Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

1 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đào Vọng Đức, người tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật lý khoa Sau đại học trường Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện tốt cho chúng em học tập Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp bên cạnh giúp đỡ động viên suốt trình học tập Hà Nội, tháng năm 2010 Tác giả NGUYỄN XUÂN HUY LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, công trình nghiên cứu riêng tôi, kết nghiên cứu đưa luận văn chưa công bố công trình khác NGUYỄN XUÂN HUY Mục lục Các nguyên lý lý thuyết dây 1.1 Hạt điểm hạt dây 1.2 Phương trình Dây khai triển tọa độ Dây 1.3 Đại số Dây 1.4 Các trạng thái kích thích 13 1.5 Siêu dây siêu tọa độ 16 10 Hình thức luận phiếm hàm Dây 20 2.1 Phiếm Hàm trường dây mở 20 2.2 2.1.1 Miền NS 20 2.1.2 Miền R 23 Phiếm hàm trường dây đóng 25 2.3 2.2.1 Miền NS - NS 2.2.2 Miền NS - R 2.2.3 Miền R - NS 2.2.4 Miền R - R Tải BRST lý thuyết dây 25 27 30 30 32 2.3.1 Tải BRST cho dây boson 34 2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở 37 2.3.3 Tải BRST cho dây đóng 45 2.4 Tác dụng phiếm hàm dây boson 46 2.5 Tác dụng phiếm hàm siêu dây 50 2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS 51 2.5.2 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R 54 Các trạng thái chân không 57 3.1 Chân không dây boson 57 3.2 Chân không siêu dây mở 59 3.3 3.2.1 Chân không siêu dây mở NS 59 3.2.2 Chân không siêu dây mở R 60 Chân không siêu dây đóng 62 3.3.1 Dây boson đóng 62 3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS 62 3.3.3 Siêu dây đóng NS - R 63 3.3.4 Siêu dây đóng R - NS 63 3.3.5 Siêu dây đóng R - R 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết Dây xem phương hướng nghiên cứu có nhiều triển vọng việc xây dựng mô hình Đại thống tương tác Dây vô số trạng thái kích thích, trạng thái tương ứng với trường thông thường Với ý nghĩa diễn tả hình thức luận phiếm hàm Dây Phiếm hàm Dây tập hợp vô hạn trường thông thường, trường ứng với mode kích thích Dây Các trường thành phần trường gặp lý thuyết trường thông thường Phương trình cho trường thành phần suy từ phương trình chung cho phiếm hàm Dây, từ suy mối liên hệ trường thành phần Đó sở để nghiên cứu tương tác chúng, có ý nghĩa thiết thực việc đánh giá bàn luận mô hình lý thuyết qua hệ định tính định lượng Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu phương trình cho trường thành phần suy từ phương trình chung cho phiếm hàm Dây Những vấn đề nghiên cứu Nghiên cứu hình thức luận phiếm hàm Dây tính toán phương trình chuyển động Đối tượng nghiên cứu Lập tác dụng