Bài toán biên Hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG QUẾ HƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG QUẾ HƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2016 Mục lục Lời mở đầu Một số khái niệm 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Điều kiện Holder ¨ 1.1.2 Chỉ số hàm số 1.1.3 Bậc hàm số 1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy 1.2 Bài toán biên Riemann 1.3 Toán tử Schwarz 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Bài toán xác định hàm giải tích có cực điểm với điều kiện giá trị thực nằm chu tuyến 6 9 10 11 12 13 Bài toán biên Hilbert 2.1 Thừa số quy hóa 2.1.1 Khái niệm 2.1.2 Cách xác định loại thừa số quy hóa 2.2 Các dạng toán biên Hilbert 2.2.1 Bài toán 2.2.2 Bài toán không 2.2.3 Bài toán đường tròn đơn vị 2.2.4 Bài toán cho miền đường tròn đơn vị 2.3 Mối liên hệ toán biên Hilbert toán biên Riemann 17 17 17 18 23 23 24 26 27 Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan 35 30 3.1 Mối quan hệ phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với nhân Hilbert toán biên Hilbert Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 3.2.1 Phương trình 3.2.2 Phương trình không 3.2.3 Phương trình với hệ số 35 37 37 40 43 Ví dụ áp dụng 4.1 Bài toán biên Hilbert 4.2 Phương trình tích phân kì dị 46 46 51 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 3.2 Lời mở đầu Bài toán tìm hàm giải tích miền xác định từ hệ thức liên hệ phần thực phần ảo giá trị biên hàm, lần đưa G F B Riemann vào năm 1857, gọi toán biên Riemann Tương tự vậy, David Hilbert xây dựng toán sau: Tìm hàm F (z) = u(z) + iv(z) hàm giải tích miền đơn liên D + giới hạn chu tuyến L liên tục D + ∪ L, với điều kiện biên a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t) a(t), b(t) c(t) hàm thực liên tục H¨older L Bài toán thuộc vào nhóm toán giá trị biên hàm giải tích, toán lâu đời dạng thường gọi toán biên Hilbert Mục đích luận văn nghiên cứu dạng thứ hai toán biên hàm giải tích lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert tương ứng Tiếp theo, khảo sát số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc giải toán biên Hilbert toán tử Schwarz, thừa số quy hóa, Nội dung khóa luận chia làm bốn chương ⋄ Chương 1: Một số khái niệm kiến thức bổ trợ ⋄ Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm toán nhất, toán không nhất, toán cho miền miền đường tròn đơn vị thông qua thừa số quy hóa số hàm số ⋄ Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert 4 ⋄ Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình tích phân liên quan 5 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016 Học viên Hoàng Quế Hường Chương Một số khái niệm Trong chương này, lí thuyết toán biên Riemann trình bày với đa số kí hiệu dùng sách F D Gakhov [1] Dưới số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Điều kiện Holder ¨ Giả sử L chu tuyến trơn ϕ(t) tham số hóa tọa độ L Ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm ϕ(t) gọi thỏa mãn điều kiện