Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không Compact

Mục đích của luận án là nghiên cứu bài toán phân loại các miền không bị chặn trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không Compact. Ngoài ra, luận án còn nghiên cứu tính chất hình học địa phương của điểm biên tụ quỹ đạo. Để nắm chi tiết nội dung nghiên cứu mời các bạn cùng tham khảo luận án.

Bộ giáo dục đào tạo Trờng Đại học S phạm Hà Nội - Ninh Văn Thu Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu không compact Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62.46.10.01 Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học Hà Nội - 2010 Luận án đợc hoàn thành tại: Trờng Đại học S phạm Hà Nội Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Đức Thái Phản biện 1: GS.TSKH Hà Huy Khoái, Viện Toán học Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Trờng Đại học KHTNĐHQGHN Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Doãn Tuấn, Trờng Đại học S phạm Hà Nội Luận án đợc bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nớc họp Trờng Đại học S phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu luận án tại: -Th viện Quốc gia -Th viện Trờng Đại học S phạm Hà Nội Các công trình liên quan đến luËn ¸n [1] Ninh Van Thu (2009), Characterization of linearly convex domains in Cn by their noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathematics, 37(1), pp 67-79 [2] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Geometry of domains in Cn with noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of Mathematics, 37(2&3), pp 1-12 [3] Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Characterization of domains in Cn by their noncompact automorphism groups, Nagoya Mathematical Journal, 196, pp 135-160 [4] Franỗois Berteloot and Ninh Van Thu (2009), Existence of parabolic boundary points of certain domains in Cn, http://arxiv.org/abs/0906.5125v1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giả sử M đa tạp phức Nhóm tự đẳng cấu M (ký hiệu Aut(M )) tập hợp song chỉnh hình M với phép tốn hai ngơi hợp thành hai tự đẳng cấu Tôpô Aut(M ) tôpô hội tụ tập compact (tức tôpô compact-mở) Theo quan điểm F Klein, hình học lớp đối tượng hình học nhóm biến đổi Chẳng hạn Hình học Euclid hình học nhóm phép biến đổi đẳng cự, Hình học Affine hình học nhóm biến đổi Affine Vì thế, hình học đa tạp phức xem hình học nhóm tự đẳng cấu đa tạp phức Có hai tốn nghiên cứu hình học đa tạp phức: Bài tốn Tìm tính chất hình học bất biến qua nhóm tự đẳng cấu Bài toán Phân loại đa tạp phức dựa nhóm tự