Nghiên cứu nghiệm soliton của các phương trình trường chuẩn yang mills

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM HỮU HOÀNG CHIẾN NGHIÊN CỨU NGHIỆM SOLITON CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRƯỜNG CHUẨN YANG - MILLS Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN THUẬN HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Thuận, thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên em suốt trình nghiên cứu thực luận văn Em xin cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Trường Đại học Tây Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tình cảm quý báu mà gia đình, đồng nghiệp bạn bè dành cho Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Phạm Hữu Hoàng Chiến MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƯƠNG NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS 1.1 Nghiệm soliton trường Yang-Mills SU(2) túy 1.1.1 Các phương trình trường Yang-Mills SU(2) túy 1.1.2 Một số dạng nghiệm 1.1.2.1 Các nghiệm riêng số 1.1.2.2 Các nghiệm tổng quát 10 1.2 Nghiệm soliton hệ Yang-Mills-Higgs 11 1.2.1 Trường Higgs phá vỡ đối xứng tự phát 11 1.2.2 Các phương trình trường hệ Yang-Mills-Higgs 12 1.2.3 Một số dạng nghiệm 12 1.2.3.1 Nghiệm monopole từ ‘t Hooft-Poliakov 12 1.2.3.2 Nghiệm dyon 15 1.2.3.3 Nghiệm Singleton 16 CHƯƠNG NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU 19 2.1 Tham số hóa vectơ nhóm SU(2) 19 2.2 Các phương trình Yang-Mills tĩnh có nguồn 19 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu có định hướng Su(2) cho trước 25 2.3.1 Nguồn dạng xuyên tâm 25 2.3.2 Nghiệm phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu có định hướng SU(2) cho trước 28 2.3.3 Năng lượng trường Yang-Mills với nguồn yếu 31 CHƯƠNG HẠT YANG-MILLS TRONG TRƯỜNG SINGLETON 3.1 Các phương trình Wong mở rộng 32 32 3.2 Đối xứng Lorentz định xứ toán hạt trường Yang-Mills tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) 33 3.3 Chuyển động hạt trường Singleton tựa Schwarzschild 34 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 PHỤ LỤC A 44 PHỤ LỤC B 46 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mô hình chuẩn hướng mở rộng khác mô hình cho phép mô tả tượng luận phong phú tương tác tự nhiên Cùng với việc khai thác ứng dụng tượng luận tương tác dựa mô hình chuẩn, hướng nghiên cứu khác thu hút quan tâm lớn, nghiên cứu tính chất lý thuyết trường chuẩn không Abel (còn gọi lý thuyết trường Yang-Mills) hệ động lực học phi tuyến Vật lý toán phi tuyến lĩnh vực phát triển mạnh mẽ năm gần Như biết, phương trình phi tuyến đối tượng nghiên cứu vật lý toán phi tuyến, lĩnh vực mà công cụ đặc trưng khác xa vật lý toán truyền thống Một đặc điểm quan trọng tồn nghiệm soliton phương trình trường phi tuyến Nó mô tả sóng đơn lẻ dạng bó sóng xung Soliton bảo toàn dạng theo thời gian bảo toàn liên quan đến chất topo nghiệm, nghĩa nghiệm phân thành lớp có topo khác đặc trưng topo (chỉ số topo) nghiệm tích phân chuyển động Soliton đối tượng nghiên cứu nhiều lĩnh vực vật lý như: quang học phi tuyến, vật lý hạt bản, vũ trụ học, vật lý chất rắn,… Đối với lý thuyết trường hạt bản, người ta thấy rằng, mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa) gần chuẩn cổ điển, soliton phương trình trường phi tuyến có dạng gần hạt: mật độ lượng trường hữu hạn, tập trung miền không gian dịch chuyển theo thời gian Các nghiệm soliton nghiên cứu nhiều phải kể đến soliton lý thuyết Yang-Mills lý thuyết Yang-Mills-Higgs không gian Mincopxki (nghiệm Wu-Yang, monopole ‘t Hooft-Polyakov, dyon Julia-Zee, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sammerfield), hay