Mục tiêu của luận án mô tả tường minh các miền Reinhardt và Hartogs B-chính qui trong Cn; xây dựng khái niệm miền B-chính qui không bị chặn và chứng minh một số đặc trưng hình học của lớp các miền này. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo luận án.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẬU HỒNG HƯNG MIỀN B-CHÍNH QUI ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI VÀ TỐN TỬ MONGEAMPÈRE ĐỐI VỚI HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HỊA DƯỚI ĐỊA PHƯƠNG Chuyªn ngμnh: Tốn Học M∙ sè: 62 46 01 01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN TỐN HỌC Vinh – 2010 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Ph¶n biƯn 1: Ph¶n biƯn 2: Ph¶n biªn 3: Luận án bảo vệ Hội đồng chấm Luận án cấp Nhà nước Trường đại học Vinh Vào hồi … … phút, ngày … tháng … năm 2010 Có thể tìm hiểu Luận án tại: Trường Đại học Vinh Th− viƯn Qc gia CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ Nguyen Quang Dieu, Nguyen Thac Dung and Dau Hoang Hung (2005), “B-regularity of certain domains in Cn ", Ann Pol Math., 86, 137-152 Nguyen Quang Dieu, Dau Hoang Hung (2008), “Jensen measures and unbounded B-regular domains in Cn ", Ann Inst Fourier, 58, 13831406 Nguyen Quang Dieu, Dau Hoang Hung (2008),“A class of delta-plurisub harmonic functions and the complex Monge-Ampere operator", Acta Math Vietnam., 33, 123-132 1 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết đa vị, toán Dirichlet cho hàm đa điều hồ giữ vị trí quan trọng Đây mở rộng tự nhiên từ toán Dirichlet cho hàm điều hoà lý thuyết vị thực: “Cho Ω miền bị chặn Rn f hàm liên tục nhận giá trị thực ∂Ω Tìm hàm u liên tục Ω, khả vi cấp hai Ω thỏa mãn u điều hoà Ω, u|∂Ω = f (1) Bài toán Dirichlet thực nghiên cứu thấu đáo vào năm đầu kỷ 20 Kết quan trọng Brelot Perron cho đặc trưng hình học Ω cho tốn Dirichlet(thực) giải giá trị biên f liên tục ∂Ω Những miền Ω gọi qui Hơn nữa, nghiệm u tốn (nếu có) xác định bao hàm đa điều hòa bị làm trội biên f Cụ thể u(z) = sup{v(z) : v ∈ SH(Ω), lim sup v(x) f (a), ∀a ∈ ∂Ω}, ∀z ∈ Ω x→a đó, SH(Ω) tập hợp hàm điều hoà Ω Hơn 30 năm sau, Bremermann mở rộng phương pháp xây dựng nghiệm Brelot-Perron từ toán Dirichlet cho hàm điều hồ lý thuyết vị thực cho tốn Dirichlet hàm đa điều hoà lý thuyết đa vị miền giả lồi chặt bị chặn Cn Cụ thể, Bremermann chứng minh rằng, Ω ⊂ Cn miền bị chặn, giả lồi chặt f ∈ C(∂Ω) uf,Ω xác định uf,Ω (z) = sup{v(z) : v ∈ PSH(Ω), lim sup v(x) x→a f (a), ∀a ∈ ∂Ω}, z ∈ Ω hàm đa điều hoà Ω thoả mãn lim uf,Ω (x) = f (a) với x→a a ∈ ∂Ω, PSH(Ω) tập hợp hàm đa điều hoà Ω Hơn hàm đa điều hòa uf,Ω cịn có tính chất cực đại Bài tốn Dirichlet phức (hay toán Dirichlet suy rộng) Bremermann đặt sau: Cho Ω miền bị chặn Cn f hàm liên tục, nhận giá trị thực ∂Ω Tìm hàm u liên tục Ω cho u đa điều hoà cực đại Ω, u|∂Ω = f (2) Chú ý rằng, Bremermann chưa khẳng định tính liên tục uf,Ω Ω Phải vào năm 1968, Walsh chứng minh uf,Ω liên tục Ω hàm liên tục điểm biên Ω Kết hợp với kết trước Bremermann, có uf,Ω liên tục Ω uf,Ω = f ∂Ω với miền giả lồi chặt, bị chặn Ω Hay nói cách khác, toán Dirichlet phức giải miền giả lồi chặt Cũng khoảng thời gian này, Bedford Taylor xây dựng toán tử Monge-Ampere phức (ddc )n lớp hàm đa điều hoà bị chặn địa phương tập mở Cn Một kết sâu sắc Bedford Taylor nói hàm đa