H¨older với cặp điểm phân biệt tùy ý L có | ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 − t2 |λ (1.1) A λ số dương A gọi số H¨older, λ gọi số H¨older (0 < λ ≤ 1) Với λ > (1.1) trở thành ϕ ( t1 ) − ϕ ( t2 ) ≤ A | t1 − t2 | λ −1 t1 − t2 lấy giới hạn hai vế t1 → t2 ta ϕ′ (t2 ) = với t2 thuộc miền xác định Khi đó, ϕ(t) số (tức chu tuyến L suy biến thành điểm) Do đó, luận văn này, ta xét trường hợp < λ ≤ Với λ = điều kiện gọi điều kiện Lipschitz 7 Ví dụ 1.1 Xét hàm ϕ(t) = sin √ t (với t ≥ 0) Ta có √ √ √ √ √ √ t1 + t2 t1 − t2 sin | sin t1 − sin t2 | = cos √ √ ≤ | t1 − t2 | t − t2 = √1 √ t1 + t2 ≤ 2|t1 − t2 |1/2 ¨ Do hàm ϕ thỏa mãn điều kiện Holder với số A = số λ = 1/2 Ví dụ 1.2 Ta xét hàm ϕ(t) = với < t ≤ 1/2 với t = 1/ln t Do lim tλ ln t = t →0 ∀λ > nên với số A, λ, tồn t đủ nhỏ cho | ϕ(t) − ϕ(0)| = > A | x − 0| λ ln t ¨ Cho nên hàm ϕ xác định không thỏa mãn điều kiện Holder 1.1.2 Chỉ số hàm số Cho L chu tuyến đóng, đơn, trơn G (t) hàm số liên tục không triệt tiêu L Định nghĩa 1.2 Chỉ số hàm số G (t) dọc theo chu tuyến L tỷ số độ tăng trưởng (số gia) argumen chuyển động hết lượt (theo chiều dương) dọc theo chu tuyến L với 2π Ta ký hiệu Ind G (t) số hàm G (t) Ký hiệu [ω ] L số gia ω dọc theo L số G (t) viết dạng [arg G (t)] L 2π Chỉ số dễ dàng tính thông qua biến thiên logarit hàm số; tức κ = IndG (t) = ln G (t) = ln | G (t)| + i arg G (t) Sau chuyển động dọc theo L, | G (t)| trở lại giá trị ban đầu Vậy nên [arg G (t)] L = [ln G (t)] L , i mà [ln G (t)] L 2iπ Chỉ số tính theo tích phân (hiểu theo nghĩa Stieltjes) κ= κ = IndG (t) = 2π d arg G (t) = L 2πi dln G (t) L Ví dụ 1.3 Xét hàm G (t) = tn chu tuyến đường tròn đơn vị tham số hóa t = eiθ , ≤ θ ≤ 2π Khi đó, G (t) = tn = einθ Do đó, κ = IndG (t) = 1 [ln G (t)] L = 2nπ = n 2πi 2π Từ định nghĩa ta thấy: Vì hàm G (t) liên tục nên số gia argumen dọc theo chu tuyến đóng bội 2π Vậy nên ta có Chỉ số hàm số liên tục chu tuyến không triệt tiêu số nguyên Chỉ số tích hai hàm tổng số, số thương hai hàm hiệu số tương ứng Giả sử hàm G (t) khả vi giá trị biên hàm giải tích bên bên chu tuyến L Khi κ= 2πi L dln G (t) = 2πi ′ L G (t) dt G (t) Đây thặng dư logarit hàm số G (t) Từ định lý thặng dư logarit, ta suy tính chất sau số Nếu G (t) giá trị biên hàm giải tích bên bên chu tuyến, số số không điểm từ bên số không điểm từ bên lấy dấu âm Nếu G (t) giá trị biên hàm giải tích bên chu tuyến trừ hữu hạn điểm (có thể cực điểm) số hiệu số không điểm số cực điểm (kể bội) 9 1.1.3 Bậc hàm số Định nghĩa 1.3 Bậc hàm số giải tích Φ(z) điểm z0 lũy thừa nhỏ khai triển Φ(z) thành chuỗi lũy thừa (z − z0 ) Từ định nghĩa suy Φ(z) có 0- điểm bậc m điểm z0 m bậc hàm số, với cực điểm bậc m ta có bậc âm (bằng −m) Nếu hàm số giải tích z0 khác không bậc 1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy Giả sử L chu tuyến đóng, đơn trơn mặt phẳng phức Miền bên chu tuyến L gọi miền ký hiệu D + , phần bù D + ∪ L gọi miền ký hiệu D − Khi f (z) hàm giải tích D + liên tục D + ∪ L, theo công thức