Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng
i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Những kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Mọi bài báo đều được các đồng tác giả cho phép sử dụng. Hà Nội, tháng 3 năm 2014 Giáo viên hướng dẫn Tác giả luận án GS, TSKH. Nguyễn Viễn Thọ Nguyễn Quốc Hoàn ii Lời cảm ơn Nhìn lại một khoảng dài, với hơn 5 năm trên trục thời gian. Thời khoảng mà tôi đã nhận được những tình cảm tốt đẹp nhất từ các thầy cô, đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng tôn kính và sự biết ơn của tôi đến GS.TSKH. Nguyễn Viễn Thọ - Một nhà khoa học nghiêm túc, thầy đã tận tình dạy bảo và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Tô Bá Hạ, thầy đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Bản luận án của tôi là lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Viện Vật lý Kỹ thuật, đặc biệt là các thầy, cô và các bạn ở Bộ môn Vật lý Lý thuyết, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Những bản nhận xét rất tỉ mỉ của các thầy (cô) phản biện đã giúp tôi hoàn thiện cuốn luận án này. Cá nhân tôi coi đó là những bài học quý báu trong học tập và nghiên cứu. Tôi xin được gửi tới các thầy (cô) phản biện lời cảm ơn chân thành nhất. Nhân dịp này, tôi muốn gửi lời cảm ơn tới lãnh đạo và các đồng nghiệp Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Giang - nơi tôi công tác, về những quan tâm, ủng hộ và giúp đỡ quý báu. Gia đình là điểm tựa vững chắc cho tôi, là nơi mà tôi có thể bày tỏ mọi cảm xúc. Xin được gửi tới gia đình tôi lòng biết ơn sâu nặng và những tình cảm không thể nói bằng lời. Nguyễn Quốc Hoàn iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt vi Danh mục các hình vẽ và đồ thị vii MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 3 Phương pháp nghiên cứu 5 4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án 5 5 Bố cục của luận án 7 1 SOLITON TOPO TRONG CÁC HỆ TRƯỜNG GAUGE ABEL VÀ PHI ABEL 9 1.1 Hệ Yang-Mills không có trường Higgs: Nghiệm Wu-Yang 11 1.2 Hệ Yang-Mills-Higgs: Nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và dyon Julia – Zee 16 1.2.1 Nghiệm monopole 't Hooft-Polyakov 16 1.2.2 Nghiệm dyon Julia – Zee 19 1.3 Nghiệm soliton tới hạn, nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 21 1.3.1 Nghiệm soliton tới hạn 21 1.3.2 Nghiệm Bogomolny-Prasad-Sommerfield (BPS) 23 1.4 Trường Yang-Mills trong không gian Euclide và nghiệm instanton 24 iv 1.5 Kết luận chương 1 26 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC 27 2.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm và đối xứng trục 27 2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm 28 2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục 31 2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng 32 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và chỉ số topo cao 34 2.3.1 Phương trình trường và các ansatz đối xứng trục 34 2.3.2 Gián đoạn hóa hệ trường liên tục 35 2.3.3 Mô phỏng các nghiệm trường [III, IV] 37 2.3.4 Sự phân bố không gian của vector điện, từ trường phi Abel [IV] 39 2.3.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường phi Abel [III, IV] 41 2.4 Nghiệm dạng dây vortex: Nghiệm số và nghiệm giải tích 42 2.4.1 Giới thiệu về phương trình Yang-Mills với nguồn ngoài dạng sợi dây 43 2.4.2 Nghiệm tĩnh của phương trình 44 2.4.3 Nghiệm sóng của phương trình [VI] 52 2.5 Kết luận chương 2 56 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG TRƯỜNG CHUẨN 58 3.1 Hạt màu trong trường chuẩn - Phương trình Wong 59 3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và [V] 65 v 3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn 74 3.4 Kết luận chương 3 76 4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN . 