Các phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKIM THỊ HƯỜNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016... ĐẠI HỌC QUỐC GIA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KIM THỊ HƯỜNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM

LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KIM THỊ HƯỜNG

CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM

LIÊN TỤC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

Mục lục

1.1 Hàm chẵn, lẻ 5

1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn 6

1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính 6 1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính 7 1.3 Hàm mũ 9

1.4 Phép lặp 15

1.5 Đặc trưng của một số hàm sơ cấp 15

1.6 Tập trù mật 18

1.7 Hàm chuyển đổi các phép tính số học 18

2 Các phương trình hàm dạng Abel 20 2.1 Phương trình hàm dạng mũ 21

2.1.1 Nghiệm thực của phương trình hàm dạng mũ 21

2.1.2 Nghiệm phức của phương trình hàm dạng mũ 21

2.2 Phương trình hàm với hàm arctan 23

2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác 24

2.4 Một số dạng phương trình hàm khác 26

2.4.1 Phương trình lặp 26

2.4.2 Phương trình dạng Pexider với các phép tính số học 26 2.4.3 Về nghiệm của một số hệ phương trình 33

3 Một số lớp phương trình đa ẩn hàm 35 3.1 Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan 35

3.2 Phương trình D’Alembert trong lớp hàm số liên tục 39

4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic 48

4.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do 48

4.1.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam 48

4.1.2 Các bài thi Olympic các nước và khu vực 53

4.1.3 Đề thi toán Olympic quốc tế (IMO) 72

4.2 Phương trình hàm một biến 73

4.2.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam 73

4.2.2 Các đề thi Olympic các nước và khu vực 74

4.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc 75

Mở đầu

Hiện nay, ở một số trường phổ thông, phương trình hàm vẫn chưa được

đề cập nhiều Phần lớn các học sinh tiếp cận với phương trình hàm là cáchọc sinh lớp chuyên toán, đối với học sinh đại trà phương trình hàm là mộtdạng toán xa lạ Các học sinh tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấykhó bởi vì khi học giải phương trình hàm không những đòi hỏi người họcphải vận dụng nhiều kiến thức mà còn phải có khả năng tư duy tốt, khảnăng khái quát, nhận dạng tìm ra cách giải hợp lí

Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic toán khu vực và quốc

tế, thường xuất hiện các dạng toán liên quan đến phương trình hàm

Xuất phát từ thực tế đó, tôi chọn đề tài: "Các phương trình hàm dạngAbel trong lớp hàm liên tục" làm đề tài luận văn thạc sĩ Với mục tiêu chínhcủa luận văn là cung cấp thêm cho các em học sinh - sinh viên đặc biệt làcác em học sinh- sinh viên khá, giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toántài liệu tham khảo Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản luận văn cònnghiên cứu thêm một số phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liêntục; phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương tìnhD’Alembert trong lớp hàm liên tục; một số dạng toán về phương trình hàm

từ các đề thi Olympic

Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã thu thập, phân tích, nghiên cứucác tài liệu về phương trình hàm đặc biệt là các phương trình hàm dạng Abeltrong lớp hàm liên tục thông qua các tài liệu tham khảo như sách, Internet,trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn, của các chuyêngia và đồng nghiệp rồi tổng hợp, hệ thống lại

Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung vàphần kết luận

Nội dung luận văn gồm bốn chương:

- Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm chẵn, hàm lẻ, hàmtuần hoàn, hàm phản tuần hoàn; các định nghĩa và các định lý, tính chất

đến hàm mũ; định nghĩa về phép lặp; đặt trưng của một số hàm sơ cấp; hàmchuyển đổi các phép tính số học.