tích phân Cauchy lý thuyết hàm biến phức, ta có 2πi L f (τ ) dτ = τ−z f (z) z ∈ D + , z ∈ D − (1.2) Nếu hàm f (z) giải tích D − liên tục D − ∪ L, 2πi L f (τ ) dτ = τ−z f (∞) − f (z) + f (∞) z ∈ D − , z ∈ D + (1.3) Trong hướng dương chu tuyến L hướng mà D + nằm bên trái theo đường cong dọc theo hướng Công thức tích phân Cauchy cho phép ta tính giá trị hàm số điểm miền thông qua giá trị biên biết Do đó, nói công thức tích phân Cauchy cho ta lời giải toán biên lớp hàm giải tích Tích phân vế trái công thức (1.2) (1.3) gọi tích phân Cauchy Mở rộng khái niệm chu tuyến bất kì, ta có định nghĩa Định nghĩa 1.4 Giả sử L chu tuyến trơn, đóng mở mặt phẳng phức, ϕ(τ ) hàm xác định liên tục chu tuyến Khi đó, tích phân Φ(z) = 2πi L ϕ(τ ) dτ τ−z 10 xây dựng theo phương pháp tích phân Cauchy, gọi tích phân dạng Cauchy Hàm số ϕ(τ ) gọi hàm mật độ hàm 1.2 nhân Cauchy τ−z Bài toán biên Riemann Công thức dây chứng minh vào năm 1873 nhà toán học người Nga Yu V Sokhotski cho ta thông tin giới hạn tích phân Cauchy chu tuyến Định lý 1.1 Giả sử L chu tuyến trơn (đóng mở), ϕ(τ ) hàm số thỏa mãn điều kiện H¨older theo tọa độ τ Khi đó, tồn giới hạn Φ+ (t), Φ− (t) công thức tích phân Cauchy Φ(z) = 2πi L ϕ(τ ) dτ τ−z Trong t ∈ L không trùng với đầu mút Φ+ (t), Φ− (t) giới hạn bên trong, giới hạn bên dọc theo chu tuyến Hơn nữa, ta có công thức  1 ϕ(τ )   Φ+ (t) = ϕ(t) + dτ    2πi τ − t L  − (t) = − ϕ(t) +  Φ    2πi L ϕ(τ ) dτ τ−t Nhận xét 1.1 Với định lí trên, hàm Φ thỏa mãn điều kiện Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t) chu tuyến L, có công thức Φ(z) = L ϕ(τ ) dτ τ−z Bây giờ, ta xét L chu tuyến đóng, đơn, trơn chia mặt phẳng thành hai miền D + , D − (∞ ∈ D − ) G (t), g(t) hàm xác định chu tuyến, thỏa mãn điều kiện Holder, G (t) không triệt tiêu L Bài toán biên Riemann phát biểu ¨ sau Tìm hàm Φ+ (z) giải tích D + , Φ− (z) giải tích D − thỏa mãn điều kiện biên Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) (bài toán nhất) 11 Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) + g(t) (bài toán không nhất) Hàm G (t) gọi hệ số toán Riemann, hàm g(t) hàm Dưới đây, ta xem xét toán điều kiện biên Xét toán Riemann với kí hiệu N + , N − số không điểm hàm Φ+ , Φ− Theo tính chất số, ta có N + + N − = IndG (t) = κ (1.4) Chỉ số gọi số toán Riemann Do công thức (1.4), nên số toán Riemann không âm Ta chia toán thành trường hợp Trường hợp κ = Khi đó, ln G (t) hàm đơn trị Φ+ , Φ− hàm giải tích Lấy logarith hai vế điều kiện biên ta thu ln Φ+ (t) − ln Φ− (t) = ln G (t) (1.5) Bài toán chuyển thành "Tìm hàm giải tích ln G (t) thỏa mãn điều kiện (1.5)" Theo Nhận xét 1.1 ta có nghiệm toán ln G (t) = 2πi L ln G (τ ) dτ τ−t + − Φ+ (t) = AeΓ (t), Φ− (t) = AeΓ (t) A số Γ(t) = 2πi L ln G (τ ) dτ τ−t Trường hợp κ > Ta xét trường hợp đặc biệt gốc tọa độ nằm miền D + Bằng lập luận [5] ta có kết Định lý 1.2 Nếu số κ toán biên Riemann dương toán có nghiệm không gian vector κ + chiều với sở Φk+ (t) = tk eΓ 1.3 + (t) , Φk− (t) = tk−κ eΓ − (t) , (k = 0, 