77 4.1 Hạt trong trường Wu-Yang 77 4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS 84 4.2.1 Hạt trong trường gauge 'tHooft 84 4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS 88 4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills . 93 4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V] 93 4.3.2 Quỹ đạo chuyển động của hạt [II, V] 98 4.4 Kết luận chương 4 99 KẾT LUẬN 100 Danh mục các công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án 103 Tài liệu tham khảo 104 Phụ lục 111 vi Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt : Mật độ Lagrangian : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng ma trận : Tensor cường độ trường Yang-Mills dạng thành phần : Thế Yang-Mills : Tensor cường độ trường gauge dạng thành phần : Vector màu : Đạo hàm hiệp biến : Đạo hàm phản biến : Mật độ dòng nguồn ngoài : Điện trường phi abel dạng thành phần : Từ trường phi abel dạng thành phần : Số topo : Mật độ năng lượng trường phi abel : 4-xung lượng chính tắc : Spin đồng vị của hạt : Các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz : Hằng số cấu trúc của nhóm Lorentz : Cường độ trường của trường gauge Lorentz : Ma trận của phép quay các thông số không gian : Hàm ma trận của vii Danh mục các hình vẽ và đồ thị Hình 2.1 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38 Hình 2.2 Thế phi Abel với nguồn ngoài kỳ dị 38 Hình 2.3 Sự phân bố không gian của điện trường phi Abel 40 Hình 2.4 Sự phân bố của đường từ trường phi Abel của vector với nguồn ngoài kỳ dị 40 Hình 2.5 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài kỳ dị 41 Hình 2.6 Sự biến thiên của năng lượng trường tổng cộng theo giá trị của tích màu với nguồn ngoài kỳ dị 42 Hình 2.7 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 46 Hình 2.8 Thế phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 47 Hình 2.9 Sự phân bố không gian của mật độ năng lượng trường với nguồn ngoài dạng sợi dây 47 Hình 2.10 Các hàm profile vortex tĩnh và ; Mật độ tích màu và mật độ năng lượng với nguồn ngoài dạng sợi dây 49 Hình 2.11 Sự biến thiên của năng lượng tổng cộng vào tổng điện tích phi Abel với nguồn ngoài dạng sợi dây 52 Hình 4.1 Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo 96 Hình 4.2 Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo 97 Hình 4.3 Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo 98 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Lý thuyết trường gauge do Yang-Mills [ 1 ] đề xướng vào năm 1954. Ý tưởng này dựa trên yêu cầu xây dựng các Lagrangian bất biến đối với các phép biến đổi đối xứng nội tại. Ngày nay lý thuyết trường gauge Yang-Mills đã được thừa nhận rộng rãi và là hình thức luận khung cho lý thuyết thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu, cũng như cho sắc động lực lượng tử của tương tác mạnh. Đầu tiên là sự khám phá của Glashow vào năm 1960 về cách thức để thống nhất tương tác điện từ và tương tác yếu [ 2 ], với việc sử dụng mô hình nhưng chưa hoàn chỉnh về mặt vật lý vì các lượng tử của trường này đều không có khối lượng. Năm 1967, Weinberg [ 3 ] và Salam [ 4 ] đã kết hợp cơ chế Higgs [ 5 , 6 , 7 ] vào trong lý thuyết của Glashow giúp cho việc sinh khối lượng