Phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

Header Page of 126 Cơng trình hồn thành BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHYLABOUD INPANH PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: TS Cao Văn Ni Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.40 Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ tốn học họp Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… năm …… TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thể tìm hiểu tại: - Trung tâm Thơng tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng – Năm 2012 Footer Page of 126 - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Header Page of 126 MỞ ĐẦU Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Các phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số Lý chọn đề tài: lơgarit Phương trình, bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Đặc biệt phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số - Các tốn phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit thuộc chương trình phổ thơng trung học Phương pháp nghiên cứu: lơgarit nội dung hay khó học sinh thường xuất đề thi đại học, thi học sinh giỏi Hiện nay, Nước cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND) - Thu thập, phân tích, khảo sát, tổng hợp tài liệu, sách giáo khoa, có liên quan đến phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lơgarit Lào đặc biệt quan tâm phát triển giáo dục Trong chương trình mơn tốn bậc trung học phổ thơng nước CHDCND Lào, nội dung phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit đưa vào giảng dạy từ lớp 10 Tuy nhiên tài liệu phục vụ cho học tập giảng dạy phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit chưa nhiều Là sinh viên Lào, với mục đích tìm hiểu phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit hệ thống số lớp tốn thuộc dạng này, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ "phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu: - Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit - Hệ thống số lớp tốn phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit Footer Page of 126 - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Cấu trúc luận văn: Nội dung luận văn chia thành chương Chương Hàm số mũ hàm số lơgarit Chương nhắc lại cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số lơgarit tính chất chúng Các chi tiết liên quan xem tài liệu Chương2 Phương trình, bất phương trình hàm số mũ Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa Chương3 Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit số thí dụ minh họa Header Page of 126 CHƯƠNG a >1 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT < a < a < 1.1.2 Tính chất hàm số mũ a) Hàm số y = a x liên tục điểm x = x0 b) Miền giá trị hàm số y = a x ( 0, + ∞ ) c) Hàm số y = a x tăng a > giảm < a < 1.1.3 Bảng biến thiên đồ thị hàm số mũ Bảng biến thiên hàm số mũ Đồ thị hàm số y = a x với a >1 Đồ thị hàm số y = a x với < a , x > y g) Nếu < a < , x > y h) ax = a y i) Nếu < b < a , ax y x xác định khoảng ( 0, + ∞ ) có tập giá trị ( −∞ , +∞ ) = a xy Để tìm cơng thức hàm số ngược ta xuất phát từ cơng thức hàm số mũ y = a x , biểu thị x qua y Theo định nghĩa = a x bx lơgarit, ta có x x = log a y ⇔ ⇔ ax > a y ⇔ ax < ay y = log a x hàm số ngược hàm số mũ y = a x Hàm số ngược Cho số a > , a ≠ , hàm số lơgarit theo số a xác định với ⇔ bx < a x x a x 1.2 Hàm số lơgarit giá trị dương biến số x cho cơng thức y = log a x 1.2.3 Tính chất hàm số lơgarit Căn vào tính chất hàm số mũ y = a x từ chỗ hàm 1.2.1 Định nghĩa Cho số a > a ≠ Lơgarit số a số b > số c mà lũy thừa a với số mũ c b Ký hiệu lơgarit số y = log a x hàm số ngược hàm số y = a x , ta suy tính chất sau hàm số lơgarit a) Hàm số y = log a x số a b log a b Vậy c = log a b Thay kí hiệu x y cho nhau, ta hàm số gọi hàm số lơgarit số a Như ta có định nghĩa sau x=y x>0 ⇔ ac = b 1.2.2 Định nghĩa Cho số a > a ≠ Ta biết hàm số mũ y = a x hàm số đơn điệu xác định tồn tập số thực, tức khoảng Footer Page of 126 có tập giá trị ( 0, + ∞ ) Do có hàm số ngược, ( x > 0, a ≠ 1) hàm số xác định liên tục điểm x0 > , x = y = b) Miền giá trị hàm số y = log a x ( −∞ , + ∞ ) c) Khi a > hàm số y = log a x hàm số tăng, < a < hàm số y = log a x giảm Header Page of 126 10 1.2.4 Bảng biến thiên đồ thị hàm số lơgarit 1.2.6 Số e lơgarit tự nhiên Bảng biến thiên hàm số y = log a x x a >1 < a < a < ∀b > Với < a ≠ , b , c > , ta có log a ( bc ) = log a b + log a c y y b log a   = log a b − log