Các phương trình trường biến dạng

1 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS- TS Nguyễn Thị Hà Loan quan tâm bảo, tận tình hướng dẫn cô suốt trình học tập từ học đại học đến hoàn thành luận văn Chính quan tâm tận tình bảo cô tạo động lực cho em có thêm niềm tin, cố gắng để thực luận văn mong muốn có phát triển Em xin trân trọng cảm ơn PGS- TS Lưu Thị Kim Thanh quan tâm cô suốt trình dài học tập nghiên cứu em Em xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo, cô giáo khoa Vật Lí- Trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, quan tâm bảo em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp sát cánh bên suốt thời gian học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2011 TÁC GIẢ Nguyễn Đức Phương MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG Trang CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG TỔNG QUÁT 1.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 1.2 Dao động tử q- biến dạng 10 1.2.1 Dao động tử boson q- biến dạng đơn mode 10 1.2.1a Dao động tử boson q- biến dạng “vật lí” 10 1.2.1.b Dao động tử boson q- biến dạng “toán học” 11 1.2.2 Dao động tử fermion q- biến dạng đơn mode 13 1.2.3 Dao động tử q- biến dạng đa mode 16 1.2.4 Dao động tử biến dạng q tổng quát 17 1.3 Tính phi tuyến biến dạng lượng tử tổng quát 19 1.3.1 Tính phi tuyến biến dạng lượng tử tổng quát 19 1.3.2 Phương trình chuyển động dao động tử phi tuyến 25 CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG 2.1 Phương trình sóng 29 2.2 Phương trình Klein- Gordon 30 2.2.1 Thiết lập phương trình 30 2.2.2 Nghiệm phương trình Klein- Gordon 31 2.2.3 Suy phương trình liên tục, xác suất, mật độ dòng xác suất từ phương trình Klein- Gordon 32 2.3 Phương trình Maxwell 35 2.3.1 Phương trình Maxwell- Gauss 35 2.3.2 Phương trình lưu thông điện trường 36 2.3.3 Phương trình Maxwell- Ampère 39 2.3.3a Phương trình Maxwell- Ampère với từ trường không đổi 39 2.3.3b Phương trình Maxwell- Ampère với từ trường biến thiên 40 2.3.4 Phương trình Maxwell- Faraday 43 CHƯƠNG III: CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG BIẾN DẠNG 3.1 Phương trình sóng biến dạng tổng quát 50 3.2 Phương trình Klein- Gordon biến dạng 52 3.3 Phương trình Maxwell biến dạng 54 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Nhìn vào lịch sử vật lí, nhận thấy nhà vật lí nhiều lần biến dạng thuật toán phương trình để mô tả giải thích tượng vật lí; lý thuyết (đã biến dạng) tổng quát chứa lý thuyết ban đầu, lý thuyết ban đầu trường hợp giới hạn tham số biến dạng tiến đến giá trị định (Chẳng hạn Cơ học tương đối v c tính trở thành học Newton tham số biến dạng    hay Cơ học lượng tử cho kết Cơ học cổ điển giới hạn S   ,  S tác dụng,  số Planck) Phát minh Macfarlane Biedenham đại số lượng tử thuật ngữ q- dao động tử điều hoà làm nảy sinh việc áp dụng biến dạng lượng tử vào vấn đề thực vật lí Sự biến dạng q hệ vật lí thông qua dao động tử điều hoà qbiến dạng nhỏ vùng lượng bình thường trở nên đáng kể vùng lượng Planck, việc nghiên cứu q- biến dạng trở thành quan trọng lý thuyết trường Nghiên cứu biến dạng lượng tử vấn đề quan tâm, có khả đưa đến phát triển lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết hạt bản, dẫn đến nhiều thống kê (như thống kê phân số, thông kê q- biến dạng, thống kê g - biến dạng ) đặt vấn đề toán học lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử Chính vậy, chọn đề tài: “ Các phương trình trường biến dạng” nhằm nghiên cứu biến dạng