Phương trình chuyển động của các trường thành phần trong phiến hàm dây

1 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em xin cảm ơn các thầy cô giáo khoa Vật lý và khoa Sau đại học trường Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho chúng em học tập. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn bên cạnh và giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Hà Nội, tháng 9 năm 2010 Tác giả NGUYỄN XUÂN HUY 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu đưa ra trong luận văn chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. NGUYỄN XUÂN HUY Mục lục 1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 6 1.1 Hạt điểm và hạt dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây. . . . . . . . . . 7 1.3 Đại số Dây. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các trạng thái kích thích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Siêu dây và siêu tọa độ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Hình thức luận phiếm hàm Dây. 20 2.1 Phiếm Hàm trường dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Miền NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.2 Miền R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phiếm hàm trường dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Miền NS - NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Miền NS - R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Miền R - NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.4 Miền R - R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Tải BRST trong lý thuyết dây. . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Tải BRST cho dây boson . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.2 Tải BTST cho siêu dây mở . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 Tải BRST cho dây đóng . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Tác dụng phiếm hàm dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5 Tác dụng phiếm hàm siêu dây . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1 Tác dụng phiếm hàm siêu dây NS . . . . . . . . . . 51 3 4 2.5.2 Tác dụng phiếm hàm siêu dây R . . . . . . . . . . . 54 3 Các trạng thái chân không. 57 3.1 Chân không của dây boson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Chân không của siêu dây mở. . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Chân không của siêu dây mở NS . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Chân không của siêu dây mở R . . . . . . . . . . . 60 3.3 Chân không của siêu dây đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.1 Dây boson đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.2 Siêu dây đóng NS - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3.3 Siêu dây đóng NS - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.4 Siêu dây đóng R - NS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3.5 Siêu dây đóng R - R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Lý thuyết Dây được xem là một phương hướng nghiên cứu có nhiều triển vọng trong việc xây dựng mô hình Đại thống nhất các tương tác cơ bản. Dây có thể ở vô số các trạng thái kích thích, mỗi trạng thái tương ứng với một trường thông thường. Với ý nghĩa đó có thể diễn tả bằng hình thức luận phiếm hàm Dây. Phiếm hàm Dây là tập hợp vô hạn các trường thông thường, mỗi trường ứng với một mode kích thích của Dây. Các trường thành phần này chính là các trường vẫn gặp trong lý thuyết trường thông thường hiện nay Phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ một phương trình chung cho phiếm hàm Dây, và từ đó cũng suy ra các mối liên hệ giữa các trường thành phần. Đó là cơ sở để nghiên cứu về tương tác giữa chúng, và do vậy có ý nghĩa thiết thực trong việc đánh giá bàn luận về các mô hình lý thuyết qua các hệ quả định tính và định lượng. 