3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
3.3 Đối xứng Lorentz địa phương và bài toán hạt trong trường hấp dẫn
hấp dẫn
Ta đã biết rằng lý thuyết gauge Yang-Mills đã mơ tả hồn hảo các tương tác điện từ, yếu và mạnh. Còn tương tác hấp dẫn được mô tả bởi thuyết tương đối tổng quát của Einstein với nghiệm nổi tiếng Schwarzschild có ý nghĩa vật lý là “Lỗ đen”. Trong xu hướng đi xây dựng một lý thuyết để thống nhất các tương tác, đã có nhiều mơ hình vật lý được nghiên cứu chẳng hạn như lý thuyết dây “string”…. Trong phạm vi luận án này, chúng tơi tìm cách mơ tả tương tác hấp dẫn bằng lý thuyết gauge, coi như đây là cách tiếp cận Yang-Mills cho trường hấp dẫn bằng cách xét sự bất biến gauge đối với nhóm Lorentz và phương trình mơ tả chuyển động của hạt là phương trình Wong suy rộng.
Nhắc lại, trong mơ hình tương tác của trường gauge với một tam tuyến vô hướng không khối lượng. Lagrangian của hệ được cho bởi
(3.80)
trong đó
(3.81)
và
Selington đã tìm được nghiệm chính xác tựa Schwarzschild (Schwarzschild-like) cho trường hợp này vào năm 1995 [69] bằng cách sử dụng các ansatz sau [ ] (3.83) trong đó (3.84) là những hằng số, với và thỏa mãn , hằng số tùy ý và nó xác định tính kỳ dị của trường. Chú ý rằng khơng có thứ ngun, cịn có thứ nguyên (1/độ dài). Từ (3.83) và (3.84) ta thấy rằng cả trường gauge và trường vơ hướng có thể trở nên vơ cùng tại bán kính .
Trong trường hợp thuần gauge, chẳng hạn khi khơng có trường vô hướng, suy ra , thì sẽ dẫn tới các nghiệm sau
(3.85) Nếu chỉ xét trong giới hạn lý thuyết Yang-Mills thì nghiệm này có vẻ bất thường vì nó xuất hiện nghiệm thế gauge phức. Nhưng ở đây ta sẽ xét vấn đề theo con đường khác, từ một trường gauge phức đối với nhóm , ta có thể xây dựng một thế gauge đối với nhóm [70] (và cũng là đối với nhóm ) [71]. Theo đó, ta chuyển nghiệm với thế gauge phức được cho bởi (3.83) và (3.85) thành một nguồn của trường gauge Lorentz tĩnh. Cường độ “điện trường” tương ứng là
[
dấu trong (3.86) tương ứng với dấu trong (3.85). Từ trường được tính từ cơng thức , do đó
(3.87)
nó biểu thị tính tự đối ngẫu của nghiệm trường gauge.
Chương 4 tiếp theo, chúng tôi sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường gauge được xác định bởi các thế và cường độ trường như trong các phương trình (3.83), (3.85)-(3.87).