điều hòa bị chặn địa phương u cực đại (ddc u)n = Điều cho thấy toán tử Monge-Ampere lý thuyết đa vị đóng vai trị tốn tử Laplace lý thuyết vị cổ điển Vào năm 1987, Sibony đưa đặc trưng miền bị chặn Cn để miền tốn Dirichlet cho hàm đa điều hồ có lời giải Lớp miền bị chặn Cn có tính chất gọi B-chính qui Từ đến nay, miền B-chính qui bị chặn trở thành đối tượng quan tâm đặc biệt nhiều nhà tốn học Những cơng trình nghiên cứu gần Sibony, Blocki, Cegrell, L M Hải, Wikstrom, N Q Diệu, Gogus, Tommasini, Simioniuc chứng tỏ miền B-chính qui Cn đóng vai trị quan trọng nhiều toán lý thuyết đa vị giải tích phức nhiều biến Có số vấn đề nảy sinh từ hướng nghiên cứu kể như: - Tìm ví dụ cụ thể miền B-chính qui bị chặn 3 - Dựa kết kể Tomassini Simioniuc, liệu xây dựng lý thuyết miền B-chính qui cho miền khơng bị chặn hay khơng? - Tốn tử Monge-Ampere xác định lớp hàm rộng hàm đa điều hòa bị chặn địa phương hay khơng? Những vấn đề nói lý để lựa chọn đề tài nghiên cứu “Miền B-chính qui hàm đa điều hồ tốn tử Monge-Ampere hàm delta đa điều hoà địa phương" làm đề tài luận án tiến sỹ Mục đích nghiên cứu -Mơ tả tường minh miền Reinhardt Hartogs B-chính qui Cn -Xây dựng khái niệm miền B-chính qui khơng bị chặn chứng minh số đặc trưng hình học lớp miền -Chúng xây dựng toán tử Monge-Ampere hàm delta đa điều hịa Đối tượng nghiên cứu Miền B-chính qui bị chặn không bị chặn Cn , độ đo Jensen hàm đa điều hòa dưới, hàm delta đa điều hồ tốn tử Monge-Ampere cho lớp hàm Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu đối tượng thuộc lĩnh vực lý thuyết đa vị giải tích phức nhiều biến Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thông qua việc vận dụng cách linh hoạt kết sâu sắc Lý thuyết đa vị phức , Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo Ngồi chúng tơi cịn tìm kiếm cơng cụ, kỹ thuật phương pháp chứng minh nhằm khắc phục khó khăn nảy sinh trình nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Kết luận án góp phần giải toán Dirichlet hàm đa điều hồ miền khơng bị chặn xây dựng toán tử MongeAmpere với số tính chất lớp hàm delta đa điều hoà địa phương Tổng quan cấu trúc luận án 7.1.Tổng quan luận án Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi miền B-chính qui hàm nhận giá trị thực, liên tục ∂Ω thác triển tới hàm đa điều hoà Ω liên tục Ω Khái niệm miền B-chính qui bị chặn lần Sibony đưa báo “Une classe de domaines pseudoconvexes" tạp chí Duke.J, 55, 299-319 Cũng báo Sibony đưa đặc trưng sau miền B-chính qui bị chặn Cn : “Một miền bị chặn Ω Cn B-chính qui với điểm biên z0 ∈ ∂Ω tồn cản đa điều hoà z0 " Như vậy, ta chứng tỏ miền bị chặn B-chính qui cách xây dựng cản đa điều hoà điểm biên miền Vì lý vậy, trước hết luận án sâu vào nghiên cứu tồn cản đa điều hoà điểm biên miền bị chặn thông qua việc nghiên cứu độ đo Jensen mối liên hệ độ đo Jensen bao đa điều hoà (Mệnh đề 1.2.19) Trên sở đó, chúng tơi nghiên cứu đưa điều kiện cần đủ để miền siêu lồi Reinhardt bị chặn miền B-chính qui (Định lý 1.3.2), đưa số điều kiện đủ để miền Hartogs bị chặn Cn B-chính qui (Định lý 1.3.7), đưa điều kiện đủ để bảo tồn tính chất B-chính qui qua ánh xạ chỉnh hình (Mệnh đề 1.3.11) Các kết công bố [1] Tiếp theo, nghiên cứu tính chất B-chính qui lớp miền khơng bị chặn Cn Trước hết, đưa vào khái niệm miền khơng bị chặn B-chính qui, miền khơng