lượng tử tổng quát, nghiên cứu qbiến dạng biến dạng số trường cụ thể Mục đích nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phương trình trường sóng, trường KleinGordon, trường Maxell biến dạng Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết chung biến dạng tổng quát, dao động tử biến dạng dạng phi tuyến từ biến dạng phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon phương trình Maxwell thành phương trình phi tuyến Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu q- biến dạng, biến dạng lượng tử tổng quát dao động tử phi tuyến biến dạng Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên VLLT- VLT - Phương pháp nghiên cứu trường lượng tử - Phương pháp nghiên cứu nhóm đối xứng lượng tử Cấu trúc luận văn: Chương I: Một số vấn đề biến dạng lượng tử tổng quát Trong chương đề cập đến số lý thuyết chung dao động tử biến dạng tổng quát, dao động tử q- biến dạng; nhờ nghiên cứu dao động tử biến dạng tổng quát dạng phi tuyến mà dẫn phương trình chuyển động biểu thức cho tọa độ vật lí x dao động tử Chương II: Các phương trình trường Trong chương II trình bày phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon, phương trình Maxwell chưa biến dạng Chương III: Các phương trình trường biến dạng Xuất phát từ phương trình trường trình bày chương II dựa vào kết nghiên cứu biến dạng lượng tử tổng quát chương I, chương III biến dạng phương trình trường sóng, Klein- Gordon, Maxwell thành phương trình phi tuyến NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BIẾN DẠNG LƯỢNG TỬ TỔNG QUÁT 1.1 Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát Chúng ta biến dạng dao động tử xây dựng đại số dao động tử biến dạng tổng quát Những kết tổng quát áp dụng cho trường hợp biến dạng Biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa cho hệ thức giao hoán aa   g  a  a  (1.1) a, a+ toán tử hermitic liên hợp Gọi n sở véc tơ trạng thái riêng toán tử số N N n n n (1.2) Khi viết: a n  a n   n n 1  n  1 n 1 (1.3a) (1.3b) ký hiệu  n  hàm số n Từ (1.1) (1.3a) có a a n  a  n n    n n (1.4a) n    n  1 n (1.4b) Tương tự, từ (1.1) (1.3b) có aa  n  a  n  1 Với hàm bổ trợ g(x) định nghĩa đại số dao động tử bình thường g  x  1 x (1.5) thu hệ thức giao hoán:  a, a    aa   a  a  (1.6) Toán tử số N định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán:  N , a    a   N , a   a , (1.7) giả sử toán tử số N biểu diễn thông qua toán tử sinh, hủy theo hệ thức: N  f aa  (1.8) tìm liên hệ hàm f ( x) g ( x) : Sử dụng (1.1), có  a,  a  a n   a  a  a n   a  a  n a   n n   aa   a   a  a  a    n n  g  a a    a a  a (1.9) Tương tự thu   (1.10)  (1.11) a ,  aa n   a g  a a  n   a a n    Các phương trình (1.9) (1.10) dẫn đến     a, f  a  a    f g  a  a   f  a  a  a      a  , f  a  a   a  f g  a  a   f  a  a     (1.12) Lưu ý công thức (1.10) (1.11), thấy chọn hàm f  g  x    f  x  (1.13) phương trình (1.7) (1.8) thỏa mãn Như vậy, từ (1.13) biết hàm bổ g  x hàm sở f  x hoàn toàn xác định hàm giải tích thực xác định trục (dương) thực Nếu gọi F  x hàm ngược hàm f  x , tức F  f 1 , hay F  f  x   x (1.14) hàm g  x xác định thông qua hàm f  x sau: g  x  F 1 f  x   (1.15)   Trong (1.10), ta thay x a a với định nghĩa (1.1), biến dạng tổng quát dao động tử điều hòa biểu diễn thông qua hệ thức giao hoán f  aa    f  a  a   (1.16) Đây hệ thức giao hoán biến dạng hệ thức (1.6) Trong hệ thức giao hoán biến dạng (1.16) hàm f  x  (và hàm F  x  ) gọi hàm sở (và hàm cấu trúc) lý thuyết biến dạng, hàm