Mục đích của luận án nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trình vi phân và điều khiển có trễ bằng phương pháp hàm Lyapunov. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo luận án.
Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học s phạm hà nội Lê văn tính ổn định số lớp hệ phơng trình vi phân điều khiển Chuyên ngành: Phơng trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 05 Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học Hà nội 2010 Cụng trỡnh hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học TS Trịnh Tuấn Anh, Trường ĐH Sư phạm Hà Nội Phản biện 1: GS.TSKH Đinh Nho Hào, Viện Toán học Phản biện 2: GS.TS Nguyễn Hữu Dư, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội Phản biện 3: TS Trần Xuân Tiếp, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào hồi 30 phút ngày 21 tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội DANH MỤC CƠNG TRÌNH SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN Le Van Hien (2005), A note on the asymptotic stability of fuzzy differential equations, Ukrainian Mathematical Journal, 57(7), pp 904 − 911 Le V Hien and Vu N Phat (2009), Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-delay systems, Journal of The Franklin Institute, 346, pp 611− 625 L.V Hien and V.N Phat (2009), Delay feedback control in exponential stabilization of linear time-varying systems with input delay, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 26, pp 163 − 177 Vu N Phat and Le V Hien (2009), An application of Razumikhin theorem to exponential stability for linear non-autonomous systems with time-varying delay, Applied Mathematics Letters, 22, pp 1412− 1417 L.V Hien, Q.P Ha and V.N Phat (2009), Stability and stabilization of switched linear dynamic systems with time delay and uncertainties, Applied Mathematics and Computation, 210, pp 223 − 231 Le V Hien and Vu N Phat (2009), Exponential stabilization for a class of hybrid systems with mixed delays in state and control, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 3, pp 259 − 265 Le V Hien and Vu N Phat (2010), Robust stabilization of linear polytopic control systems with mixed delays, Acta Mathematica Vietnamica, 35(3), pp x−x (nhận đăng) Le Van Hien (2009), Exponential stability and stabilization of fuzzy time− varying delay systems, International Journal of Systems Science (nhận đăng) Më đầu Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Lý thuyết ổn định phận quan trọng lý thuyết định tính hệ ph-ơng trình vi phân, có nhiều ứng dụng thực tế kÜ tht Cïng víi sù ph¸t triĨn cđa lý thut điều khiển, đến năm 60 kỉ XX, ng-ời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định hệ điều khiển (th-ờng gọi tính chất ổn định hoá) Từ đến nay, hai tính chất trở thành h-ớng nghiên cứu quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống, lý thuyết lÉn øng dơng, thu hót sù quan t©m cđa nhiỊu nhà toán học n-ớc nh- J Hale, V Kolmanovskii, T Yoshizawa, V Kharitonov, Vò Tn, Ngun ThÕ Hoàn, Nguyễn Khoa Sơn, Phạm Kỳ Anh, Vũ Ngọc Phát, Nguyễn Đình Công, Nguyễn Hữu D-, Hầu hết trình thực tiễn kĩ thuật th-ờng liên quan ®Õn ®é trƠ thêi gian nªn líp hƯ cã trƠ thu hút đ-ợc nhiều quan tâm nghiên cứu vài thập kỉ gần Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển có trễ ph-ơng pháp hàm Lyapunov Đối t-ợng phạm vi nghiên cứu Trong luận án nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển sau: Bằng ph-ơng pháp hàm Lyapunov, chứng minh đ-ợc số tiêu chuẩn ổn định cho lớp ph-ơng trình vi phân mờ dạng tổng quát x(t) = f(t, x(t)) Đồng thời thiết lập đ-ợc điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) cho tính ổn định ổn định hóa mũ cđa líp hƯ mê Takagi-Sugeno cã trƠ biÕn thiªn: r x(t) ˙ = i=1 λi (ξ(t)) Ai x(t) + Di x(t − d(t)) + Bi u(t) B»ng c¸ch më rộng hàm Lyapunov-Krasovskii kiểu Kharitonov, kết hợp với kĩ thuật biến đổi mô hình công thức Newton-Leibniz, thiết lập đ-ợc điều kiện dạng LMIs cho tính ổn định ổn định hóa mũ cho lớp hệ tuyến tính không chắn, có trễ biến thiên: x(t) ˙ = [A0 + ∆A0 (t)]x(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − d(t)) + [B + ∆B(t)]u(t) §iỊu kiƯn cđa không yêu cầu tính ổn định ma trận A0 , đồng thời, sử dụng đ-ợc ma trận A1 số hạng trễ vào đánh giá tính ổn định hệ Kết hợp cách tiếp cận định lí Razumikhin với kĩ thuật biến đổi mô hình công thức Newton-Leibniz tìm đ-ợc điều kiện ổn định mũ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên dạng: x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t h(t)) bỏ đ-ợc giả thiết hạn chế tính khả vi hàm trễ điều kiện Bằng cách xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii cách tiếp cận ph-ơng trình vi phân Riccati ma trận, đ-a tiêu chuẩn ổn định hóa mũ lớp hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ điều khiển: x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t − h) C¸c kết mở rộng tiêu chuẩn Chen Zheng (2006), Yue (2004), Yue vµ Han (2005), Zhang vµ cộng (2007) Sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số, thiết lập đ-ợc điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận cho tính ổn định hoá mũ lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiĨn d¹ng: t x(t) ˙ = A0 x(t)+A1 x(t−τ )+A2 t x(s)ds+B0 u(t)+B1 u(t−r)+B2 t−τ u(s)ds t−r Trong luËn ¸n này, nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa mũ cho lớp hệ chuyển mạch tuyến tính không chắn trễ biến thiên: x(t) = [A + ∆Aσ (t)]x(t) + [Dσ + ∆Dσ (t)]x(t − h(t)) + [B + B (t)]u(t) lớp hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển: t x(t) = A x(t)+D x(th)+E t x(s)ds+B u(t)+C u(th)+F tr u(s)ds tr Dựa hàm Lyapunov-Krasovskii cải tiến, thiết lập đ-ợc số điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận cho phép thiết kế quy tắc bật dạng hình học cho tính ổn định ổn định hóa mũ lớp hệ chuyển mạch nói Ph-ơng pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng ph-ơng pháp hàm Lyapunov-Krasovskii Bằng cách cải tiến mở rộng cấu trúc hàm Lyapunov-Krasovskii, thiết lập đ-ợc điều kiện cho tính ổn định ổn định hóa lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển nói Kết đạt đ-ợc Kết luận án đ-ợc trình bày ch-ơng 2, 3, đ-ợc công bố báo tạp chí chuyên ngành n-ớc Cấu trúc luận án Luận án gồm ch-ơng, phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố tác giả danh mục tài liệu tham khảo Ch-ơng 1: Một số kiến thức kết bổ trợ Ch-ơng 2: Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển mờ Ch-ơng 3: Tính ổn định ổn định hóa mũ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính có trễ Ch-ơng 4: Tính ổn định ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Ch-ơng Một số kiến thức kết bổ trợ Ch-ơng trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hoá lớp hệ ph-ơng trình vi phân th-ờng, hệ ph-ơng trình vi phân có trễ, ph-ơng trình vi phân mờ số bổ đề bổ trợ 1.1 Bài toán ổn định ổn định hoá 1.1.1 Bài toán ổn định Xét hệ ph-ơng trình vi phân x(t) = f(t, x(t)), t 0, (1.1) Gi¶ thiÕt r»ng víi (t0 , x0 ) R+ ì Rn , hƯ (1.1) cã nghiƯm nhÊt ®i qua ®iĨm (t0 , x0 ) xác định [t0 , +) f(t, 0) Định nghĩa 1.1 Nghiệm không hệ (1.1) đ-ợc gọi ổn định mũ tồn số > 0, N cho mäi nghiƯm x(t; t0 , x0 ) cđa hƯ (1.1) tháa m·n ®iỊu kiƯn x(t; t0 , x0 ) N x0 e−α(t−t0 ) , ∀t t0 CỈp (α, N ) đ-ợc gọi số ổn định mũ Lyapunov 1.1.2 Ph-ơng pháp hàm Lyapunov Định nghĩa 1.2 Hàm V : R+ ì Rn R, V (t, 0) = 0, t 0, khả vi liên tục đ-ợc gäi lµ hµm Lyapunov cđa hƯ (1.1) nÕu: (i) Hµm V (t, x) xác định d-ơng, tức là, V (t, x) a( x ), a ∈ K, (t, x) ∈ R+ ì Rn V V (ii) Đạo hàm, V (t, x(t)) := + f(t, x(t)) 0, víi mäi nghiƯm x(t) cđa (1.1) ∂t ∂x NÕu hµm V (t, x) thoả mãn thêm điều kiện: (iii) b, c K : V (t, x) b( x ), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ; (iv) V˙ (t, x(t)) −c( x(t) ), víi mäi nghiƯm x(t) cđa hƯ (1.1) th× V (t, x) gọi hàm Lyapunov chặt hệ (1.1) Định lí 1.1 Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov hệ ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lí 1.2 Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thoả điều kiện sau (i) , > : λ1 x V (t, x) λ2 x , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (ii) ∃λ3 > : V˙ (t, x(t)) −2λ3 V (t, x(t)) víi mäi nghiƯm x(t) cđa hƯ (1.1) Khi hệ (1.1) ổn định mũ với số ổn định mũ N = 1.1.3 Bài toán ổn định hoá Xét hệ thống điều khiển đ-ợc mô tả hệ ph-ơng trình vi phân x(t) = f t, x(t), u(t) , t (1.4) Định nghĩa 1.3 Hệ điều khiển (1.4) gọi ổn định hóa đ-ợc tồn hàm g : Rn Rm cho hệ ph-ơng trình vi phân (th-ờng gọi hệ đóng) x(t) ˙ = f(t, x(t), g(x(t))), t 0, (1.6) lµ ỉn định tiệm cận Hàm u(t) = g(x(t)) gọi hàm điều khiển ng-ợc 1.2 Bài toán ổn định, ổn định hoá hệ có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ Xét hệ ph-ơng trình vi phân có trễ x(t) ˙ = F (t, xt ), t (1.8) t0 Cho V : R+ ì C R hàm liên tục x(t0 , ) nghiệm (1.8) qua (t0 , ) Đạo hàm V dọc theo nghiệm hệ (1.8) đ-ợc xác định bëi V˙ (t, xt (t0 , φ)) := lim sup V (t + h, xt+h (t0 , φ)) − V (t, xt (t0 , )) h0+ h Định nghÜa 1.4 Cho sè α > HÖ (1.8) gäi -ổn định mũ tồn số N cho mäi nghiƯm x(t, φ) cđa (1.8) tháa m·n ®iỊu kiƯn x(t, φ) N φ e−α(t−t0 ) , t t0 Định lí 1.4 (Lyapunov-Krasovskii Stability Theorem) Giả sử F : R+ ì C Rn biến tập R+ ì B (B tập bị chặn C) thành tập bị chặn Rn u, v, w : R+ R+ hàm liên tục, không giảm, u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > víi mäi s > NÕu tån hàm khả vi liên tục V : R × C → R cho u( φ(0) ) V (t, φ) v( φ ) vµ V˙ (t, φ) −w( (0) ) nghiệm không (1.8) ổn định ®Ịu NÕu w(s) > víi mäi s > nghiệm x = ổn định tiệm cận Hơn nữa, lim u(s) = nghiệm ổn s định tiệm cận toàn cục Định lí 1.5 (Razumikhin Theorem) Giả sử F : R+ ì C Rn biến tập R+ ì B (B tập bị chặn C) thành tập bị chỈn Rn ; u, v, w : R+ → R+ hàm đơn điệu không giảm, u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > víi s > v(s) tăng ngặt Nếu tồn hàm khả vi liên tục V : R+ ì Rn → R cho (i) u( x ) V (t, x) v( x ), ∀x ∈ Rn , t (ii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ) V (t + θ, x(t + θ)) V (t, x(t)), ∀θ ∈ [−h, 0] vµ víi mäi nghiƯm x(t) cđa hệ (1.8) nghiệm không (1.8) ổn định Hơn nữa, w(s) > s > tồn hàm p(s) liên tục, đơn điệu không giảm, p(s) > s với s > cho (iii) V˙ (t, x(t)) −w( x(t) ) V (t+θ, x(t+θ)) p(V (t, x(t))), ∀θ ∈ [−h, 0] nghiệm x = (1.8) ổn định tiệm cận Nếu giả thiết thêm, lim u(s) = s nghiệm ổn định tiệm cận toàn cục 1.2.2 Bài toán ổn định hoá hƯ ®iỊu khiĨn cã trƠ XÐt hƯ ®iỊu khiĨn cã trễ trạng thái x(t) = F (t, xt , u(t)), t 0, x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] (1.9) Định nghĩa 1.5 Hệ điều khiển (1.9) gọi ổn định hóa đ-ợc tồn hàm g : Rn Rm cho hệ ph-ơng trình vi phân đóng (closed-loop system) (1.10) x(t) = F (t, xt , g(x(t))), ổn định tiệm cận Định nghĩa 1.6 Cho sè α > HƯ ®iỊu khiĨn (1.9) gọi -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ tồn hàm g : Rn Rm cho hệ đóng (1.10) -ổn định, tức là, tồn số N cho mäi nghiƯm x(t0 , φ) cđa hệ đóng (1.10) thỏa mãn đánh giá mũ x(t0 , φ)(t) N φ e−α(t−t0 ) , t t0 1.3 Ph-ơng trình vi phân mờ toán ổn định 1.3.1 Ph-ơng trình vi phân mờ Xét toán Cauchy cho ph-ơng trình vi phân mờ sau x(t) = f(t, x(t)), t t0 , x(t0 ) = x0 , (1.11) đó, f : R+ ì E n E n vµ t0 ∈ R+ , x0 ∈ E n Định lí 1.6 Giả sử f C[R+ ì E n , E n ] thỏa điều kiÖn sau (i) ∃a, b ∈ K : d[f(t, x), o] (ii) d f(t, x), f(t, y) a(t) + d[x, o] , ∀(t, x) ∈ R+ × E n , b(t)d[x, y], ∀(t, x), (t, y) ∈ R+ × E n Khi ®ã, víi mäi (t0 , x0 ) R+ ì E n , toán (1.11) có nghiệm xác định [t0 , +) Hơn nữa, nghiệm x(t, t0 , x0 ) liên tục theo điều kiện đầu (t0 , x0 ) 1.3.2 Bài toán ổn định cho ph-ơng trình vi phân mờ Định nghĩa 1.11 Nghiệm x = o (1.11) đ-ợc gọi ổn định mũ toàn cục tồn > hàm (t, h) > 0, đơn điệu tăng theo h 0, cho nghiệm x(t) = x(t; t0 , x0 ) cña (1.11) tháa m·n ®iỊu kiƯn d[x(t), o] β(t0 , d[x0 , o])e−α(t−t0 ) , t t0 NÕu β = β(h) th× nghiệm x = o gọi ổn định mũ toàn cục 1.4 Một số bổ đề bổ trợ Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận) Giả sử S Rnìn ma trận đối xứng xác định d-ơng Khi với ma trận Q Rnìn , x, y ∈ Rn , ta cã QS −1 QT x, x Qy, x − Sy, y Bổ đề 1.2 Giả sử M Rnìn ma trận đối xứng xác định d-ơng Khi với số > với hàm khả tích w : [0, ν] → Rn , ta cã T ν w(s)ds ν M ν w(s)ds w T(s)Mw(s)ds ν 0 T T Bỉ ®Ị 1.3 (Bỉ ®Ị Schur) Gi¶ sư X11 = X11 , X12 , X22 = X22 ma trận với số chiều thích hợp Khi điều kiện sau t-ơng đ-ơng (i) (ii) X11 T X12 X12 0, X11 + X12 X22 X12 < Bæ đề 1.4 Giả sử A, E, F, H ma trận với số chiều thích hợp F tháa m·n ®iỊu kiƯn F T F I Khi đó, với số d-ơng ma trận đối xứng xác định d-ơng P , ta có (i) EF H + H T F T E T EE T + (ii) NÕu I − HP H T > th× (A+EF H)P (A+EF H)T −1 H T H AP AT + EE T +AP H T ( I−HP H T)−1 HP AT (iii) NÕu P − EE T > th× (A + EF H)T P −1 (A + EF E) AT (P − EE T )−1 A + H T H Bổ đề 1.6 (Nguyên lí so sánh) Giả sử g C[R2+ , R] r(t) nghiệm cực đại ph-ơng trình vi phân u(t) ˙ = g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 (1.12) x¸c định [t0 , ) Giả sử m C[R+ , R+ ] tháa m·n D + m(t) g(t, m(t)), t t0 Khi đó, m(t0 ) u0 m(t) r(t), ∀t t0 Bỉ ®Ị 1.7 (Integral Inequality) Giả sử g C[R2+ , R], g(t, ) hàm đơn điệu không giảm r(t) nghiệm cực đại ph-ơng trình (1.12) xác định [t0 , ∞) Gi¶ sư m ∈ C[R+ , R+ ] tháa m·n t m(t) m(t0 ) + g(s, m(s))ds, t t0 Khi đó, m(t0 ) u0 m(t) r(t), t t0 t0 Ch-ơng Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển mờ Ch-ơng trình bày số kết tính ổn định cho lớp ph-ơng trình vi phân mờ dạng tổng quát (mục 2.1) tính ổn định, ổn định hóa cho lớp hệ mờ dạng Takagi-Sugeno có trễ biến thiên (mục 2.2) dựa báo [1, 8] 2.1 Tính ổn định nghiệm ph-ơng trình vi phân mờ Xét toán Cauchy cho ph-ơng trình vi phân mờ x(t) = f(t, x(t)), x(t0 ) = x0 , t (2.1) Giả thiết rằng, với (t0 , x0 ) R+ ì E n , toán (2.1) có nghiệm xác định [t0 , ) f(t, o) = o Định lí 2.1 Giả sử tồn > hàm V LC thỏa mãn điều kiện sau: (i) V (t, o) = 0, ∃a ∈ K : V (t, x) a(d[x, o]), ∀(t, x) ∈ R+ × S(ρ); (ii) ∃g ∈ C[R2+ , R] cho g(t, 0) = vµ g(t, V (t, x)); D + V (t, x) = lim sup V (t + h, x + hf(t, x)) − V (t, x) h→0+ h (iii) NghiÖm u = ph-ơng trình vi phân th-ờng u(t) = g(t, u(t)), t0 ∈ R+ , u(t0 ) = u0 R+ , (2.2) ổn định Khi đó, nghiệm x = o ph-ơng trình (2.1) ổn định Hơn nữa, nghiệm u = (2.2) ổn định tiệm cận nghiệm x = o (2.1) ổn định tiệm cận Hệ 2.1 Giả sử tồn > hàm V LC thỏa mãn điều kiện sau: (i) a K : V (t, x) a(d[x, o]), V (t, o) = 0; (ii) D+ V (t, x) 0, ∀(t, x) R+ ì S() Khi nghiệm x = o ph-ơng trình (2.1) ổn định Định lí 2.2 Giả sử tồn > hàm V LC thỏa điều kiện sau: (i) a, b ∈ K : a(d[x, o]) V (t, x) b(d[x, o]), (t, x) ∈ R+ × S(ρ); (ii) ∃g ∈ C[R2+ , R] : g(t, 0) = 0; D + V (t, x) g(t, V (t, x)), (t, x) ∈ R+ × S(ρ) Khi ®ã, nÕu nghiƯm u = cđa ph-ơng trình (2.2) ổn định (ổn định tiệm cận đều) nghiệm x = o ph-ơng trình (2.1) ổn định (ổn định tiệm cận đều) Hệ 