các boson gauge, kết quả là đã xây dựng thành công mô hình thống nhất tương tác điện - yếu, gọi là mô hình Weinberg-Salam và cơ chế Higgs được cho là nguyên nhân tạo nên khối lượng cho các hạt cơ bản. Sự thành công này đã thuyết phục hầu hết các nhà Vật lý rằng lý thuyết gauge phi Abel về tương tác điện - yếu là một lý thuyết vật lý khá hoàn hảo. Đặc biệt, sau khi tìm thấy dòng yếu trung hòa gây bởi sự trao đổi boson ở CERN năm 1973 [ 8 , 9 , 10 ], lý thuyết điện - yếu đã được chấp nhận một cách rộng rãi và Glashow, Weinberg, Salam đã được trao giải Nobel Vật lý năm 1979. Tiếp đó là những công trình xây dựng sắc động lực học lượng tử (viết tắt là QCD) là lý thuyết về tương tác mạnh dựa trên sự bất biến của phép biến đổi gauge đối với nhóm . Ngày nay, hầu hết các thí nghiệm kiểm chứng về ba lực miêu tả bởi mô hình chuẩn đều đúng như những dự đoán của thuyết này. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn chưa là một thuyết thống nhất các lực tự nhiên một cách hoàn toàn, do sự vắng mặt của lực hấp dẫn. 2 Mô hình chuẩn chứa cả hai loại hạt cơ bản là fermion và boson. Fermion là những hạt có spin bán nguyên và tuân thủ theo nguyên lý loại trừ của Wolfgang Pauli, nguyên lý cho rằng không có hai fermion nào có cùng trạng thái lượng tử với nhau. Các hạt boson có spin nguyên và không tuân theo nguyên lý Pauli. Khái quát hóa, fermion là những hạt vật chất còn boson là những hạt truyền tương tác. Trong mô hình chuẩn, thuyết điện từ - yếu (bao gồm cả tương tác yếu lẫn lực điện từ) được kết hợp với thuyết sắc động lực học lượng tử. Tất cả những thuyết này đều là lý thuyết gauge, trong đó đưa vào các boson trung gian như là hạt truyền tương tác giữa các fermion. Hệ Lagrangian của mỗi tập hợp hạt boson trung gian bất biến dưới một phép biến đổi gọi là biến đổi gauge, vì thế các boson này còn được gọi là gauge boson. Mô hình chuẩn và rất nhiều hướng mở rộng khác nhau đã cho phép mô tả hiện tượng luận phong phú của tương tác hạt cơ bản. Cùng với việc khai thác các ứng dụng hiện tượng luận về tương tác dựa trên các mô hình chuẩn, một hướng nghiên cứu thu hút sự quan tâm lớn, đó là nghiên cứu các tính chất cơ bản của lý thuyết Yang-Mills như là các hệ động lực học phi tuyến. Vật lý toán phi tuyến là lĩnh vực được phát triển rất mạnh mẽ trong thời gian gần đây. Các phương trình vật lý toán phi tuyến có nhiều tính chất rất khác so với các phương trình vật lý toán tuyến tính thông thường. Một trong những đặc điểm quan trọng là sự tồn tại các nghiệm soliton, có thể mô tả như các sóng đơn lẻ dạng như bó sóng hoặc xung. Soliton bảo toàn dạng theo thời gian và sự bảo toàn này liên quan đến bản chất topo của nghiệm, nghĩa là các nghiệm được phân thành những lớp có topo khác nhau và đặc trưng topo (chỉ số topo) của nghiệm là tích phân chuyển động. Soliton là đối tượng được các nhà Vật lý thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm: Quang học phi tuyến, Vật lý hạt, Vũ trụ học và Vật lý chất rắn. Đối với lý thuyết trường của các hạt cơ bản, điều hấp dẫn nhất là, ngay ở mức độ cổ điển (chưa lượng tử hóa), hoặc ở gần đúng chuẩn cổ điển, các soliton của các phương trình trường phi tuyến đã có dạng gần đúng như các hạt: Mật độ năng lượng trường là hữu hạn, tập trung trong miền không gian và dịch chuyển theo thời gian. Các nghiệm soliton của các lý thuyết trường phi tuyến 3 được nghiên cứu nhiều và có nhiều ứng dụng vật lý nhất phải kể đến là các soliton của lý thuyết Skyrme (skyrmion), của