Luận án vưới mục tiêu nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu của một lớp phương trình và hệ phương trình Elliptic không tuyến tính với hệ số không trơn trong Rn. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo luận án.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THÀNH CHUNG SỰ TỒN TẠI NGHIỆM YẾU CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ KHƠNG TRƠN TRONG RN Chuyªn ngμnh: TỐN HỌC M∙ sè: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN S TON HC h nội 2010 công trình đợc hoμn thμnh t¹i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ng−êi h−íng dÉn khoa học Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biên 3: Luận án tiến sĩ đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp Viện Nghiên cứu văn hoá vào hồi ngày tháng Có thể tìm đọc luận án tại: - i hc quc gia H Ni - Th viện Quốc gia năm 2010 ữ tế ỷ tứ trì ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤➲ trë t❤➭♥❤ ♠ét ♣❤➢➡♥❣ t✐Ö♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝❤đ ②Õ✉ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉✱ ❧➭ ❝❤✐Õ❝ ❝➬✉ ♥è✐ ❣✐÷❛ ❝➳❝ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✈➭ t♦➳♥ ❧ý t❤✉②Õt✳ ❱✃♥ ➤Ị ❝❤đ ②Õ✉ ①✉②➟♥ s✉èt tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❧ý t❤✉②Õt ✈➭ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ➤ã ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ ➤➬✉ t❤Õ ❦û ✷✵✱ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ trì r ợ ể t ột ♥❤✃t ❧➭ ❝➳❝ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥✱ tø❝ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤➯ ✈✐ ➤Õ♥ ❝✃♣ ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ã ♠➷t tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ♠ét ➤✐Ị✉ ❞Ơ ♥❤❐♥ t❤✃② ❧➭ ➤Ó ♣❤➯♥ ➳♥❤ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ♠ét q✉➳ tr×♥❤ ✈❐t ❧ý ❤❛② ❝➡ ❤ä❝ t❤× ✈✐Ư❝ ❝❤Ø q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ t❤➠✐ ❧➭ ❝❤➢❛ ➤đ✳ ❱× ✈❐②✱ ➤Ĩ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ❤➡♥ ố tợ ó tì ệ ré♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❧➭ ♠ét ✈✃♥ ➤Ị ❝➬♥ t❤✐Õt✳ ❉♦ ➤ã ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥❣❤✐Ư♠ s✉② ré♥❣ r❛ ➤ê✐✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ❝ã t❤Ĩ ➤➢❛ r❛ ♥❤✐Ị✉ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ✈Ị ♥❣❤✐Ư♠ s✉② ré♥❣ ♥❤➢♥❣ ♣❤➯✐ ➤➯♠ ❜➯♦ ♠ét ♥❣✉②➟♥ t➽❝✿ ✈õ❛ ❝❤➷t ❝❤Ï ✈Ò ♠➷t t♦➳♥ ❤ä❝ ✈õ❛ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ✈Ò ♣❤➢➡♥❣ ❞✐Ư♥ ✈❐t ❧ý✳ ❚r♦♥❣ ❜è✐ ❝➯♥❤ ➤ã✱ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➷t r❛ ❧➭✿ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ s✉② ré♥❣ ✭♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉✮ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❙♦ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ ♥❤➢✿ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐Ư♠ tr➟♥ ♥❣❤✐Ư♠ ❞➢í✐✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ➤✐Ĩ♠ ❜✃t ➤é♥❣ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜❐❝ ➳♥❤ ①➵✱ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ tá r❛ ❝ã ❤✐Ư✉ ❧ù❝ ❤➡♥ ❝➯✳ ý t➢ë♥❣ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ➳♣ ❞ơ♥❣ ✈➭♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➡ së ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥✱ ♠➭ ♥é✐❞✉♥❣ ❝đ❛ ♥ã ❧➭ ➤➢❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤❛♥❣ ①Ðt ✈Ị ✈✐Ö❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ ♠ét ♥❣❤Ü❛ ♥➭♦ ➤ã tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ✭❣ä✐ ❧➭ ♣❤✐Õ♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt✮ s❛♦ ❝❤♦ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ s✉② ré♥❣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ▼ét ♣❤➢➡♥❣ −1− ♣❤➳♣ t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ➤Ĩ t×♠ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ t×♠ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❤♦➳ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ➤ã✳ ❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ✈✐Ư❝ t×♠ ➤✐Ĩ♠ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❤Ị ➤➡♥ ❣✐➯♥✳ ❱➯ ❧➵✐✱ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❝ã t❤Ĩ ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❤♦➳ t➢➡♥❣ ➤è✐ ❤➵♥ ❝❤Õ✳ ❱× ✈❐②✱ tr♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❣➢ê✐ t❛ q✉❛♥ t➞♠ ➤Õ♥ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ✭❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❝ù❝ t✐Ĩ✉✮ ❝đ❛ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣✳ ❈➡ së ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤✐Ĩ♠ ②➟♥ ♥❣ù❛ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❧➭ ❝➳❝ ❜ỉ ➤Ị ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝♦♠♣❛❝t✳ ▼ét ❦Õt q✉➯ q✉❛♥ trä♥❣ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ sù tå♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤ã ❧➭ ✧➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐✧ ✭▼♦✉♥t❛✐♥ ♣❛ss t❤❡♦r❡♠✮✳ ➜Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❧➬♥ ➤➬✉ t✐➟♥ ➤➢ỵ❝ ➤➢❛ r❛ ✈➭♦ ♥➝♠ ✶✾✺✵ ❜ë✐ ❘✳ ❈♦✉r❛♥t ❝❤♦ ế ị tr ữ ❝❤✐Ò✉✳ ◆➝♠ ✶✾✼✸✱ ❆✳ ❆♠❜r♦s❡tt✐ ✈➭ P✳ ❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tơ❝ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ➜Þ♥❤ ❧ý R ✵✳✶ ✭①❡♠ ❬✶❪✮✳ ●✐➯ sö (X, ) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ J : X → ❧➭ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡✱ tø❝ ❧➭ ✈í✐ ♠ä✐ ❞➲② {un } ⊂ X X✱ t❤♦➯ ♠➲♥ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ |J(un )| C ✱ ∀n ✈➭ DJ(un ) → ❦❤✐ n → ∞✱ ➤Ò✉ ❝ã t❤Ĩ trÝ❝❤ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❞➲② ❝♦♥ ❤é✐ tơ tr♦♥❣ X ✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ J(0) = ✈➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J (i) ❚å♥ t➵✐ α✱ r > s❛♦ ❝❤♦ J(v) (ii) ❚å♥ t➵✐ v0 ∈ X ✈í✐ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ α ✈í✐ ♠ä✐ v ∈ X ✱ ||v|| = r❀ ||v0 || > r s❛♦ ❝❤♦ J(v0 ) < 0✳ ➜➷t c = inf max J(ϕ(t)) : ϕ ∈ C([0, 1], X), ϕ(0) = 0, ϕ(1) = v0 t∈[0,1] ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ u∈X s❛♦ ❝❤♦ c = J(u) α > ✈➭ DJ(u) = 0✳ ▲ý t❤✉②Õt ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ➤➲ ❣ã♣ ♣❤➬♥ q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ❦❤➳ ré♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵♦ ❤➭♠ r✐➟♥❣ ❦❤➠♥❣ −2− t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ữ tế ủ ị ý q ú ù ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ P❛❧❛✐s✲ ❙♠❛❧❡ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❤✐Ị✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ❧í♥ tr➟♥ t❤Õ ❣✐í✐ q✉❛♥ t➞♠ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳ ◆➝♠ ✶✾✽✾✱ ❉✳▼✳ ➜ø❝ tr♦♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❬✾❪ ➤➲ t❤✐Õt ❧❐♣ ❧➵✐ ❜ỉ ➤Ị ❜✐Õ♥ ❞➵♥❣ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✵✳✶✮✳ ❑Õt q✉➯ ♥➭② ➤➷❝ ❜✐Ưt ❤÷✉ Ý❝❤ ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ❤Ư sè ❦ú ❞Þ✳ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✵✳✶ ✭①❡♠ ❬✾❪✮✳ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❚❛ ♥ã✐ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J : X → R ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ tr➟♥ X (i) J (ii) ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ❱í✐ ♠ä✐ ♥Õ✉ t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ X❀ u ∈ X ✱ tå♥ t➵✐ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ DJ(u) : X → R s❛♦ ❝❤♦ J(u + tv) − J(u) = DJ(u)(v), ∀v ∈ X; t→0 t lim (iii) ỗ ý ệ t v ∈ X ✱ ➳♥❤ ①➵ u → DJ(u)(v) ❧✐➟♥ tô❝ X ✳ Cw1 (X) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉ tr➟♥ X✳ ❉Ơ C (X) ⊂ Cw1 (X)✱ tr♦♥❣ ➤ã C (X) ❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ X✳ ❈❤♦ ➤Õ♥ tr➢í❝ ♥➝♠ ✷✵✵✺✱ ❝❤➢❛ ❝ã ♠ét ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭♦ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉✱ ♠➷❝ ❞ï ý t➢ë♥❣ ♥➭② ♠ë r❛ ♠ét ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ré♥❣ ❧í♥ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ♠➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ♥ã ❦❤➠♥❣ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t✳ ➜è✐ t➢ỵ♥❣ ♠➭ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤Ị ❝❐♣ ➤Õ♥ tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❧➭ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✮ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❝ã ❞➵♥❣✿ − div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, tr♦♥❣ ➤ã Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë tr♦♥❣ RN ✳ ✭✵✳✶✮ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♠ét sè ❞➵♥❣ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✵✳✶✮ ❧➭ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ − div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, −3− ✭✵✳✷✮ − div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, tr♦♥❣ ➤ã✱ ✭✵✳✸✮ h : Ω → R t❤♦➯ ♠➲♥ ♠ét sè ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ▼ét ❜➭✐ t♦➳♥ ✈í✐ ❧í♣ t♦➳♥ tư tr➟♥ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ré♥❣ r➲✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ▲❛♣❧❛❝❡ −∆✳ ❚♦➳♥ tư − div(a(x, ∇u)) ①✉✃t ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❦❤✉Õ❝❤ t➳♥ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ♠➭ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ♥❤✃t ❧➭ ♠➠ ❤×♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ❝đ❛ ❤✐Ư♥ t➢ỵ♥❣ tr✉②Ị♥ ♥❤✐Ưt tr♦♥❣ ✈❐t t❤Ĩ✱ ❤✐Ư♥ t➢ỵ♥❣ tr✉②Ị♥ sã♥❣ tr ì t ọ ủ ò t ❧á♥❣ ❦❤➠♥❣ ◆❡✇t♦♥✱ ✳✳✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮ ✈í✐ t❤ø❝ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ➤è✐ ✈í✐ f (x, u) ❧➭ ♠ét ❜✐Ĩ✉ u ❜❛♦ ❣å♠ ♥❤✐Ị✉ ♠➠ ❤×♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ tr♦♥❣ ❝➡ ❤ä❝ ❧➢ỵ♥❣ tư✱ ❝➡ ❤ä❝ tr♦♥❣ ♠➠✐ tr➢ê♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝✱ ý tết trờ ữ ết q t ợ từ ữ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤ã ✈õ❛ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ✈Ò ♠➷t ❧ý t❤✉②Õt ✈õ❛ ❝ã ý ♥❣❤Ü❛ ✈Ị ♠➷t ø♥❣ ❞ơ♥❣ ✭①❡♠ ❬✽❪✮✳ ▼í✐ ➤➞②✱ P✳ ❉❡ ◆➳♣♦❧✐ ✈➭ ▼✳❈✳ ▼❛r✐❛♥✐ ❬✼❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tỉ♥❣ q✉➳t ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω ⊂ RN ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✱ ë ➤ã ❤➭♠ a : Ω × RN → RN ✱ a = a(x, ξ) ➤➢ỵ❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ ξ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ A : Ω × RN → R✱ tø❝ ❧➭ a(x, ξ) = ∂A(x,ξ) ✈➭ ∂ξ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t➝♥❣ ❞➵♥❣ C(1 + |ξ|p−1 ) |a(x, ξ)| ✈í✐ ♠ä✐ ✭✵✳✹✮ x ∈ Ω✱ ξ ∈ RN ✱ p ∈ (1, +∞)✳ ❍➭♠ f : Ω × R → R ➤➢ỵ❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❈❛r❛t❤Ð♦❞♦r② ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❦✐Ĩ✉ ❆♠❜r♦s❡tt✐✲❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ❬✶❪✱ tø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè µ > p s❛♦ ❝❤♦ < µF (x, z) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω ✈➭ z ∈ R\{0}✱ zf (x, z) tr♦♥❣ ➤ã F (x, z) = ✭✵✳✺✮ z f (x, t)dt✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❝❤Ý♥❤ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ✭♥Õ✉ tå♥ t➵✐✮ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ết t ợ ị tứ F (x, u)dx, u ∈ W01,p (Ω) A(x, ∇u)dx − J(u) = Ω Ω ❚✐Õ♣ tơ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ P✳ ❉❡ ◆➳♣♦❧✐ ✈➭ ▼✳❈✳ ▼❛r✐❛♥✐✱ ♥❤✐Ò✉ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➳❝ ➤➲ ♠ë ré♥❣ ❦Õt q✉➯ ♥➭② ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ➤➷t r❛ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝❤♦ −4− ✈Õ ♣❤➯✐ ❤♦➷❝ ①Ðt Ω = RN ✭①❡♠ ❬✶✸✱ ✶✹❪✮✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ❉✳▼✳ ➜ø❝ ✈➭ ◆✳❚✳ ❱ò ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦ú ị ủ trì tr ó tết ✭✵✳✹✮ ➤➢ỵ❝ t❤❛② ❜ë✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ②Õ✉ ❤➡♥ s❛✉ ➤➞②✿ C(h0 (x) + h1 (x)|ξ|p−1 ) |a(x, ξ)| ✈í✐ ♠ä✐ t❤ê✐ ✭✵✳✻✮ p x ∈ Ω✱ ξ ∈ RN ✱ p ∈ (1, +∞)✱ h0 ∈ L p−1 (Ω) ✈➭ h1 ∈ L1loc (Ω)✱ ➤å♥❣ h0 (x) 0✱ h1 (x) ①✉✃t ❤✐Ư♥ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈í✐ ♠ä✐ h1 ∈ L1loc (Ω)✱ x ∈ Ω ✭①❡♠ ❬✶✵✱ ✷✷❪✮✳ ❘â r➭♥❣✱ ✈í✐ sù ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✭✵✳✶✮ ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr♦♥❣ t♦➭♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ W01,p (Ω)✳ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❉♦ ➤ã✱ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝❤Ø ❝ã t❤Ó tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ H ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ W01,p (Ω)✳ ❱× ❧ý ❞♦ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣ä✐ ❧➭ ✧❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤Ị✉✧ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❧♦➵✐ ❡❧❧✐♣t✐❝✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ H ♥ã✐ tr➟♥ ó trọ ợ ị ❜ë✐ H= u ∈ W01,p (Ω) : h1 (x)|∇u|p dx < ∞ Ω ✈í✐ ❝❤✉➮♥ u H h1 (x)|∇u|p dx = p Ω ✈➭ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ J : H → R ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ tø❝ ❧➭ J ∈ Cw1 (H)✳ ●✐➯ t❤✐Õt ✭✵✳✺✮ ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤♦ ♠ä✐ ❞➲② P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡ tr♦♥❣ H✳ J ❜Þ ❝❤➷♥ ✈➭ ❞♦ ➤ã ◆❤➢ ✈❐②✱ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ✭✵✳✶✮ sÏ tå♥ t➵✐ ♥❤ê ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉ tr♦♥❣ H ✭①❡♠ ❬✾❪✮✳ ❚õ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭②✱ ♠ét ✈✃♥ ➤Ò ♥➯② s✐♥❤ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❧➭✿ ❧✐Ö✉ ❦❤✐ t❤❛② ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t ❧✐➟♥ tô❝ ❜ë✐ ♠ét ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉✱ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ❝ß♥ ➤ó♥❣ ❤❛② ❦❤➠♥❣❄ ▼ét sè ✈✃♥ ➤Ị ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❝➞✉ ❤á✐ tr➟♥ ❝ã t❤Ĩ t×♠ t❤✃② tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ❍✳◗✳ ❚♦➭♥ ✈➭ ◆✳◗✳ ❆♥❤ ✭①❡♠ ❬✶✻✱ ✶✼✱ ✶✽✱ ✷✶❪✮✳ ➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❞➵♥❣ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ tr♦♥❣ ❬✶✾❪ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ ❧í♣ ❝➳❝ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ ②Õ✉✳ −5− ➜Þ♥❤ ❧ý ✵✳✷ ✭①❡♠ ❬✶✼❪✮✳ ❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ●✐➯ sö J ∈ Cw1 (X) ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ (i) J (ii) J ❜Þ ❝❤➷♥ ❞➢í✐✱ c = inf X J ❀ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡ tr➟♥ ❑❤✐ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ u∈X s❛♦ ❝❤♦ X✳ J(u) = c ✈➭ DJ(u) = 0✳ ❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ➳♣ ❞ô♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ■✳ ❊❦❡❧❛♥❞ ❬✶✶❪✱ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ❝ï♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ➤➢ỵ❝ t❤✐Õt ❧❐♣ ❧➵✐ ❝❤♦ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ❍♦➭♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➭♥ ✈➭ ◆❣➠ ◗✉è❝ ❆♥❤ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮✱ ✭✵✳✸✮ ❝ã ❤Ư sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω ⊂ RN ✈➭ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ sù tå♥ t➵✐✱ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ t✐Õ♣ tơ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮ ✈➭ ✭✵✳✸✮ ✈í✐ ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị ❝ơ t❤Ĩ ♥❤➢ s❛✉✿ ✶✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ ✭✵✳✶✮✱ ✭✵✳✷✮ ✈➭ ✭✵✳✸✮ ✈í✐ ❤Ư sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ RN Ω⊂ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥✳ ✷✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈í✐ ❤Ư sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉② ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❤♦➷❝ RN ✳ ✸✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥✳ ✹✳ ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ tế ị ể r ộ ợ ❝➠♥❣ ❜è tr♦♥❣ ✼ ❜➭✐ ❜➳♦ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✭❬✶✱ ✸✱ ✺✱ ✻✱ ✼✱ ✾✱ ✶✵❪✱ ✧❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝ñ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮ ✈➭ ợ trì t ợ tỏ ò ết s s ế P●❙✳ ❚❙✳ ❍♦➭♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➭♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❈➡ ✲ ❚✐♥ ❤ä❝✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝ ❚ù ♥❤✐➟♥✱ −6− ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❞×✉ ❞➽t t➳❝ ❣✐➯ tõ ♥❤÷♥❣ ♥❣➭② ➤➬✉ ❧➭♠ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ tr♦♥❣ s✉èt q✉➳ tr×♥❤ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ➳♥✳ ❉➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ P●❙✳ ❚❙✳ ❍♦➭♥❣ ◗✉è❝ ❚♦➭♥✱ sù ❣✐ó♣ ➤ì ❝đ❛ ❝➳❝ ❚❤➬② ❈➠ ✈➭ ❝➳❝ ❛♥❤ ❝❤Þ ❡♠ tr♦♥❣ s❡♠✐♥❛r ❇é ♠➠♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤✱ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ❤ä❝ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝❤ ❧➭♠ ✈✐Ö❝ tr♦♥❣ ♠ét ♠➠✐ tr➢ê♥❣ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝❤✉②➟♥ ♥❣❤✐Ö♣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❧✉❐♥ ➳♥ ➤➷❝ ❜✐Öt ❝➯♠ ➡♥ sù ❝é♥❣ t➳❝ ✈➭ ❝❤✐❛ sÏ ♥❤÷♥❣ t❤➠♥❣ t✐♥ ✈➠ ❝ï♥❣ ❤÷✉ Ý❝❤ ❝đ❛ ❚❤❙✳ ◆❣➠ ◗✉è❝ ❆♥❤✱ ♠ét ♥❣➢ê✐ ❜➵♥ ♥❤✐Ưt t×♥❤ ✈➭ t❤➞♥ t❤✐Õt ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ♠✉è♥ ❣ư✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ➤Õ♥ ❝➳❝ ❚❤➬② ❣✐➳♦ ➤➲ t❤❛♠ ❣✐❛ ♣❤➯♥ ❜✐Ö♥ ❣ã♣ ♣❤➬♥ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ➳♥✳ ▲✉❐♥ ➳♥ ♥➭② sÏ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ♥Õ✉ t➳❝ ❣✐➯ ❦❤➠♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣✐ó♣ ➤ì tõ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ư✉✱ P❤ß♥❣ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❈➡ ✲ ❚✐♥ ❤ä❝✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❍❚◆ ✲ ➜❍◗● ❍➭ ◆é✐✱ ❇❛♥ ●✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲ ❚✐♥✱ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉➯♥❣ ❇×♥❤✳ ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ợ ữ t ủ ì ➤×♥❤✱ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥ ✈➭ ❜➵♥ ❜❒✳ ❍➭ ◆é✐✱ ♥❣➭② ✶✵ t❤➳♥❣ ✵✺ ♥➝♠ ✷✵✶✵ ◆❣✉②Ô♥ ❚❤➭♥❤ ❈❤✉♥❣ −7− ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤Ị✉ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♠ét ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦❤➠♥❣ ➤Ị✉ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ trì t tế tí tr ề ị ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ❑Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➤➲ ợ ố tr trì tr t í ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✳ ✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ●✐➯ sư Ω ⊂ RN ✭N 3✮ ❧➭ ♠ét ♠✐Ị♥ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ ∂Ω tr➡♥✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t s❛✉ ➤➞②✿ − div(h(x)∇u) + q(x)u = f (x, u) u(x) = u(x) → tr♦♥❣ ➤ã ❝➳❝ ❤➭♠ tr♦♥❣ tr➟♥ ❦❤✐ Ω, ∂Ω, |x| → +∞, h✱ q : Ω → R t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt✿ (H) h ∈ L1loc (Ω)✱ h(x) ≥ 1✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω❀ −8− ✭✶✳✶✮ t❤✐Õt hi (x) ♥❤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN ❧➭ r✃t q✉❛♥ trä♥❣✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❞➱♥ ➤Õ♥ ♣❤Ð♣ H2 → E2 ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❑❤✐ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥➭② ❦❤➠♥❣ ❝ß♥ t❤♦➯ ♠➲♥✱ ✈✃♥ ➤Ò sÏ trë ♥➟♥ ❦❤ã ❦❤➝♥ ❤➡♥✳ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ❣✐➯✐ q✉②Õt ❝❤♦ ♥❤÷♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥❤➢ ✈❐②✳ ●✐➯ sư ❝➳❝ ❤➭♠ a, b : RN → R ✈➭ hi : RN → [0, ∞)✱ i = 1, t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➞②✿ N (A − B) a, b ∈ L∞ loc (R )✱ b(x) tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè a0 , b0 > s❛♦ ❝❤♦ a(x) a0 ✱ b0 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN ✳ (H) hi ∈ L1loc (RN )✱ i = 1, ✈➭ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè α ∈ (0, 2)✱ γ0 > s❛♦ ❝❤♦ hi (x) γ0 |x|α ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN ✳ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ị h1 , h2 ♥❤➢ ✈❐②✱ ❤Ư ✭✷✳✶✮ ❝ã t❤Ĩ s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ x ❍➡♥ ♥÷❛✱ tr♦♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt tø❝ ❧➭ a(x) → ∞ ✈➭ = 0✳ (A − B)✱ ❝➳❝ ❤➭♠ a, b ❦❤➠♥❣ ➤ß✐ ❤á✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜ø❝✱ b(x) → ∞ ❦❤✐ |x| ữ ó s ợ ♣❤ơ❝ ♥❤ê ❦ü t❤✉❐t ❝đ❛ ▼✳ ▼✐❤➝✐❧❡s❝✉ ❬✶✹❪ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛❢❢❛r❡❧❧✐ ✲ ❑♦❤♥ ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣ ❞➵♥❣ ❝æ ➤✐Ĩ♥ tr♦♥❣ ❬✸❪✳ ▲✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ✈Õ ♣❤➯✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ F, f, g : RN × R2 → R t❤✉é❝ ❧í♣ C ✱ ∇F = (f, g) ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ (F1) f (x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN ❀ (F2) ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➭♠ sè ❦❤➠♥❣ ➞♠ ∩L∞ (RN )✱ r0 = N +2−α 1, N −2+α ✱ τ1 ∈ Lr0 (RN ) ∩L∞ (RN )✱ τ2 ∈ Ls0 (RN ) 2N 2N −(r+1)(N −2+α) ✱ s0 = τ1 (x)|w|r−1 + τ2 (x)|w|s−1 ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN , w = (u, v) ∈ R2 ❀ ❚å♥ t➵✐ µ > s❛♦ ❝❤♦ < µF (x, w) ✈➭ r, s ∈ α ∈ (0, 2) s❛♦ ❝❤♦ |∇f (x, w)| + |∇g(x, w)| (F3) 2N 2N −(s+1)(N −2+α) ✱ tr♦♥❣ ➤ã w ∈ R2 \{(0, 0)}✳ − 12 − w · ∇F (x, w) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ RN ●✐➯ sư ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ H2 w ❑❤✐ ➤ã H2 h1 (x)|∇u|2 + h2 (x)|∇v|2 + a(x)|u|2 + b(x)|v|2 dx = RN ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣ 2N N −2+α ✳ ❚❛ ♥ã✐ 2α = H2 ❧➭ ❜ỉ s✉♥❣ ❝đ❛ C0∞ (RN ) t❤❡♦ ❝❤✉➮♥ w = (u, v) ∈ H2 H2 → L2α (RN ) ❧✐➟♥ tơ❝✱ ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ♥Õ✉ [h1 (x)∇u · ∇ϕ1 + h2 (x)∇v · ∇ϕ2 + a(x)uϕ1 + b(x)vϕ2 ] dx− RN − RN [f (x, u, v)ϕ1 + g(x, u, v)ϕ2 ] dx = 0, ∀ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (RN , R2 ) ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (A − B)✱ (H) ✈➭ (F1)−(F3) ➤➢ỵ❝ t❤á❛ ♠➲♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✷✳✶✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ tr♦♥❣ ✷✳✷✳ H2 ✳ ❙ù ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♠ét ❧í♣ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ ❤Ư sè ❦❤➠♥❣ tr➡♥ ✈➭ s✉② ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ▼ơ❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♠ét ❧í♣ ❤Ư ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω ⊂ RN ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ❳Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞➵♥❣ − div(h1 (x)∇u) = λFu (x, u, v) − div(h2 (x)∇v) = λFv (x, u, v) u=v =0 tr♦♥❣ ➤ã ∇F = (Fu , Fv ) ✈➭ λ tr♦♥❣ Ω tr♦♥❣ Ω tr➟♥ ∂Ω, ✭✷✳✷✮ ❧➭ ♠ét t❤❛♠ sè t❤ù❝✱ tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè α, β ∈ (0, 2) s❛♦ ❝❤♦ (H1) lim inf x→z |x − z|−α h1 (x) > 0✱ ∀z ∈ Ω❀ (H2) lim inf x→z |x − z|−β h2 (x) > 0✱ ∀z ∈ Ω✳ − 13 − ➜è✐ ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ F (x, t, s) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ t❤✉é❝ ❧í♣ C tr➟♥ Ω × [0, ∞) × [0, ∞) ✈➭ t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ ➤➞②✿ (F1) C1 , C2 > ❚å♥ t➵✐ s❛♦ ❝❤♦ C1 tγ sδ+1 ✱ |Fs (x, t, s)| |Ft (x, t, s)| δ+1 C2 tγ+1 sδ ✈í✐ ♠ä✐ (t, s) ∈ R2 ✱ x ∈ Ω ✈➭ ❝➳❝ sè γ, δ > ✈í✐ γ+1 p + q = 1✱ γ+1 2α + δ+1 2β < 1✱ ✈➭ γ + < p < 2α = 2N N −2+α ✱ δ + < q < 2β = 2N N −2+β ✱ α, β ∈ (0, 2)❀ (F2) ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè R2 ✈í✐ + sq ❍➭♠ ✈➭ F (x, t0 , s0 ) > ✈➭ ∀x ∈ Ω✱ tr♦♥❣ ➤ã p ✈➭ q ➤➢ỵ❝ (F1)❀ ❝❤♦ ❜ë✐ (F3) η ✈í✐ ♠ä✐ (t, s) ∈ η ✱ s0 ✱ t0 > s❛♦ ❝❤♦ F (x, t, s) F t❤♦➯ ♠➲♥ (x,t,s) lim sup|(t,s)|→∞,t,s>0 tFγ+1 sδ+1 ➤Ò✉ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ x ∈ Ω✳ ❱í✐ sù ①✉✃t ❤✐Ư♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ✈Ị h1 ✈➭ h2 ✱ ❤Ư ✭✷✳✷✮ ❝ã t❤Ĩ s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ Ω ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ñ❛ ♥ã sÏ tå♥ t➵✐ tr♦♥❣ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t❤Ý❝❤ ợ H3 = H01 (, h1 ) ì H01 (, h2 )✱ ë ➤ã H01 (Ω, hi )✱ i = 1, ❧➭ ❜ỉ s✉♥❣ ❝đ❛ C0∞ (Ω) t❤❡♦ ❝➳❝ ❝❤✉➮♥ t➢➡♥❣ ø♥❣✿ u hi = Ω hi (x)|∇u| 1, ủ H3 ợ ị w H3 = u dx h1 + ✱ v u ∈ C0∞ (Ω)✱ i = h2 ✱ w = (u, v) ∈ H3 ❍➡♥ ♥÷❛✱ tõ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ P✳ ❈❛❧❞✐r♦❧✐ ✈➭ ❘✳ ▼✉s✐♥❛ ❬✹❪✱ t❛ ❝ã ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣ ✈í✐ H3 → Li (Ω) × Lj (Ω) ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ i ∈ [1, 2α ]✱ j ∈ [1, 2β ] ✈➭ ❝♦♠♣❛❝t i ∈ [2, 2α )✱ j ∈ [1, 2β )✳ ❚❛ ♥ã✐ w = (u, v) ∈ H3 ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❤Ư ✭✷✳✷✮ ♥Õ✉ (h1 (x)∇u · ∇ϕ1 + h2 (x)∇v · ∇ϕ2 )dx Ω [Fu (x, u, v)ϕ1 + Fv (x, u, v)ϕ2 ]dx = 0, ϕ = (ϕ1 , ϕ2 ) ∈ C0∞ (Ω, R2 ) −λ Ω ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✷✳ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ➜Þ♥❤ ❧ý ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt (H1)✲(H2) ✈➭ (F1)✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè λ > s❛♦ λ < λ✱ ❤Ö ✭✷✳✷✮ ❝❤Ø ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ✷✳✸✳ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt λ > s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ λ (H1)✲(H2) ✈➭ (F1)✲(F3)✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè λ✱ ❤Ö ✭✷✳✷✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✱ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ − 14 − ❈❤➢➡♥❣ ✸ ❇➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞ù❛ tr➟♥ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✻✱ ✼❪ ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✱ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ♣❤➬♥✿ ✸✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tỉ♥❣ q✉➳t ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥✿ − div(a(x, ∇u)) = λf (x, u) u = tr♦♥❣ ➤ã Ω ⊂ RN ✭N tr♦♥❣ tr➟♥ Ω, ✭✸✳✶✮ ∂Ω, 3✮ ❧➭ ♠ét ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✳ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ♥❤÷♥❣ ý t➢ë♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝đ❛ ▼✳ ▼✐❤➝✐❧❡s❝✉ ✈➭ ❱✳ ❘➝❞✉❧❡s❝✉ ❬✶✺❪✱ ♠ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr♦♥❣ ♣❤➬♥ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ✈í✐ t❤❛♠ sè λ ✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐ f ➤æ✐ ❞✃✉✳ ➜➞② ❧➭ ♠ét sù ♠ë ré♥❣ tù ♥❤✐➟♥ tõ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ − 15 − tr♦♥❣ ❬✶✵✱ ✷✶❪✱ ë ➤ã ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲ ➤ß✐ ❤á✐ ✈Õ ♣❤➯✐ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❦✐Ĩ✉ ❆♠❜r♦s❡tt✐✲❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ✭✵✳✺✮✳ ●✐➯ sư ❤➭♠ ❜✐Õ♥ ξ a : Ω × RN → RN ✱ a = a(x, ξ)✱ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ∂A(x,ξ) ✈➭ ∂ξ a(x, ξ) = ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ A : Ω × RN → R✱ A = A(x, ξ)✱ tø❝ ❧➭✱ A(x, 0) = 0✱ ∀x ∈ Ω✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ a ✈➭ A t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt s❛✉ ➤➞②✿ C(h0 (x) + h1 (x)|ξ|p−1 ) (A1) |a(x, ξ)| h0 ∈ L ♠ä✐ (A2) p p−1 ✈í✐ ♠ä✐ ξ ∈ RN ✱ x ∈ Ω✱ (Ω)✱ < p < N ✱ h1 ∈ L1loc (Ω)✱ h0 (x) tr♦♥❣ ➤ã ✈➭ h1 (x) ✈í✐ x ∈ Ω❀ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (a(x, ξ) − a(x, ψ)) · (ξ − ψ) t❤♦➯ ♠➲♥ ✈í✐ ♠ä✐ ξ, ψ ∈ RN ✱ x ∈ Ω✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ξ = ψ ❀ (A3) k0 > s❛♦ ❝❤♦ ξ+ψ 1 A(x, ) A(x, ξ) + A(x, ψ) − k0 h1 (x)|ξ − ψ|p 2 N ✈í✐ ♠ä✐ ξ, ψ ∈ R ✱ ✈➭ x ∈ Ω✱ tø❝ ❧➭✱ A ❧➭ p✲❧å✐ ➤Ò✉ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ t❤ø ❤❛✐❀ (A4) ❚å♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè ❚å♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè ♠ä✐ k1 > s❛♦ ❝❤♦ k1 h1 (x)|ξ|p a(x, ξ) · ξ pA(x, ξ) ✈í✐ ξ ∈ R N ✱ x ∈ Ω✳ ➜è✐ ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❣✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ f : Ω × [0, +∞) → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❈❛r❛t❤Ð♦❞♦r② t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿ Ctp−1 ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ [0 + ∞)✱ x ∈ Ω✱ C > 0❀ (F1) f (x, 0) = 0✱ |f (x, t)| (F2) ❚å♥ t➵✐ ❤❛✐ ❤➺♥❣ sè t0 , t1 (F3) t > s❛♦ ❝❤♦ F (x, t) ữ trị t0 F (x, t1 ) > 0✱ ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω❀ ❍➡♥ ♥÷❛✱ lim supt→∞ F (x,t) ➤Ị✉ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ x ∈ Ω✱ tr♦♥❣ ➤ã F (x, t) = t f (x, s)ds✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝ A(x, ∇u)dx − λ J(u) = Ω F (x, u)dx, Ω − 16 − tr♦♥❣ ➤ã u f (x, t)dt✱ ❤♦➭♥ t♦➭♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ ②Õ✉ F (x, u) = tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ u ∈ W01,p (Ω) : H4 = h1 (x)|∇u|p dx < ∞ Ω u ✈í✐ ❝❤✉➮♥ p Ω h1 (x)|∇u| dx = H4 p ❚❛ ♥ã✐ u ∈ H4 ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ♥Õ✉ f (x, u)ϕdx = 0, ϕ ∈ C0∞ (Ω) a(x, ∇u) · ∇ϕdx − λ Ω ➜Þ♥❤ ❧ý Ω ✸✳✶✳ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt (A1)✲(A4) ✈➭ (F1)✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè λ > s❛♦ λ < λ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ❝❤Ø ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✷✳ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt (A1)✲(A4) ✈➭ (F1)✲(F3)✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè λ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ λ λ✱ >0 ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✶✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ♣❤➞♥ ❜✐Öt✱ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ✈➭ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ✸✳✷✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❜✐➟♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝đ❛ ♠ơ❝ ♥➭② ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤♦ ♠ét ❧í♣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ❞➵♥❣✿ −∆p u + |u|p−2 u = λf (u) ∂u = µg(u) |∇u|p−2 ∂n tr♦♥❣ ➤ã Ω ⊂ RN (N ❈➳❝ ❤➭♠ sè f ✈➭ Ω, tr➟♥ ∂Ω, ∂Ω✳ ❈❤ó♥❣ t➠✐ ➤➷t r❛ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ s❛✉✿ g : R → R ❧✐➟♥ tô❝✱ tå♥ t➵✐ ❤❛✐ ❤➺♥❣ sè M1 , M2 > s❛♦ ❝❤♦ |f (t)| ✭✸✳✷✮ 3) ❧➭ ♠ét ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ ✈í✐ ❜✐➟♥ ∂Ω tr➡♥✱ n ❧➭ ✈❡❝t➡ ♣❤➳♣ t✉②Õ♥ ♥❣♦➭✐ ➤è✐ ✈í✐ ❜✐➟♥ (H1) tr♦♥❣ M1 (1 + |t|p−1 ), |g(t)| − 17 − M2 |t|p−1 , ∀t ∈ R; (H2) ❍➭♠ f t❤♦➯ ♠➲♥ f (t) = 0; t→0 |t|p−1 lim (H3) ❚å♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè t0 t0 g(t)dt > ∈ R s❛♦ ❝❤♦ F (t0 ) = ➜Ó ý r➺♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt t0 f (t)dt > ❤♦➷❝ G(t0 ) = (H1)✱ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❦✐Ĩ✉ ❆♠❜r♦s❡tt✐✲❘❛❜✐♥♦✇✐t③ t ì ể ứ ị ❧ý ✈Ị sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✷✮✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ➳♣ ❞ơ♥❣ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❜❛ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ●✳ ❇♦♥❛♥♥♦ tr♦♥❣ ❬✷❪✳ ❚❛ ♥ã✐ u ∈ W 1,p (Ω) ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✷✮ ♥Õ✉ (|∇u|p−2 ∇u · ∇ϕ + |u|p−2 uϕ)dx − λ Ω ✈í✐ ♠ä✐ g(u)ϕdσ = ∂Ω ϕ ∈ W 1,p (Ω)✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳ ➤ã✱ tå♥ t➵✐ sè f (u)ϕdx − µ Ω ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ề ệ (H1)(H3) ợ t > s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ µ ∈ [0, µ)✱ ❝ã ♠ét ❦❤♦➯♥❣ ♠ë Kµ ✈➭ ❤➺♥❣ δµ > 0✱ ➤Ĩ ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ Kµ ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✸✳✷✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ W 1,p (Ω) ✈í✐ ❝❤✉➮♥ ♥❤á ❤➡♥ δµ ✳ − 18 − ❈❤➢➡♥❣ ✹ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ trì t tế tí tế ị ể r ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❦ú ❞Þ ❦✐Ĩ✉ ❍❛r❞②✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤đ ②Õ✉ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞ù❛ ✈➭♦ ❝➳❝ ❜➭✐ ❜➳♦ ❬✾✱ ✶✵❪ ✭①❡♠ ✧❉❛♥❤ ♠ơ❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥✧✮✱ ✈➭ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ ❧➭♠ ❤❛✐ ♣❤➬♥✳ ✹✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ t❤Õ ✈Þ ❦✐Ĩ✉ ❍❛r❞② ✈➭ ➤ỉ✐ ❞✃✉ ▼ơ❝ ♥➭② ❞➭♥❤ ➤Ĩ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣ −∆u = µ2 u + λf (x, u) |x| u =0 tr♦♥❣ ➤ã λ ✈➭ Ω ⊂ RN (N µ s❛♦ ❝❤♦ |f (x, t)| (F1) ❚å♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè (F2) ❚å♥ t➵✐ ❤❛✐ ❤➺♥❣ sè (F3) Ct ✈í✐ ♠ä✐ t ∈ R✱ x ∈ Ω❀ δ ✱ t0 > s❛♦ ❝❤♦ F (x, t) 0✱ F (x, t0 ) > ✈í✐ ♠ä✐ δ ✱ x ∈ Ω❀ t ❍➡♥ ♥÷❛✱ limt→∞ sup F (x,t) t2 ➤Ị✉ t❤❡♦ x ∈ Ω✱ tr♦♥❣ ➤ã F (x, t) = t f (x, s)ds✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✶✮ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ (F1)✱ (F2) ✈➭ (F3) ❧➭ ♠ét sù ♠ë ré♥❣ ❤♦➭♥ t♦➭♥ tù ♥❤✐➟♥ tõ ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❆✳ ❑r✐st➳❧② ❬✶✷❪✱ ë ➤ã ❝➳❝ t➳❝ ❣✐➯ ➤ß✐ ❤á✐ ❤➭♠ f ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ x✳ ❉♦ ➤ã✱ ❦ü t❤✉❐t ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ë ➤➞② ❞ù❛ tr➟♥ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ĩ✉✳ ❚❛ ♥ã✐ u ∈ H01 (Ω) ❧➭ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ✭✹✳✶✮ ♥Õ✉ ∇u ã dx ị ý udx − λ Ω |x| ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ f (x, u)ϕdx = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω (F1) ợ t ó ỗ [0, µ )✱ tå♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè λ > s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ λ < λ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✶✮ ❝❤Ø ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t➬♠ t❤➢ê♥❣✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✷✳ ●✐➯ t❤✐Õt r ề ệ ó ỗ (F1)(F3) ề ợ t [0, ) tồ t ❤➺♥❣ sè λ > s❛♦ ❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✶✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ ✈í✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✹✳✷✳ λ λ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐ t❤Õ ✈Þ ❦✐Ĩ✉ ❍❛r❞② ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ tÝ♥❤ ➤è✐ ①ø♥❣ ❳✉✃t ♣❤➳t tõ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò sù ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ❝đ❛ ♠✐Ị♥ ➤Õ♥ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ tr♦♥❣ ❬✷✸❪✱ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠ét ❧í♣ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❞➵♥❣ ✭✹✳✶✮ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ − 20 − ♠✐Ị♥ ✈➭ Ω = Ω1 × Ω2 ⊂ RN ✭N 5✮✱ Ω1 ⊂ Rm ✭m Ω2 ❧➭ ♠ét ❤×♥❤ ❝➬✉ k−❝❤✐Ị✉ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ R ✭ k 2✮ ❜Þ ❝❤➷♥ ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥ 3✮✱ ❝ã t➞♠ t➵✐ ❣è❝ t♦➵ ➤é ✈➭ m + k = N ✳ ❈ơ t❤Ĩ✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥✿ −∆u = µ2 u + h(x)|u|q−2 u ✈í✐ x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, |x| ✭✹✳✷✮ u =0 ✈í✐ x = (x , x ) ∈ ∂Ω, tr♦♥❣ ➤ã h(x) = |x2 |l ✱ ❝➳❝ ❤➺♥❣ sè q ✈➭ l t❤♦➯ ♠➲♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥✿ < q < + τ, = 2N 2(k − 2) , τ= min{ , l} N −2 N −2 m ✭✹✳✸✮ ➜Ó ý r➺♥❣✱ ❣✐➯ t❤✐Õt ✭✹✳✸✮ ❜❛♦ ❤➭♠ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❞➢í✐ tí✐ ❤➵♥✱ tí✐ ❤➵♥ ✈➭ tr➟♥ tí✐ ❤➵♥✳ ◆❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✷✮ sÏ tå♥ t➵✐ ♥❤➢ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ J(u) = J : H0,s () R ợ ị tứ |∇u|2 − Ω µ |u| dx − |x|2 q h(x)|u|q dx, Ω tr♦♥❣ ➤ã✱ H0,s (Ω) = u ∈ H01 (Ω) : u(x1 , x2 ) = u(x1 , |x2 |), ∀x = (x1 , x2 ) ∈ Ω ➜Þ♥❤ ❧ý ✹✳✸✳ ●✐➯ sư ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✹✳✸✮ ➤➢ỵ❝ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✷✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ t➬♠ t❤➢ê♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ µ ✭♣❤ơ t❤✉é❝ µ✮ s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐ ❤➭♠ ✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✳✹✮ ❝ã Ýt ♥❤✃t ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❦❤➠♥❣ (Ω)✳ ❍➡♥ ữ t ò ó H0,s 21 ❦❤✐ µ → µ ✳ ❑Õt ❧✉❐♥ ❱Ị ♥é✐ ❞✉♥❣✱ ❧✉❐♥ ➳♥ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ ②Õ✉ ❝ñ❛ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❦❤➠♥❣ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t✿ − div(a(x, ∇u)) = f (x, u), x ∈ Ω, tr♦♥❣ ➤ã ✭✶✮ Ω ❧➭ ♠ét t❐♣ ♠ë tr RN trờ ợ r ủ trì ✭✶✮ ❧➭ ✈í✐ ❤➭♠ trä♥❣ − div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, ✭✷✮ − div(h(x)|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω, ✭✸✮ h : Ω → R t❤♦➯ ♠➲♥ ♠ét sè ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♥❤✃t ➤Þ♥❤✳ ❱Ị ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ï♥❣ ✈í✐ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❇➺♥❣ ✈✐Ư❝ ➳♣ ❞ơ♥❣ ❦Õt ❤ỵ♣ ❝➳❝ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤➢✿ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❊❦❡❧❛♥❞✱ ➤Þ♥❤ ❧ý q✉❛ ♥ó✐✱ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ✈➭ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜❛ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤❛♥❣ ①Ðt ♥❤➢ ❧➭ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❤➭♠ ➤➢ỵ❝ ①➞② ❞ù♥❣ t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✈➭ ❝❤➢➡♥❣ ✷✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ②Õ✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã ♣❤➬♥ ❝❤Ý♥❤ ❞➵♥❣ − div(h(x)∇u) tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥✱ ❦❤➠♥❣ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω RN ❤♦➷❝ t♦➭♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈í✐ ❤Ư sè ❦ú ❞Þ t❤Ĩ ❤✐Ư♥ tr♦♥❣ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s❛✉✿ (1) ❍➭♠ h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ h(x) (2) ❍➭♠ h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ h(x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω ✭①❡♠ ❝❤➢➡♥❣ ✶✮❀ γ0 |x|α ✱ α ∈ (0, 2) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω✳ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ❝ã t❤Ĩ s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ➤✐Ó♠ (3) ❑❤✐ ➤ã x = ✭①❡♠ ♠ơ❝ ✷✳✶✮❀ h ∈ L1loc (Ω) ✈➭ ❝ã t❤Ĩ tr✐Ưt t✐➟✉ t➵✐ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ Ω✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❜➭✐ t♦➳♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ➤➢ỵ❝ ①Ðt ❝ã t❤Ĩ s✉② ❜✐Õ♥ t➵✐ ♥❤✐Ị✉ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ Ω ✭①❡♠ ❍➭♠ ❝➳❝ ♠ơ❝ ✷✳✷✮✳ − 22 − ❘â r➭♥❣✱ ❦❤✐ ➤é ❦ú ❞Þ ❝đ❛ ❤Ư sè tr♦♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t➝♥❣ ❧➟♥✱ ➤é ♣❤ø❝ t➵♣ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❝ò♥❣ t➝♥❣ ❧➟♥✳ ❉♦ ➤ã✱ ❦ü t❤✉❐t ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sÏ ❦❤ã ❦❤➝♥ ❤➡♥ ✈➭ t✐♥❤ tÕ ❤➡♥✳ ❍➡♥ ữ t ợ ét tr ề ị ❝❤➷♥ ❤♦➷❝ t♦➭♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ RN t❤× ♣❤Ð♣ ♥❤ó♥❣ ❝♦♠♣❛❝t ò ú ữ ề sÏ ➯♥❤ ❤➢ë♥❣ ➤Õ♥ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ♥ư❛ ❧✐➟♥ tơ❝ ❞➢í✐ ②Õ✉ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝♦♠♣❛❝t P❛❧❛✐s✲❙♠❛❧❡ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ♥➝♥❣ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ ❦Õt ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥✳ ➜Ĩ ❦❤➽❝ ♣❤ơ❝ ♥❤÷♥❣ ❦❤ã ❦❤➝♥ ♥➭②✱ ♥❣♦➭✐ ✈✐Ư❝ ➤➢❛ ✈➭♦ ♥❤÷♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt ♠❛♥❣ tÝ♥❤ ❦ü t❤✉❐t t❤× ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♣❤➯✐ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ s➳♥❣ t➵♦ ❝➳❝ ❦ü t❤✉❐t ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♠ét sè ➢í❝ ❧➢ỵ♥❣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ♥❤➢ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥é✐ s✉②✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ P♦✐♥❝❛rÐ✱ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛❢❢❛r❡❧❧✐✲ ❑♦❤♥ ✲ ◆✐r❡♥❜❡r❣✳ ◆Ðt ❝❤✉♥❣ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ❧➭ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù tå♥ t➵✐ ✈➭ tÝ♥❤ ➤❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tù❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧♦➵✐ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮✳ ❚r♦♥❣ ♠ơ❝ ✸✳✶✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❞➵♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t ✭✶✮ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω ⊂ RN ✱ ❤➭♠ a t❤♦➯ ♠➲♥ |a(x, ξ)| tr♦♥❣ ➤ã h0 c0 (h0 (x) + h1 (x)|ξ|p−1 ), p ∈ L p−1 (Ω)✱ h1 ∈ L1loc (Ω)✱ h0 (x) 0✱ ✈➭ h1 (x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ Ω✳ ▼ơ❝ ✸✳✷ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❦✐Ó✉ ◆❡✉♠❛♥♥ −∆p u + |u|p−2 u = λf (u) ∂u |∇u|p−2 ∂n = µg(u) tr♦♥❣ ➤ã tr♦♥❣ Ω, tr➟♥ ∂Ω, ✭✹✮ f, g ❧➭ ❝➳❝ ❤➭♠ (p − 1) ❞➢í✐ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t➵✐ ✈➠ ❝ï♥❣✳ ➜Ĩ ý r➺♥❣ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭②✱ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❦✐Ĩ✉ ❆♠❜r♦s❡tt✐✲❘❛❜✐♥♦✇✐t③ ❦❤➠♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✹✮ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞ï♥❣ ➤Õ♥ ♥❣✉②➟♥ ❧ý ❜✐Õ♥ ♣❤➞♥ ✸ ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ❝ñ❛ ❇✳ ❘✐❝❝❡r✐ ✈➭ ●✳ ❇♦♥❛♥♥♦ ❬✷❪✳ ➜➞② ❧➭ ột tr ữ ý ế ợ t ❤✐Ư♥ ✈➭ ❝➯✐ t✐Õ♥ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ➤✐Ĩ♠ tí✐ ❤➵♥ ♥➝♠ ✷✵✵✵✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✹✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❤❛✐ ♠➠ ❤×♥❤ ❜➭✐ t♦➳♥ ❉✐r✐❝❤❧❡t ➤è✐ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ♥ư❛ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ã t❤Õ ✈Þ ❦✐Ĩ✉ ❍❛r❞②✳ − 23 − ố ù từ ữ ết q ứ ợ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❧✉❐♥ ➳♥ ❝❤ó♥❣ t➠✐ s✉② tÝ♥❤ ➤Õ♥ ♥❤÷♥❣ ❜➢í❝ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝đ❛ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥➭② ❝ã tÝ♥❤ ❦❤➯ t❤✐ ♥❤➢ s❛✉✿ (1) ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ➤è✐ ✈í✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❍❛♠✐❧t♦♥ ❝ã ❤Ư sè ❦ú ❞Þ❀ (2) ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❧♦➵✐ p(x)✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ✈í✐ ❤Ư sè ❦ú ❞Þ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ ✈í✐ sè ♠ò ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥❀ (3) ◆❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ❜✐➟♥ ❡❧❧✐♣t✐❝ ❞➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t ✭✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❖r❧✐❝③ ✲ ❙♦❜♦❧❡✈✳ − 24 − ❉❛♥❤ ♠ô❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ t➳❝ ❣✐➯ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❧✉❐♥ ➳♥ ❬✶❪ ❚♦❛♥ ❍✳◗✳✱ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥✉♥✐❢♦r♠❧② ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥s✧✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❆♥❛❧②s✐s✱ ✼✵✱ ✸✾✽✼✲✸✾✾✻✳ ❬✷❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚ ✭✷✵✵✽✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ♥♦♥✉♥✐❢♦r♠❧② ❡❧✲ N ❧✐♣t✐❝ ♥♦♥❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ✐♥ R ✧✱ ❊❧❡❝tr♦♥✳ ❏✳ ❉✐❢❢✳ ❊q✉✳✱ ✷✵✵✽ ✭✶✶✾✮✱ ✶✲✶✵✳ ❬✸❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳✱ ❚♦❛♥ ❍✳◗✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❊①✐st❡♥❝❡ r❡s✉❧t ❢♦r ♥♦♥✉♥✐❢♦r♠❧② ❞❡✲ N ❣❡♥❡r❛t❡ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ s②st❡♠s ✐♥ R ✧✱ ●❧❛s❣♦✇ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✶✱ ✺✻✶✲ ✺✼✵✳ ❬✹❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✧❖♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ s②st❡♠ ✐♥ ❬✺❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳✱ ❚♦❛♥ ❍✳◗✳ RN ✧✱ ❆❝t❛ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✳✱ ✶✶✵ ✭✶✮✱ ✹✼✲✺✻✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❖♥ ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❛♥❞ s✐♥❣✉❧❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ s②st❡♠s ✐♥ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥s✧✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✻✵✱ ✹✷✷✲ ✹✸✶✳ ❬✻❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳✱ ◆❣♦ ◗✳❆✳ t✐♦♥s ♦❢ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❆ ♠✉❧t✐♣❧✐❝✐t② r❡s✉❧t ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ ❡q✉❛✲ p✲▲❛♣❧❛❝✐❛♥ t②♣❡ ✇✐t❤ s✐❣♥✲❝❤❛♥❣✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t✐❡s✧✱ ●❧❛s❣♦✇ ▼❛t❤✳ ❏✳✱ ✺✶✱ ✺✶✸✲✺✷✹✳ ❬✼❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳ ✭✷✵✵✽✮✱ ▼✉❧t✐♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r q✉❛s✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❊❧❡❝tr♦♥✳ ❏✳ ❉✐❢❢✳ ❊q✉✳✱ ✷✵✵✽ ✭✶✻✺✮✱ ✶✲✻✳ − 25 − ❬✽❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳✱ ◆❣♦ ◗✳❆✳ ✭✷✵✶✵✮✱ ✧▼✉❧t✐♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❝❧❛ss ♦❢ q✉❛s✐❧✐♥✲ ❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ p(x)✲ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ t②♣❡ ✇✐t❤ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✧✱ Pr♦❝✳ ❘♦②✳ ❙♦❝✳ ❊❞✐♥❜✉r❣❤ ❙❡❝t✳ ❆✱ ✶✹✵✱ ✷✺✾✲✷✼✷✳ ❬✾❪ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧▼✉❧t✐♣❧❡ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦r s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ ❍❛r❞②✲t②♣❡ ❛♥❞ s✐❣♥✲❝❤❛♥❣✐♥❣ ♣♦t❡♥t✐❛❧s✧✱ ■♥t✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✵✸ ✭✶✻✮✱ ✼✽✼✲✼✾✸✳ ❬✶✵❪ ❚♦❛♥ ❍✳◗✳✱ ❈❤✉♥❣ ◆✳❚✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ✧❖♥ s♦♠❡ s❡♠✐❧✐♥❡❛r ❡❧❧✐♣t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠s ✇✐t❤ s✐♥❣✉❧❛r ♣♦t❡♥t✐❛❧s ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ s②♠♠❡tr②✧✱ t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ❚❛✐✇❛♥❡s❡ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝s✳ − 26 − ...công trình đợc hon thnh I HC QUC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Ng−êi h−íng dÉn khoa häc Ph¶n biƯn 1: Ph¶n biƯn 2: Phản biên 3: Luận án tiến sĩ đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận. .. đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận án cấp nhà nớc họp Viện Nghiên cứu văn hoá vào hồi ngày tháng Có thể tìm đọc luận án tại: - Đại học quốc gia Hà Nội - Th− viÖn Quèc gia năm 2010 ữ tế ỷ tứ... ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ❜Þ ❝❤➷♥ Ω ⊂ RN ❝ã ❜✐➟♥ tr➡♥✱ ë ➤ã ❤➭♠ a : Ω × RN → RN ✱ a = a(x, ξ) ➤➢ỵ❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ❧➭ ➤➵♦ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tơ❝ t❤❡♦ ❜✐Õ♥ ξ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tơ❝ A : Ω × RN → R✱ tø❝ ❧➭ a(x, ξ) = ∂A(x,ξ)