Dây suy phương trình cho phiếm hàm Dây Các phương trình chuyển động phương trình tương quan trường thành phần Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng Hình thức luận đại số Dây Phương pháp tính Chương Các nguyên lý lý thuyết dây 1.1 Hạt điểm hạt dây Trong lý thuyết trường lượng tử, chất người ta xem hạt đối tượng không kích thước điểm chuyển động không - thời gian Nhưng đến năm 1968 mô hình Veneziano hình thành, phản ánh mối quan hệ đối ngẫu hai trình tán xạ hủy cặp Liền sau người ta nhận thức với mô hình hạt cần xem Dây, đối tượng có kích thước chiều - dây chuyển động không thời gian Cụ thể: Khi xem điểm chuyển động không - thời gian từ vị trí đến vị trí 2, hạt vẽ đường gọi đường xµ τ Khi xem dây chuyển động không - thời gian từ vị trí đến vị trí 2, hạt quét nên mặt gọi X µ τ, σ Trong đó: τ : xem thời gian riêng Dây, −∞ < τ < +∞ σ : xem độ dài xác định vị trí điểm dây, ≤ σ ≤ π Ta viết dạng vector hai chiều như: λα = τ, σ , λ0 = τ, λ1 = σ Lúc chuyển động hạt dây không - thời gian mô tả tác dụng: 2π = 2π S= d2 λη αβ ∂α X µ ∂β Xµ (1.1) dτ dσ ∂τµ ∂τ − ∂σ X µ ∂σ Xµ (1.2) η αη metric MinKowski thế: η 00 = 1, 1.2 η 11 = −1, η 01 = η 10 = Phương trình Dây khai triển tọa độ Dây Xuất phát từ phương trình Euler - Lagrange: δL δL α − ∂ =0 δX µ δ ∂ αX µ (1.3) Ta có Lagrange thế: L= αβ η ∂α X µ ∂β Xµ 2π δL =0 δX µ δL δ = δ ∂ αX µ δ ∂ αX µ (1.4) (1.5) γδ η ∂γ X λ ∂δ Xλ 2π Quy ước: α, β, γ, δ = 0, : số µ, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, · · · , D − : số không gian (1.6) δL δ ηγδ ∂ γ X λ ∂ δ Xλ = α µ α µ 2π δ ∂ X δ ∂ X D δ γ λ δ ρ η η = γδ λρ ∂ X ∂ X α µ 2π δ ∂ X = = = = = δ ρ δ ∂γ X λ δ ρ γ λδ ∂ X ηγδ ηλρ ∂ X +∂ X 2π δ ∂ αX µ δ ∂ αX µ ηγσ ηλρ σαγ σµλ ∂ σ X ρ + ∂ γ X σ ∂ασ σµρ 2π ηαδ ηµρ ∂ σ X ρ + ∂ γ X λ σασ δµρ 2π {∂α Xµ + ∂α Xµ } 2π ∂α Xµ π (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) Thay vào 1.4 ta được: Hay: ∂ α ∂α Xµ = (1.14) ∂α ∂ α X µ = (1.15) ∂α ∂ α X µ ≡ ∂r2 − ∂σ2 Xµ = (1.16) Đó phương trình sóng chiều với nghiệm tổng quát là: X µ λ = XRµ τ − σ + XLµ τ + σ (1.17) Ở đây: XRµ mô tả mode "chuyển động phải" XLµ mô tả mode "chuyển động trái" Đối với dây mở ta đặt điều kiện biên là: X µ ≡ ∂σ X µ = σ = 0, π (1.18) Lúc ta có biểu thức khai triển: i µ in α e XRµ τ − σ = xµ + pµ τ − σ − 2 n=±1,±2,··· n n 1 i µ in XLµ τ + σ = xµ + pµ τ + σ − α e 2 n=±1,±2,··· n n Xµ λ = xµ + pµ τ −i τ −σ (1.19) τ −σ (1.20) µ inτ αn e cos nσ n n=±1,±2,··· (1.21)   xµ tọa độ khối tâm dây Trong đó: pµ xung lương khối tâm dây  αnµ dao động tử quỹ đạo Yêu cầu X µ phải thực nên xµ pµ phải thực và: µ αnµ+ = α−n Đối với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn: X µ τ, σ = X µ τ, σ + π (1.22) Lúc ta có biểu thức khai triển: 1 i µ 2in XRµ τ − σ = xµ + pµ τ − σ − α e 2 n=±1,±2,··· n n 1 i µ 2in XLµ τ + σ = xµ + pµ τ + σ − α ˜ e 2 n=±1,±2,··· n n Xµ λ = xµ + pµ τ − τ −σ (1.23) τ −σ (1.24) 2inτ µ −2inτ i e αn e +α ˜ nµ e+2inσ n=±1,±2,··· n (1.25) Với: αnµ : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động phải." α ˜ nµ : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động trái." Với dây mở ta có: X˙ µ ≡ ∂τ X µ = αnµ einτ cos nσ n=−∞ (1.26) 10 X µ αnµ einτ sin nσ ≡ ∂σ X µ = (1.27) n=+∞ Ở đây: α0µ ≡ pµ Với dây đóng ta có: X˙ µ ≡ ∂τ X µ = e2inτ αnµ e−2inτ + α ˜ nµ e+2inσ (1.28) e2inτ αnµ e−2inτ − α ˜ nµ e+2inσ (1.29) n=−∞ X µ ≡ ∂σ X µ = n=+∞ Ở đây: 1.3 α0µ ≡ α ˜ 0µ ≡ 21 pµ Đại số Dây Tensor - xung lượng thế: Tαβ ≡ ∂α X µ ∂β Xµ − ηαβ ∂ γ X µ ∂γ Xm u Ta lập toán tử: −inτ π Ln ≡ − e dσ T00 cos nσ − iT10 sin nσ π Đặc biệt: L0 ≡ − π Với: P0 ≡ π , (1.30) n∈Z (1.31) π dσT00 = −P0 (1.32) π dσT00 véc tơ - xung lượng Từ 1.30 ta suy ra: số γ = 0, T00 = ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂ γ X µ ∂γ Xµ = ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂0 X µ ∂0 Xµ − ∂ X µ ∂1 Xµ = ∂0 X µ ∂0 Xµ + ∂ X µ ∂1 Xµ ˙µ ˙ = X Xµ + X µ Xµ (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) 51 2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS Trường siêu dây NS mô tả tác dụng: S=− dD xΦ+ N S [Q, c0 b0 ] ΦN S (2.231) ˜ = −1, Q tải QN S phiếm hàm trường siêu dây NS với G BRST định nghĩa 2.141 2.142 Trước hết nhận xét tác dụng 70.1 thỏa mãn điều kiện S + = S toán tử: Q ≡ [Q, c0 b0 ] (2.232) c0 b0 Q, Q bất biến BRST, tức c0 b0 = Tác dụng 2.231 gọi tác dụng với gauge cố định tác dụng gauge Siegel Biểu thức khai triển phiếm hàm ΦN S [X, ψ, c, b, γ, β] viết tường minh cho mode kích thích thấp có dạng: QN S = −iAµ x bµ− − if x γ− 21 − if˜ x β− 21 + · · · +c0 −iDµ x bµ− − iE x γ− 12 − iB x β− 12 + · · · |0 (2.233) Chú ý QN S đối tượng phản giao hoán, nên trường thành phần Aµ x , B x , E x trường boson giao hoán, trường f x , f˜ x , Dµ x trường boson phản giao hoán Kết tính dây cho thấy trường Dµ x E x biến khỏi tác dụng, lại trường Aµ x , B x , f x , f˜ x Các trường boson phản giao hoán f x , f˜ x trường vong Fadeev-Popov ứng với trường gauge Aµ x Bây ta tính tác dụng 2.231 với biểu thức khai triển 2.232 52 QN S Trước hết tính [Q, c0 b0 ] Dùng 2.141 , ta có: {Q, c0 } = − =− n,m∈Z λ,ρ : {bλ+ρ c0 } γ−λ γ−ρ , c0 : n − m : c−n c−m {bn+m , c0 } : − n,m λ,ρ nc−n cn − =− γλ γλ λ∈Z+ 21 n∈Z ∞ = −2 ∞ nc−n cn − −2 n=1 {Q, b0 } = : {bλ+ρ γ−λ γ−ρ , c0 } : n − m : {c−n c−m bn+m , c0 } : − (2.234) λ= 21 Ln {c−n b0 } − n∈Z + n∈Z λ∈Z+ =L0 − γλ γλ n − m : {c−n