2. Mục đích nghiên cứu. Tìm hiểu phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ phương trình chung cho phiếm hàm Dây. 3. Những vấn đề chính được nghiên cứu. Nghiên cứu hình thức luận phiếm hàm Dây và tính toán các phương trình chuyển động. 4. Đối tượng nghiên cứu. Lập tác dụng Dây và suy ra phương trình cho phiếm hàm Dây. Các phương trình chuyển động và các phương trình tương quan về các trường thành phần. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng Hình thức luận đại số Dây. Phương pháp tính. Chương 1 Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết dây 1.1 Hạt điểm và hạt dây. Trong lý thuyết trường lượng tử, chất người ta xem hạt như là một đối tượng không kích thước điểm chuyển động trong không - thời gian. Nhưng đến năm 1968 thì mô hình Veneziano hình thành, phản ánh mối quan hệ đối ngẫu giữa hai quá trình tán xạ và hủy cặp. Liền sau đó người ta nhận thức được rằng với mô hình này thì các hạt cơ bản cần được xem như các Dây, đối tượng có kích thước một chiều - dây chuyển động trong không - thời gian. Cụ thể: Khi xem như một điểm thì khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt vẽ ra một đường gọi là đường thế  x µ  τ   . Khi xem như một dây thì khi chuyển động trong không - thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt quét nên một mặt gọi là lá thế.  X µ  τ, σ   . Trong đó: τ : có thể xem như thời gian riêng của Dây, −∞ < τ < +∞. σ : có thể xem như độ dài xác định vị trí từng điểm trên dây, 0 ≤ σ ≤ π Ta viết dưới dạng vector hai chiều trên lá thế như: λ α =  τ, σ  , λ 0 = τ, λ 1 = σ Lúc này chuyển động của hạt dây trong không - thời gian được mô tả 6 7 bởi tác dụng: S = 1 2π  d 2 λη αβ ∂ α X µ .∂ β X µ (1.1) = 1 2π  dτdσ  ∂ µ τ ∂ τ − ∂ σ X  µ .∂ σ X µ  (1.2) η αη là metric MinKowski trên lá thế: η 00 = 1, η 11 = −1, η 01 = η 10 = 0 1.2 Phương trình Dây và khai triển tọa độ Dây. Xuất phát từ phương trình Euler - Lagrange: δL δX µ − ∂ α δL δ  ∂ α X µ  = 0 (1.3) Ta có Lagrange trên lá thế: L = 1 2π η αβ ∂ α X µ .∂ β X µ (1.4) δL δX µ = 0 (1.5) δL δ  ∂ α X µ  = δ δ  ∂ α X µ   1 2π η γδ ∂ γ X λ ∂ δ X λ  (1.6) Quy ước: α, β, γ, δ = 0, 1 : chỉ số trên lá thế. µ, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, ··· , D −1 : chỉ số trong không gian 8 δL δ  ∂ α X µ  = δ δ  ∂ α X µ   1 2π η γδ ∂ γ X λ ∂ δ X λ  (1.7) = 1 2π δ δ  ∂ α X µ   η  2  γδ η  D  λρ ∂ γ X λ ∂ δ X ρ  (1.8) = 1 2π η γδ η λρ  δ  ∂ γ X λ  δ  ∂ α X µ  ∂ δ X ρ + ∂ γ X λ δ  ∂ δ X ρ  δ  ∂ α X µ   (1.9) = 1 2π η γσ η λρ  σ γ α σ λ µ ∂ σ X ρ + ∂ γ X σ ∂ σ α σ ρ µ  (1.10) = 1 2π  η αδ η µρ ∂ σ X ρ + ∂ γ X λ σ σ α δ ρ µ  (1.11) = 1 2π {∂ α X µ + ∂ α X µ } (1.12) = 1 π ∂ α X µ . (1.13) Thay vào  1.4  ta được: ∂ α  ∂ α X µ  = 0 (1.14) Hay: ∂ α ∂ α X µ = 0 (1.15) ∂ α ∂ α X µ ≡  ∂ 2 r − ∂ 2 σ  X µ = 0 (1.16) Đó là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát là: X µ  λ  = X µ R  τ − σ  + X µ L  τ + σ  (1.17) Ở đây: X µ R mô tả các mode "chuyển động phải". X µ L mô tả các mode "chuyển động trái". Đối với dây mở ta đặt điều kiện biên là: X µ ≡ ∂ σ X µ = 0 tại σ = 0, π (1.18) 9 Lúc này ta có biểu thức khai triển: X µ R  τ − σ  = 1 2 x µ + 1 2 p µ  τ − σ  − i 2  n=±1,±2,··· 1 n α µ n e in  τ−σ  (1.19) X µ L  τ + σ  = 1 2 x µ + 1 2 p µ  τ + σ  − i 2  n=±1,±2,··· 1 n α µ n e in  τ−σ  (1.20) X µ  λ  = x µ + p µ τ − i  n=±1,±2,··· 1 n α µ n e inτ . cos nσ (1.21) Trong đó:    x µ như tọa độ của khối tâm dây. p µ như xung lương của khối tâm dây. α µ n như các dao động tử quỹ đạo. Yêu cầu X µ phải thực nên x µ và p µ phải thực và: α µ+ n = α µ −n Đối với dây đóng ta đặt điều kiện tuần hoàn: X µ  τ, σ  = X µ  τ, σ + π  (1.22) Lúc này ta có biểu thức khai triển: X µ R  τ − σ  = 1 2 x µ + 1 2 p µ  τ − σ  − i 2  n=±1,±2,··· 1 n α µ n e 2in  τ−σ  (1.23) X µ L  τ + σ  = 1 2 x µ + 1 2 p µ  τ + σ  − i 2  n=±1,±2,··· 1 n ˜α µ n e 2in  τ−σ  (1.24) X µ  λ  = x µ + p µ τ − i 2  n=±1,±2,··· 1 n e 2inτ  α µ n e −2inτ + ˜α µ n e +2inσ  (1.25) Với: α µ n : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động phải." ˜α µ n : dao động tử quỹ đạo ướng với "chuyển động trái." Với dây mở ta có: ˙ X µ ≡ ∂ τ X µ =  n=−∞ α µ n e inτ . cos nσ (1.26) 10 X  µ ≡ ∂ σ X µ =  n=+∞ α µ n e inτ . sin nσ (1.27) Ở đây: α µ 0 ≡ p µ Với dây đóng ta có: ˙ X µ ≡ ∂ τ X µ =  n=−∞ e 2inτ  α µ n e −2inτ + ˜α µ n e +2inσ  (1.28) X  µ ≡ ∂ σ X µ =  n=+∞ e 2inτ  α µ n e −2inτ − ˜α µ n e +2inσ  (1.29) Ở đây: α µ 0 ≡ ˜α µ 0 ≡ 1 2 p µ 1.3 Đại số Dây. Tensor năng - xung lượng trên lá thế: T αβ ≡ ∂ α X µ .∂ β X µ − 1 2 η αβ ∂ γ X µ .∂ γ X m u (1.30) Ta lập các toán tử: L n ≡ − 1 π e −inτ  π 0 dσ  T 00 cos nσ − iT 10 sin nσ  , n ∈ Z (1.31) Đặc biệt: L 0 ≡ − 1 π  π 0 dσT 00 = −P 0 (1.32) Với: P 0 ≡ 1 π  π 0 dσT 00 là véc tơ năng - xung lượng trên lá thế. Từ 1.30 ta suy ra: T 00 = ∂ 0 X µ ∂ 0 X µ − 1 2 ∂ γ X µ ∂ γ X µ chỉ số lá thế là γ = 0, 1 (1.33) = ∂ 0 X µ ∂ 0 X µ − 1 2  ∂ 0 X µ ∂ 0 X µ − ∂ 1 X µ ∂ 1 X µ  (1.34) = 1 2  ∂ 0 X µ ∂ 0 X µ + ∂ 1 X µ ∂ 1 X µ  (1.35) = 1 2  ˙ X µ ˙ X µ + X µ X  µ  (1.36) [...]... các dây cần phải xây dựng lý thuyết trường dây lượng tử Để chuyển từ lượng tử hóa dây đơn lẻ sang lý thuyết trường dây lượng tử, ta chuyển từ hàm sóng mô tả trạng thái của dây sang phiếm hàm trường dây |φ → Φ X µ τ, σ , Ψµ τ, σ , · · · (2.1) Đây là phiếm hàm với các giá trị là các trường trong không - thời gian xµ 2.1 2.1.1 Phiếm Hàm trường dây mở Miền NS Phiếm hàm có biểu thức khai triển tổng quát... (2.64) Phiến hàm thỏa mãn các phương trình: L0 Φ = 0 1 ˜ Φ=0 L0 − 2 , (2.65) và các điều kiện gauge: ˜ Ln Φ = 0, Ln Φ = 0, n > 0 (2.66) ˜ Gk Φ = 0, Gλ Φ = 0, k, λ > 0 (2.67) Trong biểu thức khai triển 2.64 cũng chỉ xuất hiện các trường thành phần với các chỉ số thỏa mã điều kiện 2.57 Viết tường minh cho trường thành phần cấp thấp nhất, ta có: Φ = −iφσ x bσ 1 + · · · − |0 (2.68) 2 Các phương trình. .. Xét sang phương trình 2.9 ta có: γ 2 α−k bγ,k+ 3 Ψ 1 G2 Ψ = − k∈Z ∞ γ γ γ αγ,k+ 1 = − p b1 + 2 k=−1 = ipγ Aµ x bγ bµ+ + · · · 1 1 2 Ψ 2 |0 2 = −∂ µ Aµ x + · · · |0 =0 (2.18) 23 Từ đây suy ra: ∂ µ Aµ x = 0 (2.19) và các hệ thức giữa các trường thành phần tương ứng với các mode kích thích cao hơn 3 Tương tự, phương trình G 2 Ψ = 0 dẫn đến các hệ thức giữa các trường thành phần cao hơn Phương trình Aµ... 2 2λ − 3 2 Ln = (2.7) (2.8) Cho nên các dãy vô số các phương trình 2.5 và 2.6 trên thực tế quy về hai