bị chặn B-chính qui địa phương nghiên cứu tính chất đặc trưng miền B-chính qui địa phương thông qua việc nghiên cứu độ đo Jensen mối liên hệ độ đo Jensen bao đa điều hoà Để thực điều này, mở rộng định lý đối ngẫu cho trường hợp miền không bị chặn Cn (Định lý 1.2.17) Trên sở đó, chúng tơi tìm điều kiện để miền không bị chặn Cn B-chính qui địa phương (Mệnh đề 2.2.2) Đồng thời mở rộng số kết Simioniuc Tomassini để đưa tính chất đặc trưng miền B-chính qui địa phương (Mệnh đề 2.2.5, 2.2.6) Sau đó, chúng tơi đưa hai lớp miền khơng bị chặn Cn mà toán Dirichlet giải (Định lý 2.3.5, Mệnh đề 2.3.8) Từ Định lý 2.3.5, tiếp tục nghiên cứu số miền B-chính qui khơng bị chặn đặc biệt Cn (Mệnh đề 2.4.2, 2.4.3) Các kết công bố [2] Bên cạnh nghiên cứu tính chất B-chính qui cho miền khơng bị chặn Cn , chúng tơi khảo sát số tính chất lớp hàm delta đa điều hoà Trước hết, chúng tơi xây dựng tốn tử Monge-Ampere cho lớp hàm delta đa điều hoà địa phương (Mệnh đề 3.2.1) Sau chúng tơi nghiên cứu mở rộng định lý hội tụ đơn điệu ( Định lý 3.2.3) nguyên lý so sánh (Định lý 3.2.6) toán tử Monge-Ampere phức hàm delta đa điều hoà địa phương Các kết cơng bố [3] 7.2 Cấu trúc luận án Ngồi phần mở đầu, phần kết luận danh mục báo khoa học NCS tóm tắt luận án chúng tơi trình bày gồm chương Chương 1: Miền B-chính qui bị chặn Cn Chương 2: Độ đo Jensen miền B-chính qui khơng bị chặn Cn Chương 3: Toán tử Monge-Ampere hàm delta đa điều hoà địa phương 6 CHƯƠNG MIỀN B-CHÍNH QUI BỊ CHẶN TRONG CN 1.1 Một số khái niệm tính chất Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm tính chất cần dùng phần sau.Trước hết, nhắc lại khái niệm hội tụ độ đo 1.1.1 Định nghĩa Cho X khơng gian metric compact {µj } dãy độ đo Borel xác suất X Khi đó, dãy {µj } gọi hội tụ yếu∗ tới độ đo Borel xác suất µ X lim j→∞ X ϕdµ, ∀ϕ ∈ C(X) ϕdµj = X Trong trường hợp ta ký hiệu yếu∗ µj −−→ µ Tiếp theo nhắc lại khái niệm hàm đa điều hoà cực đại 1.1.10 Định nghĩa Cho Ω tập mở Cn Một hàm đa điều hoà u xác định Ω gọi cực đại với miền compact tương đối G Ω hàm đa điều hoà v G cho v ∗ ∂G ta có v u u G, v ∗ (z) = lim supξ→z v(ξ) Tập hợp tất hàm đa điều hoà cực đại xác định Ω ký hiệu MPSH(Ω) Ký hiệu toán tử d = ∂ + ∂ dc = i(∂ − ∂) Các tốn tử hiểu theo nghĩa suy rộng Sau trình bày lại số khái niệm kết toán tử Monge-Ampere phức đưa Bedford Taylor vào năm đầu thập kỷ 80 kỷ trước 1.1.13 Mệnh đề Cho Ω ⊂ Cn u ∈ L∞ loc (Ω)∩PSH(Ω) Với dịng đóng dương T song bậc (k, k), (1 k n − 1) ta xác định ddc u ∧ T = ddc (uT ) Khi đó, ddc u ∧ T dịng dương đóng, song bậc (k + 1, k + 1) 7 Bằng phép quy nạp ta thấy (ddc u)n độ đo Borel qui, dương u hàm đa điều hòa bị chặn địa phương Sau đưa khái niệm trên, Bedford Taylor xây dựng chứng minh số tính chất quan trọng tốn tử Monge-Ampere định lý hội tụ, nguyên lý so sánh, Các kết kinh điển mở rộng phần cho lớp hàm delta đa điều hòa địa phương Chương 1.2 Miền B-chính qui bị chặn tập compact B-chính qui Cn Nội dung chủ yếu mục trình bày thiết lập mối liên hệ miền B-chính qui bị chặn tập compact B-chính qui Cn Trước hết, chúng tơi trình bày lại khái niệm tính chất miền qui theo nghĩa thực, lớp miền Rn mà tốn Dirichlet thực có nghiệm 1.2.1 Định lý Cho Ω miền bị chặn Rn f hàm liên tục nhận giá trị thực ∂Ω Ta xác định ∗ uf,Ω (z) = sup{v(z) : v ∈ SH(Ω), v|∂Ω f }, ∀z ∈ Ω Khi