Chương 2 Một số dạng phương trình hàm Abel

Trong chương này trình bày một số phương trình hàm dạng Abel tronglớp hàm liên tục: Phương trình mũ; phương trình lặp; Phương trình hàmsinh bởi hàm arctan; phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác; các phươngtrình hàm dạng khác

Chương 3 Các lớp phương trình hàm liên quan

Trong chương này trình bày một số lớp phương trình hàm liên quannhư: Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương trìnhD’Alembert trong lớp hàm liên tục

Chương 4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic.Nội dung chủ yếu của chương trình bày một số dạng toán từ các đềthi học sinh giỏi Việt Nam, Olympic các nước và khu vực, Olympic quốc tế(IMO)

Trong thơì gian thực hiện luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫnchỉ bảo tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Qua đây, tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan tâm, độngviên và sự tận tình chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Mậu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tinhọc đã dạy bảo tận tình, chân thành cảm ơn các thầy cô trong Ban giámhiệu, phòng Đào tạo, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoahọc Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trongsuốt thời gian tác giả học tập và thực hiện luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu và tập thể giáo viêntrường Cao Đẳng Nông nghiệp và PTNT Bắc bộ đã tạo điều kiện cho tác giả

có cơ hội học tập và nghiên cứu

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng học tập, nghiên cứu, thảo luận để thựchiện luận văn này Tuy nhiên, điều kiện về thời gian và khuôn khổ của luậnvăn nên tác giả chưa đi sâu nghiên cứu được tất cả các phương trình Abel vàkhông tránh khỏi những thiếu xót Tác giả luận văn mong muốn nhận được

sự góp ý kiến của quý thầy cô các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiệnhơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2016

Người thực hiệnKim Thị Hường

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

Trong chương này, trình bày một số lý thuyết cơ bản thường được sử dụngkhi nghiên cứu về phương trình hàm Các kiến thức trong chương này được thamkhảo trong tài liệu [1, 3]

1.1 Hàm chẵn, lẻ

Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂R và tập giá trị R(f ) ⊂R.

Định nghĩa 1.1 Hàm f (x) được gọi là hàm số chẵn tại x = 0 trên M, M ⊂ D(f )

(gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu

x0

2 + t

thì g(−t) = f

x0

2 − t, f (t) = g



t − x02

Định nghĩa 1.2 Hàmf (x) được gọi là hàm số lẻ tại x = 0 trênM, M ⊂ D(f )(gọitắt là hàm lẻ trên M) nếu

trong đó g(x) là hàm lẻ tùy ý trên R.

1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn

1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính

Định nghĩa 1.3 Hàmf (x)được gọi là hàm tuần hoàn (cộng tính) chu kỳa(a > 0)

Lời giải Theo giả thiết ∃m, n ∈N+ , (m, n) = 1 sao cho a

Hơn nữa, dễ thấy ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàntrên M.

Định nghĩa 1.4 Hàm f (x) được gọi là hàm số phản tuần hoàn (cộng tính) chu

Vậy f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2b trên M.

Định nghĩa 1.5 Hàmf (x)được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ α (α > 1)

Bài toán 1.5 Cho f (x), g(x) là hai hàm tuần hoàn nhân tính trên M có các chu

Lời giải Từ giả thiết, suy ra |a|n = |b|m. Ta chứng minh T := a2n = b2m là chu

kỳ của F (x) và G(x).

Thật vậy, ta có

F (T x) = f (a2nx) + g(b2mx) = f (x) + g(x) = F (x), ∀x ∈ M G(T x) = f (a2nx)g(b2mx) = f (x)g(x) = G(x), ∀x ∈ M.

Hơn nữa,∀x ∈ M thì T±1x ∈ M Do đóF (x) và G(x)là những hàm tuần hoàn nhântính trên M.

Định nghĩa 1.6 Hàm f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ β (β > 1) trên M nếu M ⊂ D(f ) và

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng f (x) là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ là

b (b > 1) trên M khi và chỉ khi f (x) có dạng:

f (x) = 1

2(g(bx) − g(x)), (1.9)trong đó g(x) là hàm tuần hoàn nhân tính với chu kỳ b2 trên M.

Lời giải Thật vậy, nếu f (x) có dạng (1.9) thì

Ngược lại, giả sử f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b trên M. Khi đó

g(x) = −f (x) là hàm tuần hoàn nhân tính chu kỳ b2 trên M và

Cho y = 0, ta có E(x) = E(x)E(0), ∀x ∈R.

Theo giả thiết E(0) = 0 suy ra E(x) = 0, ∀x ∈R.

Tính chất 1.3 Nếu E : R → C là hàm mũ và tồn tại x0 ∈ R sao cho E(x0) = 0

= E−1(x)E−1(y) = E∗(x)E∗(y).

Suy ra

E∗(x + y) = E∗(x)E∗(y), x, y ∈R.

Trong đóE :R→C∗ là hàm mũ định nghĩa ở trên.

Chứng minh Dễ thấyf ≡ 0 thỏa mãn (DE)



f

u − v 2



, ∀u, v ∈R.

Cho u = v suy ra 2f (u) = 2f

u + v 2

Trường hợp 2 Xét f (x) 6∈ {−1; 1}, với một vài giá trị x ∈R.

Do đó tồn tại x0∈R sao cho f (x0)2− 1 6= 0.

Đặt α = f (x0) ⇒ α2− 1 6= 0, đặt β2 = α2− 1.

1 Để đơn giản trong ký hiệu từ đây ta hiểu f (x) 2 = [f (x)] 2

Ta đặt

E(x) =f (x) + 1

β[f (x + x0) − f (x)f (x0)]

=1β

= 1

β 2 {f (x)f (y) + αf (x0+ x + y) − f (x + y) + (β − α)[f (x 0 + x + y) + 2αf (x)f (y) − αf (x + y)]

= 1

2[f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈R

d) Hàm p(x) = arccot x có tính chất

p(x) + p(y) = pxy − 1

x + y

, với ∀x, y ∈R, x + y 6= 0.

1.6 Tập trù mật

Định nghĩa 1.9 Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong B ⊆ R ký hiệu [A] = B

nếu với mọi x, y ∈ B; x < y luôn tồn tại α ∈ A, sao cho x < α < y

Định nghĩa 1.10 Tập A ⊂ R được gọi là trù mật trong R ký hiệu [A] = R nếu

với mọi x ∈R tồn tại dãy số (an) ⊂ A, sao cho an → x khi n → ∞

Định nghĩa 1.11 ChoA ⊂ B ⊂R nếu với mọi x ∈ B, với mọiε > 0tồn tại y ∈ A,sao cho |x − y| < ε thì A được gọi là tập trù mật trong B, ký hiệu là [A] = B.

Nhận xét 1.1 Định nghĩa 1.9 và định nghĩa 1.10 tương đương với nhau

Định nghĩa 1.12 Nếu hai hàm số f (x), g(x) là hai hàm liên tục trên R và thỏamãn điều kiện f (x) = g(x) với mọi x ∈ A trong đó [A] =R thì f (x) = g(x) với mọi

x ∈R.

Ta thường sử dụng một số tập trù mật trong R sau

1 Với Q := tập các số hữu tỷ, ta có [Q] = R.

2 Với = = tập các số vô tỷ, ta có [=] = R.

3 Với [A] = R tập {α + r | α ∈ A, r = const, r ∈ R} trù mật trong R.

4 Với [A] = R tập {αr | α ∈ A, r = const, r 6= 0, r ∈ R} trù mật trong R.

Thay x = y = 0 vào (1.11), ta được f (0) = f (0) + f (0) ⇔ f (0) = 0.

Thay y = −x vào (1.11),ta đượcf (0) = f (x) + f (−x) ⇒ f (x) = −f (x), ∀x ∈R.

Vậy hàm f (x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức của f (x) với

x > 0.