phương trình: G1 Ψ = 0 , 2 G3 Ψ = 0 2 (2.9) Xuất phát từ 2.5 và 2.9 ta hãy viết ra phương trình cho trường thành phần trong biểu thức 2.3 Sử dụng biểu thức tường minh của L0 : 1 L0 = 2 ∞ ∞ σ α−k ασk − k=1 bσ bσλ −λ − (2.10) 1 λ= 2 và các kết quả đã tính, phương trình 2.4 cho − 1 ψ x − i Aµ x bµ+ −... Majorana của ψA buộc: bµ+ = bµ −r r , ˜µ+ = ˜µ br b−r , dµ+ = dµ −n , n ˜ ˜−n dµ+ = dµ n (1.112) Chương 2 Hình thức luận phiếm hàm Dây Trong chương 1, số lượng tử hóa dây mới chỉ ở mức độ biến các tọa độ X µ , ψ µ , · · · thành các toán tử tuân theo các quy tắc giao hoán nhất định Do đó vẫn chưa có khả năng mô tả các quá trình sinh và hủy dây, để có thể mô tả quá trình chuyển hóa giữa các dây cần phải... với các đối tác của chúng - các siêu tọa độ phản giao hoán ψ µ τ, σ Đối với không - thời gian của dây đó là các vector, còn đối µ với lá thế là các spinor hai thành phần ψA τ, σ , A = 1, 2 Ngoài ra, chúng là những đại lượng thực Majorana : + µ (ψA ) = ψ µ+ A µ = ψA (1.75) Lúc này vị trí của dây trong không - thời gian được xác định bởi cả X τ, σ và ψ µ τ, σ , và dây được gọi là siêu dây µ Chuyển động. .. cho nên các trường thành phần cũng vậy Viết tường minh cho một phương trình thành phần ứng với các mode kích thích thấp nhất, ta có: µ+ Ψ = ψ x − iξµ x − iξγ x α1 − iβγ x dγ+ + · · · |0 1 (2.21) Trong đó: 1, ψµ, x ≡ ξµ x , ,1 ξ,γ x ≡ βγ x (2.22) Các trường ξ x , βµ x , · · · còn mang thêm chỉ số spinor không - thời gian, cho nên ξ là trường spinor, ξm u x và βµ x là trường vector - spinor Phiếm hàm Ψ... rằng trong biểu thức khai triển 31 chỉ xuất hiện các trường thành phần với các chỉ số thỏa mãn điều kiện n1 + · · · n2 + k1 + · · · + kq = m1 + · · · + ms + l1 + · · · lq Trường thành phần cấp thấp nhất trong 2.70 q = 0 là trường vô hướng, ta ký hiệu bởi ϕ x : ϕ X τ, σ , φ τ, σ ứng với r = s = p = = φ x + · · · |0 (2.77) Phương trình 2.71 cho: ϕ x =0 (2.78) Các điều kiện gauge 2.74 , 2.75 cho các hệ... · · · |0 2 2 =0 = |0 (2.47) Từ đây suy ra: ∂ µ tµτ x = 0 (2.48) ˜1 Cũng hoàn toàn tương tự, phương trình G 2 Φ = 0 cho: ∂ ν tµν x = 0 (2.49) ˜ 3 Các phương trình 2.40 với G 2 và G 3 cho các hệ thức giữa các trường 2 thành phần cấp cao hơn 2.2.2 Miền NS - R Biểu thức khai triển tổng quát của phiếm hàm trường dây là: ∞ Ψ X τ, σ , ψ τ, σ = r+s+2 p+1 +q −i r!s! 2p + 1 !q! r,s,p,q=0 n ···n ,λ ···λ2p+1... - thời gian, và do đó các trường thành phần cũng đều mang thêm hai chỉ số spinor ngoài các chỉ số Lorentz đã viết tường minh Phiếm hàm Φ thỏa mãn các phương trình: L0 ϕ = 0 , ˜ L0 ϕ = 0 (2.71) và các điều kiện gauge: ˜ Ln ϕ = 0, Ln ϕ = 0, n > 0 (2.72) ˜ Gk ϕ = 0, Gk ϕ = 0, k > 0 (2.73) Các điều kiện này quy về: ˜ L1 ϕ = 0, L1 ϕ = 0 (2.74) ˜ G1 ϕ = 0, G1 ϕ = 0 (2.75) Từ phương trình trên ta có: ˜ ˜ . phiếm hàm Dây. Các phương trình chuyển động và các phương trình tương quan về các trường thành phần. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp nghiên cứu siêu đối xứng Hình thức luận đại số Dây. Phương. phiếm hàm Dây. Phiếm hàm Dây là tập hợp vô hạn các trường thông thường, mỗi trường ứng với một mode kích thích của Dây. Các trường thành phần này chính là các trường vẫn gặp trong lý thuyết trường. thông thường hiện nay Phương trình cho các trường thành phần được suy ra từ một phương trình chung cho phiếm hàm Dây, và từ đó cũng suy ra các mối liên hệ giữa các trường thành phần. Đó là cơ sở