không gian Euclid (nghiệm instanton),… Các nghiên cứu theo hướng tiếp tục phát triển thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết [1-7] Các kết nghiên cứu có nhiều ứng dụng vật lý Chẳng hạn như, monopole từ không Abel có ý nghĩa quan trọng mô hình thống tương tác hạt bản, mà liên quan đến trình lạm phát vũ trụ giai đoạn sớm Thậm chí ảnh hưởng đến trình tiến hóa vũ trụ Hay việc phát instanton phương trình trường phi tuyến kết gây ấn tượng lý thuyết yang-Mills cổ điển Sự tồn instanton liên hệ với hiệu ứng đường ngầm không gian Mincopxki chân không khác [8] Để giải thích cầm tù quark người ta cho mật độ instanton đủ lớn, có chuyển pha từ trường chuẩn không khối lượng tới trường chuẩn có khối lượng Khi liên kết Yang-Mills lớn giữ cho quark bên hadron Ngành soliton học nghiên cứu tính chất soliton khả ứng dụng chúng trở thành lĩnh vực vật lý phát triển mạnh năm gần Trên số nhận xét vai trò tầm quan trọng soliton nghiên cứu lý thuyết trường Yang-Mills Qua cho thấy việc nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu nghiệm soliton phương trình trường chuẩn Yang-Mills, mang tính cập nhật, có ý nghĩa khoa học thực tiễn Mục đích nghiên cứu đề tài − Nghiên cứu số dạng nghiệm soliton phương trình trường chuẩn Yang- Mills với nhóm chuẩn SU(2) nguồn có nguồn ngoài, ý nghĩa vật lý nghiệm tìm − Khảo sát số tính chất chuyển động hạt Yang-Mills SU(2) số cấu hình trường soliton Phạm vi nghiên cứu đề tài Chỉ xét số dạng nghiệm soliton phương trình trường chuẩn YangMills không phụ thuộc thời gian với nhóm chuẩn SU(2) Phương pháp nghiên cứu − Sử dụng phương pháp thông dụng nghiên cứu lý thuyết trường: Phương pháp giải tích, lý thuyết nhóm, tính số,… − Ứng dụng số phương pháp nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến: phương pháp ansatz, phương pháp tham số hóa vectơ,… Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài − Góp phần làm sáng tỏ ý nghĩa nghiệm soliton nghiên cứu lý thống tương tác − Trong chừng mực đó, đóng góp vào phát triển lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, đề tài gồm ba chương Chương 1: Nghiệm soliton hệ Yang-Mills-Higgs Chương 2: Nghiệm soliton hệ Yang-Mills với nguồn đối xứng cầu Chương 3: Hạt Yang-Mills trường Singleton Chương NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS-HIGGS Trong chương khảo sát số dạng nghiệm soliton hệ YangMills-Higgs với nhóm chuẩn SU(2) ý nghĩa vật lý nghiệm tìm 1.1 NGHIỆM SOLITON CỦA TRƯỜNG YANG-MILLS SU(2) THUẦN TÚY 1.1.1 Các phương trình trường Yang-Mills SU(2) túy Mật độ Lagrangian trường chuẩn Yang-Mills túy với nhóm chuẩn SU(2) có dạng: L = − Fµνa Faµν , (1.1) Fµνa = ∂ µWνa − ∂ν Fµa + gε abcWµbWνc (1.2) đây: a tenxơ cường độ trường, Wµ chuẩn Abel (thế Yang-Mills), µ ,ν = 0,1, 2,3 số không - thời gian, a, b, c =1, 2,3 số nhóm SU(2) Mật độ Lagrangian (1.1) bất biến phép biến đổi chuẩn SU(2) định xứ Từ mật độ Lagrangian này, sử dụng phương trình Lagrange-Euler, ta dễ dàng nhận phương trình chuyển động trường Yang-Mills SU(2) túy: ∂ν Fµνa + g ε abcWbν Fµνc = (1.3) Từ phương trình (1.3) ta thấy có hai đặc trưng quan trọng lý thuyết chuẩn không Abel lý thuyết điện từ: Thứ nhất, phương trình chuyển động trường phi tuyến chuẩn Thứ hai, chuẩn không Abel xuất tường minh phương trình chuyển động trường Từ đặc trưng người ta cho rằng, chuẩn không Abel đóng vai trò lý thuyết chuẩn Abel Ít điều a trình bày lý thuyết chứa trực tiếp chuẩn không Abel Wµ Trong → → hình thức luận điện từ, người ta làm việc với cường độ trường E B Vấn đề không đơn giản nhóm chuẩn không Abel Chẳng hạn, hai Yang-Mills chuẩn không tương đương cho cường