g  x  gọi hàm bổ trợ Sử dụng (1.8) được:    F  N   F f  a  a  , N  f a  a  Sử dụng (1.13), coi x  a  a được:   (1.17)  (1.18) F  N   F f  aa   aa Hoàn toàn tương tự  F  N  1  F f  a  a    g  a  a   aa  10 Từ thu hệ thức giao hoán biến dạng:  a, a    aa   a  a  F  N  1  F  N  (1.19) 1.2 Dao động tử q- biến dạng Trong mục xin hệ thống dao động tử q- biến dạng boson fermion đơn mode đa mode, dao động tử biến dạng q tổng quát với biểu diễn Fock chúng 1.2.1 Dao động tử boson q- biến dạng đơn mode Dao động tử boson q-biến dạng đơn mode định nghĩa thông qua hệ thức giao hoán : aa   qa  a  q  N (1.20)  Trong q  C thông số biến dạng; a , a, N toán tử sinh, hủy toán tử số dao động thỏa mãn hệ thức (1.7) Véc tơ trạng thái riêng toán tử số N xác định theo công thức a   n q  n  n q ! (1.21) Với  n q !   n q  n  q 1 q ,  q   nq  Fq  n  Tùy thuộc vào dạng hàm cấu trúc F  x  thu hệ dao động tử q- biến dạng thông thường (còn gọi q- boson “vật lí” ) q- boson “toán học” Sau hệ thống lại cụ thể hai loại q- boson biến dạng 1.2.1a Dao động tử boson q- biến dạng “vật lí” Hàm cấu trúc xác định theo kiểu Macfarlane- Biedenham F  x  Sinh( x) q x  q  x  Sinh q  q 1 (1.22) 44      B   r , t   B  r  v e t  (2.45b) Các hệ thức tương đương với phép biến đổi dạng:    F  r , t   F0  r  v e t  (2.46)   Muốn tính độ biến thiên không gian trường E  B  nhận thấy thỏa mãn dạng phương trình (2.46) ta có:    F0 r  v et  F     x x  r  r  ve t    (2.47) từ kiểm tra từ trường quan sát   có dive không:     d iv B   r , t   d iv B  r    trái lại, hoàn toàn không đảm bảo E  lại có lưu thông bảo toàn (2.48) Trên hình (H2.9) xét trường hợp trường không   B0  B0  x  e y y (2.49)    rõ ràng trường ve  B0 ( r ) không  B0 có lưu thông triệt tiêu đường cong kín  , từ rút hệ thức:     rot E   r , t   rotE  r   (2.50)  B0 z  rota trường E      rot ve  B0 r    ve  rrv t   (2.51) Áp dụng đồng thức phép lấy đạo   ve  B0  B0 e  x  Cụ thể hơn, tính toán      rot E   r , t   rot E0  ve  B0  B0   ve  B0  ve  B0  ve  B0    H2.9 Trường ve  B0 (r ) lưu thông bảo toàn x 45 hàm véc tơ:             rot a  b  a divb  b  diva   b grad a a.grad b             cho trường véc tơ a  v e etb  B Trường thứ đều, trường thứ hai có dive không, từ rút ra:    B    rot E   r , t    ve grad B0   t   (2.52) Chúng ta giải thích kết cách nói biến thiên thời gian trường dẫn đến xuất số hạng có rota khác không biểu thức điện trường Đối với trường hợp đặc biệt mà vừa xét, viết hệ qui chiếu    :     B  r , t  rot E   r , t    t     B  r , t  rotE  r , t    t (2.53a) (2.53b) Chúng ta thấy cách viết   B rotE   t (2.54) áp dụng cho hai hệ qui chiếu Như vậy, có khả thể cách hoạt động nội trường điện từ phương trình hệ qui chiếu Galilée    Bên cạnh đó, định luật vật lí phải có biểu thức tất hệ qui chiếu Galilée Thực tế thí nghiệm xác nhận biểu thức (2.54) cho phép giải thích hiệu ứng quan sát mạch điện chịu tác dụng điện trường biến thiên Từ nay, dùng phương trình vi phân tiên đề thuyết điện từ 46 Một từ trường biến đổi theo thời gian gây cảm ứng thành phần điện trường có lưu thông không bảo toàn Rota xác định phương trình Maxwell- Faraday (2.54):   B rotE   t Bằng cách dùng định lí Stokes, sử dụng phương trình vi phân để biểu thị lưu thông điện trường  dB  dt (hình H.10): Lưu thông điện trường  dS đường cong kín  bằng:    B  E dl   dS (2.55)    t      bề mặt có định hướng dựa vào đường cong kín   Trong trường hợp có đường cong kín dl  E  cố định hệ qui chiếu Galilée