Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án với mục tiêu phân loại được tất cả các biểu diễn bất khả qui của nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng; chứng minh được một số tính chất của phức Koszul kép, xây dựng tường minh tất cả các biểu diễn bất khả qui của siêu nhóm tuyến tính; xây dựng được một lớp các biểu diễn của siêu nhóm tuyến tính lượng tử.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG DUNG PHÂN LOẠI CÁC BIỂU DIỄN CỦA MỘT NHĨM MA TRẬN LƯỢNG TỬ Chuyªn ngμnh: Tốn Học M∙ sè: 62 46 05 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN TỐN HỌC Hà Nội – 2010 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI VIỆN TỐN HỌC Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biên 3: Lun án bảo vệ Hội đồng chấm Luận án cấp Nhà nước Viện toán học Vào hồi … … phút, ngày … tháng … năm 2010 Có thể tìm hiểu Luận án tại: Viện tốn học Th− viƯn Qc gia Mở đầu Nhóm lượng tử loại A hiểu đại số Hopf xây dựng từ nghiệm phương trình Yang-Baxter thỏa mãn hệ thức Hecke điều kiện đóng Vấn đề quan tâm luận án nghiên cứu biểu diễn nhóm lượng tử này, cụ thể phân loại biểu diễn bất khả quy trường hợp số chiều thấp ((2|1) (3|1)) Cố định không gian véc tơ V , với chiều d, trường đóng đại số k, đặc số Một toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V gọi đối xứng Hecke thỏa mãn phương trình Yang - Baxter, hệ thức Hecke tính chất đóng Từ đối xứng Hecke R, ta xây dựng đại số Hopf HR sau Cố định sở x1 , x2 , , xd V, theo sở R biểu diễn ma trận, ký hiệu kl ) Đại số HR thương đại số tự không giao hoán phần (Rij tử sinh (zji , tij )1≤i,j≤d theo hệ thức sau i j mn ij p q zm zn Rkl = Rpq zk zl zki tkj = tik zjk = δji HR đại số Hopf, với ánh xạ cấu trúc (zji ) = zki ⊗ zjk , (tij ) = tki ⊗ tjk , ε(zji ) = ε(tij ) = δji S(zji ) = tij Phép đối xứng thông thường: R(x ⊗ y) = y ⊗ x đối xứng Hecke (với q = 1) Đại số HR tương ứng vành hàm quy nhóm GL(V ): k[zji ][det(zji )−1 Tương tự, V siêu không gian véc tơ R phép siêu đối xứng, HR siêu đại số hàm quy siêu nhóm ma trận tồn phần Ví dụ quan trọng đối xứng Hecke nghiệm chuẩn loại A phương trình Yang-Baxter tìm Drinfeld Jimbo Trong trường hợp V có chiều 2, nghiệm cho ma trận sau: q2 0 0 q q q2 − 0 q Khi q = 1, toán tử phép đối xứng thông thường V ⊗ V nhắc tới Các nghiệm chuẩn ứng với siêu đối xứng đưa Manin Trên sở ví dụ người ta nói HR xác định nhóm ma trận lượng tử loại A Với đối xứng Hecke R, người ta xét đại số SR , ΛR : kl SR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = qxi xj ), kl ΛR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = −xi xj ) Các đại số SR ΛR coi xác định khơng gian tuyến tính lượng tử SR gọi đại số đối xứng lượng tử, ΛR gọi đại số phản đối xứng lượng tử ΛR , SR đại số toàn phương, nghĩa sinh phần tử bậc với hệ thức bậc hai, đại số phân bậc Chuỗi Poincaré tương ứng chúng ∞ ∞ n PΛ (t) = dimk (Sn )tn , dimk (Λn )t , PS (t) = n=0 n=0 với Λn Sn thành phần bậc n tương ứng ΛR SR Khi R phép đối xứng thơng thường, ta có PΛ (t) = (1 + t)d , PS (t) = (1 − t)d Khi R phép siêu đối xứng siêu không gian véc tơ V, với siêu chiều (m|n) ta có (1 + t)m (1 + t)n PΛ (t) = , PS (t) = (1 − t)n (1 − t)m Các đại số ΛR , SR đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu phạm trù biểu diễn nhóm ma trận lượng tử liên