độ trường Yang-Mills giống 1.1.2 Một số dạng nghiệm Cho đến người ta chưa đưa phương pháp giải tổng quát phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến Sau sử dụng phương pháp ansatz để giải phương trình vi phân Giả sử trường chuẩn xuyên tâm, sử dụng ansatz Wu-Yang [9] : ∧ W0a = J ( r) , gr Wi a = ε aij (1.4) ∧ j r 1 − K ( r )  , gr  ∧ J ( r ) , K ( r ) hàm r, r a vectơ đơn vị Khi ansatz vào (1.3), ta nhận hệ hai phương trình vi phân phi tuyến liên kết r J '' = JK , (1.5) r K '' = K ( K − J − 1) , J '' , K '' đạo hàm bậc hai theo r 1.1.2.1 Các nghiệm riêng số Có ba nghiệm số hệ phương trình (1.5) Hai chúng K = 1, J = K = −1, J = (1.6) a a Đây nghiệm chân không với cường độ trường Fµν = ( Wµ = cho trường hợp a đầu, trường hợp thứ hai Wµ chuẩn túy) Nghiệm số không tầm thường K = 0, J = A = const (1.7) Khi (1.7) vào (1.4), ta được: ∧ ∧ r rj W = a A, Wi a = ε aij gr gr a (1.8) a Do thành phần không gian ( Wi ) Yang-Mills SU(2) (1.8) có dạng tương tự điện tích điểm trường tĩnh điện, nên ta coi (1.8) tương ứng g với chuẩn monopole từ điểm với từ tích có độ lớn qm = 1.1 2.2 Các nghiệm tổng quát Hệ phương trình (1.5) có hai nghiệm tổng quát sau: K ( r) = αr , J ( r ) = ±i ( α r coth α r − 1) , sinh α r (1.9) K ( r) = A , Ar − J ( r) = ± i , Ar − (1.10) α , A số tích phân, i đơn vị ảo Các hàm K ( r ) , J ( r ) (1.10) có kì dị r = r0 = 1/ A Nghiệm (1.9) khác với nghiệm Prasad-Sommerfield đơn vị ảo [10] Từ nghiệm (1.9) thấy rằng, α → hàm ( ) K ( r ) → 1, J ( r ) → chuẩn SU(2) trở thành chân không Wµa = Trường hợp α ≠ 0, nghiệm (1.9) r = (vì hàm K ( r ) = 1, J ( r ) = ) Nghiệm có ∧ a a tích topo n = 1, thấy từ điều kiện biên W0 = r iα g r = ∞ Nghiệm (1.10) có dạng tương tự nghiệm Schwarzschild lý thuyết tương đối tổng quát Khi (1.10) vào (1.4), nhận được: ∧ a ∧ i rj  Ar  W0a = ± r , Wi a = ε aij 1 − ÷ gr ( Ar − 1) gr  Ar −  (1.11) Các có kì dị r = r0 = 1/ A Tính kì dị chuẩn không Abel r = giống tính kì dị Coulomb gây điện tích điểm r = hình thức luận điện từ cổ điển Còn tính kì dị chuẩn không Abel r0 = dường biểu lộ giam cầm tích chuẩn SU(2) Một hạt mang tích chuẩn A SU(2) vào miền r < rời khỏi miền A 10 Dµφa = ∂ µφa + gε abcWµbφc (3.8) Khi sử dụng ansatz Wu-Yang: ∧ 1 − K ( r )  Wi a = ε aij rj  ,  gr  ∧ W0a = r a ∧ φ a = J ( r) , gr (3.9) H ( r) , gr Singleton tìm nghiệm xác, tương tự nghiệm Schwarzschild lý thuyết tương đối tổng quát Nghiệm có dạng: K ( r) = Ar B C , J ( r) = , H ( r) = , Ar − Ar − Ar − (3.10) A, B, C, số, với B C thỏa mãn điều kiện C − B = Trong trường hợp có trường chuẩn, trường vô hướng (nghĩa H ( r ) = 0, C = 0), B = ±i , phương trình (3.10) đưa dạng: K ( r) = Ar i , J ( r) = ± , H ( r ) = Ar − Ar − (3.11) Nếu xét lý thuyết Yang-Mills nghiệm bất thường chuẩn phức Nhưng ta xét theo khía cạnh khác Từ trường chuẩn phức nhóm SU(2), ta xây dựng chuẩn nhóm đối xứng Lorentz SO(1,3) Theo đó, ta chuyển nghiệm với phức cho (3.9), (3.10) thành nguồn trường gauge Lorentz tĩnh Cường độ điện trường tương ứng Eia = ± i g  ( − Ar ) ∧a ∧i Ar  ∧a ∧i   r r + δ − r r ÷ ,  2  r ( Ar − 1)     r ( Ar − 1) (3.12) Dấu ± (3.12) tương ứng với dấu ± (3.11) Dễ dàng thấy rằng, cường độ từ trường Bia = ±iEia (3.13) Như vậy, cấu hình trường (3.9) với hàm trường cho (3.11) tự đối ngẫu Tiếp theo, khảo sát chuyển động hạt trường Singleton cho (3.9) - (3.10), có dạng tương tự trường Schwarzschild lý thuyết hấp dẫn 3.3 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT TRONG TRƯỜNG SINGLETON 34 Trong hệ tọa độ phòng thí nghiệm, phương trình (3.3) - (3.5) có dạng [22]: →   d  mv ÷ → → →   = G  Ea Ta +  v × Ba ÷Ta  + ( c.c ) dt  − v ÷       d  m  dt  − v → (3.14)  → →  ÷ = G  v Ea ÷Ta + ( c.c ) ,    (3.15) dTa   → →  = Gε abcTb W0 c +  v Wc ÷ , dt    (3.16)  dTa*  → →  = Gε abcTb* W0*c +  v Wc* ÷ dt    (3.17) → → Ta ký hiệu X Y phần thực phần ảo vectơ spin đồng vị phức T , nghĩa → → → (3.18) T = X + iY Từ phương trình (3.17), (3.18), suy ra: → → → → dT2 d T *2 = 0, ⇒ T = const, = 0, ⇒ T *2 = const, dt dt → →  d  T T *2 ÷ → →   = 0, ⇒  T T *2  = const  ÷ dt   (3.19) → →  → → Từ kết (3.19) ý đến (3.18), dễ dàng thấy rằng, X , Y  X Y ÷   tích phân chuyển động Khi (3.11), (3.12), (3.13) ý đến (3.18) vào (3.14), ta [23]: →   d  mv ÷ → → = F1 + F2 , dt  − v ÷   → F1 = ± → F2 = −  Ar →  → →  → Y +   Y n ÷n  , r  ( Ar − 1) Ar − 1)  (     Ar  → →   → →  → →   v × n +   ÷  X n ÷ v × n ÷ , r  ( Ar − 1)   ( Ar − 1)      35 (3.20) → → → n vectơ đơn vị, n = r ; F1 F2 thành phần lực phụ thuộc vào vị trí → → r vận tốc hạt Các phương trình (3.16), (3.17) biểu diễn theo thành → → phần X , Y → dX  → →   Ar   → →  →  → →  →  =±  Y × n ÷+  ÷  X n ÷ v −  X v ÷n  , dt r ( Ar − 1)   r  Ar -       → dY =m dt r ( Ar − 1)  → →   Ar   → →  →  → →  →   X × n ÷+  ÷  Y n ÷v −  Y v ÷n    r  Ar -       (3.21) (3.22) Tương tự trường hợp hạt màu chuyển động trường chuẩn không Abel tĩnh nhóm SU(2) thực, chuyển động hạt xác định → phương trình (3.14) - (3.17) lượng E mômen xung lượng toàn phần M hạt tích phân chuyển động Ta có: E= → → M = L+ m − v2 m2  → →  Y n ÷, r ( Ar -1)   (3.23) → Ar  Ar −   → →  → X − 2 ÷ X n ÷n , ( Ar − 1)   Ar −   (3.24) đây: → L= → → → →  r × v ÷= r × p  − v2  m (3.25) → mômen quỹ đạo hạt, p xung lượng tương đối tính hạt Các phương trình (3.20) - (3.22) cho thấy chuyển động hạt phẳng Ở thời → → điểm đầu vectơ spin đồng vị X vuông góc với mặt phẳng tạo vectơ vị trí đầu ri → → → vec tơ vận tốc đầu vi , vec tơ Y nằm mặt phẳng Vectơ X → liên hệ với vectơ mômen xung lượng toàn phần M phương trình (3.24) Chọn → hệ tọa độ cho vectơ mômen xung lượng bảo toàn M hướng dọc theo trục z Dễ → → dàng nhận thấy thời điểm đầu hai vectơ X M hướng theo trục này, 36 → chuyển động hạt nằm mặt phẳng (x,y) Phương trình (3.21) cho thấy d X dt → → vuông góc với mặt phẳng chuyển động, hướng X không đổi Vì X tích → phân chuyển động, X bảo toàn vuông góc với mặt phẳng chuyển động →  → → Tương tự, Y  X Y ÷ tích phân chuyển động, nên vectơ spin đồng vị thứ   hai bảo toàn Như vậy, vectơ lực vế phải (3.20) thành phần theo trục z, nghĩa chuyển động hạt nằm mặt phẳng (x,y) Chúng xét chuyển động hạt giới hạn phi tương đối tính khảo sát miền xa điểm kỳ dị r > r0 = 1/ A Phương trình (3.20) dẫn đến: → → dv Ar − → Ar m = ± χ2 n − χ u, 2 dt r ( Ar − 1) r ( Ar − 1) → → → → χ1 = X , χ = Y , u = (3.26) → v× X → X Trong tọa độ cực ( r , ϕ ) , phương trình (3.26) đưa hệ phương trình sau: d 2r Ar dϕ Ar −  dϕ  m − mr  ± χ2 , ÷ = χ1 2 dt  dt  r ( Ar − 1) dt r ( Ar − 1) mr d 2ϕ Ar dr  dr  dϕ  + 2m  ÷ ÷ = χ1 2 dt  dt  dt  r ( Ar − 1) dt (3.27) (3.28) Sử dụng định luật bảo toàn lượng mômen xung lượng, dễ dàng đưa phương trình (3.27), (3.28) toán chuyển động chiều Kết m dV ( r ) d 2r =− , dt dr (3.29) đó:  j χ1 A   m ± χ ÷  j χ12 A2    V ( r) =  +  2+  r ( Ar − 1) 2m  r Ar −  ( )  37 (3.30) Trong phương trình (3.30), lấy dấu (+) trước thừa số χ vùng kì dị r> , thừa số ( Ar − 1) > 0, tất số hạng tương ứng với đẩy chuyển A động hạt không bị chặn Do ta loại bỏ trường hợp ứng với dấu (+) phương trình (3.30) Phương trình (3.30) xác định hiệu dụngYang-Mills-Singleton (cũng có dạng tương tự Schwarzschild) hàm r phụ thuộc vào thông số A, χ1 , χ giá trị mô men xung lượng toàn phần j Việc giải phương