a c c log a bα = α log a b x a logb c = c logb a , b ≠ , c ≠ x Khi a > log a b > log a c ⇔ Khi < a < log a b > log a c a >1 < a c ⇔ b 0, a ≠ ⇔ f ( x) = g ( x) a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình xác định Bước : Biến đổi hàm số mũ có phương trình số Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ để giải b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau x +5 x +17 32 x − = 0, 25.128 x −3 Bước : Điều kiện phương trình: x ≠ 3, x ≠ ⇔ Bước : Phương trình ⇔ Footer Page of 126 5( x + ) Bước : Phương trình ⇔ ⇔ x −7 5( x + ) x −7 = 2−2 = ( x + 5) x−7 7( x +17 ) x−3 x+125 x−3 = x + 125 x−3 ( x + )( x − 3) = ( x + 25 )( x − ) Header Page of 126 13 14 ⇔ 16 x − 160 = ⇔ x = 10 thỏa điều kiện 2.1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.1.2 Phương pháp lơgarit hóa Khi phương trình hàm số mũ có số hạng, biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, đối nhau, f ( x ) = log a b ⇔ lượng liên hiệp nhau, nghịch đảo người ta thường đặt ẩn phụ để giải, gọi giải phương trình phương pháp đặt ẩn a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện ( có ) để phương trình xác Bước : Biến đổi phương trình dạng a f ( x ) = b f ( x) phụ a) Quy trình phương pháp định a x = log 30 24 Vậy phương trình có nghiệm x = log 30 24 Vậy phương trình có nghiệm x = 10 f ( x) = b a  0 < a ≠ 1, b > ⇔ Bước : Phương trình =b g ( x) Lấy lơgarit hai vế, tách ẩn số khỏi số mũ hàm lũy thừa Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình xác định Bước : Biến đổi phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ Bước : Giải phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn Bước : Giải phương trình thu phụ vừa tìm giải phương trình theo ẩn ban đầu b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau x x −1 x +1 b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau = 40 x − 2.6 x = 3.9 x Bước : Điều kiện phương trình: x ≥ ⇔ Bước : Phương trình ⇔ x x ⇔ 30 ⇔ log 30 30 ⇔ Footer Page of 126 x x x = 3 5.5 x = 40 Bước : Chia vế phương trình cho x , ta 1− 40 = log 30 24 x = log 30 24 6x 9x = 4x 4x x ⇔ = 24 x x Bước : Phương trình xác định với x x    3    +   −1 = 2    x 3 Đặt t =   , điều kiện t > , phương trình trở thành 2 Header Page of 126 15 16 3t + 2t −1 = Bước : Phương trình ⇔ b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau  t = − loại  t =  x 3 1 t=   = ⇒ x = log   3     1   Vậy phương trình có nghiệm x = log   x2 − x ≤ x −1 Bước : Điều kiện bất phương trình x ≥ Bước : Bất phương trình ⇔ 2− Bước : Bất phương trình ⇔ − x − x ≤ x −1 2.2 Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ giải phương trình hàm số mũ 2.2.1 Phương pháp đưa số a > ⇔ f ( x) ≥ g ( x)  f ( x) g x ≥ a () a định Bước : Biến đổi hàm số mũ có bất phương trình số Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số mũ để giải Footer Page of 126 ≤ x −1 x2 − x ≥ − x ⇔  1 − x ≤   x − x ≥   1 − x >    x − x ≥ (1− x ) ⇔ x ≥ thỏa điều kiện Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ 2.2.2 Phương pháp lơgarit hóa a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để bất phương trình xác x2 − x ⇔ Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ tương tự 0 < a < ⇔ f ( x) ≤ g ( x)  f ( x) g x ≥ a () a x ≤ f ( x) < b a  b > ⇔  a >    f ( x ) < log a b   0 < a <   f ( x ) > log a b  Header Page of 126 a f ( x) 17 >b 18  b ≤    f ( x ) có nghóa   b > 0, a >   f ( x ) > loga b   b > 0, < a <    f ( x ) < loga b ⇔ ⇒ ≤ ⇒ ≤ x Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit số thí dụ minh họa , điều kiện t > , bất phương trình trở 3.1 Một số phương pháp giải phương trình hàm số lơgarit thành: 3.1.1 Phương pháp đưa số t2 − 8t − > ⇔ Bước :  t < − không thỏa điều kiện  t > t = 3x − x+4 > = 32 ⇔ x− x + > ⇔ x + < x−2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ a) Quy trình phương pháp Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình xác định x − >  x + < x − 4x + x >   x − 5x > 0 < a ≠  b  f ( x ) = a 0 < a ≠ log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔   f ( x ) = g ( x ) > log a f ( x ) = b ⇔ Bước : Biến đổi hàm số lơgarit có phương trình số x >   x <   x > x > thỏa điều kiện Vậy nghiệm bất phương trình ∀x > Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số lơgarit để giải b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau ( ) ( log2 x + = x − log x +1 − ) Bước : Điều kiện phương trình x +1 − > ⇔ x > Bước : Phương trình ⇔ Footer Page 10 of 126 ( ) ( log2 x + = log2 x − log2−1 x +1 − ) Header Page 11 of 126 