đó, uf,Ω điều hòa Ω Hơn nữa, uf,Ω nghiệm (nếu có) tốn Dirichlet Hàm uf,Ω gọi thác triển Perron f Nhờ phương pháp thác triển Perron, để giải toán Dirichlet thực, cần kiểm tra lại liệu limx→z uf,Ω (x) = f (z) với điểm biên z ∈ ∂Ω hay không? Nhằm giải vấn đề Perron Brelot đưa khái niệm sau 1.2.2 Định nghĩa Cho Ω miền bị chặn Rn Khi đó, điểm x0 ∈ ∂Ω gọi điểm qui với hàm f ∈ L∞ (∂Ω), liên tục x0 lim uf,Ω (x) = f (x0 ) x→x0 Một miền Ω bị chặn Rn gọi qui điểm biên điểm qui 8 Liên quan đến miền qui Rn có định lý sau thuộc Perron Bouligand 1.2.3 Định lý Cho Ω miền bị chặn Rn Khi điều kiện sau tương đương (i) Ω qui, (ii) Với f ∈ C(∂Ω) hàm uf,Ω liên tục Ω, điều hòa Ω thỏa mãn uf,Ω|∂Ω = f , (iii) Tồn hàm điều hoà âm v Ω cho lim v(x) = x→∂Ω Bằng cách sử dụng phương pháp xây dựng bao Perron để xét toán Dirichlet phức cho hàm đa điều hoà xác định miền giả lồi chặt, bị chặn Cn , Bremermann chứng minh được: “Nếu Ω miền giả lồi chặt bị chặn Cn f ∈ C(∂Ω) bao uf,Ω xác định công thức ∗ uf,Ω (z) = sup{v(z) : v ∈ PSH(Ω), v|∂Ω f} thác triển đa điều hoà f , liên tục ∂Ω" Tuy nhiên, thay giả thiết Ω miền giả lồi chặt, bị chặn lớp miền rộng kết khơng Hay nói cách khác, phương pháp thác triển Perron khơng cịn hiệu lực toán Dirichlet phức Đến năm 1968, Walsh bổ sung số điều kiện để áp dụng phương pháp thác triển Perron cho toán Dirichlet phức 1.2.5 Định lý Giả sử Ω miền bị chặn Cn f ∈ C(∂Ω) Nếu bao uf,Ω xác định công thức ∗ u(z) = uf,Ω (z) = sup{v(z) : v ∈ PSH(Ω), v|∂Ω f} thoả mãn u∗ = u∗ = f ∂Ω u liên tục Ω, u∗ (z) = lim inf ξ→z u(ξ) Hàm uf,Ω gọi thác triển Perron-Bremermann f Việc nghiên cứu toán Dirichlet phức tiếp tục nhiều nhà toán học giới quan tâm Đặc biệt, năm 1987 báo "Une classe de domaines pseudoconvexes", Duke Math J., 55, Sibony đưa số đặc trưng hình học để miền bị chặn Cn tốn Dirichlet phức có lời giải 9 1.2.6 Định nghĩa Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn gọi B-chính qui hàm nhận giá trị thực, liên tục ∂Ω thác triển tới hàm đa điều hoà Ω liên tục Ω 1.2.7 Định nghĩa.(i) Tập compact K Cn gọi B-chính qui hàm liên tục K xấp xỉ K hàm đa điều hoà liên tục lân cận K (ii) Tập đóng địa phương K gọi B-chính qui địa phương với z ∈ K tồn hình cầu U tâm z cho K ∩ U B-chính qui Định lý sau Sibony cho ta mối liên hệ tính B-chính qui Định nghĩa 1.2.6 Định nghĩa 1.2.7 1.2.10 Định lý Cho Ω miền bị chặn Cn Nếu Ω miền siêu lồi ∂Ω tập compact B-chính qui Ω miền B-chính qui Ngược lại, Ω miền B-chính qui miền siêu lồi, thêm điều kiện ∂Ω thuộc lớp C ∂Ω tập compact B-chính qui Cùng với Sibony, Blocki đưa tính chất đặc trưng miền B-chính qui bị chặn Cn 1.2.11 Định lý Cho Ω miền bị chặn Cn Khi điều kiện sau tương đương (i) Ω B-chính qui, (ii) Với f ∈ C(∂Ω) tồn u ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) cho u|∂Ω = f , (iii) Với z0 ∈ ∂Ω tồn cản đa điều hoà z0 Ω, (iv) Tồn ϕ ∈ C (Ω) ∩ PSH(Ω) số λ > cho với c < {z ∈ Ω : ϕ(z) < c} Ω ϕ(z) − λ|z|2 đa điều hoà Ω, (v) Với hàm f ∈ C(∂Ω) tồn u ∈ PSH(Ω) ∩ C(Ω) cho u|∂Ω = f , (vi) Với z0 ∈ ∂Ω tồn cản đa điều hoà địa phương z0 Kết sau cho ta điều kiện để nhận biết miền bị chặn khơng phải B-chính qui (xem [1]) 1.2.12 Mệnh đề.Cho Ω miền bị chặn Cn Nếu tồn dãy ánh xạ chỉnh hình ϕj : địa phương → Cn thoả mãn ϕj ( ) ⊂ Ω ϕj hội tụ tới ánh xạ khác hằng, chỉnh hình ϕ : → Cn , ϕ( ) ⊂ ∂Ω Ω khơng