xét mặt  cố định dựa lên  H2.10 Bề mặt có định hướng dựa lên đường cong kín đường cong này, có:    d t  B  d  dS   B dS    t dt    dt (2.56)   t  từ thông qua mặt  có định hướng dựa lên  thời điểm t Như vậy, lưu thông điện trường đường cong kín  cố định hệ qui chiếu Galilée xét độ biến thiên từ thông qua điện tích giới hạn đường cong đơn vị thời gian, trái dấu 47     d  t  d   B dS   E dl  cố định   dt    dt (2.57) Chú ý thông lượng không phụ thuộc việc chọn mặt  dựa  từ trường có thông lượng bảo toàn Tóm lại, chân phương trình Maxwell sau: S PHƯƠNG T TRÌNH DẠNG VI PHÂN DẠNG TÍCH PHÂN T MAXWELL Maxwell- Gauss   d ivE  0 Phương trình từ  d iv B  thông Maxwell- Ampère Maxwell- Faraday      E rotB  0  j  jD   0 j   0 t   B rotE   t   Bdl  0        E d l  E  dS   t   j.dS  00   cốđịnh     d t  d B dS      dt   dt Ngay sau đây, liệt kê vắn tắt phương trình Maxwell môi trường vật chất: Chúng ta xét phương trình Maxwell môi trường vật chất cách mặt phân biệt mật độ điện tích khối   mật độ dòng điện tự khối j , mặt khác phân biệt mật độ điện      divP tích liên kết khối pol ( P độ phân cực môi trường) mật độ 48   P dòng điện liên kết, phân cực j pol   mật độ dòng điện từ hóa theo t    thể tích jm  rotM ( M véc tơ từ hóa) , nghĩa là:  tổng     pol     j tổng  j  j pol  jm (2.58a) (2.58b) Từ đó, nhận phương trình Maxwell môi trường vật chất: S PHƯƠNG T TRÌNH T MAXWELL DẠNG VI PHÂN Maxwell-      pol   divP divE   0 0     hay divD   , với D   E  P Gauss Phương trình từ  d iv B  thông MaxwellAmpère Maxwell- Faraday           P E  E  rotB  0  j  j pol  jm     0  j   rotM  0  t  t t       B    D hay: rot   M   j  Khi đưa vào véc tơ kích thích từ: t  0     B    D H   M , chúngta thu được: rotH  j  0 t   B r o tE   t 49 Phương trình Maxwell- Faraday phương trình từ thông không thay đổi chúng không dùng đến điện tích lẫn dòng điện    D   E  P véc tơ kích thích từ Việc đưa vào véc tơ điện dịch   B  H   M cho phép viết phương trình Maxwell mà xuất 0  điện tích tự  dòng điện tự j Như vậy, Chương II trình bày phương trình trường sóng, Klein- Gordon, Maxwell Trong lịch sử vật lí phương trình có đóng góp định vào việc giải thích tượng vật lí Tiếp theo đây, Chương III tiến hành biến dạng phương trình (trong giới hạn định) 50 CHƯƠNG III CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG BIẾN DẠNG 3.1 Phương trình sóng biến dạng tổng quát Chúng ta phương trình sóng (2.1), vận tốc lan truyền lấy đơn vị ( v = )  2 2      x, t    t x  (3.1) Trong biểu diễn tọa độ: X  x; bbbbbpx  i  x ; bbbbb x  x  (3.2a) Trong biểu diễn xung lượng có P  p; bbbX p  i  ; bbb p  p    ( p) p (3.2b) Trong biểu diễn xung lượng, trạng thái mô tả hàm sóng:  k  k    (k ) k toán tử xung lượng Khi chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lượng thực công thức chung:  k   ( k )  p    k x x  dx     k*( x ) ( x) dx   i   ( x) exp   kx  dx  2     (3.3) Do biểu diễn xung lượng phương trình (3.1) viết lại thành    k , t   k 2  k , t    k, t     x, t  e ikx dx  2 Đạo hàm hai vế phương trình (3.5) theo thời gian ta (3.4) (3.5) 51   k, t      x, t  e ikx dx    k , t   2 (3.6) Từ (3.4), (3.5) (3.6) có   k , t   2    ikx    x , t e dx   k , t     k 2  k , t  (3.7) Các phương trình (3.6) (3.7) cho chúng ta:     k, t     k, t  ;   k , t   k 2  k , t  (3.8) Chúng ta dễ nhận thấy (3.8) có dạng tương tự (1.89) (1.90):   x  F (   * ) p ; p    F (   * ) x 2 với tần số   k , p   ( k , t ) x   ( k , t ) Do biến dạng hệ tuyến tính lấy