đẳng cấu chúng Luận án tập trung nghiên cứu Bài toán Cụ thể hơn, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ hình học miền Cn cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nó, tức xét xem miền xác định nhóm tự đẳng cấu đến mức độ Nếu Ω miền bị chặn Cn Aut(Ω) nhóm Lie thực Một câu hỏi hoàn toàn tự nhiên đặt là: nhóm Lie thực xem nhóm tự đẳng cấu đa tạp phức? Năm 2004 J Winkelmann cho trước nhóm Lie thực compact K ln ln tồn miền bị chặn giả lồi chặt Ω Cn cho Aut(Ω) đẳng cấu với K Như vậy, toán phân loại miền với nhóm tự đẳng cấu compact giải trọn vẹn Đối với trường hợp nhóm tự đẳng cấu khơng compact, nhà tốn học phân loại thành công miền bị chặn Cn Còn trường hợp miền khơng bị chặn Cn , toán phân loại giải số trường hợp đặc biệt Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chọn đề tài luận án là: "Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu khơng compact" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tốn phân loại miền khơng bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Ngồi ra, luận án nghiên cứu tính chất hình học địa phương điểm biên tụ quỹ đạo Đối tượng phạm vi nghiên cứu Như trình bày phần lý chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu luận án đa tạp phức, cụ thể miền Cn Trong luận án, tư tưởng xuyên suốt xét xem với điều kiện miền từ tính chất địa phương suy tính chất tồn cục Điều cho phép chúng tơi phân loại số lớp miền không bị chặn Cn nhờ tính khơng compact nhóm tự đẳng cấu Phương pháp nghiên cứu Để giải vấn đề đặt luận án, sử dụng phương pháp nghiên cứu kĩ thuật truyền thống Hình học phức, Giải tích phức, đặc biệt kĩ thuật scaling S Pinchuk, đồng thời sáng tạo kĩ thuật Các kết đạt ý nghĩa đề tài Luận án gồm ba chương Chương I trình bày đặc trưng miền Cn nhóm tự đẳng cấu khơng compact Kết chương chứng minh định lý sau Định lý 1.3.2 Giả sử Ω miền Cn p∞ ∈ ∂Ω điểm biên Giả sử (a) ∂Ω nhẵn, giả lồi lân cận điểm p∞ ∈ ∂Ω có kiểu 2m p∞ , (b) Hạng dạng Levi n − p∞ , (c) Tồn dãy {ϕp } thuộc Aut(Ω) cho lim ϕp (a) = p∞ với điểm a ∈ Ω, Khi đó, Ω song chỉnh hình với miền có dạng sau MH = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +H(w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0}, H đa thức nhất, bậc 2m điều hòa C Định lý mở rộng kết F Berteloot năm 1994 kết E Bedford S Pinchuk năm 1991 Chương II dành cho việc nghiên cứu toán phân loại miền lồi tuyến tính Cn Kết chương Định lý 2.3.2 Giả sử Ω miền Cn p∞ ∈ ∂Ω điểm biên tụ quỹ đạo Ω Khi đó, ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính địa phương lân cận p∞ có kiểu