miền B-chính qui Tiếp theo chúng tơi trình bày độ đo Jensen Đây công cụ hữu 10 hiệu để nghiên cứu bao hàm đa điều hoà thông qua định lý đối ngẫu đề cập đến phần cuối mục 1.2.13 Định nghĩa Cho K tập compact Cn z0 ∈ K Ta gọi tập hợp tất độ đo Borel qui, dương µ có giá K cho µ(K) = với hàm đa điều hoà u lân cận K có u(z0 ) K udµ tập hợp độ đo Jensen với tâm z0 ký hiệu Jz0 (K) 1.2.14 Nhận xét (i) Theo Định lý xấp xỉ hàm đa điều hòa ta thấy u(z0 ) K udµ với hàm u đa điều hoà trơn lân cận K µ ∈ Jz0 (K) (ii) Tập compact K Cn B-chính qui Jz (K) = {δz } với z ∈ K, δz độ đo Dirac z (iii) Trong trường hợp K = Ω, với Ω miền bị chặn Cn , Wikstrom đưa vào lớp Jzc0 (K) độ đo Jensen thỏa mãn điều kiện udµ, ∀u ∈ C(Ω) ∩ PSH(Ω) u(z0 ) K Hiển nhiên Jzc0 (K) ⊂ Jz0 (K) Hơn nữa, bao hàm chặt Tuy nhiên, thêm giả thiết ∂Ω C trơn Jzc0 (K) = Jz0 (K) Cho K tập compact Cn , Poletsky gọi độ đo Borel xác suất µ K Jensen u(z0 ) K udµ với hàm đa điều hoà u K, hàm u gọi đa điều hoà K u nửa liên tục trên K thoả mãn bất đẳng thức trung bình tập hợp điểm tụ dãy đĩa giải tích bị chặn hội tụ tới K Kết sau hai lớp độ đo Jensen đưa Sibony Poletsky thực chất trùng (xem [1], Bổ đề 4.1) 1.2.15 Bổ đề Cho K tập compact Cn u hàm đa điều hoà (theo nghĩa Poletsky) K Khi với µ ∈ Jz0 (K) ta có u(z0 ) K udµ Định lý sau cho ta mối quan hệ bao đa điều hoà độ đo Jensen Đây kết mở rộng thực từ định lý Edwards cổ điển (xem [2], Định lý 3.1) 11 1.2.17 Định lý.Cho X tập đóng Cn A nón lồi USC ∗ (X) Nếu hàm nửa liên tục g : X → (−∞, +∞] giới hạn tăng dãy C0 (X) với z ∈ X ta có sup{u(z) : u g, u ∈ A} = inf{ gdµ, µ ∈ Jz (A)} X đây, Jz (A) tập hợp độ đo Borel qui, dương µ X cho µ(X) u(z) X udµ, u ∈ A Dựa vào độ đo Jensen, đưa đặc trưng sau miền siêu lồi bị chặn Cn (xem [1], Bổ đề 2.8) 1.2.19 Mệnh đề.Cho Ω miền siêu lồi bị chặn Cn z0 ∈ ∂Ω Khi Jz0 (∂Ω) = {δz0 } tồn cản đa điều hoà z0 1.3 Tính B-chính qui miền Reinhardt miền Hartogs Cn Kết thứ phần đặc trưng miền Reinhardt B−chính qui (xem [1], Mệnh đề 3.1) 1.3.2 Định lý.Nếu Ω miền Reinhardt bị chặn Cn Ω miền B-chính qui Ω miền siêu lồi ∂Ω khơng có cấu trúc giải tích Kết thứ hai chúng tơi mục điều kiện đủ để miền Hartogs bị chặn B-chính qui (xem [1], Mệnh đề 3.5) 1.3.7 Định lý.Cho Ω miền bị chặn Cn ϕ nửa liên tục trên, bị chặn Ω Đặt Ωϕ = {(z, w) : z ∈ Ω, log |w| + ϕ(z) < 0} Khi đó, (a) Nếu Ωϕ B-chính qui khẳng định sau (i) Ω B-chính qui (ii) ϕ ∈ PSH(Ω) ∩ C(Ω) lim ϕ(z) = ∞, ∀z0 ∈ ∂Ω z→z0 (iii) Với ánh xạ chỉnh hình khác h : hồ → Ω, ϕ ◦ h không điều (b) Ngược lại, Ω ϕ thoả mãn điều kiện (i), (ii) tập hợp X = {z ∈ Ω : ϕ khơng đa điều hồ chặt z} liên thơng địa phương B-chính qui địa phương Ωϕ B-chính qui 12 Kết cho điều kiện đủ để tạo ảnh miền B-chính qui B-chính qui (xem [1], Mệnh đề 3.9) 1.3.11 Mệnh đề.Cho Ω miền Cn f : Ω → Cn ánh xạ chỉnh hình thoả mãn f (Ω) tập mở Giả sử Ω Ω miền B-chính qui bị chặn tương ứng Ω f (Ω) Đặt Ω = f −1 (Ω ) ∩ Ω S(f ) = {a ∈ Ω : a điểm cô lập f −1 (f (a))} Giả sử tồn lân cận mở U S(f ) tập compact B-chính qui K U ∩ ∂Ω thỏa mãn (i) S(f ) ∩ U ∩ ∂Ω (ii) ∂Ω Khi Ω B-chính qui, C -trơn điểm tập hợp (U ∩ ∂Ω ) \ (K ∪ ∂Ω ) B-chính qui 13 CHƯƠNG ĐỘ ĐO JENSEN VÀ MIỀN B-CHÍNH QUI KHƠNG BỊ CHẶN TRONG CN Dựa vào kết nghiên cứu Tomassini cộng sự, kết hợp với việc nghiên cứu tính B-chính qui cho miền bị chặn Cn chương 