c−m bn+m , b0 } : n,m∈Z n − λ : {βn+λ γ−λ c−n , b0 } : − {c0 , b0 } 2 n : bn c−n : − λ : βλ γ−λ : − λ∈+ 21 n∈Z ∞n∈Z =L0 + ∞ λ (β−λ γλ − γ−λ βλ ) − n (b−n cn + c−n bn + c−n bn ) + λ= 21 (2.235) Thay kết vào đồng thức: [Q, c0 b0 ] = {Q, c0 } b0 − c0 {Q, b0 } ta được: [Q, c0 b0 ] = −2      −c0 L0 +  ∞ ∞ γλ γλ nc−n cn + n=1 ∞ λ= 12   b0  ∞ λ (β−λ γλ − γ−λ βλ ) − n (b−n cn + c−n bn + c−n bn ) + n∈Z (2.236) λ= 21  1 2 (2.237) 53 Tác dụng toán tử [Q, c0 b0 ] lên phiếm hàm 2.232 , ta có ý b0 |0 = 0, b0 c0 |0 = |0 : ∞ [Q, c0 b0 ]ΦN S = − c0 L0 + n (b−n cn + c−n bn + c−n bn ) n∈Z ∞ λ (β−λ γλ − γ−λ βλ ) − + λ= 21  ∞ +2   ∞ γλ γλ  −iDµ bµ− − iEγ− 12 − iBβ− 21 · · · nc−n cn + n=1 −iAµ bµ− − if γ− 12 − if˜− 21 · · · 2 λ= 21 = − c0 L0 −   |0  −iAµ bµ− − if γ− 21 − if˜− 12 + · · · 2 = − c0 −if γ− 12 − if˜− 12 + · · · + −iBγ− 12 |0 Aµ bµ− + L0 f γ− 12 + f˜γ− 12 + 2Bγ− 21 · · · |0 =i c0 L0 − 2 (2.238) Tiếp theo, dùng biểu thức tường minh L0 : p + bν− bν 12 + · · · 2 (2.239) 1 Aµ x bµ− |0 = Aµ x bµ− |0 2 2 (2.240) L0 = − ta tính được: L0 − L0 f x γ− 12 + f˜ x β− 12 |0 = f x γ− 12 + f˜ x β− 21 |0 (2.241) Như vậy: [Q, c0 b0 ] ΦN S =i c0 Aµ bµ− − f γ− 12 − f˜− 12 + · · · + · · · +2Bγ− 12 + · · · |0 (2.242) 54 Thay 2.232 2.237 vào 2.231 , ta có: Aν bν1 + f γ− 21 + f˜β 12 + · · · 2 Aµ bµ1 + f γ− 12 + f˜β− 12 + · · · + dD x 0| c0 − S= ν + Dν b + Bβ 21 + Eγ 12 + · · · = dD x = dD Bγ− 21 + · · · |0 ˜ µ A Aµ + f f − f f˜ + 2B + · · · 2 − ∂ ν Aµ ∂n uAµ − ∂ µ f˜.∂µ f + 2B + · · · (2.243) Ở ta sử dụng tính chất |0− |: 0− | c0 0− | = 2.5.2 (2.244) Tác dụng phiếm hàm siêu dây R Trường siêu dây R mô tả tác dụng: √ S = − 2i ¯ R {Q, c0 β0 } ΦR dD xΦ (2.245) ΦR phiếm hàm siêu dây R có chirality dương, tức viết dạng: ΦR = + Γ11 Φ (2.246) ¯ R ≡ Φ+ Γ0 , Φ+ định nghĩa theo quy tắc: Φ R R Nếu + ΦR ≡ F |0± Φ+ R ≡ 0± | F Có thể thấy S + = S , toán tử Q biến BRST tức Q, Q, c0 β0 c0 β0 ≡ {Q, c0 β0 } bất =0 Biểu thức khai triển ΦR [X, φ, c, b, γ, β] viết tường minh cho mode kích thích thấp có dạng: ΦR = 1 + Γ11 φ x + · · · + c0 χ x + ··· |0 (2.247) 55 Bây ta tính tác dụng 2.245 với biểu thức khai triển 2.247 ΦR Trước hết tính {Q, c0 β0 } Dùng 2.141 ta có: {Q, c0 } = − =− 2 n − m : {c−n c−m bn+m , c0 } : − γ−r γr r∈Z n,m∈Z n − m : c−n c−m {bn+m , c0 } : − r∈Z n,m∈Z =− γ−r γr n : c−n cn : − n∈Z ∞ γ−r γr r∈Z ∞ = −2 γ−r γr − γ02 nc−n cn − n=1 (2.248) r=1 Tiếp theo ta có: n−r [Q, β0 ] = G0 + r,s∈Z = G0 + = G0 + : [βn+r γ−r c−n , β0 ] : − r,n∈Z nβn c−n − n∈Z ∞ [br+s γ−r γ−s , β0 ] br γ−r r∈Z ∞ b−r γr + γ−r br − 2b0 γ0 n c−n βn − β−n cn − n=1 n=1 (2.249) Thay kết 2.248 2.249 vào đồng thức: [Q, c0 b0 ] = {Q, c0 } b0 − c0 {Q, b0 } (2.250) ta