hữu hạn 2m điểm p∞ Ω song chỉnh hình với miền sau D = {z ∈ Cn : Re z1 + P (z ) < 0}, P đa thức thực đa điều hồ khơng suy biến bậc nhỏ 2m Kết mở rộng kết H Gaussier năm 1997 từ miền lồi lên miền lồi tuyến tính Chương III dành cho việc giới thiệu giả thuyết Greene-Krantz nghiên cứu tính chất hình học điểm biên tụ quỹ đạo Kết chương III Định lý 3.1.1 Giả sử Ω ⊂ C2 miền bị chặn giả lồi C2 ∈ ∂Ω Giả sử (1) ∂Ω nhẵn thỏa mãn điều kiện Bell (R), (2) Tồn lân cận U điểm ∈ ∂Ω cho Ω ∩ U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ρ = Re z1 + P (z2 ) + Q(z2 , Im z1 ) < 0}, P Q thỏa mãn điều kiện sau: (i) P nhẵn, điều hòa dưới, dương thực tất điểm lân cận gốc tọa độ trừ gốc tọa độ hàm P (z2 ) = 0, ∀N ≥ 0, triệt tiêu cấp (0, 0), tức là: lim z2 →0 |z2 |N (ii) Q(z2 , Im z1 ) hàm nhẵn viết dạng Q(z2 , Im z1 ) = |z2 |4 | Im z1 |2 R(z2 , Im z1 ) với hàm nhẵn R(z2 , Im z1 ) Khi đó, (0, 0) khơng phải điểm tụ quỹ đạo parabolic Định lý giải giả thuyết Greene-Krantz cho lớp miền đặc biệt C2 Cấu trúc luận án Bố cục luận án phần mở đầu phần phụ lục gồm ba chương viết theo tư tưởng kế thừa Ba chương luận án viết dựa bốn cơng trình hai cơng trình đăng cơng trình nhận đăng Chương I: Đặc trưng miền Cn nhóm tự đẳng cấu không compact Chương II: Đặc trưng miền lồi tuyến tính Cn nhóm tự đẳng cấu không compact Chương III: Giả thuyết Greene-Krantz Chương Đặc trưng miền Cn nhóm tự đẳng cấu không compact 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Mệnh đề sau mở rộng định lý Greene-Krantz ∞ Mệnh đề 1.1.6 Giả sử {Ai }∞ i=1 {Ωi }i=1 hai dãy miền đa tạp phức M với lim Ai = A0 lim Ωi = Ω0 A0 Ω0 miền M Giả sử {fi : Ai → Ωi } dãy song chỉnh hình Giả sử thêm dãy {fi : Ai → M } hội tụ tập compact A0 đến ánh xạ chỉnh hình F : A0 → M dãy {gi := fi−1 : Ωi → M } hội tụ tập compact Ω0 đến ánh xạ chỉnh hình G : Ω0 → M Khi hai khẳng định sau 10 cho ajk (z )ζ1j ζ¯1k r(Φ−1 z (ζ)) = r(z ) + Re ζn + j+k≤2m j,k>0 n−1 n−1 |ζα | + + α=2 bαjk (z )ζ1j ζ¯1k )ζα ) Re(( α=2 (1.1) j+k≤m j,k>0 + O(|ζn ||ζ| + |ζ ∗ |2 |ζ| + |ζ ∗ |2 |ζ1 |m+1 + |ζ1 |2m+1 ), ζ ∗ = (0, ζ2 , · · · , ζn−1 , 0) Bây ta định nghĩa đa đĩa quanh z Trước hết, ta đặt Al (z ) = max{|aj,k (z )|, j + k = l}, (2 ≤ l ≤ 2m), Bl (z ) = max{|bαj,k (z )|, j + k = l , ≤ α ≤ n − 1}, (2 ≤ l ≤ m) (1.2) Với số δ > 0, ta định nghĩa τ (z , δ) sau τ (z , δ) = min{ δ/Al (z ) 1/l , δ /Bl (z ) 1/l , ≤ l ≤ 2m, ≤ l ≤ m} (1.3) Đặt τ1 (z , δ) = τ (z , δ) = τ, τ2 (z , δ) = · · · = τn−1 (z , δ) = δ 1/2 , τn (z , δ) = δ Bây ta định nghĩa đa đĩa R(z , δ) = {ζ ∈ Cn : |ζk | < τk (z , δ); k = 1, · · · , n} giả