1, tiếp tục nghiên cứu, mở rộng vấn đề miền không bị chặn Cn 2.1 Một số khái niệm tính chất 2.1.1 Định nghĩa (i) Miền không bị chặn Ω ⊂ Cn gọi B-chính qui với hàm bị chặn liên tục điểm biên (hữu hạn) Ω tồn hàm bị chặn u ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) cho limz→z0 u(z) = f (z0 ) với điểm biên hữu hạn z0 Ω (ii) Miền khơng bị chặn Ω ⊂ Cn gọi B-chính qui địa phương với z0 ∈ ∂Ω tồn lân cận bị chặn U z0 cho U ∩ Ω B-chính qui 2.1.3 Định nghĩa Miền khơng bị chặn Ω gọi qui theo nghĩa thực với z ∈ ∂Ω, tồn lân cận mở bị chặn U z cho Ω ∩ U qui theo Định nghĩa 1.2.2 Kết sau chúng tơi tính chất miền khơng bị chặn, qui theo nghĩa thực (xem [2], Bổ đề 2.4) 2.1.4 Bổ đề Cho Ω miền khơng bị chặn, qui theo nghĩa thực Cn , f ∈ C(∂Ω) hàm bị chặn Xác định f˜ Ω công thức f˜(z) = f (z) M := supξ∈∂Ω f (ξ) ϕ(z) = sup{u(z) : u ∈ PSH(Ω), u∗ PSH(Ω) ϕ∗ f˜ Ω z ∈ ∂Ω z ∈ Ω (2.1) f˜ Ω}, z ∈ Ω Khi đó, ϕ ∈ 14 Kết cho điều kiện để miền không bị chặn Cn B-chính qui địa phương (xem [2], Mệnh đề 2.5) 2.1.5 Mệnh đề Cho Ω ⊂ Cn miền khơng bị chặn Khi đó, Ω B-chính qui địa phương điều kiện sau thoả mãn (i) Với z ∈ ∂Ω, tồn hình cầu mở U tâm z cho Ω ∩ U siêu lồi, (ii) Tồn tập đóng B-chính qui địa phương K ∂Ω cho Ω giả lồi chặt gần điểm ∂Ω \ K Khái niệm sau chúng tơi đóng vai trị quan trọng việc xây dựng miền B-chính qui không bị chặn (xem [2]) 2.1.6 Định nghĩa Một miền không bị chặn Ω ⊂ Cn gọi kiểu bị chặn tồn hàm giá trị thực ϕ ∈ PSH(Ω) cho ϕ(z) < 0, ∀z ∈ Ω lim ϕ(z) = −∞ |z|→∞ 2.2 Định lý đối ngẫu miền B-chính qui khơng bị chặn Kết sau ứng dụng Định lý 1.2.17 chương cho trường hợp X bao đóng miền khơng bị chặn Cn (xem [2], Mệnh đề 3.3) 2.2.1 Mệnh đề Cho Ω miền không bị chặn Cn , f ∈ C(∂Ω) hàm không âm bị chặn A ⊂ USC ∗ (Ω) nón lồi Nếu f˜ hàm f ∂Ω M Ω, với M số lớn sup∂Ω f với z ∈ Ω ta có sup{u(z) : u f˜, u ∈ A} = inf{ f˜dµ : µ ∈ Jz (A)} Ω Bây giờ, ta xét trường hợp X = Ω, A nón con, lồi USC ∗ (Ω), A1 tập hợp tất hàm thuộc PSH(Ω) ∩ C(Ω) với giá compact, A2 tập hợp hàm thuộc USC ∗ (Ω) ∩ PSH(Ω) Với hàm bị chặn ϕ Ω i ta xác định Si ϕ(z) = sup{u(z) : u ϕ, u ∈ Ai }, ∀z ∈ Ω Tiếp theo, đưa điều kiện cần đủ để miền không bị chặn Cn B-chính qui địa phương (xem [2], Mệnh đề 3.4) 15 2.2.2 Mệnh đề Cho Ω miền khơng bị chặn Cn Khi đó, điều kiện sau tương đương: (i) Với z ∈ ∂Ω, tồn lân cận U z hàm u ∈ PSHc (U ∩ Ω) thoả mãn u(z) = u(ξ) < 0, ∀ξ ∈ (U ∩ Ω) \ {z}, (ii) Ω qui theo nghĩa thực Jz (A1 ) = {δz }, ∀z ∈ ∂Ω, δ độ đo Dirac z, (iii) Ω B-chính qui địa phương Mệnh đề sau tương tự mệnh đề miền B-chính qui địa phương không bị chặn (xem [2], Mệnh đề 3.5) 2.2.5 Mệnh đề Nếu Ω miền B-chính qui địa phương, không bị chặn Cn f ∈ C(∂Ω) bị chặn tồn ϕ ∈ MPSH(Ω) có tính chất sau (i) inf ∂Ω f ϕ sup∂Ω f , lim ϕ(x) = f (z), z ∈ ∂Ω, x→z (ii) Tồn tập đa cực F Ω cho ϕ liên tục Ω \ F Hơn nữa, f ∈ C0 (∂Ω) tập đa cực F xây dựng khơng phụ thuộc vào f Kết trường hợp đặc biệt Ω miền giả lồi chặt (không bị chặn) chứng minh Simioniuc Tomassini (xem [2], Mệnh đề 3.6) 2.2.6 Mệnh đề Cho Ω B-chính qui địa phương Cn Khi đó, với hàm khơng âm f ∈ C(∂Ω) với tập compact K Ω thoả mãn K ∩ ∂Ω = ∅ tồn u ∈ PSHc (Ω) cho u 0, u = K u = f ∂Ω 2.3 Độ đo Jensen toán Dirichlet Định lý sau cho cho ta mối liên hệ độ đo Jensen xấp xỉ toàn cục hàm đa điều hoà bị chặn (xem [2], Định lý 4.1) 2.3.1 