tích phân chuyển động:   k 2 ( k , t )  hk2 2k dk (3.9) hk lời giải hệ thống vô hạn phương trình suy từ (1.93) Chúng ta viết được:  k   k , t   h k2   k , t   h k F   d k   2k     (3.10)    Như vậy, lưu ý đến phương trình (3.4)    k , t   k   k , t      viết phương trình sóng biến dạng tổng quát dạng sau:   ( k , t )  k F 2 (  ) ( k , t )  Do tham số  (3.11) chọn tích phân chuyển động chung cho dao động tử trường không phụ thuộc vào véc tơ xung lượng k hàm 52 F 2 (  ) xem thừa số chung Khi viết lại phương trình (3.11) thành:   ( k , t )   k F 2 (  ) ( k , t )  2 2 2  F  (  ) ( k , t )   F  (  )  (k , t )  x  x (3.12) Chúng ta giải phương trình vi phân (3.11) nghiệm viết dạng    k , t     k ,  cos  kF     t     k ,  sin  kF     t     kF     (3.13) Chúng ta tìm lời giải phương trình (3.12) dạng Siliton thu    x, t     x  F     t  (3.14)  hàm 3.2 Phương trình Klein- Gordon biến dạng Chúng ta tổng quát hóa kết mục 3.1 vào trường hợp tọa độ không gian Bắt đầu từ phương trình Klein- Gordon thông thường với khối lượng ( c  1;   )  2        x, t    t  (3.15) Biên độ Fourier  k , t    ( x, t ) e   2   ikx dx (3.16) thỏa mãn phương trình vi phân   (k , t )  k 2 (k , t )  (3.17) Thực phép biến đổi tương tự trình bày mục 3.1, từ phương trình (3.17) thu 53   (k , t )  k F 2 (  ) (k , t )  (3.18)  tích phân chuyển động xác định (3.9) k 2 ( k , t )  hk2  dk 2k Nghiệm phương trình (3.17) có dạng biểu thức (3.13)    k , t     k ,  cos  kF     t     k ,  sin  kF     t     kF     Chúng ta viết lại phương trình (3.17) sau: vế phải (3.17) viết thành 2 2 2 2   (k , t )  k  (k , t )   (k , t )      t y z  x   2     F 2 ( )  (k , t )  t    F  (  ) ( k , t )  (   ) phương trình (3.17) viết lại thành:  2    F  (  )    (k , t )   t  Thay  k , t    ( x, t ) e      ikx dx (3.19) vào (3.19) thu được:  2    F (  )   ( x, t ) eikx dx      t   2  Từ viết  2    F  (  )    ( x, t )   t  F (  ) đóng vai trò vận tốc tín hiệu (3.20) 54 Phương trình (3.20) phương trình Klein- Gordon biến dạng phương trình Klein- Gordon phi tuyến tổng quát 3.3 Phương trình Maxwell biến dạng Chúng ta biết việc kể đến dòng điện dịch đưa vào số hạng bổ 2 xung  toán tử laplacien trở thành toán tử d’alambert c t 2  2 c t phương trình Maxwell chân không cho phép giải thích tượng lan truyền sóng điện từ với vận tốc c hệ quy chiếu Galilée, việc biến dạng phương trình Maxwell thành phương trình phi tuyến xem xét hệ phương trình Maxwell tuyến tính thông thường chân không cho trường E(x,t) H(x,t), biểu diễn qua A( x, t ),  ( x, t ) E dạng:  A    t x , H  rotA (3.21)  2        x, t    t  (3.22)  2      A  x, t    t  (3.23)   divA  t (3.24) vận tốc ánh sáng chân không chọn làm đơn vị ( c=1) Trong không gian xung lượng, lập luận tương tự mục 3.1 thu phương trình: 55    k , t   k 2  k , t  (3.25)  A k, t   k A k, t  (3.26)    k , t   ikA  k , t   với điều kiện chuẩn: (3.27) Giống trường hợp trường vô hướng, đưa vào “số lượng tử” tổng cộng trường điện từ biến dạng  tích phân chuyển động k 2  k , t   h2k dk ) Trong trường hợp có (được xác định:    2k phương trình phi tuyến biến dạng dao động:    k , t   k F 2      k , t   (3.28)  A  k , t   k F 2    A  k , t   (3.29) Ý nghĩa hàm F     vận tốc tín hiệu Do phải tái tham số hóa điều kiện chuẩn thành: 1 F       k , t   ikA  k , t   (3.30) Phương trình (3.28), (3.29) phương trình Maxwell biến dạng Giới hạn phương trình Maxwell biến dạng dạng thông thường Chỉ thời gian gần đây, nghiên cứu vấn đề tương