đa đĩa Q(z , δ) = {Φ−1 z (ζ) : ζ ∈ R(z , δ)} 11 1.2.2 Co giãn tọa độ Thực phép đổi tọa độ ta tìm hàm tọa độ z1 , · · · , zn xác định lân cận U0 p∞ cho aj,k z1j z¯1k ρ(z) = Re zn + j+k≤2m j,k>0 n−1 n−1 Re((bαj,k z1j z¯1k )zα ) |zα | + + α=2 α=2 j+k≤m j,k>0 + O(|zn ||z| + |z ∗ |2 |z| + |z ∗ |2 |z1 |m+1 + |z1 |2m+1 ), z ∗ = (0, z2 , · · · , zn−1 , 0) Theo Mệnh đề 1.2.1, với điểm η lân cận gốc toạ độ, tồn tự đẳng cấu Φη Cn cho aj,k (η)w1j w¯1k ρ(Φ−1 η (w)) − ρ(η) = Re wn + j+k≤2m j,k>0 n−1 n−1 Re[(bαj,k (η)w1j w¯1k )wα ] |wα | + + α=2 α=2 j+k≤m j,k>0 + O(|wn ||w| + |w∗ |2 |w| + |w∗ |2 |w1 |m+1 + |w1 |2m+1 ), (1.4) w∗ = (0, w2 , · · · , wn−1 , 0) Bây giờ, định nghĩa phép co giãn không đẳng hướng ∆η cách đặt ∆η (w1 , · · · , wn ) = ( wn w1 ,··· , ), τ1 (η, ) τn (η, ) 12 τ1 (η, ) = τ (η, ), τk (η, ) = √ (2 ≤ k ≤ n − 1) τn (η, ) = Đối với η ∈ ∂Ω, ta đặt ρη (w) = −1 −1 ρ◦Φ−1 η ◦(∆η ) (w) Thế n−1 ρη (w) = Re wn + aj,k (η) −1 j+k τ (η, ) w1j w¯1k |wα |2 + α=2 j+k≤2m j,k>0 n−1 Re(bαj,k (η) + −1/2 τ (η, )j+k w1j w¯1k wα ) + O(τ (η, )) α=2 j+k≤m j,k>0 (1.5) Với η ∈ U0 , định nghĩa giả đa đĩa Q(η, ) −1 Q(η, ) := Φ−1 η (∆η ) (D × · · · × D) = Φ−1 η {|wk | (1.6) < τk (η, ), ≤ k ≤ n}, Dr := {z ∈ C : |z| < r} Cố định lân cận W0 , V0 gốc tọa độ với W0 ⊂ V0 ⊂ U0 Bây ta định nghĩa giả metric → − n → − → − |(Φ η (η) X )k | M (η, X ) := = ∆η ◦ Φ η (η) X τk (η, (η)) k=1 → − U0 , chuẩn X = n j=1 |Xj | → − với X = (X1 , · · · , Xn ) ∈ Cn Bổ đề sau đóng vai trò quan trọng kĩ thuật scaling Bổ đề 1.2.3 Tồn số K ≥ 1, < α1 , A < cho với số nguyên N ≥ hàm chỉnh hình f : DN → U0 thỏa mãn M (f (u), f (u)) ≤ A DN , ta có f (0) ∈ W0 K N −1 (f (0)) ≤ α1 ⇒ f (DN ) ⊂ Q[f (0), K N (f (0))] 13 Với dãy {ηp }p điểm U0 ∩ {ρ < 0} =: U0− hội tụ đến gốc tọa, ta kết hợp với dãy điểm η p = (η1p , · · · , ηnp + p p ), > cho η p thuộc siêu mặt {ρ = 0} Xét dãy phép co giãn ∆ηpp Thế ∆ηpp ◦ Φη p (ηp ) = (0, · · · , 0, −1) Bởi (1.5), ta thấy ∆ηpp ◦ Φη p ({ρ = 0}) cho phương trình sau n−1 n−1 Re(Qαη p (w1 , w¯1 )wα )+ |wα | + Re wn + Pη p (w1 , w¯1 ) + α=2 α=2 (1.7) + O(τ (η p , p )) = 0, Pη p (w1 , w¯1 ) := aj,k (η p ) −1 j+k j k w1 w¯1 , p τ (η p , p ) j+k≤2m j,k>0 Qαη p (w1 , w¯1 ) := bαj,k (η p ) −1/2 τ (η p , p )j+k w1j w¯1k p j+k≤m j,k>0 Sau trích dãy cần, ta có ∆ηpp ◦ Φη p (U0− ) hội tụ đến miền sau MP := {ˆ ρ := Re wn + P (w1 , w¯1 ) + |w2 |2 + · · · + |wn−1 |2 < 0}, (1.8) P (w1 , w¯1 ) đa thức bậc ≤ 2m khơng chứa hạng tử điều hòa Bổ đề 1.2.9 Miền MP hyperbolic Brody 14 1.2.3 Ước lượng metric Kobayashi Định lý 1.2.11 Giả sử Ω miền