Định lý Cho Ω miền khơng bị chặn Cn Khi điều kiện sau tương đương: (i) Jz (A1 ) = Jz (A2 ), ∀z ∈ Ω, (ii) S1 ϕ = S2 ϕ Ω với ϕ ∈ C0 (Ω), (iii) Với u ∈ A2 , tồn dãy bị chặn {vj }j vj → u Ω lim sup vj j→∞ u∗ ∂Ω ∈ A1 cho 16 2.3.3 Định nghĩa Cho Ω miền bị chặn Cn Một ánh xạ liên tục Φ : [0, 1] × Ω → Cn gọi họ phép hợp luân (isotopy) ánh xạ song chỉnh hình xác định Ω thỏa mãn tính chất sau (i) Với t ∈ [0, 1], Φt (.) = Φ(t, ) đồng phôi Ω Φt (Ω), Φt song chỉnh hình từ Ω lên Φt (Ω) (ii) Với tất z ∈ Ω ta có Φ−1 t (z) giải tích thực theo t lân cận (iii) Φ−1 hội tụ tới Φ−1 t = Id tập compact Ω t → 2.3.4 Định nghĩa Cho Φ họ phép hợp luân ánh xạ song chỉnh hình Ω Khi đó, tập hợp điểm giới hạn dãy phần tử Ω ∩ Φt (∂Ω) t → gọi tập hợp điểm tụ Φt Trong định lý sau, đưa lớp miền khơng bị chặn Cn mà tốn Dirichlet giải (xem [2], Định lý 4.4) 2.3.5 Định lý Giả sử Ω miền kiểu bị chặn Cn {Φt } họ hợp luân ánh xạ song chỉnh hình Ω cho với z thuộc tập X gồm điểm tụ biên {Φt } ta có Jz (A1 ) = {δz } Khi khẳng định sau (a) Jz (A1 ) = Jz (A2 ), ∀z ∈ Ω; (b) Nếu Ω qui theo nghĩa thực với hàm bị chặn f ∈ C(∂Ω), tồn hàm bị chặn Ψ ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) thoả mãn (i) Ψ∗ f ∂Ω, (ii) lim Ψ(x) = f (z) với z ∈ ∂Ω thoả mãn Jz (A1 ) = {δz } x→z (c) Nếu Jz (A1 ) = {δz }, ∀z ∈ ∂Ω tồn hàm bị chặn Ψ ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) cho Ψ = f ∂Ω 2.3.7 Hệ Một miền không bị chặn Ω ⊂ Cn B-chính qui hai điều kiện sau thoả mãn (i) Ω B-chính qui địa phương, (ii) Ω kiểu bị chặn Tiếp theo đưa kết cho phép xét tính B-chính qui miền không bị chặn Ω Cn (xem [2], Mệnh đề 4.5) 17 2.3.8 Mệnh đề Giả sử Ω miền không bị chặn Cn thoả mãn điều kiện (i) Ω qui theo nghĩa thực, (ii) Tồn họ phép hợp luân {Φt } hàm song chỉnh hình Ω cho với điểm z thuộc tập điểm tụ biên X của họ {Φt } ta có Jz (A1 ) = {δz }, (iii) Ω không chứa siêu phẳng phức vơ cực Khi đó, với f ∈ C0 (∂Ω), f tồn u ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) thoả mãn (i), (ii) Định lý 2.3.5 Sau số ví dụ miền B-chính qui khơng bị chặn Cn 2.4 Một số ví dụ miền B-chính qui khơng bị chặn Trong mục chúng tơi nghiên cứu số miền B-chính qui không bị chặn đặc biệt Cn Mệnh đề sau mở rộng kết Simioniuc Tomassini (xem [2], Mệnh đề 5.1) 2.4.2 Mệnh đề Giả sử Ω miền lồi không bị chặn Cn với biên C -trơn Với điểm biên hữu hạn z ∈ ∂Ω, kí hiệu Kz = Tz (∂Ω) ∩ ∂Ω với Tz không gian tiếp xúc thực z Nếu với z ∈ ∂Ω tồn siêu phẳng Lz ⊂ Tz (∂Ω) thoả mãn Lz ∩ Kz = {z} Ω B-chính qui Đặc biệt, miền lồi chặt với biên C -trơn B-chính qui 2.4.3 Mệnh đề Cho Ω ⊂ Cn kiểu bị chặn, qui theo nghĩa thực tồn tập mở A ⊂ ∂Ω thoả mãn điều kiện (i) tA ∩ Ω = ∅, ∀t > 0, (ii) Jz (A1 ) = {δz }, ∀z ∈ ∂Ω \ A Khi đó, với hàm bị chặn f ∈ C(∂Ω), tồn ϕ ∈ MPSH(Ω) ∩ C(Ω) cho ϕ∗ f ∂Ω lim ϕ(x) = f (z) với z ∈ ∂Ω thoả mãn x→z Jz (A1 ) = {δz } Kết cuối mục tính chất bất biến lớp miền B-chính qui khơng bị chặn Trước hết, đưa vào khái niệm sau 2.4.5 Định nghĩa Cho Ω, Ω tập mở Cn Tồn ánh chỉnh hình f : Ω → Ω gọi có tính chất (P) hai điều kiện sau thoả mãn 18 (i) f thác triển liên tục tới ∂Ω (ii) Tồn tập giải tích E Ω cho f : Ω \ f −1 (E) → Ω \ E phủ chỉnh hình 2.4.6 Mệnh đề Cho Ω, Ω miền không bị chặn Cn f : Ω → Ω ánh xạ chỉnh hình có tính chất (P) Nếu Ω B-chính qui Ω khơng chứa siêu phẳng phức vơ cực Ω B-chính