trình (3.29) với hiệu dụng (3.30) phức tạp Tuy nhiên, khảo sát hiệu dụng (3.30), ta biết tính chất định tính đặc trưng cho chuyển động Lấy đạo hàm theo r (3.30), ta được: dV ( r ) dr =  j − J1 ( r )   j − J ( r )  , mr  (3.31) đó: J1, ( r ) = −r ( 2r − 1) ± r + 4mγ r ( 2r − 1) ( r − 1) ( r − 1) ta đặt γ = χ / χ1 , A = χ1 = Trong miền r > thực J ( r ) có giá trị âm Vì vậy, dV ( r ) dr (3.32) , J1 ( r ) , J ( r ) hàm A triệt tiêu thừa số  j − J1 ( r )  (3.31) triệt tiêu Do hàm J1 ( r ) tăng đơn điệu tiệm cận đến giá trị ( r → ∞, nên phương trình dV ( r ) = có nghiệm đơn trị dr ) ( ) 2mγ − 2mγ − > 0, j nằm khoảng < j < 2mγ − Nếu cho j giá trị j = jm đó, thỏa mãn điều kiện < jm < 2mγ − 1, giao điểm đồ thị hàm J1 ( r ) với đường j = jm xác định khoảng cách mà hiệu dụng V ( r ) có giá trị cực tiểu Với giá trị thông số, ta vẽ đường biểu diễn hiệu dụng V ( r ) theo r Từ nhận khác chuyển động hạt 38 Hình 3.1 Đồ thị biểu diễn hiệu dụng Yang-Mills-Singleton có dạng tương tự Schwarzschild lý thuyết hấp dẫn tổng quát Từ đồ thị ta thấy, lượng toàn phần E hạt lớn E2 , (E = E1 chẳng hạn), hạt chuyển động xa vô cực, ngược lại lượng hạt nằm khoảng E2 > E > E4 , chuyển động hạt bị chặn Bằng cách sử dụng hệ đơn vị thích hợp [24], dùng đồ thị để so sánh hiệu dụng (3.30) với tương ứng lý thuyết hấp dẫn Eistein giới hạn Newton Thế hiệu dụng Schwarzschild lý thuyết hấp dẫn tổng quát có dạng: 1/  M   L2   VGR ( r ) = 1 − ÷1 + ÷ r   r   (3.33) Ở khoảng cách lớn (giới hạn Newton), (3.33) đưa về: VN = − M L2 + L 2r (3.34) 39 Hình 3.2 Đồ thị biểu diễn hiệu dụng Yang-Mills-Singleton, hiệu dụng Schwarzschild hiệu dụng giới hạn Newton Với thông số chọn: m = 1, A = 1/ M , j / M = 4, 4, χ1 / M = 4, L / M = 4,3, γ = χ / χ1 = 4,5 , hình 3.2, vẽ đồ thị hiệu dụng Yang-Mills- Singleton (đường nét liền), hiệu dụng giới hạn Newton (đường nét đứt), hiệu dụng Schwarzschild (đường chấm đứt) Kết cho thấy, gần vùng kì dị r > 1/ A, (miền < r r < 10), khác đáng kể; miền (10 ≤ ≤ 15), M M  r  xấp xỉ nhau; song khoảng cách lớn  > 15 ÷ tương tự M  Điều có nghĩa, khoảng cách lớn có thống lý thuyết YangMills lý thuyết hấp dẫn tổng quát Điều làm rõ vai trò tầm quan trọng lý thuyết Yang-Mills toán thống tương tác tự nhiên 40 KẾT LUẬN Qua nghiên cứu đề tài này, nhận kết sau: − Khi khảo sát trường chuẩn Yang-Mills SU(2) túy (không có trường Higgs), tìm hai nghiệm soliton tổng quát phương trình Yang-Mills Các nghiệm tự đối ngẫu Một nghiệm có dạng tương tự nghiệm Schwarzschild lý thuyết hấp dẫn tổng quát, có ý nghĩa việc giải thích chế giam cầm tích chuẩn SU(2) − Bằng cách sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ, tìm nghiệm soliton phương trình Yang-Mills tĩnh với nguồn yếu theo định hướng SU(2) cho trước Chúng nhận biểu thức lượng ứng với nghiệm Nói chung, lượng nhỏ lượng cấu hình trường Coulomb tương ứng lý thuyết không Abel 41 − Từ việc khảo sát toán chuyển động hạt cấu hình trường Singleton, đưa hiệu dụng Yang-Mills-Singleton Thế có dạng tương tự hiệu dụng Schwarzschild lý thuyết tương đối tổng quát Kết khảo sát cho thấy khoảng cách lớn so với điểm kì dị, hiệu dụng Yang-Mills-Singleton, Schwarzschild hiệu dụng giới hạn Newton tương tự Điều có nghĩa khoảng cách lớn có thống lý thuyết Yang-Mills lý thuyết hấp dẫn tổng quát − Ngoài ra, luận văn có đóng góp lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] N S Manton, P Sutcliffe, Topological solitons, Cambridge University, (2004) [2] B Tekin, Yang-Mills solutions on Euclidean Schwarzschild space, Phys Rev D, V 65, (2002), pp 084035 [3] E Farhi, V V Khoze, R Singleton, Minkowski space non-Abelian