Cn với biên ∂Ω nhẵn, giả lồi, kiểu hữu hạn lân cận điểm p ∈ ∂Ω hạng dạng Levi n − p∞ Khi đó, tồn lân cận V p∞ cho: → − M (η, X ) 1.2.4 → − KΩ (η, X ) → − M (η, X ) với η ∈ V ∩ Ω Tính chuẩn tắc họ ánh xạ chỉnh hình Trong mục này, chứng minh định lý sau Định lý 1.2.12 Giả sử Ω miền Cn với biên ∂Ω nhẵn, giả lồi, kiểu hữu hạn lân cận điểm biên (0, · · · , 0) ∈ ∂Ω hạng dạng Levi n − (0, · · · , 0) Giả sử ω miền Ck ϕp : ω → Ω dãy ánh xạ chỉnh hình cho ηp := ϕp (a) hội tụ đến (0, · · · , 0) với điểm a ∈ ω Gọi {Tp }p dãy tự đẳng cấu Cn kết hợp với dãy (ηp )p theo phương pháp co giãn tọa độ (nghĩa là: Tp = ∆ηpp ◦ Φη p ) Khi {Tp ◦ ϕp }p chuẩn tắc giới hạn ánh xạ chỉnh hình từ ω đến miền dạng sau MP = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +P (w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0}, τ (∂Ω, 0) = 2m P ∈ P2m 15 1.3 Sự tồn mơ hình miền Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Trong mục này, chúng tơi chứng minh kết thứ luận án Định lý 1.3.2 Giả sử Ω miền Cn p∞ ∈ ∂Ω điểm biên Giả sử (a) ∂Ω nhẵn, giả lồi lân cận điểm p∞ ∈ ∂Ω có kiểu 2m p∞ , (b) Hạng dạng Levi n − p∞ , (c) Tồn dãy {ϕp } thuộc Aut(Ω) cho lim ϕp (a) = p∞ với điểm a ∈ Ω, Khi đó, Ω song chỉnh hình với miền có dạng sau MH = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +H(w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0}, H đa thức nhất, bậc 2m điều hòa C Chương Đặc trưng miền lồi tuyến tính Cn nhóm tự đẳng cấu khơng compact 2.1 Hệ toạ độ đa đĩa M Conrad Hệ toạ độ Cn ký hiệu z = (z1 , z ), z1 ∈ C z ∈ Cn−1 Giả sử Ω miền Cn với biên ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính có kiểu hữu hạn lân cận điểm p∞ Khơng tính tổng qt, giả sử p∞ = kiểu ∂Ω gốc tọa độ 2m Khi đó, tồn lân cận U p∞ = Cn cho Ω ∩ U miền lồi tuyến tính xác định hàm nhẵn r(z1 , z ) = Re z1 + h(Im z1 , z ), 16 17 h hàm nhẵn Chúng ta giả sử tồn số thực dương với − Với 0 > cho tập mức {r(z) = } lồi tuyến tính < < ∈ (0, /2), q ∈ Ω ∩ U thoả mãn |r(q)| < /2 véctơ đơn vị v ∈ Sn−1 := {v ∈ Cn : |v| = 1}, ta đặt τ (q, v, ) := sup{ρ > : r(q+λv)−r(q) < với λ ∈ C thoả mãn |λ| < ρ} Dễ dàng thấy τ (q, v, ) khoảng cách từ q đến Sq, := {r(z) = r(q) + } dọc theo đường thẳng phức {q + λv : λ ∈ C} Đối với điểm q ∈ Ω ∩ U số dương đủ nhỏ ta kết hợp với (1) Một hệ toạ độ chỉnh hình (z1 , z2 , · · · , zn ) tâm q bảo toàn tính trực giao, (2) Các điểm p1 , p2 , · · · , pn siêu mặt Sq, (3) Các số thực dương τ1 (q, ), τ2 (q, ), · · · , τn (q, ) Các -đa đĩa đồng dạng theo hệ số c > định nghĩa cP (q) = {z ∈ Cn : |zk − qk | < cτk (q, ) , ≤ k ≤ n} 