được: ∞ [Q, c0 b0 ] = − ∞ n=1 ∞ −c0 γ−r γr + γ02 nc−n cn + G0 + r=1 ∞ n c−n βn − β−n cn − n=1 b−r γr + γ−r br − 2b0 γ0 n=1 (2.251) Tác dụng 2.251 lên phiếm hàm 2.247 ý rằng: γ02 β0 |0 ≡ − γ0 β0 γ0 |0 = (2.252) 56 ta có: {Q, c0 β0 } ψR = −c0 G0 1 + Γ11 ψ x + · · · |0 (2.253) Thay vào biểu thức tường minh G0 : G0 = −pµ dµ0 ∂ˆ iΓµ + · · · = −pµ √ + · · · = − √ + · · · 2 (2.254) ta được: {Q, c0 β0 } ψR = −c0 √ ∂ˆ + Γ11 ψ 2 x + · · · |0 (2.255) Kết hợp lại 2.245 - 2.248 2.255 , ta có: S =− √ 2i i i = = dD x 0| ψ¯ x + · · · + χ¯ x + · · · c0 1 − Γ11 c0 √ ∂ˆ + Γ11 ψ 2 x + · · · |0 dD x 0| ψ¯ − Γ11 ∂ˆ + Γ11 ψ + · · · dD xψ¯ x ∂ˆ + Γ11 ψ x + · · · c0 |0 (2.256) Chương Các trạng thái chân không 3.1 Chân không dây boson Chân không xem trạng thái không kích thích dao động tử quỹ đạo Đến nay, đưa vào trường vong với dao động từ sinh hủy, ta cần phải xét đến tính chất chân không tác động dao động tử vong Đặc biệt có dao động tử vong mode 0, c0 b0 , hai không xem toán tử sinh hủy, chân không lại có thêm đặc thù riêng Đối với dao động tử quỹ đạo vong mode khác 0, αnµ , cn , bn , ta định nghĩa trạng thái chân không |Ω trạng thái thỏa mãn điều kiện: αnµ |Ω = cn |Ω = bn |Ω = 0, n > (3.1) với chuẩn Ω|Ω = Đối với dao động tử mode 0.c0 b0 , chứng tỏ, ta đặt c0 |Ω = b0 |Ω = 0, dẫn đến Ω|Ω = Lúc người ta đưa vào hai trạng thái chân không: - Trạng thái chân không |v+ định nghĩa: c0 |v+ = gọi c0 - vacuum - Trạng thái chân không |v− định nghĩa: b0 |v− = gọi b0 - vacuum 57 (3.2) 58 Do {b0 , c0 } = , b20 = 0, c20 = nên đặt: |v+ = b0 |v+ , |v+ = c0 |v− (3.3) , v∓ |v± = (3.4) Từ dễ dàng thấy rằng: v± |v± = Từ |Ω |v± xây dựng hai trạng thái chân không đầy đủ theo cách: |O+ ≡ |Ω ⊗ |v+ (3.5) |O− ≡ |Ω ⊗ |v− (3.6) Với định nghĩa 3.5 , 3.6 ta có: αnµ |0± = , cn |0± = , O± |O± = bn |0± = , , n>0 O∓ |O± = (3.7) (3.8) Nhận xét với định nghĩa 55.5 không gian Fock xây dựng cách tác dụng lên dao động tử sinh có metric không xác định, cụ thể tất trạng thái có chuẩn > Ta hay minh họa điều qua vài ví dụ sau Ví dụ 1: + Các trạng thái c+ n |Ω , bn |Ω , n > có chuẩn 0: + Ω|cn c+ n |Ω = − Ω|cn cn |Ω = (3.9) + Ω|bn b+ n |Ω = − Ω|bn bn |Ω = (3.10) Ví dụ 2: Các trạng thái Cn+ b+ n |Ω có chuẩn < 0: + + + Ω|bn cn b+ n cn |Ω = − Ω|bn cn cn bn |Ω + = − Ω| − c+ n bn − bn cn |Ω = − Ω|Ω = −1 (3.11) 59 Hãy tính số vong trạng thái chân không |O± ta có: N c |O+ = N c |Ω ⊗ |v+ = |Ω ⊗ c0 b0 − b0 c0 |v+ = |Ω ⊗ c0 b0 |v+ = |Ω ⊗ − c0 b0 |v+ = |Ω ⊗ |v+ = |O+ (3.12) Cũng tương tự: N c |O− = − |O− (3.13) Như |O± có số vong ± 21 Một số tổng quát, ta tính số vong trạng thái: φ r, s ± + + + ≡ c+ n1 · · · cnr bm1 · · · bms |O± ; n, m > (3.14) sau: N x φ r, s ± = N c + + + , c+ n1 · · · cnr bm1 · · · bms + + + + + c+ n1 · · · cnr bm1 · · · bms , N = r−s± 3.2 3.2.1 φ r, s ± c |O± (3.15) Chân không siêu dây mở Chân không siêu dây mở NS Trong trường hợp siêu dây NS dao động tử quỹ dạo αnµ , dao động tử vong phản giao hoán cn , bn , ta có dao động tử quỹ đạo fermion bµλ dao động tử siêu vong giao hoán γλ , βλ , λ + Z 21 60 Đối với dao động tử quỹ đạo vong mode khác 0, αnµ , cn , bn , bµλ , γλ , βλ , ta định nghĩa trạng thái chân không |Ω trạng thái thỏa mãn điều kiện: αnµ |Ω = bµn |Ω = cn |Ω = bn |Ω = γλ |Ω = βλ |Ω = (3.16) n, λ > với chuẩn |Ω|Ω = Đối với dao động tử vong mode 0, c0 b0 , ta định nghĩa hai trạng thái chân không |v+ |v− siêu dây boson Chân không đầy đủ định nghĩa: |O± ≡ |Ω ⊗ |v± (3.17) Toán tử số vong toàn phần định nghĩa là: N g ≡N x +N γ ∞ c−n bn − b−n cn + = n=1 c0 b0 − b0 c0 − ∼∞ λ= 12 γ−λ βλ + β−λ γλ (3.18) Cũng tiến hành tính toán trước đây, ta thấy trạng thái: φ p, q; k, l ± + + + + + + + ≡ c+ n1 · · · cnp bm1 · · · bmq γρ1 · · · γρk βλ1 · · · βλl |O ± (3.19) có số vong: N 3.2.2 g =p+k−q−l (3.20) Chân không siêu dây mở R Lúc có dao động từ quỹ đạo spinor dµr dao động tử siêu vong γr , βr , r ∈ Z Khác với siêu dây NS, có dao động tử siêu vong mode 0, γ0 β0 Với dao động từ mode khác 0, αnµ , dµr , cn , bn , γr , βr , ta định nghĩa trạng thái chân không tương tự 3.16 αnµ |Ω = dµr |Ω = cn |Ω = bn |Ω = γr |Ω = βr |Ω = với n, r > Ω|Ω = (3.21) 61 Với dao động tử vong c0 b0 , ta định nghĩa chân không |v± siêu dây mở Với dao động tử siêu vong γ0 , β0 ta định nghĩa hai trạng thái chân không |ω+ |ω− điều kiện: γ0 |ω+ = , β0 |ω− = (3.22) |ω+ gọi γ0 - vacuum, |ω− β - vacuum Cũng tính tương tự siêu dây mở, ta thấy rằng: ω± |ω± = (3.23) ω± |ω∓ = (3.24) đặt: Tuy nhiên, khác với c0 b0 , γ02 = 0, β02 = 0, nên ta biểu diễn |ω+ |ω− qua Ở ta định nghĩa bốn trạng thái chân không đầy đủ sau: |O++ |O+− |O−+ |O−− = |Ω = |Ω = |Ω = |Ω ⊗ |v+ ⊗ |v+ ⊗ |v− ⊗ |v− ⊗ |ω+ ⊗ |ω− ⊗ |ω+ ⊗ |ω− (3.25) (3.26) (3.27) (3.28) c0 b0 − b0 c0 (3.29) Toán tử số vong toàn phần là: ∞ N g c−n bn − b−n cn + = n=1 ∞ γ−r βr − β−r γr − − r=1 γ0 β0 + β0 γ0 (3.30) Từ ta tính số vong trạng thái 56.10 sau: |Ω = |Ω = |Ω = |Ω N g |O++ = ⊗ (c0 b0 |v+ ⊗ |ω+ − |v+ ⊗ γ0 β0 |ω+ ) (3.31) N g |O+− ⊗ (c0 b0 |v+ ⊗ |ω− − |v+ ⊗ γ0 β0 |ω− ) (3.32) N g |O−+ ⊗ (c0 b0 |v− ⊗ |ω+ − |v− ⊗ γ0 β0 |ω+ ) (3.33) N g |O−− ⊗ (c0 b0 |v− ⊗ |ω− − |v− ⊗ γ0 β0 |ω− ) (3.34) 62 Như vậy, trạng thái |O++ |O−− có số vong 0, trạng thái |O+− có số vong +1, trạng thái |O−+ có số vong -1 Một cách tổng quát, ta có: N g N g N g N g φ p, q; k, l ++ = p + k − q − l φ p, q; k, l φ p, q; k, l +− = p + k − q − l + φ p, q; k, l +− (3.36) φ p, q; k, l −+ = p + k − q − l − φ p, q; k, l −+ (3.37) φ p, q; k, l −− = p + k − q − l − φ p, q; k, l −− (3.38) (3.35) ++ ký hiệu: φ p, q; k, l 3.3 3.3.1 ++ + + + + + + + ≡ c+ n1 · · · cnp bm1 · · · bmq γρ1 · · · γρk βλ1 · · · βλl |O++ (3.39) Chân không siêu dây đóng Dây boson đóng Chân không mode chuyển động phải định nghĩa bởi: αnµ |Ω = cn |Ω = bn |Ω = 0, n > (3.40) c0 |v+ = 0, b0 |v− = |O± = |Ω ⊗ |v± (3.41) (3.42) Chân không mode chuyển động trái định nghĩa hệ thức tương tự 57.1 có thêm dấu ký hiệu 3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS Chân không mode chuyển động phải định nghĩa bởi: αnµ |Ω = bµλ |Ω = cn |Ω = bn |Ω = γλ |Ω = βλ |Ω = 0, n, λ > (3.43) c0 |v+ = 0, b0 |v− = |O± = |Ω ⊗ |v± (3.44) (3.45) Chân không mode chuyển động trái định nghĩa hệ thức tương tự có thêm dấu 63 3.3.3 Siêu dây đóng NS - R Chân không mode chuyển động phải định nghĩa hệ thức 57.2 Chân không mode chuyển động trái định nghĩa bởi: ˜ = ˜bn Ω ˜ = γ˜r Ω ˜ = β˜r Ω ˜ = 0, n, λ, r > ˜ = c˜n Ω ˜ = d˜µr Ω α ˜ nµ Ω (3.46) c˜0 |˜ v+ = 0, ˜b0 |˜ v− = 0, γ˜0 |˜ ω+ = 0, β˜0 |˜ ω− = (3.47) 3.3.4 ˜ ⊗ |˜ ˜ +− = Ω v+ ⊗ |˜ ω− = O (3.48) ˜ ⊗ |˜ ˜ −+ = Ω v+ ⊗ |˜ ω+ = O (3.49) ˜ ⊗ |˜ ˜ ++ = Ω v− ⊗ |˜ ω+ = O (3.50) ˜ ⊗ |˜ ˜ −− = Ω v− ⊗ |˜ ω− = O (3.51) Siêu dây đóng R - NS Cũng hoàn toàn tương tự trường hợp siêu dây NS - NS, tất hệ thức cần hoán vị ký hiệu có dấu cho 3.3.5 Siêu dây đóng R - R Chân không mode chuyển động phải định nghĩa bởi: αnµ |Ω = dµr |Ω = cn |Ω = bn |Ω = γr |Ω = βr |Ω = 0, n, r > (3.52) c0 |v+ = 0, b0 |v− = (3.53) γ0 |ω+ = 0, β0 |ω− = (3.54) Bốn chân không đầy đủ |O++ , |O+− , |O−+ , |O−− Chân không mode chuyển động trái định nghĩa hệ thức tương tự có thêm dấu ˜ 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nguyên lý lý thuyết trường Dây, bước đầu vào nghiên cứu số tác dụng trường dây thu vài kết quả: • Phương trình chuyển động trường thành phần bậc thấp dựa vào khai triển phiếm hàm Dây tính bất biến tải BRST • Một số trạng thái chân không 65 Tài liệu tham khảo [1] Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý lý thuyết siêu Dây lượng tử, NXB KHKT Hà Nội [2] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa (2007), Nhập môn lý thuyết trường lượng tử, NXB KHKT Hà Nội [3] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [4] L Brink, M Henneaux (1988), Principles of string theory, Plenum Press, New York [5] M.B Green, J.H.Schwarz, E Witten (1987), Superstring theory, Cambridge University Press [6] L Brink, D.Friedann, A.M.Polyakov, (1990) Physics and Mathenmatics of Strings, Worla Scienticfic [7] M Kaku (1989), Introduction to Superstring theory, World Scientific