classical solutions with noninteger winding number change, Phys Rev D, V 47, No 12, (1993), pp 5551 [4] J Gattnar, K Langfeld, H Reinhardt, Signals of confinement in Green functions of SU(2) Yang-Mills theory, Phys Rev Lett V 93, No 6, (2004), pp.061601 [5] Y M Cho, D G Pak, Monopole condensation in SU(2) QCD, Phys Rev D, V 65, (2002), PP.074027 [6] N Manton, Topology in the Weinberg-Salam theory, Phys Rev D 28, (1983), pp 2019 42 [7] B Kleihaus, J Kunz, Y Shnir, Monopoles, antimonopoles, and vortex ring, Phys Rev D69, (2003), pp 101701 [8] A Actor, Classical solutions of SU(2) Yang-Mills theories, Rev Mod Phys 51 (3), (1979), pp 461 [9] T T Wu, C N Yang, In Properties of matter under unusual conditions, Edited by Mark H and Fernbach S (Interscience, New York), pp 349 [10] M K Prasad, C M Sommerfield, Exact classical solution for the ‘t Hooft monopole and the Julia-Zee dyon, Phys Rev Lett 35, (1975), pp 760 [11] ‘t Hooft, Magnetic moonopoles in unified gauge theory, Nucl Phys B79, (1974), pp 276 [12] A A Belavin, A M Poliakov, A S Schwartz, Yu S Tyupkin, Pseudoparticle solution of the Yang-Mills equations, Phys Lett 59B, (1975), pp 885 [13] D Singleton, Exact Schwarzschild-like solution for Yang-Mills theories, Phys Rev D51, (1995), pp 5911 [14] V K Kuvshinov, N V Tho, A new method for calculating the Cartan forms and applications to gauge and chiral field theories, J Math Phys A 26 (1993), 631 [15] F I Fedorov, Lorentz group, Nauka, Moscow, 1979, (Editorial USR, Moscow, 2003) [16] R Jackiw, L Jacobs, C Rebbi, Static Yang-Mills field with sources, Phys Rev D20, (1979), pp 474 [17] S K Wong, Field and particle equations for the classical Yang-Mills field and particle with isotopic spin, Nuovo Cim 65A, (1970), pp 349 [18] A Azizi, Planar trajectories in a monopole field, Jour Math Phys., 43, (2002), pp 299 [19] R M Fernandes, P S Letelier, Motion of a particle with isospin in the presence of a monopole, arXiv: hep-th/0508219,vl [20] Nguyen Van Thuan, Motion of color charge in spherically symmetric nonAbelian gauge field, Comm in Phys V 11(2) (2001), pp 117 [21] J Schecher, Yang-Mills particle in ‘t Hooft gauge field, Phys Rev D14, (1976), pp 524 43 [22] N V Tho, Interaction of imaginary chargy carrying dyon with particles, Jour Math Phys 49, (2008), pp 062301 [23] N V Tho and N Q Hoan, A test for the local intrinsic Lorentz symmetry, Journal of Physical Science and Application, (8), (2012), pp 328 [22] C W Misner, K S Thorn, J A Wheeler, Gravitation, (Ed), W H Fredman and Company, Sanfrancisco PHỤ LỤC A Chứng minh hệ phương trình (1.21) Xét phương trình chuyển động trường chuẩn SU(2) liên kết với tam tuyến Higgs: ∂ν Fµνa = gε abc  Fµνb Wcν − ( Dµφb ) φc  (A.1) Phương trình viết dạng: ∂ Fµa0 + ∂ i Fµai = gε abc  Fµb0Wc0 + FµbiWci − ( Dµφb ) φc  Nếu xét nghiệm tĩnh đạo hàm theo thời gian không, phương trình trở thành ∂ i Fµai = gε abc  Fµb0Wc0 + FµbiWci − ( Dµφb ) φc  Ta sử dụng ansatz Wu-Yang: 44 (A.2) ∧ ∧ ∧ 1 − K ( r )  H ( r) a a J ( r) Wi a = ε aij rj  , φa =  , W0 = r gr gr  gr  (A.3) * Xét trường hợp µ = 0, phương trình (A.2) có dạng: ∂ i F0ai = gε abc  F0biWci − ( D0φb ) φc  Bởi (A.4) D0φa = ∂ 0φa + gε abcW0bφc = 0, nên phương trình (A.4) viết lại ∂ i F0ai = gε abc F0biWci (A.5) Khi sử dụng ansatz (A.3) ∧ ∂ i F0ai =  r J '' − JK  , gr (A.6) ∧ gε abc F W =  JK − JK  gr b 0i i c (A.7) Khi thay (A.6), (A.7) vào (A.5) ta nhận được: r J '' = JK (A.8) * Xét trường hợp µ = j , phương trình (A.2) có dạng: ∂ i Fjia = gε abc  Fjb0Wc0 + FjibWci − ( D jφb ) φc  , (A.9) i, j = 1, 2,3 i ≠ j Khi sử dụng ansatz (A.3), tìm