of two-dimension potential theory'', , 27(3), pp 313-322 [11] Gahov F D and Cherskii Ju I (1978), , (in Russian) [12] Gohberg I C and Fel'man I A (1971), , Nauka, Moscow, (Russian) [13] Gradshteyn I S and Ryzhik I M (1965), Academic Press, New York [14] Kantorovich L V., Krylov Yu A (1962), , Fizmatgiz, Moscow, (in Russian) [15] Kelman Robert B (1981), ''Convergence of solutions of the classic dual cosine equation'', Volume Issue 3, pp 217-225 [16] Krylov V I (2006), Dover Publication INC [17] Mandal B N (1998), , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton [18] Manam S R (2007), ''On the solution of dual integral equations'', Volume 20 Issue 4, pp 391-395 [19] Mittra R and Lee S W (1971), MacMillan, New York Indian J pure appl Math Equations of Convolution Type - Moscow: Nauka Convolution Equations and Pro- jection Methods for Their Solution Tables of Integrals, Series and Products, Approximate Methods in Higher Analysis Applied Mathematics and Computation, Approximate Calculation of Integrals, Advances in Dual Integral Equations Applied Mathematics Letters, Analytical Techniques in the Theory of Guided Waves, [20] McBride Adam C (1982) , ''A distributional approach to dual integral equa- tions of Titchmarsh (Ober Wolfach), [21] pp 159-182 Volume Problems aux limites non homogenes et , Dunod- Pris Nguyen Van Ngoc (1983), ''Some problems of the theory of paired series equations'', [23] Dynamical problems in mathemtical physics Lions J L., Magenes E (1968), applications, [22] type'', Ukrainskii mathematicheskii Zhurnal , 35 (5), pp 641-644 Nguyen Van Ngok and Popov G Ya (1986) , ''Dual integral equations as- sociated with Fourier transforms'', Ukrainskii mathematicheskii Zhurnal, 38 (2), pp 188-195 (in Russian) [24] Nguyen Van Ngoc (1988), ''On the solvability of dual integral equations involving Fourier Transforms'', [25] Nguyen Van Ngoc (2005), Acta Math Vietnamica, ''The involving Hankel transform'', [27] 13 (2), pp 21-30 Nguyen Van Ngoc (1993), ''The solution of a class of dual equations in- volving Hankel transform'', [26] Acta Math Vietnamica, Nguyen Van Ngoc (2007), solution of one 18 (2), pp 251-263 class Acta Math Vietnamica, ''Pseudo-differential of dual equations 30 (1), pp 95-102 operators related to or- thonormal expantions of generalized functions and application to dual se- ries equations'', [28] Nguyen Van transforms Acta Math Vietnamica, Ngoc with (2009), increasing '' Dual 32 (1), pp 1-14 integral symbols'', equations involving Acta Math Vietnamica, Fourier 34 (3), pp 305-318 [29] Nguyen Van Ngoc (2011), ''Vector-Pseudodifferential operators Related to Orthogonal Expantions of Generalized Functions and Application to Dual Series Equations'', [30] Vietnam Journal of mathematics, 39 (4), pp 443-464 Nguyen Van Ngoc and Ha Tien Ngoan (2011), ''Pseudo-diferential opertors related to Hankel transforms and application to dual integral equations'', Algebraic Structures in Partial Differential Equations RElated to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp 287-309, ( Based on the selected lectures of the 17th International Conference on Finite and Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, Ho Chi Minh City, August 1-3, 2009), Ho Chi Minh City [31] Noble B (1958), Methods based on the Wiener-Hopf Technique for the , Pegamon Press, New York Solution of Partial Differential Equations [32] Noreddin M M and Tikhonenko N Ya (1991), ''On convergence of the method of orthogonal polynomials of the approximate solution of the second order second order integral equations with P-kernels'', Mathemtical Juornal, Volume Ucrainian 43 N 2, pp 223-229 [33] Poletaev G S (1991), ''Dual equations of convolution type with kernels from different Banch algebras'', Ukrainian Mathematical Fournal, Volume 43, Number 6, pp 751-760 [34] Poletaev G S (2001), Some results about pairs of equations in rings with , Progress in analysis, Vol I, II, Berlin, pp 851-855 factorization pairs [35] Poletaev G S (2002), ''Reconstruction of a paired integral operator of convolution type'', , Ukrain Math Zh 54, N8, pp 1077-1088 [36] Popov G Ia (1969), ''On the method of orthogonal polynomials in contact problems of elasticity'', [37] Popov G Ia (1982), PMM, Volume 33 N 3, pp 518-531 , Contact Problems for a Linearly Deformed Base Vishcha Shkola, Kiev (in Russian) [38] Takeshi Kiyono and Masaaki Shimasaki (1971), "On solution of Laplace's equation by certain dual series equations", pp 245-257 SIAM J Appl Math., 21(2), [39] Travkin Yu I (1977), "Solution of mixed elasticity theory problems in terms of dual trigonometric series", Prikladnaya Meckhanika, 13(6), pp 27-37 [40] Sneddon I S (1966), Mixed boundary value problems in potential theory, North Holland Publ, Amsterdam [41] Sneddon I S and Lowengrub M (1969), matical Theory of Elasticity Crack Problems in the Mathe- , Johoh WiYory and Sons, New York [42] Srivastav R V., Parihar K S (1968), ''Some dual integral equations a distributional approach'', , SIAM J Appl Math 16, N 1, pp 126-133 [43] Ufliand Ia S (1967), Method of integral transformations in theory of elasticity, Leningrad, Nauka, (in Russian) [44] Ufliand Ia S (1977), matical Physics, Method of Dual Equations in Problems of Mathe- Leningrad, Nauka, (in Russian) [45] Vladimirov V S (1979), , Generalized Functions in Mathematical Physics Moscow, Mir (in Russian) [46] Volevich L R and Panekh B P (1965), ''Some spaces of generalized functions and imbedding theorems'', , Uspekhii Math Nauk 20(1), pp 3-74 (in Russian) [47] Walton J R (1975), ''A Distributional Approach to Dual Integral Equations of Titchmarsh type'', [48] Zemanian A H (1968), science, New York SIAM J Math Anal., 6, pp 628-643 Generalized Transformations Integral , Inter- ... tức hệ phương trình cặp tương ứng với hệ phương trình cặp (1.34) có nghiệm tầm thường Từ suy hệ phương trình cặp (1.34) có nhiều nghiệm Định lý chứng minh 1.6.2 Định lý tồn Bổ đề 1.1 Hệ phương trình. .. đưa hệ phương trình cặp tích phân (2.54) hệ phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy (Mục 2.2.4) Mục 2.2.5 trình bày biến đổi hệ vô hạn phương trình đại số tuyến tính Chứng minh hệ phương trình. .. trận xác định dương Xét ứng dụng lý thuyết hệ phương trình cặp tích phân Fourier tổng quát vào nghiên cứu số lớp hệ phương trình cặp xuất giải số toán biên hỗn hợp cho phương trình điều hoà song