kết với R Chúng ta có kết sau Lyubashenko chứng minh rằng: q = chuỗi Poincaré ΛR đa thức, có tính chất thuận nghịch Gurevich mở rộng kết với q bất kỳ, không đơn vị P.H.Hai chứng minh chuỗi Poincaré đại số toàn phương ΛR phân thức hữu tỷ, với tử thức đa thức bậc m, có m nghiệm âm, mẫu thức đa thức bậc n, có n nghiệm dương Một câu hỏi đặt với m, n khơng đồng thời 0, chuỗi Poincaré đại số ΛR SR có có tính chất thuận nghịch hay khơng? Nội dung Chương I đưa câu trả lời khẳng định cho câu hỏi tính thuận nghịch chuỗi Poincaré nhắc tới Cụ thể, chứng minh tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré ln đa thức có tính chất thuận nghịch đối thuận nghịch, đa thức có hệ số nguyên Các công cụ sử dụng công thức Littlewood-Richardson, tiêu chuẩn để đối mô đun đơn nội xạ xạ ảnh Cặp bậc (m, n) tử thức mẫu thức chuỗi Poincaré ΛR , gọi song hạng đối xứng Hecke R Phùng Hồ Hải rằng: song hạng đối xứng Hecke xác định phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử tương ứng Vì cần xét nghiệm chuẩn loại A phương trình Yang-Baxter ký hiệu nhóm lượng tử liên kết GLq (m|n) Với m = n = phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử nửa đơn Khi tốn phân loại biểu diễn nhóm lượng tử giải P.H.Hai Khi m n khác 0, toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử nói chung chưa giải Một khó khăn phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử khơng nửa đơn Năm 1986, Palev chứng minh lớp biểu diễn GLq (n|1) bất khả qui, nhiên chưa phải tất biểu diễn bất khả qui Năm 2000, P.H.Hai giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (1, 1) Trong Chương II, chúng tơi giải tốn phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Cơng cụ phức Koszul K• Nhờ tính chất thuận nghịch chuỗi Poincaré chứng minh Chương I, chứng tỏ phức K1 có đồng điều với chiều 1, từ tìm dãy hợp thành tất thành phần phức Koszul Ki Tập đối mô đun dãy hợp thành phức Koszul K• tất đối mơ đun đơn HR , chúng đánh số tập số nguyên (m, n, p) thỏa mãn m ≥ n Để chứng minh tính đơn đối mô đun xây dựng được, kỹ thuật dựa tính chất đại số Hopf có tích phân Trên đại số Hopf có tích phân tồn lớp đối mô đun đặc biệt mà người ta gọi đối mô đun "chẻ", trường hợp siêu đại số Lie nửa đơn, lớp Kac gọi biểu diễn điển hình Một đối mô đun đơn gọi đối mô đun chẻ nội xạ xạ ảnh Chúng đưa điều kiện để đối mô đun xây dựng đối mô đun chẻ Ngồi chúng tơi đưa cơng thức tính chiều cho đối mô đun đơn GLq (2|1) Chương III đưa phương pháp xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui siêu nhóm GL(3|1) Chương phục vụ cho việc xây dựng biểu diễn bất khả quy của nhóm lượng tử trường hợp song hạng (3, 1) Chương IV Kac phân loại biểu diễn bất khả qui siêu đại số Lie gl(m|n) Các biểu diễn bất khả qui gl(m|n) chia thành hai loại: điển hình khơng điển hình Sau đó, Kac đưa cơng thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn điển hình Nhờ việc sử dụng mơ đun Verma, Kac đưa cách xây dựng chi tiết cho tất biểu diễn điển hình Năm 2007, Su Zhang đưa công thức tính đặc trưng cho tất biểu diễn Nhưng việc xây dựng cụ thể cho tất biểu diễn khơng điển hình tốn chưa giải Bằng cách kết hợp phức Koszul K L để thu phức Koszul kép dựa vào kết Su-Zhang, đưa cách xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Mục đích Chương IV phân loại biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) Với phương pháp dùng Chương III, xây dựng lớp biểu diễn GLq (3|1) Chúng tơi dự đốn tập biểu diễn xây dựng tập tất biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) thu số kết ban đầu Chúng tơi hy vọng hồn thiện chứng minh thời gian tới Chương Biểu diễn nhóm lượng tử loại A ứng dụng Trong chương này, trước hết chúng tơi giới thiệu nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke Tiếp theo ứng dụng kết biết vào việc nghiên cứu chuỗi Poincaré đại số liên kết với đối xứng Hecke cho 1.1 Đối xứng Hecke k trường đóng đại số, đặc số Các không gian véc tơ hiểu không gian véc tơ k Định nghĩa 1.1.1 Cho V không gian véc tơ hữu hạn chiều, toán tử khả nghịch R : V ⊗ V −→ V ⊗ V gọi đối xứng Hecke điều kiện sau thỏa mãn: (i) R1 R2 R1 = R2 R1 R2 , với R1 := R ⊗ IdV , R2 := IdV ⊗ R, (ii) (R + 1)(R − q) = với q ∈ k × , (iii) Toán tử nửa liên hợp với R, R : V ∗ ⊗ V −→ V ⊗ V ∗ , đưa R (ξ ⊗ v), w = ξ, R(v ⊗ w) , nghịch đảo q gọi tham số lượng tử Ta giả sử q n = với n ≥ Cố định sở x1 , x2 , , xd V, R biểu diễn dạng kl kl ma trận ký hiệu (Rij ), tức R(xi ⊗ xj ) = xk ⊗ xl Rij Để cho thuận tiện qui ước số xuất phía phía biểu thức đó, hiểu biểu thức lấy tổng theo số 1.2 Các đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke Cho R đối xứng Hecke Ta xét đại số sau: kl SR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = qxi xj ), kl ΛR := k x1 , x2 , , xd /(xk xl Rij = −xi xj ), i j mn ij p q ER := k z11 , z21 , , zdd /(zm zn Rkl = Rpq zk zl ), HR := k z11 , z21 , , zdd , t11 , t12 , , tdd ij p q i j mn zk zl , zn Rkl = Rpq zm zki tkj = tik zjk = δji với {zji } {tij } tập sinh Các đại số ΛR , SR gọi đại số phản đối xứng lượng tử đại số đối xứng lượng tử Đại số ER song đại số, HR đại số Hopf Ánh xạ tự nhiên i : ER −→ HR đơn ánh Vì ER coi song đại số HR Nên đối mô đun ER đối mô đun HR Các đại số SR , ΛR đại số toàn phương, chuỗi Poincaré tương ứng đại số ∞ ∞ n PΛ (t) = dimk Λn t , n=0 1.3 dimk Sn tn PS (t) = n=0 Đối mô đun ER Không gian véc tơ V đối mô đun ER Do ER song đại số, lũy thừa ten xơ V đối mô đun ER Phân loại đối mô đun ER giải nhờ đại số Hecke 1.3.1 Đại số Hecke Định nghĩa 1.3.1 Đại số Hecke Hn = Hq,n đại số, có hệ sinh gồm phần tử Ti , ≤ i ≤ n − 1, thỏa mãn hệ thức sau: Ti Tj = Tj Ti : |i − j| ≥ 2; Ti Ti+1 Ti = Ti+1 Ti Ti+1 ; Ti2 = (q − 1)Ti + q Như khơng gian véc tơ, Hn có sở Tw , w ∈ Sn (Sn nhóm hốn vị n phần tử) xác định sau T(i,i+1) = Ti Tw Tv = Twv l(wv) = l(w) + l(v) Với q n = : n ≥ 2, đại số Hn nửa đơn Một đối xứng Hecke R không gian véc tơ V cảm sinh tác động đại số Hecke Hn = Hq,n V ⊗n : Ti −→ Ri = idV⊗i−1 ⊗ R ⊗ idV⊗n−i−1 Tác động giao hốn với tác động ER Vì phần tử Hn xác định tự đồng cấu V ⊗n tự đồng cấu ER -đối mô đun Điều ngược lại đúng, ER - tự đồng cấu đối mô đun V ⊗n biểu diễn tác động phần tử Hn Do V ⊗n nửa đơn đối mơ đun đơn đưa ảnh tự đồng cấu xác định phần tử lũy đẳng nguyên thủy Hn phần tử lũy đẳng liên hợp xác định đối mơ đun đẳng cấu Vì lớp liên hợp phần tử lũy đẳng nguyên thủy Hn đánh số phân hoạch n, nên đối mô đun đơn V ⊗n đánh số tập phân hoạch n 1.3.2 Thuật toán Littlewood-Richardson Ta biết đối mô đun đơn ER đánh số tập phân hoạch Cơng thức phân tích tích ten xơ hai đối mô đun đơn đưa nhờ hệ số Littlewood - Richardson