lý thuyết Yang-Mills (nghiệm Wu-Yang), Yang-Mills trong không gian Euclid (instanton), lý thuyết Yang- Mills-Higgs (monopole ’t Hooft-Polyakov, soliton Bogomolny-Prasad- Sommerfield), …. Các nghiên cứu theo hướng này hiện hiện vẫn đang được tiếp tục phát triển và thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà Vật lý lý thuyết. Tuy nhiên chúng là những nghiệm của các phương trình trường phi tuyến nên hầu như không có phương pháp giải tổng quát mà phải sử dụng các tính chất đối xứng của hệ vật lý và đưa vào các ansatz riêng để tìm nghiệm cho từng trường hợp. Trên thế giới, một số trung tâm mạnh về các vấn đề này có thể kể đến là Đại học Princeton (Mỹ), Massachusetts (Mỹ), Viện Vật lý lý thuyết và thực nghiệm (Nga), Cambridge (Anh), Durham (Anh), v.v Các lý thuyết Yang-Mills, Yang-Mills-Higgs, lý thuyết hiện đang được thừa nhận là sơ đồ khung nhất quán cho lý thuyết các hạt cơ bản. Liên quan đến các lý thuyết Yang-Mills, còn được gọi là lý thuyết chuẩn (gauge theories), trong nước có các nhóm nghiên cứu về các mở rộng khác nhau của mô hình chuẩn và các hệ quả đối với hạt cơ bản theo hướng hiện tượng luận và đã có nhiều kết quả mới được công bố. Gần nhất với hướng nghiên cứu của đề tài luận án này – Nghiên cứu về nghiệm của các phương trình Yang- Mills – Có tác giả Nguyễn Văn Thuận với đề tài luận án tiến sỹ “Nghiên cứu nghiệm của các phương trình trường chuẩn Yang-Mills và ứng dụng vật lý của chúng” – Trong đó, tác giả đã nghiên cứu về các nghiệm tĩnh với đối xứng cầu của các phương trình Yang-Mills cổ điển với nhóm chuẩn và từ đó nghiên cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong các bài toán lượng tử. Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài “Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng”. Nhằm nghiên cứu sâu hơn các nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills-Higgs, tìm thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các phương trình Yang-Mills so với các kết quả của các tác giả đã công bố có thể nêu vắn tắt như sau: [...]... vấn đề lý thuyết của các hệ trường Yang-Mills như các hệ động lực học phi tuyến, cụ thể là các nghiệm soliton của lý thuyết Yang-Mills và Yang-Mills- Higgs thu được nhờ các ansatz khác nhau, nghiên cứu các đặc trưng topo của nghiệm, tìm thêm một số nghiệm số và nghiệm giải tích mới Ứng dụng các nghiệm để khảo sát tương tác của hạt với trường gauge bằng phương pháp chuẩn cổ điển, mở rộng các lý thuyết trường... mô hình tìm nghiệm, mô phỏng các nghiệm tìm được về đặc điểm của trường Yang-Mills với một số dạng nguồn ngoài ứng với các chỉ số topo khác nhau Các bài toán lý thuyết trường nói chung là dẫn đến các phương trình phi tuyến khá phức tạp Tuy nhiên, bằng cách khai thác triệt để tính đối xứng của các hệ vật lý và sử dụng phương pháp số hoá để giải các phương trình, chúng tôi đã thu được một số kết quả mới... sau một lần) 25 1.5 Kết luận chương 1 Trên đây, chúng tôi đã giới thiệu một số nghiệm tiêu biểu của lý thuyết Yang-Mills Từ đó ta nhận thấy rằng tùy theo các ansatz được chọn mà nghiệm của phương trình sẽ có các tính chất và ý nghĩa vật lý khác nhau Việc tìm nghiệm của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills- Higgs là rất phức tạp về mặt toán học Bởi vì các phương trình của lý thuyết này là những phương. .. áp dụng để tìm nghiệm và mô phỏng một số kết quả mới đã tìm được từ phương pháp này cho bài toán về nghiệm của phương trình Yang-Mills với hai nguồn điểm