Thay y = xvào (1.11), ta được f (2x) = 2f (x) Giả sử f (kx) = kf (x), (k ∈N∗).



= mf

x m



⇒ fxm

Vậy f (x) liên tục tại mọi điểm m ∈ R Nói cách khác f (x) liên tục trên R. Với

∀x ∈R, tồn tại dãy số (rn) ⊂Q, sao cho rn → x khi n → +∞ Khi đó, vì f (x) liêntục trên R nên ta có

Tài liệu tham khảo

[A] Tiếng Việt

[1] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo dục

[2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo dục.[3] Nguyễn Văn Mậu (2014), Phương trình hàm cơ bản với đối số biến đổi, NXBĐHQGHN

[4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006),Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc , NXB Giáo dục

[B] Tiếng Anh

[5] N.H Abel, Methode générale pour trouver des fonctions d’une seule quantitevariable lorsque une properieté des fonctions est exprimee pur une equationentre deux variables (Norwegian), Mag Naturwidenskab, 1, 1–10 (1823) (Oeu-vres complètes, tome 1, Grundahl & Son, Christiania, 1–10 (1881).)

[6] N.H Abel, Détermination d’une fonction au moyen d’une équation qui ne tient qu’une seule variable, Manuscript, Christiania, c 1824 (Oeuvres com-plètes, tome II Grundahl & Son, Christiania, 36–39 (1881).)

con-[7] N.H Abel, Untersuchung der Functionen zweier unabh¨ngigen ver¨nderlichen

Gro ¨ssen x und y, wie f (x, y), welche die Eigenschaft haben, daβ f [z, f (x, y)]

eine symmetrische Function von x, y und z ist, J Reine Angew Math., 1,11–15 (1826) (Oeuvres complètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 61–65(1881).)

[8] N.H Abel, Unterschuchung u ¨ber die Reihe 1 + m

1x +

m(m − 1) 1.2 x

2 +

m(m−1)(m−2) 1.2.3 x3+ , J Reine Angew Math., 1, 311–339 (1826) (Oeuvres com-plètes, tome I Grundahl & Son, Christiania, 219–250 (1881).)

[9] N.H Abel, Note sur la fonction ψ(x) = x + x222 + · · · + xn22 + , Manuscript,Freiberg (1826) (Oeuvres complètes, tome II Grundahl & Son, Christiania,189–193 (1881).)

[10] N.H Abel,U¨ber die Functionen, die der Gleichungϕ(x) + ϕ(y) = ψ(xf y + yf x)

genug thun, J Reine Angew Math., 2, 386–394 (1827) (Oeuvres complètes,tome I Grundahl & Son, Christiania, 389–398 (1881).)

[11] N.H Abel, Manuscript, Christiania, c 1828 (Oeuvres complètes, tome II.Grundahl & Son, Christiania, pp 287, 318–319 (1881).)

[12] M Bonk, On the second part of Hilbert’s fifth problem, Math Z., 210, 475–493(1992)

[13] E Hille and R.S Phillips, Functional analysis and semigroups, Am.Math Soc.Colloq., 31 (1957) MR:19 664 (1958)

[14] Pl.Kannappan, 2000, Functional Equations and Inequalities with Applications,Springer Monogaphs in Mathematics, 2000

[15] M Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ Beograd,Publ Elektrotehn Fak Ser Mat Fiz., 130, 1–64 (1964) MR:30 5073 (1965).[16] M Kuczma, B Choczewski, R Ger, 1990, Interative hàm al Equa-tions, Cambridge University Press, Cambridge/New York/PortChester/Melbourne/Sydney

[17] S Paganoni Marzegalli, One-parameter system of functional equations, Aeq.Math., 47, 50–59 (1994)

[18] M Sablik, The continuous solutions of a functional equation of Abel, Aeq.Math., 39, 19–39 (1990) MR91a:39006

[19] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in realanalysis: Advanced calculus on real axis, Springer