2.2 Với giả thiết (i) định lí 2.2 giả sử tồn hàm (t) liên tục, không âm, := (t)dt < , cho D + V (t, x) λ(t)d[x, o], (t, x) R+ ì S() Khi đó, nghiệm x = o (2.1) ổn định Định lí 2.3 Với giả thiết (i) định lí 2.2 giả sử tồn hàm c(r) liên tục [0, ), c(0) = 0, c(r) > 0, ∀r > cho D + V (t, x) −c(d[x, o]), ∀(t, x) ∈ R+ ì S() Khi đó, nghiệm x = o (2.1) ổn định tiệm cận 10 Tiếp theo, xét toán ổn định hóa hệ 2.8 Hàm điều khiển ng-ợc dựa luật đ-ợc biểu diễn dạng u(t) = ri=1 i (t)Ki x(t) Khi đó, hệ đóng hệ 2.8 đ-ợc cho r r x(t) ˙ = i=1 j=1 Ai + Bi Kj x(t) + Di x(t − d(t)) , t (2.14) Cho > Với P, Q ma trận đối xứng xác định d-ơng Yj c¸c ma trËn thùc, kÝ hiƯu T T Ωij = Ai P + P AT i + Q + Bi Yj + Yj Bi , Ωij Di P Mij = , i, j = 1, 2, , r T P Di (1 à)e2h Q Định lí 2.8 Cho > Hệ (2.8) -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q ma trËn Y1 , Y2 , , Yr thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau: (i) (ii) Mii + 2αN (P ) 0, i = 1, 2, , r, Mij + Mji + 2αN (P ) 0, i, j = 1, 2, , r, i < j (H3) Các ma trận đạt đ-ợc, Kj , đ-ợc cho bëi Kj = Yj P −1 , j = 1, , r Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) cđa hƯ ®ãng (2.14) tháa m·n x(t, φ) ®ã, β1 = λmax (P ) , β2 = β2 φ e−αt , t β1 0, hλmax (Q) + λmin (P ) λmin (P ) VÝ dơ 2.4 XÐt hƯ (2.8) víi r = 2, h = 0.5, λ1 (x(t)) = sin2 (x2 (t)), λ2 (x(t)) = cos2 (x2 (t)) −4 −1 0.1 A1 = , A2 = , D1 = , −5 −5 −1 0 D2 = , B1 = B2 = 0.2 −1 Víi = 1.5, điều kiện định lí 2.8 tháa víi Y1 = Y2 = −10 vµ 0.0204 −0.0444 0.0607 0.0415 P = , Q= −0.0444 0.1479 0.0415 7.8736 Theo định lí 2.8, hệ cho 1.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ Các ma trận đạt ®-ỵc K1 , K2 ®-ỵc cho bëi K1 = K2 = 421.3326 194.1061 nghiệm hệ đóng t-¬ng øng tháa m·n x(t, φ) 122.9 φ e−1.5t , t 11 Ch-ơng Tính ổn định ổn định hoá mũ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính có trễ Ch-ơng trình bày số kết tính ổn định ổn định hoá mũ số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển tuyến tính có trễ dựa báo [2, 3, 4, 7] 3.1 Tiêu chuẩn ổn định ổn định hoá mũ hệ tuyến tính không chắn có trễ biến thiên Xét lớp hệ tuyến tính không chắn có trễ biến thiên d¹ng x(t) ˙ = [A0 + ∆A0 (t)]x(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t − d(t)), t x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], 0, (3.1) ë ®ã ∆A0 (t) = E0 F0 (t)H0 , ∆A1 (t) = E1 F1 (t)H1 đại l-ợng không chắn, thỏa mãn F0T (t)F0 (t) I, F1T (t)F1 (t) I; hµm trƠ d(t) thỏa mãn điều kiện d(t) h, d(t) < 1, t Định lí 3.1 Cho > Hệ (3.1) -ổn định mũ bền vững tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P, P1 , P2 , Q, R số d-¬ng α0 , α1 , , , ρ1 , thỏa bất đẳng thức ma trận tuyÕntÝnh sau X Y Z P 0 Y T −J1 + 2α 0 0 < (H4) T Z −J2 0 T P H0T Q P A0 A0 P P1 − ρ1 E0 E0T > 0, (H5) H P ρ1 I T P H R P AT 1 A1 P P2 − ρ2 E1 E1T > 0, (H6) H1 P ρ2 I ®ã X = (A0 + A1 )P + P (A0 + A1 )T + α0 E0 E0T + α1 E1 E1T +he2αh A1 (P1 + P2 )AT +( Y = P H0T P H1T , Z = h A1 P1 H1T J1 = diag α0 I, α1 I , J2 = he−2αh diag + T )E1 E1 + hQ + τ he2αh R, A1 P2 H1T , 1I − H1 P1 H1T , 2I H1 P2 H1T Hơn nữa, nghiƯm bÊt k× x(t, φ) cđa hƯ tháa m·n Λ2 x(t, φ) φ e−αt , ∀t 0, Λ1 víi τ = (1 − µ)−1 , Λ1 = [λmax (P )]−1 , Λ2 = [λmin (P )]−1 + h2 (λmax (Q) + 3τ e2αh λmax (R))[λmin (P )]−2 12 NhËn xÐt 3.1 Cho ∆A0 (t) = 0, ∆A1 (t) = 0, nhận đ-ợc điều kiện ổn định mũ cho lớp hệ tuyến tính có trễ đ-ợc nghiên cứu Liu (2003), Mondie Kharitonov (2005), Kwon Park (2006) Tuy nhiên, kĩ thuật biến đổi mô hình dựa công thức Newton-Leibniz việc xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii mới, điều kiện có -u điểm hơn, đ-a đ-ợc số hạng trễ vào đánh giá tính chất ổn định nghiệm cđa hƯ Chóng t«i minh häa tÝnh -u viƯt cđa điều kiện định lí 3.1 thông qua số ví dụ báo Liu (2003), Kharitonov (2005), Kwon (2006) VÝ dơ 3.1.XÐt hƯ (3.1) víi d(t) = 0.2 cos2 (2.5t), −4 −2 −1 A0 = −4 , A1 = −1 , −1 1 −6 E0 = E1 = I, H0 = H1 = 0.2I Với ví dụ này, tiêu chuẩn ổn định mũ Liu (2003), Kharitonov (2005) không áp dụng đ-ợc Hơn nữa, dễ thấy ma trận A0 ma trận không ổn định áp dụng định lí 3.1, hệ ổn định mũ với = nghiệm hệ thỏa mãn đánh giá x(t, φ) ≤ 2.3 φ e−t , t ∈ R+ VÝ dơ 3.2 XÐt hƯ tun tÝnh víi trƠ h»ng sè (Liu 2003, Kwon vµ Park 2006) (3.10) x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h) −3 −2 −0.5 0.1 , A1 = 0.3 áp dụng định lí 3.1, so sánh độ trễ h tốc độ mũ đ-ợc cho bảng sau: đó, A0 = Định lí 3.1 Park (2006) Kharitonov (2005) Liu (2003) B¶ng 3.1 0.2 0.4 0.6 0.8 16.2 8.2 6.125 4.1 5.525 2.649 1.765 1.345 5.402 2.325 1.255 0.6001 0.758 0.2809 0.1234 0.0482 So s¸nh ®é trƠ h víi mét sè tèc ®é mò α h 0.8 Kharitonov (2005) 0.7344 Liu (2003) 0.9367 Xu (2006) 0.9366 Định lí 3.1 0.98023 Bảng 3.2 So sánh tốc ®é 1.2 1.6 0.6145 0.5202 0.3400 0.0752 0.8991 0.6990 0.98017 0.98003 mò α víi mét sè ®é trƠ h 0.9 3.5 1.191 0.2522 0.0263 2.0 0.4481 0.0102 0.5494 0.97968 Më rộng định lí 3.1 cho hệ tuyến tính không chắn đa trễ m x(t) = [A0 + A0 (t)]x(t) + [Ak + ∆Ak (t)]x(t − dk (t)), k=1 (3.11) 13 Định lí 3.2 Cho số > Hệ (3.11) -ổn định mũ bền vững tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Pij , Qij số d-ơng i , j , ρij , i = 1, 2, , m, j = 0, 1, , m thỏa bất đẳng thức ma trËn tuyÕn tÝnh sau X Y Z P 0 T Y −J1 + 2α 0 0 < 0, (H7) T 0 Z −J2 T Qij P Aj P HjT Aj P Pij − ρij Ej EjT > 0, (H8) Hj P ρij I m ë ®ã, Si = m m Pij , X = j=0 Ai P + P i=0 m AT i i=0 m m hi e2αhi + T i Ei Ei + Ai Si AT i + i=1 αi Ei EiT + i=0 m hi τj e2αhj Qij , i=1 T ], Y = [P H0T P H1T P Hm Z= j=0 [h1 A1 S1 H1T h2 A2 S2 H2T T hm Am Sm Hm ], J1 = diag α0 I, α1 I, , αm I , J2 = diag h1 e−2αh1 ( I − H1 S1 H1T ), , hm e2hm ( mI Hơn nữa, nghiệm x(t, ) (3.11) thỏa mãn đánh giá x(t, ) đó, i = (1 ài )1 , = [λmin (P )]−1 + Λ3 φ e−αt , t Λ1 T ) − Hm Sm Hm 0, Λ1 = [λmax (P )]−1 , m i=1 m 2αhj λmax (Qij )(hj hi j=0 τj e + 12 h2j ) [min (P )]2 Tiếp theo, xét toán ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính không chắn có trễ biến thiên sau x(t) ˙ = [A0 + ∆A0 (t)]x(t) + [A1 + ∆A1 (t)]x(t d(t)) + [B + B(t)]u(t) (3.12) Định lí 3.3 Cho sè α > HƯ (3.12) lµ α-ỉn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững tồn ma trận khác không S, ma trận đối xứng xác định d-ơng P, P1 , P2 , Q, R số d-ơng , , , , , ρ1 , ρ2 tháa m·n c¸c bất đẳng thức ma trận sau X Y Z P 0 Y T −J1 (H9 + 2α 0 0 < 0, 0 ZT −J2 T T T T T Q P AT + S B P H S H 0 T T 0 A0 P + BS P1 − ρ1 E0 E0 + E2 E2 > 0, (H10) H0 P ρ1 I H2 S 0 ρ1 I R A1 P H1 P P AT P2 − ρ2 E1 E1T 14 P H1T > 0, ρ2 I (H11) ë ®ã, X = (A0 + A1 )P + P (A0 + A1 )T + BS + S T B T + α0 E0 E0T + α1 E1 E1T +α2 E2 E2T + he2αh A1 (P1 + P2 )AT +( 1+ Y = P H0T P H1T S T H2T ; Z = h A1 P1 H1T J1 = diag α0 I, α1 I, α2 I ; J2 = he−2αh diag T )E1 E1 + hQ + τ he2αh R, A1 P2 H1T , T T I −H1 P1 H1 , I −H1 P2 H1 Hàm điều khiển ng-ợc đ-ợc cho u(t) = SP x(t), t R+ Hơn nữa, nghiệm hệ đóng (3.12) thỏa mãn x(t, φ) Λ2 φ e−αt , t ∈ R+ Λ1 Ví dụ 3.3 Xét hệ điều khiển (3.12) với hàm trễ d(t) = 0.2 sin2 (4.5t) ma trận −4 −1 A0 = , A1 = ,B = , E0 = E1 = E2 = , 2 0.2 0.2 , H2 = H0 = H1 = 0 0.2 Theo định lí 3.3, hệ cho 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ với hàm điều khiển u(t) = 15.6193 53.7814 x(t) nghiệm x(t, ) hệ đóng thỏa mãn đánh giá x(t, φ) 211 φ e−0.5t , t ∈ R+ 3.2 Tiêu chuẩn ổn định mũ hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên: Cách tiếp cận định lÝ Razumikhin XÐt líp hƯ tun tÝnh kh«ng dõng víi trễ biến thiên dạng x(t) = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)), x(t) = φ(t), t 0, t ∈ [h, 0], (3.15) A(t), A1(t) Rnìn hàm ma trận liên tục bị chặn [0, +); hàm trễ h(t) hàm liên tục tháa m·n ®iỊu kiƯn h(t) h, t Cho số d-ơng , , Với P BM + [0, +∞), kÝ hiÖu Pβ (t) = P (t) + βI, p = sup P (t) , a = sup A(t)AT(t) , t∈R+ a1 = sup t A1 (t)AT (t) t , µ(A) = sup µ(A(t)), A(t) = A(t) + A1 (t), t T A(t) + 2hβA1 (t)A1 (t) + 2hλ−1 I, A(t) = γ = 2βµ(A) + 2hβ a1 + 2hλ−1 + Định lí 3.4 Hệ (3.15) ổn định mũ tồn số d-ơng , , cho max{a, a1 }, tồn hàm ma trËn P ∈ BM + [0, +∞) tháa m·n 15 ph-ơng trình vi phân Riccati sau P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + 2hP (t)A1 (t)AT (t)P (t) + I = (3.16) Hơn nữa, nghiệm x(t, ) hệ thỏa mãn đánh giá mò p+β φ e−αt , t 0, ë ®ã, α = β 2(p + β) NhËn xÐt 3.2 Tõ chứng minh định lí 3.4 ta thấy, điều kiện RDE (3.16) thay điều kiện \lỏng" hơn: Tån t¹i P ∈ BM + [0, +∞) tháa m·n bất đẳng thức ma trận x(t, ) P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + 2hP (t)A1 (t)AT (t)P (t) + γI XÐt líp hƯ tun tính không chắn với trễ biến thiên x(t) = [A + H∆(t)E]x(t) + [A1 + H∆1 (t)E1 ]x(t − h(t)), t (3.20) HƯ qu¶ 3.1 HƯ (3.20) ổn định mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng X số d-ơng , , i , i = 1, 2, 3, cho λ−1 β max{a, a1 }, I − E1 E1T > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau √ Ω γX XE T XE1T hA1 E1T γX −γI 0 < 0, EX − I 0 (H12) E1 X 0 − 3I √ hE1 AT 0 − I − E1 E1T ë ®ã, A = A + A1 ; γ = 2βµ(A) + 4hβ a1 + 2hλ−1 + Ω = X A + 2hλ−1 I T + A + 2hλ−1 I X + 1; + + 4h HH T + 4hA1 AT Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) cđa hƯ (3.20) tháa m·n x(t, φ) víi N = N φ e−σt , t 0, λ−1 (X) + β , σ= β λ−1 (X) + β VÝ dơ 3.4 XÐt hƯ (3.20) víi h(t) = 0.03 sin t nÕu t ∈ I = k≥0 [2kπ, (2k + 1)π], h(t) = nÕu t ∈ R+ \ I vµ −1 −4 A= , A1 = , H = I, E = 0.2I, E1 = 0 −3 Víi λ = 0.25, β = 4, = 0.1, = = 0.5, = 1.04, điều kiện 0.8355 0.0977 hệ 3.1 đ-ợc thỏa mãn X = Do đó, hệ (3.20) ổn 0.0977 0.9549 định mũ nghiệm x(t, ) hệ thỏa m·n x(t, φ) 1.149 φ e−0.0095t , t 16 3.3 Tiêu chuẩn ổn định hóa mũ hệ tuyến tính không dừng có trễ điều khiển Xét lớp hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ điều khiển x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t − h) x(0) = x0 , u(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], t ∈ R+ , (3.21) đó, A Rnìn , B, B1 Rnìm hàm ma trận liên tục, bị chặn [0, +) Kí hiệu điều kiện đầu hƯ (3.21) bëi ψ = (x0 , φ) vµ ψ = x0 + φ 2 Cho sè > Liên kết với hệ (3.21), xét ph-ơng trình vi phân Riccati (RDE) P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)R(t)P (t) + 2αP (t) + Q = 0, (3.22) B(t)B T (t) − 2b21 I + h2 e2αh A(t)AT(t) , b1 = suptR+ B1 (t) Định lí 3.5 Cho số > Hệ (3.21) -ổn định hóa đ-ợc d¹ng mò nÕu tån t¹i P ∈ BM + [0, ∞), Q ∈ M + tháa m·n RDE (3.22) Khi đó, hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho bëi t T u(t) = − B (t)P (t) x(t) + B1 (θ + h)u(θ)dθ , t 0; t−h u(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0] øng dụng cho toán ổn định hóa bền vững lớp hệ điều khiển tuyến tính không chắn có trễ điều khiển đó, R(t) = (3.26) x(t) ˙ = [A + ∆A(t)]x(t) + [B + ∆B(t)]u(t) + [B1 + ∆B1 (t)]u(t − h) HƯ qu¶ 3.2 Cho số > Hệ (3.26) -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững tồn ma trận Y , ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q số d-ơng , i , i = 1, 2, 3, cho ρI − E1 QE1T > thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau Ω hAQ hAQE1T Ψ hQAT −e−2αh Q 0 < 0, (H13) hE1 QAT −e−2αh (ρI − E1 QE1T ) ΨT 0 −J ë ®ã, Ω = AP +P AT +2αP +(B+B1 )Y +Y T (B+B1 )T +ε1 D1 D1T +ε2 D2 D2T +ε3 D3 D3T , Ψ = [Y T B1T heαh D1 P E1T Y T E2T Y T E3T ], J = diag Q, ρI, 1I, I, 3I Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho t u(t) = Y P −1 x(t) + B1 u(s)ds t−h XÐt hƯ ®iỊu khiĨn cã trƠ (Arstein 1982, Moon 2001, Yue 2004) x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) + B1 u(t − h), t ∈ R+ (3.29) 17 HƯ qu¶ 3.3 Cho số > Hệ (3.29) -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ tồn ma rận Y ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q thỏa mãn bất đẳng thức hAQ Y T B1T hQAT −e−2αh Q (H14) < 0, B1 Y −Q ë ®ã, Ω = AP +P AT +2αP +(B +B1 )Y +Y T (B +B1 )T Hàm điều khiển ng-ợc ổn t định hóa hệ đ-ợc cho công thức u(t) = Y P x(t) + t−h B1 u(s)ds , t ∈ R+ Ví dụ 3.5 Xét hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ điều khiển sau x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t − 1), t ∈ R+ , (3.30) víi, 1 b (t) ; B1 (t) = e−t ; ; B(t) = a1 √ + 4e2 − 4e2 a0 (t) = − ; a1 = ; b0 (t) = + + e2t 2e2 (1 + e2t )2 Các điều kiện ổn định hóa Chen (2006), Zhang (2007) không áp dụng đ-ợc cho lớp hệ không dừng điều kiện họ dẫn đến việc giải hệ vô hạn LMIs dạng [A(t), B(t), B 1(t), P, Q, R] < 0, ∀t Cho ®Õn ch-a có tiêu chuẩn hữu hiệu giải LMIs không dừng + e2t Ta cã, h = vµ b1 = Cho α = 1, ®ã P (t) = BM + [0, ∞), Q = ∈ M + thỏa mãn RDE (3.22) Theo định lí 3.5, hệ (3.30) ổn định hóa đ-ợc dạng mũ với tốc độ mũ = Hàm điều khiển ng-ợc cho bëi b (t)(1 + e−2t ) u(t) = − z(t), t 0 √ Ta cã p = 2, λmin (Q) = 2, µ(A) = a1 , b = + 4e2 , a2 = 4, λ0 = 0.0579, λ1 = 4.3996, λ2 = 97.3941 vµ N = 176.0696 Theo định lí 3.5, nghiệm x(t, ψ) cđa hƯ ®ãng tháa m·n x(t, ψ) 176.1 ψ e−t , t VÝ dơ 3.6 XÐt hƯ ®iỊu khiĨn cã trƠ (Chen 2006, Moon 2001, Yue vµ Han 2005) A(t) = a0 (t) −1 x(t) ˙ = (A + γI)x(t) + B1 u(t − 0.4), (3.31) 0 ; B1 = −5 Cho γ = vµ α = 0.5, hƯ (3.31) lµ 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ u(t) = 339.6500 0.0402 z(t), t Với ví dụ này, giá trị lớn γmax cđa Chen (2006) lµ γmax = 1.412; Yue vµ Han (2005) max = 0.5998 hệ 3.2 lµ γmax = 2.4998 víi A = 18 VÝ dơ 3.7 Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ ®iỊu khiĨn (Chen 2006, Moon 2001, Yue 2004, Yue vµ Han 2005): (3.32) x(t) ˙ = (A + ∆A)x(t) + B1 u(t − 0.2), 0 ; ∆A = , |q| γ, B1 = q 1.25 Bảng d-ới cho giá trị max hệ (3.32) ổn định hóa đ-ợc với A = Ph-ơng pháp D Yue Yue Han Chen Zheng Moon Hệ 3.2 Năm 2004 2005 2006 2001 2009 Giá trị max 3.0323 9.8615 10.8485 11.6895 35.3187 3.4 Tiêu chuẩn ổn định hóa mũ hệ tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiĨn XÐt líp hƯ tun tÝnh ®a diƯn cã trƠ hỗn hợp trạng thái điều khiển dạng t x(t) ˙ = A0 x(t)+A1 x(t−τ )+A2 t x(s)ds+B0 u(t)+B1 u(tr)+B2 t u(s)ds, tr (3.33) đó, ma trận Ak , Bk , k = 0, 1, 2, lµ ma trận ch-a biết nh-ng thuộc tổ hợp lồi p Ω= Ak (ξ), Bk (ξ) = i=1 p ξi [Aki , Bki ], k = 0, 1, 2, ξi ≥ 0, ξi = , i=1 ®ã Akj , Bkj ma trận cho tr-ớc Cho số α > Víi Pi , Qi , Ri ∈ Rnìn ma trận đối xứng xác định d-ơng, S Rnìn ma trận đối xứng nửa xác định d-ơng Yi Rmìn , i = 1, 2, , p, ma trận bất kì, đặt p P = p i Pi , Q = i=1 p ξi Qi , R = i=1 T T Gij = B0i Yj + Yj B0i + e2αr Γij = A0i Pj + Pj AT 0i + Gij + i=1 T B1i B1j p ξi Ri , Y = ξi Yi , i=1 T rB2i B2j + , Qj + τ Rj , Hij = A1i Pj A2i Pj −2ατ e Rj , µIm , µ = (1 + r)−1 , τ Γij Hij , S = S , N (Pj ) = Pj Mi (Pj , Qj , Rj , Yj ) = 0 T Hij −Dj λmin (P ) = {λmin (Pi )}, λmax (P ) = max {λmax (Pi )}, YjT , Dj = diag e−2ατ Qj , i=1,2, ,p i=1,2, ,p , 19 λmax (Q) = max {λmax (Qi )}, λmax (R) = i=1,2, ,p λmax (Y T Y ) = max {λmax (Ri )}, i=1,2, ,p max {λmax (YiT Yi )}, α1 = , λmax (P ) τ λmax (Q) + 12 τ λmax (R) + + 12 r λmax (Y T Y ) + α2 = (P ) [min (P )]2 i=1,2, ,p Định lÝ 3.6 Cho sè α > HƯ (3.33) lµ -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững tồn ma trận Yi , i = 1, 2, , p; tồn ma trận đối xứng nửa xác định d-ơng S ma trận đối xứng xác định d-ơng Pi , Qi , Ri , i = 1, 2, , p, thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau (i) Mi (Pi , Qi , Ri , Yi ) + 2αN (Pi ) < −S, (ii) Mi (Pj , Qj , Rj , Yj ) + Mj (Pi , Qi , Ri , Yi ) + 2αN (Pi + Pj ) < i = 1, , p − 1, j = i + 1, , p Hơn nữa, nghiệm x(t, ) hệ đóng t-ơng ứng thỏa mãn x(t, ) (H15) i = 1, 2, , p, α2 φ e−αt , t α1 S,(H16) p−1 VÝ dô 3.8 Xét hệ điều khiển đa diện có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển (3.33) với p = 3, τ = 1, r = vµ A01 = −10 −9 −8 −2 , A02 = , A03 = , A11 = , −10 −15 −12 A12 = A23 = −1 1 , A13 = , A21 = , A22 = −4 −1 1 , −4 1 0 , B01 = , B02 = , B03 = , B11 = , B12 = , 0 0 B13 = , B21 = , B22 = , B23 = 1 Theo tiªu chuÈn hạng Kalman, cặp (A 0i, B0i ) (A0i +A1i , B0i ) không điều khiển đ-ợc Tuy nhiên, với = 0.5, điều kiện (H15), (H16) đ-ợc nghiệm hệ 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho công thức u(t) = Y P −1 x(t) = (ξ1 Y1 + ξ2 Y2 + ξ3 Y3 ) × (ξ1 P1 + ξ2 P2 + ξ3 P3 )−1 x(t) z1 p3 − z2 p2 z2 p1 − z1 p2 x(t), = p1 p3 − p22 ®ã z1 = −0.3847ξ1 − 1.1660ξ2 − 0.4223ξ3 , z2 = −0.1106ξ1 + 0.1127ξ2 − 0.1062ξ3 , p1 = 13.4444ξ1 + 4.7545ξ2 + 9.0987ξ3 , p2 = −0.1241ξ1 + 1.3464ξ2 − 0.0313ξ3 , 20 p3 = 8.4191ξ1 + 14.0144ξ2 + 2.66043 Hơn nữa, số ổn định mò N = = 15.8316 vµ mäi nghiƯm x(t, φ) cđa α1 hƯ ®ãng tháa m·n x(t, φ) 15.8316 φ e0.5t , t Ch-ơng Tính ổn định ổn định hoá hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Ch-ơng trình bày số kết tính ổn định ổn định hóa mũ mét sè líp hƯ chun m¹ch tun tÝnh cã trƠ dựa báo [5, 6] 4.1 Tính ổn định ổn định hoá mũ hệ chuyển mạch tuyến tính không chắn có trễ biến thiên Xét lớp hệ chuyển mạch tuyến tính không chắn có trễ biến thiên dạng x(t) = A + ∆Aσ (t) x(t) + Dσ + ∆Dσ (t) x(t − h(t)), t ∈ R+ , x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], (4.1) ë ®ã σ : Rn → I := {1, 2, , N } lµ quy tắc bật, đại l-ợng không chắn Ai (t), ∆Di (t) tháa m·n ∆Ai (t) = E0i F0i (t)H0i ; ∆Di (t) = E1i F1i (t)H1i , hµm ˙ trÔ h(t) tháa m·n ≤ h(t) ≤ h, h(t) < 1, t Định nghĩa 4.1 (Ulig 1979) HƯ ma trËn {Li }, Li ∈ Rn×n , i = 1, 2, , N, gọi đầy đủ chặt với x Rn \{0}, tån t¹i i ∈ {1, 2, , N } cho xT Li x < Cho số > 0, h, P ma trận đối xứng xác định d-ơng Đặt τ = (1 − µ)−1 , η = τ e2αh + 2α, α1 = λmin (P ), N N λmax (DiTP Di ) α2 = λmax (P ) + h i=1 T λmax (H1i H1i ) , +τ i=1 N Si = T E0i E0i 2αh +e T E1i E1i ,Q N DiT P Di , R = i=1 AT iP T H1i H1i ; = i=1 T H0i H0i Li (P) = + P Ai + + P Si P + Q + R + P Định lí 4.1 Cho sè α > HƯ (4.1) lµ α-ỉn định mũ tồn ma trận P đối xứng xác định d-ơng cho hệ ma trận {Li (P)}, i = 1, 2, , N lµ hệ đầy đủ chặt Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) cđa hƯ tháa m·n x(t, φ) ≤ α2 φ e−αt , t α1 21 VÝ dô 4.1 Xét hệ chuyển mạch (4.1) với N = 2, hàm trƠ h(t) = 0.5 sin2 t vµ A1 , D1 = −20 −4 1 −1 , −1 E0i = E1i = , A2 , D2 = −1 −1 , −30 −4 0.2 , H0i = H1i = 0.2 , 3.3922 −1.5840 −1.5840 1.8170 Quy t¾c bật đ-ợc xác định (x(t)) = i x(t) ∈ Ωi (P ), i = 1, Khi ®ã mäi nghiƯm x(t, φ) cđa hƯ (4.1) tháa m·n x(t, φ) ≤ 5.2885 φ e−t , t HƯ qu¶ 4.1 Cho sè α > HƯ tun tÝnh kh«ng chắn có trễ Với = 0.5L1 (P)+0.5L2 (P) < −0.5I, ë ®ã, P = x(t) ˙ = [A + ∆A(t)]x(t) + [D + ∆D(t)]x(t − h(t)), t (4.4) 0, -ổn định mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P thỏa mãn AT P + P A + D T P D + P SP + ηP + M < 0, (H17) ë ®ã, S = E0 E0T + e2αh E1 E1T , M = H0T H0 + τ H1T H1 , = + e2h Hơn nữa, nghiệm bÊt k× cđa hƯ (4.4) tháa m·n α2 x(t, φ) ≤ φ e−αt , t 0, α1 víi α1 = λmin (P ), α2 = λmax (P ) + h λmax (D T P D) + τ λmax (H1T H1 ) −4 0.1 ,D = , ∆A 0.2, −4 0.1 ∆D 0.2 vµ h = 0.5 áp dụng hệ 4.1, hệ ổn định mũ với = 0.9539 nghiệm hệ tháa m·n x(t, φ) 5.9053 φ e−0.9539t , t Với ví dụ này, tốc độ mũ giới hạn Kharitonov (2005) lµ 0.476 vµ cđa Niculescu vµ céng sù (1998) 0.095 Xét lớp hệ điều khiển chuyển mạch tun tÝnh cã trƠ biÕn thiªn VÝ dơ 4.2 XÐt hƯ (4.4) víi A = x(t) ˙ = Aσ (t)x(t) + Dσ (t)x(t − h(t)) + Bσ (t)u(t), t ∈ R+ , (4.6) ®ã, Aσ (t) = Aσ + ∆Aσ (t), Dσ (t) = Dσ + ∆Dσ (t), Bσ (t) = Bσ + ∆Bσ (t) Víi P lµ ma trận đối xứng xác định d-ơng, kí hiệu N N DiT P Di , Q= i=1 T T T T H1i H1i , Si = E0i E0i + E2i E2i + e2αh E1i E1i ; R= i=1 T T T T Li (P) = AT i P + P Ai − P Bi Bi P + H0i H0i + P Bi H2i H2i Bi P +P Si P + Q + τ R + ηP, i ∈ I 22 Định lí 4.2 Cho số > Hệ (4.6) -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P thỏa mãn điều kiện sau (i) Hệ ma trận {Li (P)} hệ đầy đủ chặt; N (ii) Tồn số i với N i=1 ξi > cho ξi Li (P) < 0(H18) i=1 Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho u(t) = BT P x(t), t 4.2 Tính ổn định ổn định hoá mũ hệ chuyển mạch tuyến tính trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển Xét lớp hệ chuyển mạch tuyến tính trễ hỗn hợp dạng t x(t) ˙ = Aσ x(t) + Dσ x(t − h) + Eσ x(s)ds, t 0, (4.7) t−r x(t) = φ(t), t ∈ [−τ, 0], τ = max{h, r} Cho sè α > Víi P, Q, S, M lµ ma trận đối xứng xác định d-ơng, đặt Li = AT i P + P Ai + 2αP + Q + rS + M, Ωi = {x ∈ Rn : xT Li x < 0}, i ∈ I, i−1 Ω1 = Ω1 , Ωi = Ωi \ j=1 Ωj , i = 2, 3, , N §Þnh lÝ 4.3 Cho sè α > HƯ (4.7) -ổn định mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q, S, M thỏa mãn điều kiện sau (i) Hệ ma trận {Li } hệ đầy đủ chặt; M P Di P Ei −2αh T Q > 0, i ∈ I (H19) (ii) Di P e −2αr T Ei P e S r Quy tắc bật đ-ợc xác định (x(t)) = i x(t) i Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) cña (4.7) tháa m·n α2 φ e−αt , t α1 x(t, φ) 0, ë ®ã, α1 = λmin (P ), α2 = λmax (P ) + hλmax (Q) + r λmax (S) XÐt hƯ chun m¹ch tuyến tính có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển t x(t) = A x(t)+D x(t )+Eσ t x(s)ds+Bσ u(t)+Cσ u(t−r)+Fσ t−τ u(s)ds t−r (4.10) Cho > 0, P, Q, R, M ma trận đối xứng xác định d-ơng, Yi , i I, ma trận bất kì, kí hiệu 23 Li = Ai P + P AT i + 2αP + Gi + Q + τ R + M, Gi = Bi Yi + YiT BiT + e2αr Ci CiT + Fi FiT , Ωi = x ∈ Rn : xT Li x < , Si = P x : x ∈ Ωi , S1 = S1 , Si = Si \ i−1 j=1 Sj , i = 2, 3, , N, Ei P , H = diag e−2ατ Q, e−2ατ R ; Ui = Di P α1 = λ−1 max (P ), λmax (Y ) = max i=1,2, ,m λmax (YiT Yi ), µ = + r2 , 3 α2 = λ−1 λmax (Y ) λ−2 (P ) + τ λmax (Q) + τ λmax (R) + r + r (P ) 2 Định lí 4.4 Cho số > Hệ (4.10) -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ tồn ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q, R, M; tồn ma trận Yi , i I N c¸c sè τi 0, i ∈ I cho i=1 i > thỏa mãn bất đẳng thức ma trËn sau N (i) (ii) (H22) τi Li < 0, i=1 M UiT µYi Ui H µYiT > 0, i ∈ I I (H23) Quy tắc bật đ-ợc xác định (x(t)) = i x(t) Si hàm điều khiển ng-ợc đ-ợc xây dựng công thức u(t) = Y P x(t), t Hơn nữa, nghiệm hệ ®ãng cña (4.10) tháa m·n x(t, φ) α2 φ e−αt , t α1 Chó ý 4.7 HƯ chun m¹ch có trễ hỗn hợp đ-ợc xét Zhong cộng (2008) hay hệ chuyển mạch có trễ điều khiển đ-ợc xét L Lin (2007) tr-ờng hợp riêng hệ (4.10) với Bi = Ci = Fi = hay Di = Ei = 0, Bi = Fi = VÝ dơ 4.6 XÐt hƯ (4.10) víi N = 2, τ = 1, r = vµ −1 1 1 , , , , , A1 , D1 , E1 , B1 , C1 , F1 = , 1 −20 1 −12 1 1 A2 , D2 , E2 , B2 , C2 , F2 = , , , , , −1 −1 1 −1 DƠ thÊy r»ng, c¸c ma trËn Ai , Ai + Di , i = 1, 2, ®Ịu không ổn định Hơn nữa, theo tiêu chuẩn hạng Kalman, cặp (A i , Bi ) (Ai +Di , Bi ), i = 1, 2, không điều khiển đ-ợc áp dụng định lí 4.4, hệ ổn định hóa đ-ợc dạng mũ với tốc độ mũ = 0.5 Hàm điều khiển cho u(t) = Ki x(t), t 0, ®ã K1 = −0.1352 −0.0701 , K2 = −0.0313 −0.0905 NghiƯm bÊt k× x(t, φ) cđa hƯ ®ãng tháa m·n ®¸nh gi¸ x(t, φ) 3.4549 φ e−0.5t , t 24 Kết luận Luận án nghiên cứu tính ổn định số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển Bằng ph-ơng pháp hàm Lyapunov, dựa cách tiếp cận bất đẳng thức ma trận tuyến tính, ph-ơng trình vi phân Riccati ma trận, chứng minh đ-ợc số tiêu chuẩn ổn định, ổn định mũ ổn định hóa đ-ợc dạng mũ cho số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển Luận án đạt đ-ợc kết sau đây: Chứng minh đ-ợc số tiêu chuẩn ổn định cho lớp ph-ơng trình vi phân mờ dạng tổng quát (Định lí 2.1-2.5) Thiết lập đ-ợc số điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính kiểu Kharitonov cho tính ổn định ổn định hóa mũ lớp hệ mờ Takagi-Sugeno có trễ (Định lí 2.6-2.8) Đ-a số điều kiện đủ cho tính ổn định ổn định hóa mũ lớp hệ tuyến tính không chắn có trễ biến thiên (Định lí 3.1-3.3); hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên, bỏ đ-ợc giả thiết hạn chế tính khả vi hàm trễ (Định lí 3.4, Hệ 3.1) Thiết lập đ-ợc số tiêu chuẩn ổn ®Þnh hãa mò cho líp hƯ ®iỊu khiĨn tun tÝnh không dừng có trễ điều khiển (Định lí 3.5, Hệ 3.2) lớp hệ điều khiển tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển (Định lí 3.6) Cách tiếp cận không sử dụng giả thiết tính điều khiển đ-ợc hệ Thiết lập đ-ợc điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận cách xây dựng quy tắc bật dạng hình học cho tính ổn định ổn định hóa mũ lớp hệ chuyển mạch tuyến tính không chắn có trễ biến thiên (Định lí 4.1-4.2) trễ hỗn hợp trạng thái điều khiển (Định lí 4.3-4.4) Các kết đ-ợc minh họa ví dụ giải số để khẳng định tính hiệu điều kiện Đồng thời, nhiều kết đ-ợc so sánh với tiêu chuẩn biết tác giả khác để minh họa cho tính -u việt điều kiện ... Ch-ơng trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hoá lớp hệ ph-ơng trình vi phân th-ờng, hệ ph-ơng trình vi phân có trễ, ph-ơng trình vi phân mờ số bổ đề bổ trợ 1.1 Bài toán ổn định ổn định. .. 11 Ch-¬ng Tính ổn định ổn định hoá mũ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính có trễ Ch-ơng trình bày số kết tính ổn định ổn định hoá mũ số lớp hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển tuyến tính có trễ dựa... ph-ơng trình vi phân điều khiển mờ Ch-ơng 3: Tính ổn định ổn định hóa mũ hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính có trễ Ch-ơng 4: Tính ổn định ổn định hóa hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ Ch-ơng Một số