được: ∧  K − r K '' −  ∂ i Fjia = ε a jk r k  , gr   ∧ gε abc F jb0Wc0 = ε ajk r k KJ , gr ∧  K + K − K − 1 gε abc F jibWci = ε a jk r k  , gr   ∧ gε abc ( D jφb ) φc = ε ajk r k KH gr (A.10) (A.11) (A.12) (A.13) Khi thay phương trình (A.10) - (A.13) vào phương trình (A.9), ta nhận kết quả: r K '' = K ( K + H − J − 1) Xét phương trình chuyển động trường tam tuyến Higgs: 45 (A.14) ∂ µ ( Dµφa ) = gε abc ( Dµφb ) Wcµ + m 2φa − λφaφ (A.15) Nếu xét nghiệm tĩnh, phương trình (A.15) đưa dạng: ∂ i ( Diφa ) = gε abc ( Diφb ) Wci + m 2φa − λφaφ , (A.16) ý D0φa = Khi sử dụng ansatz (A.3), ta có: ∧ ∂ i ( Diφa ) r a  KH H ''  =  − ÷, g r r  (A.17) ∧ gε abc ( Diφb ) W = ( − K ) H − ( − K ) H  ,   gr i c ∧ m 2φa = r a m ∧ λφaφ = r a λ (A.18) H , gr (A.19) H3 g 3r (A.20) Khi thay phương trình (A.17) - (A.20) vào phương trình (A.16), ta nhận được: r H '' = H (2 K − m r + λ H ) g2 (A.21) Các phương trình (A.8), (A.14), (A.21) hệ phương trình (1.21) đưa chương PHỤ LỤC B Chứng minh phương trình (1.49), (1.50) Để tính điện trường không Abel, sử dụng phương trình: Eia = F0ai , Bia = − ε ij k F jka , (B.1) Fµνa = ∂ µWνa − ∂ν Wµa + gε abcWµbWνc (B.2) Nếu xét nghiệm tĩnh, từ (B.1), (B.2) nhận cường độ điện trường không Abel: Eia = −∂ iW0a + gε abcW0bWi c (B.3) Khi sử dụng ansatz Wu-Yang (A.3) −∂ iW = − g a  J ' ∧a ∧i J  ∧a ∧i    ÷ r r +  δ − r r ÷ r     r  46 (B.4) Ta có: ∧ ∧  J  − K  gε abcW0bWi c = gε abcε cij r b r j  ÷ ÷,  gr  gr  vì: ε abcε cij = δ aiδ bj − δ ajδ bi , nên: ∧ ∧  J  JK   gε abcW0bWi c =  − ÷ δ − r a r i ÷ gr     gr (B.5) Khi thay (B.4), (B.5) vào (B.3), ta được: E =− g a i  J ' ∧a ∧i JK  ∧a ∧i    ÷ r r +  δ − r r ÷ r     r  (B.6) Từ phương trình (B.1), (B.21), cường độ từ trường không Abel có dạng: Bia = − ε ij k ∂ jWka − ∂ kW ja + gε abcW jbWkc ( ) (B.7) Ta xác định số hạng vế phải phương trình (B.7) theo ansatz Wu-Yang: ∧ ∧ 1  K '  ∧a ∧i  a a i − ε ijk ∂ iWk =  −  δ − r r ÷+ ( − K ) r r  , 2  gr   gr  (B.8) ∧ ∧ 1  K '  ∧a ∧i  a i ε ijk ∂ kW ja =  − δ − r r + − K r r , ( )  ÷ 2  gr   gr  (B.9)  − K  ∧a ∧i − ε ijk gε abcW jbWkc = −  ÷r r  gr  (B.10) Thay phương trình (B.8), (B.9) (B.10) vào phương trình (B.7), nhận được: Bik = −  K − ∧a ∧i K '  ∧a ∧i   r r+   δ − r r ÷ g  r2 r   (B.11) Các phương trình (B.6), (B.11) phương trình (1.49), (1.50) đưa luận văn chương 47 48 [...]... hướng SU(2) cho trước 2.1 THAM SỐ HÓA VECTƠ CỦA NHÓM SU(2) Các phương trình Yang- Mills là các phương trình phi tuyến liên kết phức tạp Khi giải các phương trình này đôi khi người ta sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ các phép biến đổi chuẩn định xứ để đưa các phương trình Yang- Mills về dạng đơn giản hơn Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp tham số hóa vectơ của nhóm SU(2) Xét nhóm unita không Abel... đồng vị Chúng tôi khảo sát nghiệm của các phương trình (2.25) - (2.28) và các tính chất của các nghiệm tìm được khi nguồn ngoài có dạng (2.29) Các phương trình này không 24 phải là bất biến chuẩn do sự có mặt của nguồn ngoài Tuy nhiên, chúng là hiệp biến ' chuẩn theo nghĩa: nếu thế Wµ là nghiệm của phương trình với nguồn ρ thì thế Wµ nhận được từ phép biến đổi chuẩn hữu hạn của Wµ : Wµ → Wµ' = UWµ U... Trong hệ chuẩn mới, nguồn ρ ' có dạng xuyên tâm (2.47) Các phương trình Yang- Mills trong hệ này trở nên đơn giản hơn Vì vậy, trước hết chúng tôi tìm nghiệm của các phương trình Yang- Mills ở trong hệ có nguồn là ρ ' Trong hệ này, do tính bất biến đối với phép biến đổi chuẩn (2.30), (2.32), nên các phương trình Yang- Mills có dạng tương tự các phương trình (2.25) - (2.28), nghĩa là → → → → (2.48) ∇ Ea'... nhờ phép biến đổi chuẩn của Wµ Trong hệ mới nguồn là ρ ' , điều kiện tương thích của các phương trình Yang- Mills là ε abcWb' 0 ρ c' = 0 (2.31) Dưới đây, bằng cách sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ, chúng tôi dễ dàng nhận được biểu thức của các phép biến đổi chuẩn đưa nguồn có định hướng cho trước về nguồn thỏa mãn điều kiện tương thích (2.31) 2.3 NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH YANG- MILLS VỚI NGUỒN... bất biến chuẩn SU(2) định xứ theo nghĩa, một nghiệm bất kỳ thỏa mãn điều kiện (1.17) không bất biến đối 11 với nhóm chuẩn SU(2) toàn cục Tuy nhiên nghiệm này bất biến đối với nhóm con U(1) của nhóm chuẩn SU(2) 1.2.2 Các phương trình trường trong hệ Yang- Mills- Higgs Từ mật độ Lagrangian (1.14), sử dụng phương trình Lagrange-Euler, chúng tôi tìm được các phương trình chuyển động của trường chuẩn SU(2)... là các hằng số Các phương trình (1.28) - (1.31) cho thấy các hàm K ( r ) , H ( r ) cũng như các thế Wi a , φ a không kì dị tại r = 0 Bây giờ chúng tôi giải thích lý do tại sao các nghiệm tìm được trên đây được giải thích như là monopole từ Khi khảo sát các nghiệm cổ điển của lý thuyết Yang- Mills, người ta thấy rằng thành phần tầm xa trong các nghiệm tĩnh của lý thuyết Yang- Mills tương ứng với nhóm chuẩn. .. và ý nghĩa của nghiệm Singleton Do có sự tương tự giữa nghiệm Singleton của lý thuyết Yang- Mills- Higgs và nghiệm Schwarzschild của lý thuyết tương đối tổng quát, nên người ta cho rằng có mối liên hệ giữa trường Yang- Mills và trường hấp dẫn Các hàm trường K ( r ) , J ( r ) , H ( r ) có kì dị tại r0 = 1/ A Trường chuẩn không Abel SU(2) và trường Higgs cho bởi ansatz (1.20) tương ứng với các nghiệm (1.44)... thích cơ chế giam cầm các tích chuẩn không Abel 18 Chương 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG- MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG CẦU Trong chương này chúng tôi khảo sát các phương trình Yang- Mills với nguồn ngoài tĩnh, đối với nhóm chuẩn SU(2) Bằng cách sử dụng phương pháp tham số hóa vectơ, chúng tôi chứng minh được rằng trong trường hợp nguồn ngoài yếu và có dạng đối xứng cầu, nghiệm của bài toán có thể tìm... gm / λ có ý nghĩa là khối lượng của thành phần không gian của trường chuẩn Nếu gọi Mw là khối lượng của ( ) thành phần không gian của trường chuẩn thì M W = gm / λ Theo (1.26) thì Wi a : 1/ r , điều này cho thấy thành phần không gian của trường chuẩn có dạng của một monopole từ điểm không Abel Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên ở khoảng cách nhỏ ( r → 0 ) của hệ phương trình (1.22) là K ( r ) → 1 + gCr... U −1 , là nghiệm của phương trình ứng với nguồn ρ ' là chuẩn tương đương của ρ : ρ ' = U ρU −1 , (2.30) ở đây U là ma trận của nhóm SU(2) không phụ thuộc vào thời gian Như vậy, khi giải các phương trình (2.25) - (2.28), ta hãy thực hiện phép quay chuẩn tới một hệ ở đấy nguồn là ρ ' Các phương trình Yang- Mills với nguồn ngoài ' giải trong hệ này sẽ đơn giản hơn, và thế Wµ được xác định Thế chuẩn Wµ ... đích nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƯƠNG NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG- MILLS- HIGGS 1.1 Nghiệm soliton trường Yang- Mills SU(2) túy 1.1.1 Các phương trình. .. xét vai trò tầm quan trọng soliton nghiên cứu lý thuyết trường Yang- Mills Qua cho thấy việc nghiên cứu đề tài: Nghiên cứu nghiệm soliton phương trình trường chuẩn Yang- Mills, mang tính cập nhật,... nhóm chuẩn SU(2) ý nghĩa vật lý nghiệm tìm 1.1 NGHIỆM SOLITON CỦA TRƯỜNG YANG- MILLS SU(2) THUẦN TÚY 1.1.1 Các phương trình trường Yang- Mills SU(2) túy Mật độ Lagrangian trường chuẩn Yang- Mills