Bước 21 ( (4 22 ) + ) = log ( ⇔ log2 x + = log2 x + log2 x +1 − ⇔ log2 : Phương trình ⇔ ⇔ ⇔ (2 ) (2 ) x x 2 x ( ( ( ) + = 2x Đặt t = log2 x −1 ( x + 1) , điều kiện t > ( x >  x x +1 −    x + = x x +1 − ) ) ) Phương trình trở thành −3.2 − = x ⇔  x = − loại  x  = = ⇔ x = thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm Bước : Nếu t = ⇔ Nếu t − 3t + = ⇔ t = thỏa điều kiện  t = ⇒ log2 x −1 ( x + 1) = x + = 2x − ⇔ t = ⇒ log2 x −1 ( x + 1) = ⇔ x + = ( x − 1) ⇔ x − 5x = : Đặt điều kiện (nếu có) để phương trình xác định : Biến đổi phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, đặt : Giải phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn phụ vừa tìm phương trình có giải phương trình theo ẩn ban đầu b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau ( ) log2 x −1 x + x − + log x +1 ( x − 1) = Bước Bước : Điều kiện phương trình < x ≠1 ⇔  x = loại   x = thỏa điều kiện  nghiệm x = x = ⇔ Phương pháp giải bất phương trình hàm số lơgarit tương tự giải phương trình hàm số lơgarit log2 x −1 ( x + 1)( x − 1)  + log x +1 ( x −1) = log2 x −1 ( x + 1) + log x +1 ( x −1) = Footer Page 11 of 126 3.2 Một số phương pháp giải bất phương trình hàm số lơgarit : Phương trình ⇔ 2 điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ Bước x = thỏa điều kiện = log2 x −1 ( x − 1) a) Quy trình phương pháp Bước ⇔ x = 3.1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bước = t t+ − 2x ) 3.2.1 Phương pháp đưa số Header Page 12 of 126 23 log a f ( x ) < loga g ( x ) log a f ( x ) < b ⇔ ⇔   a >    < f ( x ) < g ( x )    < a <  f ( x ) > g ( x ) >     a >  b   < f ( x ) < a    < a <   f ( x ) > ab   ⇔ log a f ( x ) > b 24 9 x − 72 >  x log3 − 72 >  0 < x ≠ ( ⇔ x > log9 73 > đương với ( ) log3 x − 72 ≤ x = log3 3x Bước : Bất phương trình ⇔ x − 72 ≤ 3x ⇔ (3 ) x − 3x − 72 ≤ ⇔ < 3x ≤ ⇔ x ≤ Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm bất phương trình a) Quy trình phương pháp định 0 < x ≠  x 9 > 73 ⇔ Bước : Vì điều kiện x > , nên bất phương trình tương   a >  b   f ( x ) > a    < a <  0 < f ( x ) < a b   Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để bất phương trình xác ) log9 73 < x ≤ 3.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ Bước : Biến đổi hàm số lơgarit có bất phương trình a) Quy trình phương pháp số Bước : Đặt điều kiện (nếu có) để bất phương trình xác Bước : Sử dụng tính đơn điệu hàm số lơgarit để giải b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau ( ) log x  log3 x − 72  ≤   Bước : Bất phương trình xác định với x thỏa mãn định Bước : Biến đổi bất phương trình để làm xuất ẩn phụ Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình qua ẩn phụ Bước : Giải bất phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị ẩn phụ vừa tìm giải bất phương trình theo ẩn ban đầu Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 25 26 b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau KẾT LUẬN log5 x − log x 125 < Bước : Điều kiện bất phương trình là: < x ≠ Qua thời gian tìm hiểu, khảo sát, tiếp cận đề tài, luận văn Bước : Bất phương trình ⇔ hồn thành đạt mục tiêu đề Cụ thể luận văn thực log5 x − 3log x − < vấn đề sau: Đặt t = log5 x , điều kiện t ≠ 2t − Bất phương trình ⇔ ⇒ < t = log5 x < 125 Footer Page 13 of 126 dụ minh họa tập tương tự trình bày 2) Tuyển tập, phân loại số lớp phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit, phương pháp giải tương ứng Một t < −  0 < t <  số ví dụ minh họa tập tương tự trình bày Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hồn thiện nữa, nhằm trở thành tài liệu tham khảo hữu < x < ích cho tác giả trở giảng dạy nước cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ⇒ 1< x < Vậy nghiệm bất phương trình 1< x < trình hàm số mũ, phương pháp giải tương ứng Một số ví 2t − t − < t ⇔ t = log5 x < − −1 < t ⇔ Bước : 1) Tuyển tập, phân loại số lớp phương trình, bất phương 125 < x < ... CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ MŨ Chương trình bày số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa 2.1 Phương pháp giải phương trình hàm số mũ 2.1.1 Phương. .. trình số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ số thí dụ minh họa Chương3 Phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit Chương trình số phương pháp giải phương trình, bất phương. .. hiểu phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số lơgarit hệ thống số lớp tốn thuộc dạng này, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ "phương trình, bất phương trình hàm số mũ hàm số