và nguồn ngoài dạng sợi dây với nghiệm vortex Chương 3 Phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn: Trong chương này chúng tôi chỉ ra cách suy ra phương trình chuyển động của hạt màu trong trường chuẩn từ phương trình chuyển động của. .. topo trong các hệ trường gauge Abel và phi Abel: Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về lý thuyết trường Yang-Mills Trong đó, giới thiệu các soliton topo là các nghiệm của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills- Higgs như: Nghiệm Wu-Yang trong hệ Yang-Mills không có trường Higgs; Với hệ Yang-Mills- Higgs, giới thiệu nghiệm monopole ’t Hooft-Polyakov và nghiệm dyon Julia-Zee; Nghiệm soliton. .. tìm và ứng dụng các nghiệm để làm sáng tỏ một số vấn đề động lực học của các tương tác Tiếp theo, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ cùng với việc tham số hóa vector đối với nhóm và tham số hóa vector phức đối với nhóm Lorentz, từ đó xây dựng phương trình Wong tổng quát, rồi tìm nghiệm của phương trình này để mô tả chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn 4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của. .. trường chuẩn đối với các nhóm Unita để áp dụng vào các đối xứng không-thời gian và ứng dụng để xây dựng cách tiếp cận Yang-Mills cho bài toán hạt trong trường hấp dẫn 4 b) Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu về các lớp nghiệm của các phương trình Yang-Mills, Yang-Mills- Higgs và nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường YangMills trong gần đúng cổ điển c) Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các đối tượng trên... trợ của các máy tính mạnh cùng với việc áp dụng các phần mềm tính toán mới, việc tìm nghiệm của các phương trình YangMills đang giành được nhiều sự quan tâm của các nhà vật lý lý thuyết Nhiều kết quả số với các ansatz khác nhau đã được công bố [27, 28, 29, 30, 31, 32] 26 Chương 2 2 NGHIỆM SOLITON CỦA HỆ YANG-MILLS VỚI NGUỒN NGOÀI ĐỐI XỨNG TRỤC Những nghiệm tiêu biểu của lý thuyết gauge phi Abel như nghiệm. .. nghiên cứu một số vấn đề lý thuyết của một số hệ trường YangMills xem như là hệ động lực học phi tuyến: các soliton topo của hệ Yang- 5 Mills, Yang-Mills- Higgs, Yang-Mills với các nguồn màu ngoài, tương tác của hạt với các đối tượng này Những kết quả với ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án có thể tóm tắt như sau: Chúng tôi đã xây dựng được thuật toán và lập chương trình giải phương trình Yang-Mills. .. nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và Yang-Mills- Higgs Soliton là những nghiệm của các phương trình trường cổ điển phi tuyến Chúng được cho là định xứ, có năng lượng hữu hạn và cấu trúc ổn định giống như những đối tượng hạt thông thường Những soliton và những đa soliton (multi-solitons) sở dĩ có cấu trúc ổn định là do chúng mang tích topo , đó là số nguyên đặc trưng cho hạt và chúng là đại . các nghiệm soliton của các lý thuyết Yang-Mills và cả Yang-Mills- Higgs, tìm thêm một số nghiệm mới và các ứng dụng mới. Các kết quả và nội dung mới của chúng tôi về nghiên cứu nghiệm của các. cứu về các ứng dụng có thể của các nghiệm cổ điển trong các bài toán lượng tử. Trong luận án này chúng tôi chọn đề tài Một số nghiệm soliton của các phương trình Yang-Mills và ứng dụng . Nhằm. tâm và đối xứng trục 27 2.1.1 Nguồn đối xứng xuyên tâm 28 2.1.2 Nguồn ngoài đối xứng trục 31 2.2 Phương pháp số tìm nghiệm của các phương trình trường cân bằng 32 2.3 Nghiệm phương trình Yang-Mills