4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN
4.2.1Hạt trong trường gauge 'tHooft
4.2 Hạt trong trường đơn cực 'tHooft-Polyakov và trường soliton BPS
4.2.1Hạt trong trường gauge 'tHooft
Với bài toán chuyển động của hạt trong trường gauge ’t Hooft, chúng ta nghiên cứu chuyển động cổ điển của hạt thử Yang-Mills trong trường ngoài được cho bởi nghiệm monopole của ’t Hooft. Chúng ta sẽ nghiên cứu xem không gian chuyển động của hạt với những khoảng cách lớn ra sao? và kết quả đó đối với khoảng cách bé như thế nào ?
’t Hooft đã chứng minh rằng hệ trường gauge kết hợp với tam tuyến vơ hướng có monopole giống những nghiệm tĩnh cổ điển [73, 74]. Mật độ Lagrangian được cho bởi biểu thức
( ) (4.34) trong đó ( ) (4.35)
với ansatz tổng quát (ansatz của Wu-Yang [20], Julia-Zee [21])
̂ [ ] ̂ ̂
(4.36)
trong đó và là những hàm xác định bán kính . Để thảo luận ý nghĩa vật lý của nghiệm (4.36) ’t Hooft đã định nghĩa một tensor bất biến gauge như sau
( ̂ ) ( ̂ ) ̂ ̂ ̂ (4.37)
trong đó ̂ ̂
Đối với trường hợp , thay (4.36) vào (4.37), ta thấy chỉ số hạng thứ hai của (4.37) nhận được đóng góp. Đóng góp này khơng phụ thuộc vào và có dạng monopole
̂ . Vì vậy, một hạt thử tích điện kết hợp với một thế vector Abel tương ứng với sẽ chuyển động như một hạt màu trong trường đơn cực thuần nhất.
Khi nghiên cứu lý thuyết Yang-Mills, một câu hỏi đặt ra là hạt thử Yang- Mills sẽ chuyển động như thế nào trong hệ trường (4.36), xem như đó là trường ngồi cổ điển?
Trong cơng trình của Wong [60], bằng cách lấy trung bình cổ điển phương trình Dirac của hạt tương tác với trường gauge, Wong đã tìm được hệ phương trình sau
̈ ̇ (4.38)
̇ ̇ (4.39)
ở đây dấu chấm ̇ ký hiệu phép lấy đạo hàm theo thời gian riêng.
Để đơn giản ở đây ta sẽ xét trường hợp chuyển động phi tương đối tính với là vector spin đồng vị cổ điển. Những trường trong vế phải của (4.38) và (4.39) được suy ra từ (4.36) (với ). Chúng ta sẽ kiểm tra kết quả chuyển động của hạt trong không gian và xác định trong không gian chuyển động có hay khơng một hạt thử chuyển động theo một cách giống như một điện tích trong trường monopole thuần nhất?
Trước hết, xét khai triển của vector spin đồng vị theo thời gian xuất hiện trong (4.38) (chú ý, từ (4.39) ta có tích là hằng số theo thời gian) xác định tại mỗi điểm dọc theo quỹ đạo của hạt, tập hợp các vector trực giao
̇ Từ đó ta có thể viết dưới dạng
̂ ̂ ̂ (4.40)
Các hệ số thỏa mãn hệ thức
(4.41)
Thay (4.40) và (4.36) vào (4.39) ta tìm được ba phương trình của như sau
̇ ̇ (4.43)
̇ ̇ (4.44)
trong đó và
Thay (4.40) và (4.36) vào (4.38), ta được phương trình chuyển động như sau
̇ { [ ] }
[ ̂ ̂ ̂ ]
(4.45)
trong phương trình (4.45), dấu ( ) ký hiệu phép lấy đạo hàm theo . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bây giờ, ta hãy xét những phương trình trên với lớn: cũng xét với trường hợp thì không phải là hàm mũ theo , vì thế ta có thể đặt . Khi đó phương trình (4.42) trở thành và (4.45) trở thành
̇ (4.46)
Phương trình (4.46) trùng với phương trình chuyển động của điện tích chuyển động trong một trường monopole thuần nhất.
Tiếp theo, ta hãy xét những phương trình chuyển động trên với tùy ý (và ). Dĩ nhiên là phương trình chuyển động khơng phải là phương trình (4.46). Ta thử giả sử rằng phương trình chuyển động vẫn là (4.46) và ta sẽ chỉ ra điều này không đúng. Thật vậy, để vế phải của (4.45) không chứa những số hạng không trực giao với , ta phải có .
Từ (4.43) ta có , và từ (4.44) ta có . Thay vào (4.45) ta có phương trình chuyển động
̇ (4.47)
kết quả này mâu thuẫn với giả thuyết. Do đó với những khoảng cách bé, chuyển động của hạt sẽ khác với những khoảng cách lớn.
Với kết quả trên đây, chúng ta có thể khẳng định rằng hạt thử Yang- Mills chuyển động theo cách giống như một điện tích trong trường đơn cực ở những khoảng cách lớn; còn tại những khoảng cách bé, chuyển động của chúng là khác nhau. Điều này tương tự với quan niệm của Wu-Yang về một thế gauge mà có thể phù hợp với nhiều trường vật lý khác nhau với điều kiện từ cực (net manegtic-pole) là xác định.