Cho Iλ , Iµ ký hiệu đối mô đun đơn tương ứng với phân hoạch λ, µ tương ứng Khi γ Iλ ⊗ Iµ ∼ = Iγ ⊕cλµ (1.3) γ cγλµ hệ số Littlewood-Richardson miêu tả phép nhân hàm Schur sγ tích hai hàm Schur sλ sµ Hệ số Littlewood-Richardson thuật tốn tổ hợp để tính tốn hệ số cγλµ , gọi thuật tốn Littlewood-Richardson, đẵ chúng tơi mơ tả chi tiết luận án 1.4 Đối mô đun HR Ánh xạ tự nhiên i : ER −→ HR đơn ánh, nên ER -đối mô đun đơn HR -đối mơ đun đơn Vì HR đại số Hopf, nên đối mô đun hữu hạn chiều M HR có đối mơ đun đối ngẫu, với đối tác động cảm sinh từ đối tác động M Trên HR có lớp mô đun đặc biệt mà người ta thường quan tâm đến đối mơ đun chẻ Định nghĩa 1.4.1 Một đối mô đun đơn HR gọi chẻ nội xạ xạ ảnh Đối mô đun Iλ chẻ λm ≥ n, với (m, n) song hạng R 1.5 Phức Koszul liên kết với đối xứng Hecke Ký hiệu V ∗ không gian véc tơ đối ngẫu V , Xn , Yn toán tử đối xứng lượng tử, phản đối xứng lượng tử, định nghĩa sau: Xn := Rw , [n]q ! w∈S Yn := n (−q)−l(w) Rw [n]1/q ! w∈S n Phức Koszul L với vi phân P xây dựng sau: Pp,r : Sp ⊗ Λr / V ⊗p ⊗ V ⊗r = V ⊗(p−1) ⊗ V ⊗(r+1) Xp−1 ⊗Yp+1 /S p−1 ⊗ Λr+1 Ngồi ra, ta có tốn tử vi phân Q sau đây: Qp,r : Sp−1 ⊗ Λr+1 / Xp ⊗Yr V ⊗(p−1) ⊗ V ⊗(r+1) = V ⊗p ⊗ V ⊗r / Sp ⊗ Λr Phức (L, P ) khớp Trên Lp,r ta có: [r][p + 1]P Q + [p][r + 1]QP = [r + p]id (1.8) Người ta định nghĩa phức Koszul K sau: Phức Koszul K, với thành phần vị trí (k, l) K k,l := Λk ⊗ Sl∗ Các toán tử vi phân dk,l : Λk ⊗ Sl∗ −→ ∗ Λk+1 ⊗ Sl+1 xây dựng sau: dk,l : Λk ⊗ Sl ∗ → V ⊗k ⊗ V ∗⊗l id⊗dbV ⊗id −→ V ⊗k+1 ⊗ V ∗⊗l+1 Yk+1 ⊗Xl+1 ∗ → Λk+1 ⊗ Sl+1 ∗ Ta có tốn tử vi phân ∂k,l : Λk+1 ⊗ Sl+1 ∗ → V ⊗k+1 ⊗ V ∗⊗l+1 id⊗evV τV,V ∗ ⊗id −→ Y ⊗X ∗ V ⊗k ⊗ V ∗⊗l k→l Λk ⊗ Sl ∗ , với τV,V ∗ bện V ⊗ V ∗ Trên Kk,l ta có: q[l][k]d∂ + [l + 1][k + 1]∂d = q k ([l − k] + rankq R) với rankq R := Pijij (1.9) 10 đối mô đun đơn với Λ∗k , cho tích ten xơ nửa đơn So sánh chiều đối mơ đun đơn phân tích, thu kết sau: Định lý 1.6.4 Chuỗi Poincaré đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke hàm hữu tỷ, với tử thức đa thức có tính chất thuận nghịch mẫu thức đa thức có tính chất đối thuận nghịch Sử dụng công thức (1.11), ta thu kết sau: Mệnh đề 1.6.5 Với giả thiết định lý 1.6.4 trên, hệ số , bj số nguyên Chương Biểu diễn bất khả qui GLq (2|1) Mục đích chương phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử GLq (2|1), phân loại đối mô đun đơn đại số Hopf liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Cơng cụ để xây dựng biểu diễn bất khả qui HR trường hợp chủ yếu sử dụng phức Koszul K 2.1 Một số tính chất phức Koszul K Cho R đối xứng Hecke có song hạng (m, n) : mn = Chúng thu số tính chất phức K, nhờ xây dựng lớp đối mô đun đơn HR Mệnh đề 2.1.1 Với a = m − n, thành phần phức Ka thỏa mãn đẳng cấu sau: Kk,l = Λk ⊗ Sl ∗ ∼ = Imdk−1,l−1 ⊕ Im∂k,l : với l − k = a (2.1) Bổ đề 2.1.2 Các toán tử vi phân dk,l phức K• khác với cặp (k, l) thỏa mãn k, l ≥ 2.2 Khai triển tích ten xơ ER -đối mơ đun đơn Dùng thuật tốn Littlewood-Richardson, ta có phân tích tích ten xơ số lớp đối mô đun sau Im,n,p ⊗ I1,0,0 = Im+1,n,p + Im,n+1,p + Im,n,p+1 Im+1,n,p + Im,n,p+1 11 m > n, m = n (2.3) 12 Im,m,1 ⊗ In,0,0 = Im+n,m,1 + Im+n−1,m,2 : m, n ≥ Im+1,n+1,p+k + Im+1,n,p+k+1 +Im,n+1,p+k+1 + Im,n,p+k+2 m > n, Im,n,p ⊗ I1,1,k = I m+1,m+1,p+k + Im+1,m,p+k+1 +Im,m,p+k+2 m = n Ký