18 2.2 Scaling miền Ω ∩ U Trong mục này, sử dụng phương pháp H Gaussier để khẳng định dãy miền scaling hội tụ Giả sử p∞ điểm tụ quỹ đạo miền Ω Cn Khi đó, tồn dãy tự đẳng cấu {hν }ν≥0 miền Ω tồn điểm q Ω cho lim hν (q) = p∞ ν→∞ Để thuận tiện sử dụng ký hiệu sau q ν = hν (q), ν Tương ứng với q ν ν, = −r(q ν ) ta có hệ toạ độ (z1ν , · · · , znν ), số thực dương τν,1 , · · · , τν,n điểm pν1 , · · · , pνn Phép đổi toạ độ từ hệ toạ độ tắc sang hệ (z1ν , · · · , znν ) hợp thành phép tịnh tiến Tν phép biến đổi Unita Aν Hơn nữa, (Aν ◦ Tν )−1 xác định lân cận cố định gốc toạ độ Hàm xác định biên tương ứng rν xác định rν := r ◦ (Aν ◦ Tν )−1 Trong lân cận cố định z = ta viết n rν (z) = − ν α aνj zj ) + + Re( j=1 β ν Cαβ z z + O(|z|2m+1 ), 2≤|α|+|β|≤2m 19 α = (α2 , · · · , αn ), |α| = α2 + · · · + αn z α = z2α2 · · · znαn Ở đây, đại lượng O(|z|2m+1 ) xác định độc lập với ν Gọi r ◦ A giới hạn rν lân cận compact cố định p∞ ν dần đến vô hạn, A phép biến đổi Unita Khi đó, với j ≤ n với đa số α β thoã mãn ≤ |α| + |β| ≤ 2m tồn số aj Cαβ cho ν lim aνj = aj lim Cαβ = Cαβ ν→∞ ν→∞ Bây ta xét phép co giãn toạ độ Λν (z) := (τν,1 z1 , · · · , τν,n zn ) hàm số r˜ν = rν ◦ Λν ν Khi đó, hàm số r˜ν có dạng sau r˜ν (z) = −1 + ν n aνj τν,j zj + Re j=1 ν α ν α+β Cαβ τν z z β 2≤|α|+|β|≤2m + O(( ν )1/2m |z|2m+1 ), α2 +β2 αn +βn τνα+β = τν,2 · · · τν,n Mệnh đề 2.2.1 Các hàm r˜ν nhẵn đa điều hoà Hơn nữa, tồn dãy dãy {˜ rν }ν hội tụ tập compact Cn đến hàm đa điều hồ nhẵn r˜ có dạng r˜(z) = −1 + Re bj zj + P (z ), j≥1 20 P đa thức đa điều hoà bậc nhỏ 2m Gọi Ων ảnh miền Ω ∩ U qua phép đổi biến Λ−1 ν ◦ Aν ◦ Tν Mệnh ˜ = {˜ đề 2.2.1 suy dãy miền {Ων } hội tụ đến miền D r(z) < 0} theo nghĩa hội tụ chuẩn tắc theo nghĩa Carathéodory 2.3 Tính chuẩn tắc họ ánh xạ scaling Xét dãy ánh xạ fν từ hν−1 (Ω ∩ U ) đến Ων cho fν = Λ−1 ν ◦ Aν ◦ Tν ◦ hν Nhắc lại limν→∞ h−1 ν (Ω ∩ U ) = Ω mục trước ta ˜ limν→∞ Ων = D Bổ đề 2.3.1 Họ ánh xạ {fν }ν chuẩn tắc Định lý sau đặc trưng cho miền lồi tuyến tính Cn Đây kết thứ hai luận án Định lý 2.3.2 Giả sử Ω miền Cn p∞ ∈ ∂Ω điểm biên tụ quỹ đạo Ω Khi đó, ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính địa phương lân cận p∞ có kiểu hữu hạn 2m điểm p∞ Ω song chỉnh hình với miền sau D = {z ∈ Cn : Re z1 + P (z ) < 0}, P đa thức thực đa điều hồ khơng suy biến bậc nhỏ 2m Chương Giả thuyết Greene-Krantz 3.1 Một số kết xung quanh giả thuyết GreeneKrantz Năm 1993, R Greene S G Krantz đưa giả thuyết sau Giả thuyết Greene-Krantz Nếu nhóm tự đẳng cấu Aut(Ω) miền bị chặn, nhẵn giả lồi Ω Cn khơng compact điểm tụ quỹ đạo có kiểu hữu hạn Mục đích chương trình bày chứng minh định lý sau Định lý 3.1.1 Giả sử Ω ⊂ C2 miền bị chặn giả lồi C2 ∈ ∂Ω Giả sử (1) ∂Ω nhẵn thỏa mãn điều kiện Bell (R), 21 22 (2) Tồn lân cận U điểm ∈ ∂Ω cho Ω ∩ U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ρ = Re z1 + P (z2 ) + Q(z2 , Im z1 ) < 0}, P Q thỏa mãn điều kiện sau: (i) P nhẵn, điều hòa dưới, dương thực tất điểm lân cận gốc tọa độ trừ gốc tọa độ hàm P (z2 ) triệt tiêu cấp (0, 0), tức là: lim = 0, ∀N ≥ 0, z2 →0 |z2 |N (ii) Q(z2 , Im z1 ) hàm nhẵn viết dạng Q(z2 , Im z1 ) = |z2 |4 | Im z1 |2 R(z2 , Im z1 ) với hàm nhẵn R(z2 , Im z1 ) Khi đó, (0, 0) khơng phải điểm tụ quỹ đạo parabolic 3.2 Sự tồn điểm tụ quỹ đạo parabolic Giả Ω miền thỏa mãn điều kiện Định lý 3.1.1 Gọi F = (f, g) ∈ Aut(Ω) tự đẳng cấu cho F (0, 0) = (0, 0) Do điều kiện Bell (R) ∂Ω, ánh xạ F thác triển thành hàm nhẵn xác định tận biên miền Ω Gọi U lân cận (0, 0) Khi đó, tồn lân cận V (0, 0) cho F (Ω ∩ V ) ⊂ Ω ∩ U (3.1) Bổ đề 3.2.4 Giả sử F = (f, g) ∈ Aut(Ω) Gọi U, V hai lân cận (0, 0) cho (3.1) Khi đó, với (z1 , z2 ) ∈ V , ta có 23 (i) g(z1 , 0) = (ii) f (z1 , z2 ) = f (z2 ) Bây chứng minh Định lý 3.1.1 suy từ bổ đề KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Các kết luận án: • Chứng minh định lý đặc trưng cho miền khơng bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact hạng dạng Levi điểm tụ quĩ đạo ≥ n − • Chứng minh định lý đặc trưng cho miền lồi tuyến tính khơng bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact • Chứng minh giả thuyết Greene-Krantz cho lớp miền bị chặn Cn Kiến nghị nghiên cứu Hướng nghiên cứu có câu hỏi mở sau đây: 24 Phải định lý đặc trưng cho miền Cn mà không cần giả thiết hạng dạng Levi điều kiện lồi tuyến tính? Phải miền có nhóm tự đẳng cấu khơng compact với biên nhẵn, kiểu hữu hạn biên lồi tuyến tính song chỉnh hình với mơ hình nhất, tức đa thức P (z ) Định lý 2.3.2 nhất? Phải Định lý Kim-Krantz đúng? ... tài luận án là: "Đa tạp phức với nhóm tự đẳng cấu khơng compact" Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án nghiên cứu tốn phân loại miền khơng bị chặn Cn với nhóm tự đẳng cấu khơng compact Ngồi ra, luận. .. tự đẳng cấu đa tạp phức? Năm 2004 J Winkelmann cho trước nhóm Lie thực compact K ln tồn miền bị chặn giả lồi chặt Ω Cn cho Aut(Ω) đẳng cấu với K Như vậy, tốn phân loại miền với nhóm tự đẳng cấu. .. Có hai tốn nghiên cứu hình học đa tạp phức: Bài tốn Tìm tính chất hình học bất biến qua nhóm tự đẳng cấu Bài tốn Phân loại đa tạp phức dựa nhóm tự đẳng cấu chúng Luận án tập trung nghiên cứu Bài