thích dạng khác q- biến dạng đạt kết quả, kết mà trình bày tổng quát nên sử dụng cho loại q- biến dạng 56 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu đạt số kết có ý nghĩa việc xây dựng lý thuyết trường lượng tử, chất vật lí biến dạng lượng tử tổng quát biến dạng số trường cụ thể Luận văn đạt số kết sau: Tính hệ thức giao hoán biến dạng dao động tử điều hoà biến dạng tổng quát, dao động tử q- biến dạng (boson đơn mode, fermion đơn mode, đa mode tổng quát) Giải thích dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát dạng dao động tử phi tuyến thông thường với tính phi tuyến đặc thù: - Chỉ tần số W dao động tử điều hòa biến dạng hàm cho quĩ đạo với loại q- biến dạng khác - Viết phương trình chuyển động biểu thức xác định tọa độ vật lí x cho dao động tử phi tuyến tương ứng với dao động tử điều hòa biến dạng Biến dạng phương trình sóng, phương trình Klein- Gordon, phương trình Maxell thành phương trình phi tuyến Chỉ giới hạn tham số biến dạng để phương trình biến dạng trở phương trình dạng “cổ điển” (không biến dạng) 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C.T.V Ba and H.H.Bang (1999), “Generalized deformation with q being a root of unity”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 24 (Toàn quốc) [2] C.T.V.Ba and H.H.Bang (2000), “Quantum group and the standard model”, Tuyển tập báo cáo hội nghị VLLT lần thứ 25 ( Toàn quốc) [3] Lê Việt Dũng, Nguyễn Thị Hà Loan (1994), “The p, q- Deformed harmonic oscilltors repressentation of the quantum algebra SU(2)pq”, Communications in physics, Vol 4, No 2, page 85- 89 [4] Hoàng Dũng (1999), Nhập môn Cơ học lượng tử, Nhà xuất giáo dục [5] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2005), “Oscillator repressentation of R(q)- Deformed Virasoro algebra”, Báo cáo Hội nghị Vật lí lý thuyết toàn quốc lần thứ 30 [6] Nguyễn Thị Hà Loan, Nguyễn Hồng Hà (2003), “(q, R)- Deformed Heisenberg algebra and statistics of quantum oscillators”, Communications in physics, Vol 13, No 4, page 240- 244 [7] Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [8] Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lí lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [9] Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học sư phạm [10] Nguyễn Thị Hà Loan (1996), “ Defomed oscillators and their Statistics”, Communications in physics,Vol 6, No 2, page 18- 22 [11] Nguyen Thi Ha Loan (1998), “Commutation relations for deformed quantum fielf”, Tuyển tập báo cáo hội nghị vật lí lý thuyết toàn quốc lần thứ 22 [12] Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh (1999), Cơ học lượng tử, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội 58 [13] D.V.Duc (1998), “Statistics of q-deformed para- oscillator”, Preprint CPT- 94/P 3130, Marseille, France [14] Jean- Marie Brébec, Philippe Denéve, Thierry Desmarais, Alain Favier, Marc Ménétreir, Bruno Noel, Claude Orsin (2007), Eslectromagnétisme (Bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất giáo dục [15] Daskaloyannisc (1991), “Genneralized deformed oscillator and nonlinear algebras”, J Phys A24 (15), page 789- 794 [16] Daskaloyannisc (1992), “Generalier deformed virasoro algebras”, Mod Phys Let A7 (9), page 809- 816 [17] Mc Dermott R.J and Solomon A.I (1994), “Double squeezing in generalized q- coherent sates”, J Phys A27 (2), page 15- 20 [18] Polychronakos A.P (1990), “A classical realization of quantum algebra”, Mod Phys Lett A5 (4), page 2325- 2333