1, , κ ) Toán tử Schwarz Trước kết thúc Chương 1, ta đưa vào khái niệm quan trọng khác toán tử Schwarz, dùng giải toán Hilbert Chương 12 1.3.1 Định nghĩa Giả sử cho hàm thực u(s) thỏa mãn điều kiện Holder chu tuyến ¨ đóng, đơn trơn Định nghĩa 1.5 Toán tử Schwarz S toán tử xác định hàm giải tích F (z) mà có phần thực giá trị biên trùng với hàm u(s) chu tuyến phần ảo bị triệt tiêu điểm z0 cho trước Ta viết phát biểu sau: F (z) = u( x, y) + iv( x, y) = (Su)(z) Nếu L đường tròn đơn vị toán tử Schwarz đồng với tích phân Schwarz; L trục thực toán tử Schwarz đơn giản tích phân dạng Cauchy Cho chu tuyến tùy ý, biểu thức chi tiết toán tử Schwarz cho điều kiện hàm Green Đặt + g( x, y; ξ, η ) r hàm Green toán tử Laplace miền xác định D + , G ( x, y; ξ, η ) = ln ( x − ξ )2 + (y − η )2 g( x, y; ξ, η) hàm điều hòa với hai cặp tham r= biến x, y ξ, η; lấy giá trị ln r hai điểm ( x, y), (ξ, η ) nằm chu tuyến Ta coi G ( x, y; ξ, η ) hàm hai biến số phức z = x + iy ζ = ξ + iη biến thiên miền D + ; ký hiệu G (z, ζ ) Từ lý thuyết hàm điều hòa, nghiệm toán biên thứ - toán Dirichlet cho công thức u( x, y) = 2π L ∂G (z, τ ) u(σ)dσ, ∂n (1.6) τ = τ (σ) tọa độ phức điểm chu tuyến n pháp tuyến Đặt H (z, ζ ) hàm điều hòa liên hợp phức G (z, ζ ) với tham số z Nó xác định sở phương trình Cauchy-Riemann hệ thức z H (z, ζ ) = z0 − ∂G ∂G ∂x + ∂y , ∂y ∂x (1.7) 13 z0 điểm cố định miền D + Vì D + miền đơn liên nên hàm H xác định thỏa mãn điều kiện H (z0 , ζ ) ≡ Hàm M (z, ζ ) = G (z, ζ ) + iH (z, ζ ) gọi hàm phức Green cho miền D + Nó hàm giải tích khắp nơi với z trừ điểm z = ζ có kỳ dị logarit Từ hệ thức (1.6) (1.7) ta có công thức v( x, y) = 2π L ∂H (z, τ ) u(σ)dσ, ∂n xác định hàm điều hòa v( x, y) hàm liên hợp phức hàm u( x, y) Do đó, hệ thức F (z) = u( x, y) + iv( x, y) = 2π l ∂M(z, τ ) u(σ)dσ ∂n cho hàm giải tích có phần thực hàm u(σ) cho chu tuyến Hàm thỏa mãn điều kiện bổ sung v(z0 ) = Do vậy, toán tử Schwarz cho công thức Su(z) ≡ 2π l ∂M (z, τ ) u(σ )dσ ∂n (1.8) Nếu điều kiện v(z0 ) = hủy bỏ F (z) = Su(z) + iβ , (1.9) β số tùy ý v(z0 ) Hàm T (z, τ ) = ∂M (z, τ )/∂n gọi nhân Schwarz cho chu tuyến L Trong ánh xạ bảo giác từ miền D + vào đường tròn đơn vị trở thành nhân Schwarz cho đường tròn T (z, τ ) = (τ + z)/(τ − z) 1.3.2 Bài toán xác định hàm giải tích có cực điểm với điều kiện giá trị thực nằm chu tuyến Trong phần trên, xác định hàm giải tích miền với điều kiện giá trị phần thực nằm chu tuyến cho trước Trong phần ... nhân Hilbert toán biên Hilbert Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert 3.2.1 Phương trình 3.2.2 Phương trình không 3.2.3 Phương trình. .. Hilbert Từ nghiệm toán giá trị biên Hilbert suy nghiệm phương trình tích phân kỳ dị tương ứng tính chất phương trình với nhân Hilbert 4 ⋄ Chương 4: Áp dụng toán biên Hilbert giải số phương trình. .. ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG QUẾ HƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN HILBERT VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa