SỬ DỤNG dãy số để xây DỰNG NGHIỆM của một số PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ XÂY DỰNG NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Có nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, mà chỉ yêu cầu chứng minh ph

SỬ DỤNG DÃY SỐ ĐỂ XÂY DỰNG NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Có nhiều bài toán không yêu cầu tìm tất cả các nghiệm của phương trình nghiệm nguyên, mà chỉ yêu cầu chứng minh phương trình có vô số nghiệm Trong trường hợp như thế, ta có thể dùng dãy số để xây dựng một họ nghiệm thỏa mãn phương trình Dưới đây, ta xét một số dạng phương trình nghiệm nguyên mà nghiệm của

nó được xây dựng bởi dãy

I Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình đối xứng bậc hai.

1 Cơ sở lý thuyết:

Xét dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai 0 1

;





Ta có: n 1 n 1 , 1,2,

n

a n u

   

  

Suy ra

1





Từ đó, ta có: 2 2

u u   au u   b u u  =  2   2  a  b(    ),  n 1;2

Suy ra với mọi số nguyên dương n thì (u n1 ,u n) là nghiệm của phương trình:

x y  axy b x y       a  b   (**)

Như vậy, nếu phương trình có dạng (**) thì ta nên xây dựng dãy số có dạng (*) Từ đó, ta có thể giải quyết được khá nhiều các bài phương trình

có dạng đối xứng sau đây

2 Bài tập áp dụng:

Bài 1: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:

x y  xy (1)

Nhận xét:

Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 5, b = 0 Khi đó:

      , chọn   1;   2 thỏa mãn Ta xây dựng dãy số

( ) :u n u  1,u  2,u n  5u n  u n ; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (1)

Lời giải:

Xét dãy số ( ) :u n u0  1,u1  2,u n1  5u n u n1 ,  n 1,2,

Ta có n 1 n 1 5, 1,2,

n

n u

  

  

Suy ra

1

n n n n n n



Từ đó, ta có:

1 5 1 1 0 5 1 0 5

n n n n

Như vậy, mỗi cặp (u n1 ,u n) với mọi số nguyên dương n là nghiệm của (1) Mặt khác, dễ thấy u n là số nguyên dương với mọi n và (u n) là dãy số tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:

x y   x y (2)

Hướng dẫn:

2 2

2 2

Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 3, b = 3

Khi đó:  2   2  3   3(    )  7, chọn   1;   1 thỏa mãn Ta xây dựng dãy số ( ) :u n u0  1,u1  1,u n1  3u n u n1  3; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (2) Dễ thấy, u n là số nguyên dương với mọi n; u2   5 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được (u n) là dãy số tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 3: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương:

(x 1)  (y 1)  5(xy 1) (3)

Hướng dẫn:

2 2

(3)  x y  5xy 2(x y ) 3 

Phương trình này có dạng (**), trong đó a = 5, b = -2

Khi đó:  2   2  5   2(    ) 3  , chọn   0;   1 thỏa mãn Ta xây dựng dãy

số ( ) :u n u0  0,u1  1,u n1  5u n u n1  2; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (3)

Dễ thấy, u n là số nguyên dương với mọi n ; u2   3 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được (u n) là dãy số tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương

trình có vô số nghiệm nguyên dương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 4: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

4

  (4)

Hướng dẫn:

Với x, y nguyên dương thì phương trình (4) tương đương với

-1

Khi đó:  2   2  4   (    ) 0  , chọn   1;   1 thỏa mãn Ta xây dựng dãy

số ( ) :u n u0  1,u1  1,u n1  4u n u n1  1; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (4)

Dễ thấy, u n là số nguyên dương với mọi n; u2   2 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được (u n) là dãy số tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 5: Cho số nguyên dương a > 1 Chứng minh phương trình sau có vô

số nghiệm nguyên dương

2 2

2

1

a xy





 (5)

Hướng dẫn:

Với x, y nguyên dương thì phương trình (5) tương đương với

Khi đó:  2   2  a2  a2, chọn  a;  a2 thỏa mãn Ta xây dựng dãy số

( ) :u n u a u, a u, n a u n u n ; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (5) Dễ thấy, do a là số nguyên dương nên u n là số nguyên dương với mọi n và (

n

u ) là dãy số tăng nghiêm ngặt do a> 1 Từ đó suy ra phương trình có vô

số nghiệm nguyên dương

Như vậy, từ những biểu thức bậc hai, đối xứng giữa hai biến x, y ta

có thể xây dựng nên những bài tập mà phương trình của nó có thể đưa

về dạng (**) Sau đây, ta xét những phương trình nghiệm nguyên bậc 2

có nhiều hơn hai ẩn mà vẫn đưa được về dạng (**)

Bài 6: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

2 2 2 3

x y z  xyz (6)

Hướng dẫn:

Chọn z = 1, phương trình (6) trở thành: x2 y2   1 3xy x2 y2  3xy 1

(6’) Phương trình này có dạng (**), trong đó a = -3; b = 0

Khi đó:  2   2  3   1, chọn   1;   1 thỏa mãn Ta xây dựng dãy số

( ) :u n u  1,u  1,u n  3u n u n ; mỗi cặp (u n1 , )u n là một nghiệm của (6’) Dễ

thấy, u n là số nguyên dương với mọi n; u2   2 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được (u n) là dãy số tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương trình (6’) có vô số nghiệm nguyên dương Từ đó, suy ra (6) có vô số nghiệm dạng (u n1 , ,1)u n

Bài 7: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

2 2 2

x y z xyz (7)

Hướng dẫn:

Với cách làm tương tự như bài 6, chọn z = 1 ta đưa phương trình (7) về phương trình:

x y  xy x y  xy Phương trình này lại vô nghiệm, như vậy cách làm ở bài 6 không thể sử dụng tương tự vào đây Tuy nhiên, ta có thể áp dụng kết quả của bài tập 6 nhờ cách đặt sau: đặt x 3 ,x y1  3 ,y z1  3z1

Ta có: 2 2 2

1 1 1 3 1 1 1

( ) :u n u  1,u  1,u n  3u n u n , theo kết quả của bài tập 6 thì ( , , ) (x y z1 1 1 u n1 , ,1)u n Suy ra nghiệm của phương trình (7) là ( , , ) (3x y z  u n1 ,3 ,3)u n

Bài 8: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

Hướng dẫn:

Chọn z = t = 1, ta có: x2 y2   2 4xy x2 y2  4xy 2 Xét dãy số xác định bởi :

( ) :u n u  1,u  1,u n  4u n u n Khi đó, ( , , , ) (x y z t u n1 , ,1,1)u n là nghiệm của phương trình Do u2   3 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được dãy ( )u n tăng nghiêm ngặt Từ đó suy ra phương trình có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 9: Chứng minh phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương

2 2 2 2

x y z t xyzt.(9)

Hướng dẫn:

Đặt x 2 ,x y1  2 ,y z1  2 ,z t1  2t1, ta có: 2 2 2 2

1 1 1 1 4 1 1 1 1

bài tập 8 thì ( , , , ) (x y z t1 1 1 1 u n1 , ,1,1)u n Trong đó dãy ( )u n xác định bởi

( ) :u n u  1,u  1,u n  4u n u n Vậy nghiệm của (9) là ( , , , ) (2x y z t  u n1 ,2 ,2,2)u n Từ

đó suy ra phương trình (9) có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 10: Cho số tự nhiên n > 2 Chứng minh phương trình sau có vô số

nghiệm nguyên dương

Hướng dẫn:

Chọn x3 x4   x n  1, ta có: 2 2

1 2 2 1 2

0 1 1 1

( ) :u m u  1,u  1,u m nu m u m Khi đó u2  n 1 u1, bằng qui nạp ta chứng minh được dãy là dãy các số nguyên dương và tăng nghiêm ngặt Vậy

( , , , , ) (x x x x n u m ,u m,1, ,1)là nghiệm của (10) Từ đó suy ra phương trình (10) có vô số nghiệm nguyên dương

II Sử dụng dãy số xây dựng nghiệm của phương trình Pell.

1 Phương trình Pell :

Là phương trình Diophantine có dạng x2  dy2  1, trong đó d là một số nguyên dương không chính phương

Để mô tả tập hợp nghiệm của phương trình Pell, trước hết ta chứng minh bổ đề sau.

Bổ đề : Giả sử r s d  t u d , trong đó r, s, t, u là những số hữu tỉ, d là số nguyên dương không chính phương Khi đó : r = t, s = u

Chứng minh : Do r s d  t u d nên nếu s u , ta có d r t

u s





 Do d không chính phương nên d phải là số vô tỉ và không thể có sự biểu diễn trên Vậy s = u, suy ra r = t

Để giải phương trình Pell khi d không lớn lắm, người ta thường tìm nghiệm nhỏ nhất của nó, sau đó nhận được tất cả các nghiệm nhờ định lí sau đây.

Định lí: Giả sử x y1 , 1 là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình Pell x2  dy2  1, trong đó d là một số nguyên dương không chính phương Khi đó mọi nghiệm x y k, k được cho bởi công thức ( 1 1 )k

k k

x y d  x y d , với

k = 1, 2, 3, …

Chứng minh:

Ta chỉ ra các cặp x y k, k xác định như trên là nghiệm của phương trình Pell, đồng thời mọi nghiệm của phương trình Pell đều có dạng trên

Dễ thấy rằng nếu ( 1 1 )k

k k

x y d  x y d thì ( 1 1 )k

k k

x  y d  x  y d , vì d chỉ xuất hiện ở các lũy thừa lẻ của  y d1 trong khai triển nhị thức

Vậy x y k, k là nghiệm với k = 1, 2, 3, …

Ngược lại, giả sử X, Y là một nghiệm nguyên dương khác với x y k, k Khi

đó tồn tại số n sao cho

1

Nhân bất đẳng thức với (x1 y d1 ) n

 , ta được

1 (  x  y d) (n X Y d ) x y d

Vì 2 2

   Bây giờ giả sử

1 1

2 2

n

Như vậy, cặp s, t là một nghiệm của phương trình Hơn nữa,

1 1

    Do đó

d

Điều đó có nghĩa là s, t là nghiệm nguyên dương, s x t 1 , y1, vì x y1 , 1 là nghiệm nhỏ nhất Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức s t d x1 y d1 Mâu thuẫn này chứng tỏ X, Y phải là một cặp x y k, k với k nào đó.(Đpcm)

Nhận xét:

Ta có

1 1

1

1

2

k k

d









Từ đó, ta có thể biểu diễn nghiệm của phương trình Pell dưới dạng dãy

số như sau:





2 Bài tập áp dụng.

Bài 11: Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình x2  15y2  1

Hướng dẫn:

Dễ thấy nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là x = 4, y = 1 Như vậy mọi nghiệm (x y k, k) của phương trình được xây dựng bởi công thức:





Từ quan hệ truy hồi này ta thiết lâ]j được tất cả các nghiệm của phương trình

Bài 12: Tìm các số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình

3 3 2

(x 1)  x y

Hướng dẫn:

Ta có: (x 1) 3  x3 y2  3x2  3x  1 y2

Nhân 4 vào hai vế của phương trình ta được:(2 )y 2  3(2x 1) 2  1.Đặt u = 2y,

v = 2x +1, ta được phương trình Pell: u2  3v2  1 Nghiệm ( , )u v n n của phương trình được cho bởi công thức:

u  v   Từ đó ta có 3 (2 3)n

u  v   Mặt khác, chỉ có các nghiệm ( , )u v n n với u n chẵn, v n lẻ là thích hợp với bài toán Từ đó ta chọn được các nghiệm sau đây:

2 1 2 1

1

4 3

1

4

x

y



Bài 13: Tìm tất cả các số chính phương dạng m m ( 3 1), với m là số nguyên dương

Hướng dẫn:

Giả sử m, n là những số nguyên dương thỏa mãn ( 1) 2

3

m m

n



Khi đó ta có:(2m 1) 2  3(2 )n 2  1 Như vậy 2m+1 và 2n là các nghiệm của phương trình Pell:

2 3 2 1

X  Y  Dễ thấy phương trình có nghiệm nhỏ nhất X = 2, Y = 1 Do

đó m, n xác định bởi:

(2m 1) 2  n 3 (2   3)k Suy ra k chẵn, đặt k = 2j Khi đó

trong khai triển nhị thức (7 4 3)j

 nên ta có:

(2m+1) - 2n 3 = (7 4 3)j

 Như vậy, các số m cần tìm là

4

III Sử dụng dãy số để xây dựng nghiệm của một số phương trình bậc hai dạng ax2 bxy cy 2 dx ey  f  0

1 Cơ sở lý thuyết

Xét phương trình ax 2 bxy cy 2 dx ey  f  0 Sử dụng các biến đổi đại số, ta đưa phương trình trên về dạng X2  kY2 m (***) Nếu k là số chính phương thì (***) được giải dễ dàng bằng cách đưa vào phương trình tích Nếu k không phải là số chính phương, khi đó nếu (***) có nghiệm nguyên dương thì có sẽ có vô số nghiệm nguyên dương Nếu ( , )   là một nghiệm của phương trình Pell X2  kY2  1 thì xét các dãy số ( ),( )x n y n như sau:

0 0

1

1

,













Khi đó:

Do đó nếu ( , )x y0 0 là một nghiệm của (***) thì ( , )x y n n cũng là nghiệm của (***), với mọi n

2 Bài tập áp dụng

Bài 14: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

2 2 4( 1)( 1)

x y  x y (14)

Hướng dẫn:

2 2

Xét phương trình Pell: x2  3y2  1 có một nghiệm nguyên dương là x = 2, y

= 1

Đặt X = 3y -2, Y = x - 2y +2 Xét phương trình: X2  3Y2  4 có một nghiệm nguyên dương là

X = 4 , Y = 2 Xét các dãy ( ),( )x n y n xác định bởi công thức:

1

1

2













Ta có:

Vậy

x y x y x y x y Do đó ( , )x y n n là nghiệm của phương trình X2  3Y2  4

Hơn nữa x n1  2x n  4x n1 x n1 (mod3), n Suy ra: x2k x2k2   x2 x0 (mod3), k

Ta chọn:

2 2

2

2

3













k k

k

x y

Như vậy, 2 2

2

x y y là nghiệm của phương trình đã cho với mọi k=0, 1, …

Bài 15: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

8

Hướng dẫn:

Xét các dãy ( ),( )x n y n xác định bởi công thức

1

1

3













Ta có

Suy ra ( , )x y n n là nghiệm của phương trình X2  8Y2  7

Hơn nữa x n1  3x n  9x n1 x n1 (mod8), n Suy ra x2k  1(mod8) Mặt khác

Suy ra y2k  1(mod 2) Chọn

2

2









k

y

x

Như vậy, 2 1 2 1 2 1

x y là nghiệm của phương trình với mọi k

= 0, 1, 2, …

Bài 16: Cho a, b là các số nguyên dương không đồng thời bằng 0 Chứng

minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

3

y x (16)

Hướng dẫn:

2 2

2 2 2 2

Xét các dãy ( ),( )x n y n xác định như sau

1

1













Ta có

Suy ra ( , )x y n n là nghiệm của phương trình X2  5Y2  4(a2 b2  3 )ab

Hơn nữa x n1  9x n  81x n1 x n1 (mod10) với mọi n Suy ra x2k x0  2a 3 (mod10)b

và x2k1 x1  x0  (2a 3 )(mod10)b Mặt khác, y n1 y n(mod 2) Suy ra

  

n

y y b Ta chọn

2 2

10











k k

y

x

Ta có

3x k  5y k 4a 6b 3(2a 3 ) 4b  a 6b 5y k  5(b y k) 0(mod10) 

Như vậy 3 2 5 2 4 6 2 3 2

cho với mọi k nguyên dương, ta có điều phải chứng minh

IV Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

2 2 6

8

xy

Bài 2: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

(x 1)  (y 1)  5(xy 1)

Bài 3: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

4

Bài 4: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

2

(x y  5)  9xy

Bài 5: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

6

Bài 6: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

2 1 2 1

6

Bài 7: Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

10

Bài 8:Chứng minh phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên dương

4