hiệu (m)u := um −u−m u−u−1 (2.4) (2.5) ∈ Z với m Hệ từ công thức PS (t) dimIm,0,0 = dimSn = (m)u + (m + 1)u Với n ≥ 1, theo phương trình (1.11) ta có: dimIm,n,p = ((2)u + 2)(m − n + 1)u 2.3 (2.6) Phân tích tích ten xơ với đối ngẫu ER -đối mô đun đơn Chúng đưa số công thức nhân ten xơ ER đối mô đun với V ∗ Bổ đề 2.3.1 Với (m, n, p) mà m ≥ n ≥ 2, p ≥ 1, ta có cơng thức sau Im,n,p ⊗ I1,0,0 ∗ = Im−1,n,p + Im,n−1,p + Im,n,p−1 m > n, Im,n−1,p + Im,n,p−1 m = n (2.7) Từ (2.4) ta có Im,m,1 ⊗ In,0,0 ∗ = Im,m−n,1 + Im,m−n+1,0 , m > n ≥ (2.8) Bổ đề 2.3.2 Phức Koszul K1 có đồng điều khác khơng Λ2 ⊗ S1∗ 2.4 Tích phân đối mơ đun chẻ Một tích phân phải đại số Hopf H đồng cấu H-đối mô đun: H −→ k, với H đối tác động đối tích đối tác động k đối đơn vị Tích phân trái định nghĩa cách tương tự Theo bổ đề trên, HR tồn tích phân trái tích phân phải Trên đại số Hopf có tích phân, lớp đối mơ đun đặc biệt nghiên cứu, có vai trò quan trọng, lớp đối mô đun chẻ Chúng thu số kết sau 13 Bổ đề 2.4.1 Cho R đối xứng Hec ke với song hạng (2, 1) Khi với phân hoạch λ = (m, n, 1p ) ∈ Γ2,1 , đối mô đun tương ứng với phân hoạch Iλ , chẻ n ≥ Với n ≥ 2, Λn = I1,1,n−2 chẻ Sn = In,0,0 không đối mô đun chẻ với n, I0,0,0 := k không chẻ Bổ đề sau công cụ để kiểm tra tính chẻ đối mơ đun HR Bổ đề 2.4.2 Cho HR đại số Hopf với cấu trúc đối tựa tam giác, H tồn tích phân trái tích phân phải Cho M đối mô đun nội xạ xạ ảnh, với End(M ) ∼ = k Thì M đối mơ đun chẻ Sử dụng bổ đề chứng minh kết sau: Hệ 2.4.3 Các đối mô đun Imdk,l đơn với cặp (k, l) thỏa mãn l, k ≥ 0, k − l = Tiếp theo xây dựng lớp đối mô đun đơn HR tính chiều đối mơ đun Với l, k ≥ 0, ta ký hiệu I1,−l,k := Imdk+1,l l > k ≥ 0, Imdk+2,l+1 k > l ≥ (2.9) Theo Hệ 2.4.3, I1,−l,k đối mô đun chẻ với k = l ≥ Ta có cơng thức tính chiều sau dimI1,−l,k = ((2)u + 2)(l + 1)u , với l > k ≥ (2.11) dimI1,−l,k = ((2)u + 2)(l + 2)u , với k > l ≥ (2.12) Chúng sử dụng phức Koszul Ki để xây dựng biểu diễn nhóm lượng tử Ta biết phức Ki : i = khớp, K1 không khớp Ta thu số kết phức Ki sau 2.5 Đồng điều phức Koszul K1 Trong phần trước, ta có phức Koszul K1 không khớp Λ2 ⊗ S1∗ Tiếp theo, thu số kết sau 14 Định lý 2.5.1 Cho R đối xứng Hecke có song hạng (2, 1), nhóm đồng điều phức liên kết K1 Λ2 ⊗ S1∗ có chiều k Ký hiệu đối mô đun I1,1,−1 Cho đối mô đun đơn Im,n,p : m ≥ n ≥ 1, p ≥ 1, Im,n,p ⊗ I1,1,−1 = Im+1,n+1,p−1 (2.13) Hệ 2.5.2 Đối mô đun thương Ker∂1 /Kerd2 đẳng cấu với I1,−1,1 := I2,0,0 ⊗ I1,1,−1 ∗ Do dãy hợp thành K2,1 = I1,1,0 ⊗ I1,0,0 gồm I1,1,−1 , I1,−1,1 hai I1,0,0 Bằng phương pháp chứng minh tương tự hai kết trên, chúng tơi tìm dãy hợp thành tất thành phần phức K1 Định lý 2.5.3 Cho R đối xứng Kecke có song hạng (2, 1) Khi nhóm đồng điều phức Koszul K1 Λk+1 ⊗ Sk∗ : k ≥ triệt tiêu Ngoài ra, dãy hợp thành Λk+1 ⊗ Sk∗ : k ≥ gồm I1,2−k,k−2 , I1,−k,k hai I1,1−k,k−1 2.6 Phân loại đối mô đun đơn Trong mục trước, xây dựng lớp đối mô đun đơn ứng với phân hoạch, lớp đối mô đun đơn ứng với (1, −l, k); l = k ≥ (xem (2.9)), (1, 1, −1) Với số nguyên (m, n, p) thỏa mãn m ≥ n ≥ 1, p ≥ 1, ta có Im,n,p ⊗ I1,1,−1 = Im+1,n+1,p−1 Để định nghĩa đối mô đun khác, trước hết ta đặt Im,n,p := Im+p,n+p,0 ⊗ I1,1,−1 ∗⊗p Vì vậy, vấn đề lại định nghĩa đối mô đun đơn ứng với số nguyên (m, n, 0) mà m ≥ n Với m ≥ n ≥ 0, Im,n,0 định nghĩa Với > m ≥ n, đặt Im,n,0 := I−n,−m,0 ∗ ⊗m−1 Với m > > n, đặt Im,n,0 := I1,n−m+1,m−1 ⊗ I1,1,−1 Rõ ràng đối mô đun đơn Vì dimI1,1,−1 = 1, nên ta có cơng 15 thức tính chiều sau Im,n,p : ((2)u + 2)(k − l + 1)u dimIk,l,0 = (k)u + (k + 1)u ((2)u + 2)(k − lu k ≥ l ≥ k > l = k > > l (2.22) Mệnh đề 2.6.1 HR -đối mô đun đơn Im,n,p chẻ (m + p)(n + p) = Bổ đề 2.6.2 Cho (m, n, p), (x, y, z) tương ứng với phân hoạch ⊗t ∼ Thì Im,n,p ⊗ I1,1,−1 = Ix,y,z m + t = x, n + t = y, z + t = p Định lý 2.6.3 Cho số (m, n, p), (x, y, z) ∈ Z3 , với m ≥ n, x ≥ y Nếu (m, n, p) = (x, y, z), đối mô đun đơn Im,n,p , Ix,y,z không đẳng cấu với Định lý cho ta thấy rằng: ứng với số nguyên (m, n, p) khác nhau, xây dựng đối mô đun Im,n,p thực khác Hệ 2.6.4 Luật đối ngẫu sau Im,n,p ∗ = I−n,−m,−p 2.7 (2.25) Tính đầy đủ tập hợp {Im,n,p : m ≥ n; m, n, p ∈ Z} Như ta xây dựng tập đối mô đun đơn {Im,n,p : m, n, p ∈ Z, m ≥ n} Tiếp theo xác định công thức cho tích ten xơ đối mơ đun đơn với I1,0,0 ∗ từ suy tập đối mô đun đơn tất đối mô đun đơn HR Bổ đề 2.7.1 • Dãy hợp thành Im,1,0 ⊗I1,0,0 ∗ : m ≥ gồm Im−1,1,0 , Im,1,−1 , Im,−1,1 hai Im,0,0 • Với n ≥ 2, dãy hợp thành I1,−n,0 ⊗ I1,0,0 ∗ gồm I1,−n−1,0 , I−1,−n,1 , I1,−n,−1 hai I0,−n,0 • Với m ≥ 2, n ≥ ta có phân tích ten xơ sau Im,−n,0 ⊗ I1,0,0 ∗ = Im−1,−n,0 + Im,−n−1,0 + Im,−n,−1 (2.26) 16 Từ kết trên, chúng tơi thu dãy hợp thành tích ten xơ Im,n,0 ⊗ V ∗ chứa đối mơ đun đơn mà chúng tơi xây dựng Vì định lý sau chứng minh Định lý 2.7.2 Tập hợp {Im,n,p : m ≥ n, m, n, p ∈ Z} tất đối mô đun đơn HR Chương Phức Koszul kép xây dựng biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) Để chuẩn bị cho việc xây dựng tường minh biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) chương sau, đưa chương mô tả tường minh biểu diễn bất khả qui GL(3|1) 3.2 Phức Koszul kép Hai phức Koszul K, L giới thiệu Chương 1, kết hợp lại thành phức kép với tất dòng cột, trừ cột khớp Sử dụng tính chất phức này, xây dựng tường minh tất biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Để đơn giản ta dùng dấu "·" để ký hiệu tích ten xơ Cố định số nguyên a ≥ Ta có có sơ đồ sau với tất hàng phức Koszul K• nhân ten xơ với S• cột phức Koszul L• nhân ten xơ với S•∗ : 0O / S∗ O a 0O d/ ∗ Λ1 · Sa+1 0O d O P 0O / Λ · S∗ O a+2 d P / Λ · S∗ O a+1 d d P / S · Λ · S∗ 1 a+2 O d P / Λ · S∗ O a+3 0O / S · Λ · S∗ a+3 O P d P / S · S∗ a+2 d 17 / S · Λ · S∗ a+3 / Λ · S∗ O a+4 / S · Λ · S∗ O a+4 P d / S · Λ · S∗ 2 a+4 (3.1) 18 Các hình vng sơ đồ giao hốn Với siêu nhóm GL(3, 1), tất hàng sơ đồ phức Ka , phức khớp a = −2 Vì sơ đồ (3.1) phức kép với tất dòng cột (trừ cột đầu tiên) khớp Dùng toán tử vi phân ∂ Q, ta có phức Koszul kép sau đây: 0 0 0 0 o_ _ _ ∂ Sa∗ o_ _ _ Λ1 · Q ∂ _o _ _ S1 · ∂ ∗ Sa+1 _o _ _ _ Λ2 · ∂ Q ∗ Sa+2 ∂ ∗ Sa+3 o _ _ _ _ _ Λ4 · Q (3.3) ∂ ∗ Sa+4 Q ∗ o_ _ _ S1 · Λ3 · Sa+4 o _ _ _ S1 · Λ · o_ _ _ S1 · Λ2 · ∂ ∂ ∂ Q Q Q Q ∗ ∗ ∗ o_ _ _ _ _ _ S2 · Sa+2 o_ _ _ _ S2 · Λ1 · Sa+3 o_ _ _ S2 · Λ2 · Sa+4 ∗ Sa+1 ∗ Sa+2 ∂ 3.3 o _ _ _ _ _ Λ3 · Q 0 ∗ Sa+3 ∂ ∂ Một số tính chất phức Koszul kép Từ kết thu hai mệnh đề đây, đưa xây dựng tường minh lớp biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Kết hợp hai phức mà giới thiệu với vào sơ đồ, ta nhận sơ đồ sau: d1,a+i d2,a+i+1 d 0,a+i−1 / / / ∗ ∗ Si−1 · Sa+i−1 o_o _ _ Si−1 · Λ1 · Sa+i o_ _ _ Si−1 · Λ2 · Sa+i+1∗ o_ _ _ _ _ _ · · · O O ∂0,a+i−1 P ? Q ∗ Si Sa+i ∂1,a+i P Q (3.4) ∂2,a+i+1 d0,a+i d1,a+i+1 / S Λ S ∗ / ∗ _o o _ _ _ _ _ i a+i+1 o_ _ _ _ _ Si · Λ2 · Sa+i+2 O O ∂0,a+i ∂1,a+i+1 Q Q P P ? d0,a+i+1/ ∗ ∗ Si+1 Sa+i+1 o_o _ _ _ Si+1 · Λ1 · Sa+i+2 ∂0,a+i+1 Sử dụng tính chất toán tử vi phân hai phức kép trên, thu số kết sau 19 ∗ ∗ Mệnh đề 3.3.1 Ánh xạ hợp thành ∂P Qd : Si · Sa+i −→ Si · Sa+i sơ đồ ∗ (3.4) đẳng cấu với i ≥ Khi ta có Si · Sa+i đẳng cấu với ∗ thành phần trực tiếp Si+1 · Sa+i+1 Phương pháp chứng minh: Chúng chứng minh ánh xạ cần chứng minh mệnh đề chéo hóa được, với tất giá trị riêng khác không Xét sơ đồ (3.4) dãy khớp phức chẻ thành dãy khớp ngắn / KerPi,k OO Pi+1,k−1 / / / OO Pi+1,k dk−1,i+k+a / O ? dk+1,i+k+a+1 ∗ KerPi,k+1 · Si+k+a+1 Q ∗ Si+1 · Λk−1 · Si+k+a i dk,i+k+a ∗ · Si+k+a i ∗ KerPi+1,k−1 · Si+k+a / ? OO Pi+1,k+1 dk,i+k+a+1 O dk−1,i+k+a ∗ KerPi,k+2 · Si+k+a+2 Q ∗ Si+1 · Λk · Si+k+a+1 Q / /S i+1 O i dk,i+k+a+1 ∗ KerPi+1,k · Si+k+a+1 Q ∗ · Λk+1 · Si+k+a+2 Q / KerP ? i+1,k+1 / / Q ∗ · Si+k+a+2 / (3.6) Trong sơ đồ trên, thu kết sau: Mệnh đề 3.3.2 Ánh xạ hợp thành ∗ ∗ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 (với i ≥ 0, k ≥ 0) sơ đồ (3.6) đẳng cấu Khi ta có KerPi,k+1 · ∗ Sa+i+k+1 đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Imdk,a+i+k+1 Tương tự phương pháp chứng minh mệnh đề trên, chứng minh ánh xạ mệnh đề chéo hóa với trị riêng khác không 3.4 Đặc trưng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Ta biết biểu diễn GL(m|n) bất khả qui bất khả qui gl(m|n) với trọng cao với hệ số nguyên Vì kết sau mà giới thiệu siêu đại số Lie gl(m|n) 3.4.1 Đặc trưng biểu diễn điển hình Theo cơng thức tính đặc trưng Kac, với trọng trội nguyên điển hình λ, ta tính cụ thể chV (λ) 20 3.4.2 Đặc trưng biểu diễn khơng điển hình Trong mục chúng tơi tính tốn chi tiết đặc trưng tất biểu diễn bất khả qui khơng điển hình GL(3|1).Các cơng thức đặc trưng cho trường hợp phức tạp Chi tiết mô tả luận án 3.5 3.5.1 Xây dựng biểu diễn bất khả qui GL(3|1) Xây dựng biểu diễn phương pháp tổ hợp Siêu không gian V với siêu chiều (3|1) biểu diễn bất khả qui G := GL(3|1) Bằng phương pháp tổ hợp ta có V ⊗k = ⊕λ∈Γ3,1 Iλ⊕Cλ , với Iλ mô đun đơn, Γ3,1 tập tất phân hoạch thỏa mãn λ4 ≤ Với Iλ , λ ∈ Γ3,1 , Iλ có trọng cao λ Từ ta xác định trọng cao Iλ∗ 3.5.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Từ phức Ka với a = khớp, ta có Λk Sl∗ = Imdk−1,l−1 ⊕ Imdk,l Hệ điều ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.5.1 Mô đun Imdk+1,l+1 đơn với (k, l) thỏa mãn l, k ≥ 1, k − l = Sử dụng mệnh đề này, thu được: với trọng trội nguyên λ = (m, m, −p|0), xây dựng biểu diễn có đặc trưng đặc trưng V (λ) 3.5.3 Xây dựng biểu diễn cách sử dụng phức Koszul kép Sử dụng Mệnh đề 3.3.1, với trọng cao có dạng λ = (n, 0, −p|0) ta xây dựng biểu diễn có đặc trưng với đặc trưng V (λ) Sử dụng Mệnh đề 3.3.2, với trọng cao λ = (m + a, m, −p|0), xây dựng biểu diễn có đặc trưng đặc trưng V (λ) Tóm lại: với trọng cao (m, n, p|q) nào, xây dựng biểu diễn có trọng cao λ = (m, n, p|q), có đặc trưng 21 với đặc trưng biểu diễn bất khả qui V (λ) Do tập biểu diễn xây dựng bất khả qui tất biểu diễn siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) Chương Biểu diễn bất khả qui GLq (3|1) Mục đích chương bước đầu giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui đại số Hopf liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (3, 1) Với phương pháp sử dụng Chương 3, nhờ tính chất phức Koszul K, L phức Koszul kép, xây dựng biểu diễn GLq (3|1), biểu diễn đánh số số nguyên (m, n, p, p) thỏa mãn điều kiện: m ≥ n ≥ p, m, n, p, q ∈ Z 4.1 Một số tính chất phức Koszul kép Tương tự Chương 3, Chương 4, phức Koszul K, L, xét đến phức Koszul trường hợp lượng tử Chúng thu số kết sau Các kết đóng vai trò định việc xây dựng biểu diễn GLq (3|1) Mệnh đề 4.1.1 Ánh xạ hợp thành g := ∂P Qd : Sk · Sb∗ −→ Sk · Sb∗ sơ đồ (3.4) đẳng cấu với k ≥ Khi ta có Sk · Sb∗ đẳng cấu với ∗ thành phần trực tiếp Sk+1 · Sb+1 Mệnh đề 4.1.2 Ánh xạ hợp thành ∗ ∗ P ∂dQ : KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 −→ KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 ∗ sơ đồ (3.6) đẳng cấu Khi KerPi,k+1 · Sa+i+k+1 đẳng cấu với thành phần trực tiếp Si+1 · Imdk,a+i+k+1 22 23 4.2 4.2.1 Xây dựng biểu diễn GLq (3|1) Xây dựng biểu diễn sử dụng phân hoạch Với m ≥ n ≥ p ≥ 0, Im,n,p,0 := Iλ , với λ = (m, n, p) ∗ Với ≥ m ≥ n ≥ p, Im,n,p,0 := I−p,−n,−m,0 Với n = p = 0, Im,0,0,0 := Sm ∗ Với m = n = 0, p < 0, đặt I0,0,p,0 := S−p 4.2.2 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul K Sử dụng phức Koszul Ka với a = xây dựng tập biểu diễn đánh số số nguyên (m, m, −p, 0):m, p ≥ Với p = 0, đặt Im,0,0,0 := Sm 4.2.3 Xây dựng biểu diễn sử dụng phức Koszul kép Sử dụng phức Koszul kép Mệnh đề 4.1.1, xây dựng biểu diễn đánh số tập số nguyên có dạng (k, 0, −m, 0) : k, m ≥ Sử dụng phức Koszul kép K Mệnh đề 4.1.2, xây dựng biểu diễn đánh số tập số nguyên có dạng (m + a, m, −p, 0): m, a, p ≥ 24 Kết luận luận án Trong luận án thu kết sau: Chứng minh chuỗi Poincaré đại số toàn phương liên kết với đối xứng Hecke có tính chất thuận nghịch đối thuận nghịch (tử thức đa thức có tính chất thuận nghịch, mẫu thức đa thức có tính chất đối thuận nghịch), đa thức tử thức mẫu thức có hệ số nguyên Phân loại tất biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (2, 1) Chứng minh số tính chất phức Koszul kép, xây dựng tường minh tất biểu diễn bất khả qui siêu nhóm tuyến tính GL(3|1) Bước đầu xây dựng lớp biểu diễn siêu nhóm tuyến tính lượng tử GLq (3|1) Các cơng trình liên quan đến luận án N P Dung and P.H.Hai On the Poincaré Series of Quadratic Algebras Associated to Hecke Symmetries, Int Math Res Noti 2003, No 40, 2193 - 2203 N P Dung and P.H.Hai Irreducible representations of Quantum Linear Groups of type A1|0 J Alg 2004, No 282, 809-830 N P Dung Double Koszul Complex and Construction of Irreducible Representations of gl(3|1), Proc AMS to appear ... ký hiệu nhóm lượng tử liên kết GLq (m|n) Với m = n = phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử nửa đơn Khi tốn phân loại biểu diễn nhóm lượng tử giải P.H.Hai Khi m n khác 0, toán phân loại biểu diễn bất... P.H.Hai giải toán phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên kết với đối xứng Hecke có song hạng (1, 1) Trong Chương II, chúng tơi giải tốn phân loại biểu diễn bất khả qui nhóm lượng tử liên... qui nhóm lượng tử nói chung chưa giải Một khó khăn phạm trù biểu diễn nhóm lượng tử khơng nửa đơn Năm 1986, Palev chứng minh lớp biểu diễn GLq (n|1) bất khả qui, nhiên chưa phải tất biểu diễn