qui địa phương Hơn nữa, thêm điều kiện Ω kiểu bị chặn Ω B-chính qui 19 CHƯƠNG TOÁN TỬ MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM DELTA ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI ĐỊA PHƯƠNG Trong chương chương chúng tơi nghiên cứu tốn Dirichlet cho hàm đa điều hồ thơng qua việc nghiên cứu tính chất B-chính qui cho miền bị chặn khơng bị chặn Cn Tồn chương dành cho việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampere cho hàm delta đa điều hoà địa phương Các kết chương công bố [3] Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất 3.1 Một số khái niệm tính chất hàm delta đa điều hoà địa phương 3.1.1 Định nghĩa Cho Ω tập mở Cn Một hàm u xác định Ω gọi delta đa điều hoà địa phương với z ∈ Ω, tồn lân cận U z Ω hai hàm đa điều hòa bị chặn u1 , u2 U thỏa mãn u(z) = u1 (z) − u2 (z), ∀z ∈ U Tập hợp tất hàm delta đa điều hoà địa phương xác định Ω kí hiệu δ ∗ PSHloc (Ω) Mệnh đề sau chúng tơi đưa số tính chất lớp hàm (xem [3], Mệnh đề 2.1) 3.1.3 Mệnh đề Nếu Ω miền bị chặn Cn u, v ∈ δ ∗ PSHloc (Ω) tính chất sau (i) u ∗ ρδ ∈ C ∞ (Ωδ ), u ∗ ρδ → u Ω δ → 0, (ii) Nếu u v hầu khắp nơi Ω u v khắp nơi Ω, (iii) Với z0 ∈ Ω, tồn lân cận mở U z0 ω ∈ PSH(U ) cho u + ω v + ω thuộc L∞ (U ) ∩ PSH(U ), 20 (iv) max{u, v} ∈ δ ∗ PSHloc (Ω), (v) u tựa liên tục Ω, nghĩa với > 0, tồn tập mở U ⊂ Ω cho u liên tục Ω \ U c(U, Ω) < 3.2 Toán tử Monge-Ampere hàm delta đa điều hoà địa phương Kết sau cho phép xây dựng toán tử Monge-Ampère hàm delta đa điều hoà địa phương (xem [3], Mệnh đề 2.2) 3.2.1 Mệnh đề Cho m số nguyên thoả mãn δ ∗ PSHloc (Ω) {Ui }i với tất i n, u ∈ m phủ mở Ω cho u = vi,1 − vi,2 Ui 1, vi,1 , vi,2 ∈ L∞ (Ui ) ∩ PSH(Ui ) Trên tập mở Ui ta đặt m c k (−1)m−k Cm (ddc vi,1 )k ∧ (ddc vi,2 )m−k m (dd u) = k=0 Khi đó, (ddc u)m dịng đóng song bậc (m, m) Ω Đặc biệt, độ đo Monge-Ampere phức (ddc u)n độ đo Borel qui Hơn nữa, định nghĩa (ddc u)m không phụ thuộc vào cách chọn phủ mở {Ui }i Kết sau suy từ Mệnh đề 3.2.1(xem [3], Mệnh đề 2.3) 3.2.2 Mệnh đề Nếu u, v ∈ δ ∗ PSHloc (Ω) với m n ta có (i) (ddc u ∗ ρδ )m → (ddc u)m δ → 0, (ii) (ddc (u + v))m = m c k k k=0 Cm (dd u) ∧ (ddc v)m−k Định lý xấp xỉ sau dạng định lý hội tụ đơn điệu Bedforf-Taylor cho hàm delta đa điều hòa địa phương (xem [3], Định lý 2.1) 3.2.3 Định lý Cho m số nguyên dương thoả mãn {uj }j (ddc uj ∗ ⊂ δ PSHloc (Ω) w )m − → (ddc u)m m n dãy hội tụ theo điểm tới u ∈ δ ∗ PSHloc (Ω) Khi đó, điều kiện sau thoả mãn (i) Với z0 ∈ Ω, tồn lân cận mở U z0 Ω dãy ⊂ L∞ (U ) ∩ PSH(U ) cho uj + ωj ∈ L∞ (U ) ∩ PSH(U ) với tất {ωj }j j 1, (ii) Các dãy {uj + ωj } {ωj } hội tụ đơn điệu tới u + ω ∈ PSH(U ) ω ∈ PSH(U ) tương ứng U 21 Tương tự hàm đa điều hịa dưới, chúng tơi đưa ngun lý so sánh lớp δ ∗ PSHloc (Ω) Đây định lý chương (xem [3], Định lý 2.3) 3.2.6 Định lý Giả sử u, v ∈ δ ∗ PSHloc (Ω) thoả mãn điều kiện (i) lim inf z→∂Ω (u(z) − v(z)) 0, (ii) Với z0 ∈ Ω tồn lân cận U z0 Ω u1 , u2 , v1 , v2 ∈ PSHc (U ) cho u = u1 − u2 v = v1 − v2 U , (iii) Với tập mở Ω Ω tồn h cho < h < dist(∂Ω , ∂Ω) với tất h1 , h2 , , hn ∈ Cn thoả mãn |h1 | < h, |h2 | < h, , |hn | < h, Ω ta có ddc uh1 ∧ ddc uh2 ∧ ∧ ddc uhn 0, ddc vh1 ∧ ddc vh2 ∧ ∧ ddc vhn 0, ddc (u + v)h1 ∧ ddc (u + v)h2 ∧ ∧ ddc (u + v)hn ddc (u + v)h1 ∧ ddc (u + v)h2 ∧ ∧ ddc (u + v)hn−1 đó, ut (z) = u(t − z) Khi (ddc u)n {u